WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Pages:     | 1 | 2 ||

«РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В НЕЛИНЕЙНЫХ СЛОИСТЫХ СРЕДАХ Пенза Издательство ПГУ 2010 УДК 517.958+517.927.4 ББК 22.147 В15 Рецензенты: доктор физико-математических наук, профессор, ...»

-- [ Страница 3 ] --

Пусть все трехмерное пространство R3 с декартовыми координатами Oxyz заполнено изотропной средой без источников с постоянной диэлектрической проницаемостью 1 0, где 0 – диэлектрическая проницаемость вакуума. В эту среду помещен цилиндрический диэлектрический волновод с однородным анизотропным немагнитным заполнением и образующей параллельной оси Oz с поперечным сечением W := x : x2 + y 2 R2. Рассмотрим электромагнитные волны, распространяющиеся вдоль образующей волновода, т.е. собственные волны структуры.

Введем цилиндрические координаты (,, z) так, чтобы ось Oz цилиндрических координат совпадала с осью Oz декартовых.

Гл. 9. ТЕ- и ТМ-волны, направляемые цилиндр. волноводом Считаем поля гармонически зависящими от времени [60]:

где – круговая частота; E, E+, E, H, H+, H – вещественные искомые функции.

Образуем комплексные амплитуды полей E и H:

где знак ( · )T обозначает операцию транспонирования и Везде ниже множители cos t и sin t будем опускать.

Электромагнитное поле E, H удовлетворяет системе уравнений Максвелла условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границе раздела сред (на границе волновода) и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при.

Диэлектрическая проницаемость внутри слоя описывается диагональным тензором:

где,, zz – постоянные величины.

182 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах Будем искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве.

На рис. 1 схематически представлена геометрия задачи. Цилиндр неограниченно продолжается в направлении z.

Выпишем систему (1) в развернутом виде:

Так как рассматривается структура с круговой симметрией, будем искать решения, периодические по координате, т.е.

решения вида E = E (, z)ein, E = E (, z)ein, Ez = Ez (, z)ein, H = H (, z)ein, H = H (, z)ein, Hz = Hz (, z)ein, где n = 0, 1, 2,...

Учитывая формулы (3) из системы (2), получаем Гл. 9. ТЕ- и ТМ-волны, направляемые цилиндр. волноводом Положив n = 0, после группировки получаем из (4) Таким образом, исходная система (1) распалась на две независимые друг от друга системы (5).

возникает из системы (1), если поля E, H имеют вид Причем здесь можно считать, что после подстановки этих выражений в уравнения (1) получим, что функции E, Ez, H не зависят от.

возникает из системы (1), если поля E, H имеют вид Причем здесь можно считать, что после подстановки этих выражений в уравнения (1) получим, что функции E, H, Hz не зависят от.

184 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах Волны вида (6) называются ТМ-поляризованными электромагнитными волнами1, или волнами электрического типа, или волнами типа E.

Волны вида (7) называются ТE-поляризованными электромагнитными волнами 2, или волнами магнитного типа, или волнами типа H.

Обсуждение вопроса о ТЕ- и ТМ-волнах в линейных и нелинейных структурах см. на с. 22, с очевидной заменой слоя на цилиндрический волновод.

В случае, когда n = 0, уже не получается таких простых типов волн, как мы только что рассмотрели (см., например, [23]).

В этом случае также существует две поляризации, а именно:

Можно легко показать, что в нелинейных случаях, рассматриваемых в главах 11 и 13, не существует волн (нелинейных), определяемых поляризациями (8) и (9). По этой причине в случае нелинейной среды в волноводе мы будем рассматривать поляризации, определяемые формулами (6) и (7).

от англ. transverse-magnetic.

от англ. transverse-electric.

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ

ТЕ-ВОЛН В ЛИНЕЙНОМ КРУГЛОМ

ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ ВОЛНОВОДЕ

В этой главе изучается распространение электромагнитных ТЕ-волн в круглом цилиндрическом волноводе с постоянной диэлектрической проницаемостью (так называемый линейный волновод). Несмотря на то, что эта задача является классической в электродинамике, нам не удалось найти источник с изложением, подходящим для наших целей. Поэтому мы предпочли вывести все необходимые результаты здесь, тем более, что эти результаты часто используются в дальнейшем изложении.

§1. Уравнения Максвелла и постановка задачи Пусть все трехмерное пространство R3 с декартовыми координатами Oxyz заполнено изотропной средой без источников с постоянной диэлектрической проницаемостью 1 0, где 0 – диэлектрическая проницаемость вакуума. В эту среду помещен цилиндрический диэлектрический волновод однородного заполнения с образующей параллельной оси Oz и поперечным сечением W := x : x2 + y 2 R2. Рассмотрим электромагнитные волны, распространяющиеся вдоль образующей волновода, т.е.

собственные волны структуры. Считаем, что всюду = 0 – магнитная проницаемость вакуума.

Введем цилиндрические координаты (,, z) так, чтобы ось Oz цилиндрических координат совпадала с осью Oz декартовых.

186 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах Считаем поля гармонически зависящими от времени [60]:

где – круговая частота; E, E+, E, H, H+, H – вещественные искомые функции.

Образуем комплексные амплитуды полей E и H:

Везде ниже множители cos t и sin t будем опускать.

Электромагнитное поле E, H удовлетворяет системе уравнений Максвелла условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границе раздела сред (на границе волновода) и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при.

Диэлектрическая проницаемость внутри волновода является постоянной = 2.

Будем искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве.

§2. ТЕ-поляризованные электромагнитные волны Рассмотрим ТЕ-поляризованные волны:

где E = E (,, z), H = H (,, z), Hz = Hz (,, z).

Гл. 10. ТЕ-волны в линейном круглом цилиндр. волноводе Подставив поля E и H в уравнения Максвелла (1), учитывая, что мы работаем в цилиндрических координатах, получим Из первого и третьего уравнений этой системы видно, что Hz и H не зависят от ; поскольку E выражается через Hz и H, то E также не зависит от.

Волны, распространяющиеся вдоль образующей Oz волновода (а мы ищем именно их), гармонически зависят от z. Значит, компоненты полей E, H имеют представление Тогда рассмотренная выше система принимает вид где ( · ) ; – неизвестный спектральный параметр (постоянная распространения электромагнитной волны).

Тогда Hz () = i (E ()) и H () = E (). Из первого уравнения системы (2) получаем Обозначив u() = E (), получаем 188 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах где Будем искать те действительные значения спектрального параметра, для которых существует не равное тождественно нулю действительное решение u() уравнения (3).

Замечание. Мы считаем действительным, хотя в линейном случае можно считать спектральный параметр комплексным числом. Однако в нелинейном случае при используемом подходе уже не удается рассматривать комплексные.

Считаем, что функция u дифференцируема так, что Считаем, что 2 1. Отметим, что последнее условие имеет место только в случае, если 1 0, если же 1 0, то 2 0.

§3. Решение системы дифференциальных уравнений Пусть R, тогда имеем k = k1. Из (3) получаем уравнение u + u 2 u + k1 u = 0, где k1 = 2 1 2. Это уравнение Бесселя, его общее решение возьмем в виде u() = AH1 (k1 ) + +A1 H1 (k1 ), где H1 и H1 – функции Ханкеля первого и второго рода соответственно. Учитывая условие на бесконечности, получаем решение где A – постоянная; если Re k1 = 0, то где K1 (z) – функция Макдональда.

Поскольку в этом случае H1 (iz) = 2 1 K1 (z).

Гл. 10. ТЕ-волны в линейном круглом цилиндр. волноводе Пусть R, тогда имеем = 2. Из (3) получаем уравнение u + 1 u 2 u + k2 u = 0, где k2 = 2 2. Это уравнение Бесселя, его общее решение возьмем в виде u() = BJ1 (k2 ) + B1 N1 (k2 ), где J1 и N1 – функции Бесселя и Неймана соответственно. Учитывая, что решение должно быть ограничено в нуле, получаем где B – постоянная; если Re k2 = 0, то где I1 (z) – модифицированная функция Бесселя.

§4. Условия сопряжения и дисперсионное уравнение Как известно, касательные составляющие электромагнитного поля непрерывны на границе раздела сред. В рассматриваемом случае касательными составляющими являются компоненты E и Hz. Из этого условия получаем где постоянная E = u(R) = E (R + 0) считается известной.

Hz () непрерывны при = R, то, значит, и E () непрерывна при = R. Из этих условий получаем условия сопряжения для функций u() и u () где [f ]x=x0 = lim f (x) lim f (x) обозначает скачок функxx0 0 xx0 + ции на границе раздела сред.

Поскольку в этом случае J1 (iz) = iI1 (z).

190 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах Учитывая решения (4)–(7) и условия сопряжения (8), получаем дисперсионное уравнение Используем формулы (см., например, [7]) С помощью приведенных формул преобразуем дисперсионное уравнение (9), окончательно получаем

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ

ТЕ-ВОЛН В КРУГЛОМ ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ

ВОЛНОВОДЕ С КЕРРОВСКОЙ

НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

Здесь изучаются ТЕ-волны, распространяющиеся в диэлектрическом волноводе кругового сечения, заполненного средой с керровской нелинейностью. Проблема сводится к нелинейному интегральному уравнению с ядром в виде функции Грина для уравнения Бесселя. Существование распространяющихся волн доказывается с помощью принципа Шаудера и методом сжимающих отображений. Для численного решения задачи предложен итерационный алгоритм, доказана его сходимость. Доказано существование корней дисперсионного уравнения – постоянных распространения волновода. Получены условия, когда могут распространяться несколько волн, указаны области локализации постоянных распространения.

Результаты главы опубликованы в работах [41–43, 76, 81].

§1. Уравнения Максвелла и постановка задачи Пусть все трехмерное пространство R3 с декартовыми координатами Oxyz заполнено изотропной средой без источников с постоянной диэлектрической проницаемостью 1 0, где 0 – диэлектрическая проницаемость вакуума. В эту среду помещен 192 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах цилиндрический диэлектрический волновод однородного заполнения с образующей параллельной оси Oz и поперечным сечением W := x : x2 + y 2 R2. Рассмотрим электромагнитные волны, распространяющиеся вдоль образующей волновода. Считаем, что всюду = 0 – магнитная проницаемость вакуума.

Введем цилиндрические координаты (,, z) так, чтобы ось Oz цилиндрических координат совпадала с осью Oz декартовых.

Считаем поля гармонически зависящими от времени [60]:

где – круговая частота; E, E+, E, H, H+, H – вещественные искомые функции.

Образуем комплексные амплитуды полей E и H:

Везде ниже множители cos t и sin t будем опускать.

Электромагнитное поле E, H удовлетворяет системе уравнений Максвелла условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границе раздела сред (на границе волновода) и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при.

Диэлектрическая проницаемость внутри волновода описывается законом Керра:

где 2 – постоянная составляющая диэлектрической проницаемости; a – коэффициент нелинейности. Считаем, что 2 и a – вещественные постоянные.

Гл. 11. ТЕ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин. Требуется отыскать поверхностные волны, распространяющиеся вдоль образующей волновода.

Будем искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве.

§2. ТЕ-поляризованные электромагнитные волны Рассмотрим ТЕ-поляризованные волны:

где E = E (,, z), H = H (,, z), Hz = Hz (,, z).

Подставив поля E, H в уравнения Максвелла (1), получим Из первого и третьего уравнений этой системы видно, что Hz и H не зависят от ; поскольку E выражается через Hz и H, то E также не зависит от.

Волны, распространяющиеся вдоль образующей Oz волновода (а мы ищем именно их), гармонически зависят от z. Значит, компоненты полей E, H имеют представление Тогда рассмотренная выше система принимает вид где ( · ) ; – неизвестный спектральный параметр (постоянная распространения электромагнитной волны).

194 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах Тогда Hz () = i (E ()) и H () = E (). Из первого уравнения системы (2) получаем Обозначив u() = E (), получаем Будем искать те значения спектрального параметра (собственные значения), для которых существует действительное не равное тождественно нулю решение u() уравнения (3). Полагаем действительным (так, что |E|2 не зависит от z) и считаем Считаем, что функция u дифференцируема так, что Считаем, что 2 1. Отметим, что последнее условие имеет место только в случае, если 1 0, если же 1 0, то 2 0.

§3. Решение дифференциальных уравнений и условия сопряжения При R имеем = 1. Из (3) получаем уравнение где k1 = 2 1 2. Это уравнение Бесселя.

Гл. 11. ТЕ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин. При R имеем = 2 + au2. Из (3) получаем уравнение где k2 = 2 2, = a 2. Это нелинейное уравнение и найти его решение в явном виде не удалось.

Как известно, касательные составляющие электромагнитного поля непрерывны на границе раздела сред. В рассматриваемом случае касательными составляющими являются компоненты E и Hz. Из этого условия получаем где постоянная E = u(R) = E (R + 0) считается известной.

Hz () непрерывны при = R, то, значит, и E () непрерывна при = R. Из этих условий получаем условия сопряжения для функций u() и u ():

где [f ]x=x0 = lim f (x) lim f (x) обозначает скачок функxx0 0 xx0 + ции на границе раздела сред.

Сформулируем теперь краевую задачу на собственные значения (задача P), к которой свелась исходная задача о распространяющихся поверхностных волнах цилиндрического волновода. Требуется отыскать собственные значения и соответствующие им не равные тождественно нулю собственные функции u() такие, что u() удовлетворяет уравнениям (5), (6), условиям сопряжения (7) и условию излучения на бесконечности: функция u() экспоненциально убывает при.

Обратимся к уравнению (5), его общее решение1 возьмем в виде u() = CH1 (k1 ) + C1 H1 (k1 ), где H1 и H1 – функции Ханкеля первого и второго рода соответственно.

Мы сначала сделали замену = k1, решили получившееся уравнение, а потом в решении сделали обратную замену.

196 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах Учитывая условие излучения на бесконечности, получаем решение где C1 – постоянная; если Re k1 = 0, то где K1 (z) – функция Макдональда. Условие излучения на бесконечности выполняется, так как K1 (|k1 |) 0 при.

Обозначив поле на границе волновода как u(R + 0) E0, из формул (8) и (9) получаем, что §4. Нелинейное интегральное уравнение и дисперсионное уравнение Рассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение (6), записанное в виде и линейное уравнение Бесселя Перепишем последнее уравнение в операторной форме:

Поскольку в этом случае H1 (iz) = K1 (z).

Гл. 11. ТЕ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин. Рассмотрим краевую задачу для уравнения (11) с условиями (7). Построим функцию Грина G для этой краевой задачи в виде1 (см., например, [22]) Функция Грина существует при таких значениях параметров, что J1 (k2 R) = 0.

Запишем уравнение (10) в операторном виде:

Используя вторую формулу Грина и полагая v = G, получаем так как из (14) видно, что G (R, s) = 0.

В качестве линейно независимых решений уравнения Lu = 0, удовлетворяющих условиям u|=0 = u |=R = 0, мы взяли u1 = J1 (k2 ) и u2 = N1 (k2 R)J1 (k2 ) J1 (k2 R)N1 (k2 ).

198 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах Из (13) получаем, что Далее, используя формулу (15), получаем, что Теперь, применяя только что полученные результаты и формулу (17), получаем нелинейное интегральное уравнение относительно u(s) (u() – решение уравнения (6)) на интервале (0, R):

Используя свойства функций Бесселя и Неймана (точнее, определителя Вронского от этих функций), легко видеть, что G(R, s) = k2 R J 1(k2 R). Учитывая последний результат и условия сопряжения (7) из уравнения (18), мы получаем Используя (9 ) и обозначив f (s) = E0 |k1 | K1 (|k1 |R)J 1(k2 R), мы можем переписать уравнение (19) в окончательной форме Гл. 11. ТЕ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин. Используя уравнение (20) и условия сопряжения (7), получим дисперсионное уравнение для постоянных распространения:

применяя формулу (9 ), получим дисперсионное уравнение в такой форме:

Положим N (, s) = G(, s) и рассмотрим интегральное уравнение (20) на интервале C[0, R] [48]:

Предполагается, что f C[0, R] и J1 (k2 R) = 0. Нетрудно видеть, что ядро N (, s) является непрерывной функцией в квадрате 0, s R.

Рассмотрим в C[0, R] линейный интегральный оператор Он ограничен, вполне непрерывен и 200 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах Поскольку нелинейный оператор B(u) = u3 () ограничен и непрерывен в C[0, R], то нелинейный оператор является вполне непрерывным оператором на каждом ограниченном в C[0, R] множестве.

В последующих рассуждениях нам понадобится следующее вспомогательное числовое кубическое уравнение:

где норма оператора N 0 определяется формулой (24), а Рассмотрим уравнение и функцию Функция y(r) имеет только одну положительную точку максимума:

значение функции y в этой точке равно два неотрицательных корня r и r таких, что r r, и удовлетворяющих неравенствам Эти корни легко выписать как решения кубического уравнения:

Итак, доказано следующее утверждение.

Лемма 1. Если выполняется неравенство то уравнение (26) имеет два неотрицательных решения r и Используя принцип Шаудера [48, 86], можно доказать, что для каждого f Sr (0) C[0, R], где r = 2, существует решение u() уравнения (20) внутри шара S = Sr (0).

Лемма 2. Если f 2, то уравнение (20) имеет по крайней мере одно решение u() такое, что u r.

Доказательство. Так как F (u) абсолютно непрерывен, то необходимо только проверить, что F переводит шар в себя. Предположим, что u S. Используя (23)–(25), получаем Это означает, что F S S. Лемма доказана.

202 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах Теперь докажем, что если выполняется условие (28), то (20) имеет единственное решение u в шаре S = Sr.

Теорема 1. Если A2, где то уравнение (20) имеет единственное решение u, являющееся непрерывной функцией: u C[0, R] и u r.

Доказательство. Если u S, то Так как A2, то f (s) удовлетворяет условию (36). Поэтому выполняется неравенство r 1, откуда 3 N r 1. Следовательно, F отображает S в себя и является сжимающим оператором на S. Поэтому уравнение (20) имеет единственное решение в S. Теорема доказана.

Отметим, что A 0 и не зависит от.

В дальнейшем нам понадобится утверждение о зависимости решений интегрального уравнения (20) от параметра.

Гл. 11. ТЕ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин. Теорема 2. Пусть ядро N и правая часть f интегрального уравнения (20) непрерывно зависят от параметра 0, некотором отрезке 0 вещественной числовой оси. Пусть также Тогда решения u(, ) уравнения (20) при 0 существуют, единственны и непрерывно зависят от параметра, u(, ) C (0 [0, R]).

Доказательство. Рассмотрим уравнение Существование и единственность решений u () при условиях теоремы 2 следует из теоремы 1.

Докажем непрерывную зависимость этих решений от параметра.

Нетрудно видеть из формулы (34), что r () непрерывно зависит от на отрезке 0. Пусть r0 = max r (), и максимум достигается в точке 0, r () = r0.

Далее пусть Q = max 3r () N (), и максимум достигается в точке 0, Q = 3r () N (). Тогда Q 1 в силу условия (38) теоремы 2.

Предположим сначала, что u() u( + ). Тогда имеют место следующие оценки:

204 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах Отсюда получаем, что Гл. 11. ТЕ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин. где Q и r0 не зависят от.

Пусть теперь u() u( + ). Тогда все предыдущие оценки остаются в силе, если заменить аргументы на +, а + на. Таким образом, оценка (40) также остается в силе, откуда следует утверждение теоремы. Теорема доказана.

§5. Итерационный метод Приближенные решения un интегрального уравнения (20), представимого в виде u = F (u), могут быть определены итерационным процессом un+1 = F (un ), n = 0, 1,..., Последовательность un равномерно сходится к решению u уравнения (20) вследствие того, что F (u) – сжимающий оператор. Известна также оценка для скорости сходимости итерационного алгоритма (41). Сформулируем эти результаты в виде следующего утверждения.

Утверждение 1. Последовательность приближенных решений un уравнения (20), определяемых посредством итерационного алгоритма (41), существует и сходится в норме пространства C[0, R] к (единственному) точному решению u этого уравнения, и верна оценка скорости сходимости:

где q := 3N r 1 – коэффициент сжатия отображения F.

206 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах §6. Существование решений дисперсионного уравнения Введем безразмерные переменные и постоянные: = k0, и используя формулы дисперсионное уравнение (21) можно представить в нормализованной форме:

где g(R, 2 ) = k2 RJ0 (k2 R)K1 (|k1 |R) + |k1 |RJ1 (k2 R)K0 (|k1 |R), Нули функции () g() F () – это значения, для которых существует нетривиальное решение задачи P, сформулированной ранее. Следующее утверждение дает достаточные условия существования нулей функции.

Пусть j0m – m-й положительный корень функции Бесселя J0 ; j1m – m-й положительный корень функции Бесселя J1 ; j1m – m-й положительный корень функции Бесселя J1 ; где m = 1, 2,...

Введем обозначения Теорема 3. Пусть 1, 2, – три числа, удовлетворяющие и выполняются условия при m 1. Тогда существует по крайней мере m значений i, i = 1, m таких, что задача P имеет ненулевое решение.

Так как j1i для i = 1, 2, 3, 4, то функция Грина (14) суИз формулы (37) и свойств функции Грина ществует для следует, что A2 = A2 () – непрерывная относительно функция на промежутке,. Пусть A2 = min A2 () и A2.

Согласно теореме 1 существует единственное решение u = u() уравнения (15) для каждого, причем это решение – непрерывная функция, u r = r (). Пусть r0 = max r (). Так как |J1 (x)| 0.6 при неотрицательных x, то, используя простейшую оценку интеграла F (), мы получаем, что |F ()| 0.3·R2 r0.

Согласно свойствам функций Макдональда K0 (x) и K1 (x) – положительны при положительных x. Функция g() непрерывна относительно, g(1i ), g(2i ) 0, i = 1,..., m. Таким образом, g() = 0 имеет корень 0i на интервале i, 1i 0i 2i.

208 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах Обозначим M1 = min |g(1i )|, M2 = min |g(2i )|, далее пусть M = min{M1, M2 }; M 0 не зависит от.

Так как g()F () – тоже непрерывная функция, то уравнение g() F () = 0 имеет корень i на интервале i, т.е.

1i i 2i. Мы можем выбрать 0 таким образом, что 0 = min A2, 0.3·R2 r3. Теорема доказана.

Из теоремы 3 следует, что при условиях, сформулированных выше, существуют осесимметричные распространяющиеся ТЕ-поляризованные волны без затухания в цилиндрических диэлектрических волноводах кругового сечения, заполненных немагнитной, изотропной средой с нелинейностью, выраженной законом Керра. Этот результат обобщает известное соответствующее утверждение для диэлектрических волноводов круглого сечения с заполнением линейной средой (при = 0).

§7. Численный метод Для численного решения задачи предложим метод отыскания приближенных решений. На практике, как правило, интересуются постоянными распространения волноведущей структуры, т.е. такими (собственными) значениями (или, соответственно, ), при которых существуют нетривиальные решения краевой задачи P. Ответ на вопрос о существовании и локализации собственных значений дает теорема 3. Рассмотрим метод приближенного определения таких.

Пусть собственные значения ищутся на отрезке [A1, A2 ] (выбор которого может быть сделан с помощью результатов теоремы 3 или исходя из практических соображений). Введем на этом отрезке сетку с узлами (j), причем A1 + j(A2 A1 )/N, j = 0,..., N, где N удовлетворяет условию A2 A1 N, если собственное значение требуется найти с точностью. Вычисляем значения функции в узлах (j), причем при каждом Гл. 11. ТЕ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин. (j) решаем интегральное уравнение (20) с помощью итерационного алгоритма (41) с требуемой точностью. Далее определяем перемену знака в последовательности чисел (j). Если для некоторого j выполняется неравенство (j) (j+1) 0, то приближенно полагаем = (j) + (j+1) /2.

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ

ТМ-ВОЛН В ЛИНЕЙНОМ КРУГЛОМ

ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ ВОЛНОВОДЕ

В этой главе изучается распространение электромагнитных ТМ-волн в круглом цилиндрическом волноводе с постоянной диэлектрической проницаемостью (так называемый линейный волновод). Несмотря на то, что эта задача является классической в электродинамике и рассматривается во многих книгах, нам не удалось найти источник с изложением, подходящим для наших целей. Поэтому мы предпочли вывести все необходимые результаты здесь, тем более, что эти результаты часто используются в дальнейшем изложении.

§1. Уравнения Максвелла и постановка задачи Пусть все трехмерное пространство R3 с декартовыми координатами Oxyz заполнено изотропной средой без источников с постоянной диэлектрической проницаемостью = 1 0 0, где 0 – диэлектрическая проницаемость вакуума. В эту среду помещен цилиндрический диэлектрический волновод однородного заполнения с образующей параллельной оси Oz и поперечным сечением W := x : x2 + y 2 R2. Рассмотрим электромагнитные волны, распространяющиеся вдоль образующей волновода, т.е. собственные волны структуры. Считаем, что всюду = 0 – магнитная проницаемость вакуума.

Гл. 12. ТМ-волны в линейном круглом цилиндр. волноводе Введем цилиндрические координаты (,, z) так, чтобы ось Oz цилиндрических координат совпадала с осью Oz декартовых.

Считаем поля гармонически зависящими от времени [60]:

где – круговая частота; E, E+, E, H, H+, H – вещественные искомые функции.

Образуем комплексные амплитуды полей E и H:

Везде ниже множители cos t и sin t будем опускать.

Электромагнитное поле E, H удовлетворяет системе уравнений Максвелла условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границе раздела сред (на границе волновода) и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при.

Диэлектрическая проницаемость внутри волновода описывается диагональным тензором:

где, zz – постоянные величины. Какой вид имеет, не имеет значения, поскольку при рассмотрении ТМ-поляризованных волн не содержится в рассматриваемых ниже уравнениях.

Будем искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве.

212 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах §2. ТМ-поляризованные электромагнитные волны Рассмотрим ТМ-поляризованные волны:

где E = E (,, z), Ez = Ez (,, z), H = H (,, z).

Подставив поля E и H в уравнения Максвелла (1), учитывая, что мы работаем в цилиндрических координатах, получим Из третьего и пятого уравнений этой системы видно, что Ez и E не зависят от ; поскольку H выражается через Ez и E, то H также не зависит от.

Волны, распространяющиеся вдоль образующей Oz волновода (а мы ищем именно их), гармонически зависят от z. Значит, компоненты полей E, H имеют представление Тогда рассмотренная выше система принимает вид где ( · ) ; – неизвестный спектральный параметр (постоянная распространения электромагнитной волны).

Используя третье уравнение системы (2), легко находим, что H () = i (iE () Ez ()). Используя это, получаем из системы (2) Удобно считать, что = 0 и zz = 0 z, где 0 – диэлектрическая проницаемость вакуума.

Обозначив u1 () := E (), u2 () := iEz () и k0 := 2 0, из последней системы получаем (мы будем опускать обозначение независимой переменной, когда это не будет вызывать двусмысленности) Таким образом, окончательно получаем, что внутри волновода функции u1 и u2 определяются из системы Очевидно, что вне волновода функции u1 и u2 определяются из системы (3), в которой z = = Вторые уравнения систем (3) и (4) являются уравнениями Бесселя.

Будем искать те действительные значения спектрального параметра, для которых существуют действительные решения u1 () и u2 () систем уравнений (3) и (4).

Замечание. Мы считаем действительным, хотя в линейном случае можно считать спектральный параметр комплексным числом. Однако в нелинейном случае при используемом подходе уже не удается рассматривать комплексные.

214 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах Считаем, что функции u1 и u2 дифференцируемы так, что Считаем, что 2 1. Отметим, что последнее условие имеет место только в случае, если 1 0, если же 1 0, то 2 0.

§3. Решение системы дифференциальных уравнений При R решения системы (3) запишем в виде1 [36] Функции J0 и N0 – функции Бесселя и Неймана нулевых порядков соответственно. Функция Неймана N0 () имеет особенность при = 0. С другой стороны, ясно, что амплитуда поля в центре волновода остается конечной. Учитывая сказанное и формулу J0 (z) = J1 (z) [25], получаем При R решения системы (4) запишем в виде [36] Функции I0 и K0 – функции Бесселя мнимого аргумента (модифицированные функции Бесселя). Функция I0 () стремится к бесконечности при +, а функция K0 () стремится к Гл. 12. ТМ-волны в линейном круглом цилиндр. волноводе нулю при +. Учитывая то, что K0 (z) = K1 (z) [25], получаем §4. Условия сопряжения и дисперсионное уравнение Как известно, касательные составляющие электромагнитного поля непрерывны на границе раздела сред. В рассматриваемом случае касательными составляющими являются компоненты Ez и H. Из этого условия получаем где постоянная Ez = u2 (R) = Ez (R + 0) считается известной.

Известно, что нормальные составляющие электромагнитного поля на границе раздела сред испытывают разрыв первого рода. Здесь нормальной компонентой является E. Также известно, что величина E на границе раздела сред остается непрерывной. Из всего сказанного получаем условия сопряжения для функций u1, u2 :

где [f ]x=x0 = lim f (x) lim f (x) обозначает скачок функxx0 0 xx0 + ции на границе раздела сред, = 1 при R, = z при Учитывая решения (5), (6) и условия сопряжения (7), получаем дисперсионное уравнение:

Необходимо отметить, что уравнение (8) может быть применено и для изучения метаматериалов.

216 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах В случае изотропного волновода, т.е. когда = z = 2 и 2 = k2 = k0 2 2, получаем известное (см., например, [83]) дисперсионное уравнение

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ

ТМ-ВОЛН В КРУГЛОМ ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ

ВОЛНОВОДЕ С КЕРРОВСКОЙ

НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

В этой главе изучаются ТМ-волны, распространяющиеся в диэлектрическом волноводе кругового сечения, заполненного средой с нелинейностью, выраженной законом Керра. Проблема сводится к нелинейной задаче на собственные значения для нелинейной интегральной оператор-функции. Для решения используется метод сжимающих отображений. Строится итерационный алгоритм, с помощью которого определяются значения собственных функций и спектрального параметра.

Результаты главы опубликованы в [45–47, 50].

§1. Уравнения Максвелла и постановка задачи Пусть все трехмерное пространство R3 с декартовыми координатами Oxyz заполнено изотропной средой без источников с постоянной диэлектрической проницаемостью = 0 1 0, где 0 – диэлектрическая проницаемость вакуума. В эту среду помещен цилиндрический диэлектрический волновод однородного заполнения с образующей параллельной оси Oz и поперечным сечением W := x : x2 + y 2 R2. Рассмотрим электромагнитные волны, распространяющиеся вдоль образующей волновода. Считаем, что всюду = 0 – магнитная проницаемость вакуума.

218 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах Введем цилиндрические координаты (,, z) так, чтобы ось Oz цилиндрических координат совпадала с осью Oz декартовых.

Считаем поля гармонически зависящими от времени [60]:

где – круговая частота; E, E+, E, H, H+, H – вещественные искомые функции.

Образуем комплексные амплитуды полей E и H:

Везде ниже множители cos t и sin t будем опускать.

Электромагнитное поле E, H удовлетворяет системе уравнений Максвелла условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границе раздела сред (на границе волновода) и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при.

Диэлектрическая проницаемость внутри волновода описывается законом Керра:

где 2 – постоянная составляющая диэлектрической проницаемости; – коэффициент нелинейности. Считаем, что 2 и – вещественные постоянные.

Требуется отыскать поверхностные волны, распространяющиеся вдоль образующей волновода, т.е. собственные волны рассматриваемой структуры.

Будем искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве.

Гл. 13. ТМ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин. §2. ТМ-поляризованные электромагнитные волны Рассмотрим ТМ-поляризованные волны:

где E = E(,, z), Ez = Ez (,, z), H = H (,, z).

Подставив поля E и H в уравнения Максвелла (1), учитывая, что мы работаем в цилиндрических координатах, получим Из первого и третьего уравнений этой системы видно, что Ez и E не зависят от ; поскольку H выражается через Ez и E, то H также не зависит от.

Волны, распространяющиеся вдоль образующей Oz волновода (а мы ищем именно их), гармонически зависят от z. Значит, компоненты полей E, H имеют представление Тогда рассмотренная выше система принимает вид где ( · ) ; – неизвестный спектральный параметр (постоянная распространения электромагнитной волны).

Из первого уравнения системы (2) получаем 220 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах Подставляя выражение (3) в оставшиеся два уравнения системы (2), получаем Внутри и вне волновода = 0, где также пусть k0 = 2 0, где k0 0 – волновое число вакуума.

Будем предполагать, что u1 (; ), u2 (; ) – вещественные функции. Зависимость от и/или будем опускать там, где это не приводит к неясности.

Тогда из системы (4), используя (5), получаем Будем искать те значения спектрального параметра (собственные значения), для которых существуют действительные не равные тождественно нулю решения u1, u2 уравнения (6).

Полагаем действительным (так, что |E|2 не зависит от z, см.

сноску на с. 38, а также замечание на с. 213).

Считаем, что функции u1 и u2 дифференцируемы так, что Считаем, что 2 1. Отметим, что последнее условие имеет место только в случае, если 1 0, если же 1 0, то 2 0.

Гл. 13. ТМ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин. §3. Решение дифференциальных уравнений и условия сопряжения Вне волновода = 1 0. Тогда система дифференциальных уравнений (6) при R примет вид Выражая функцию u1 из первого уравнения u1 = k2 u2 и подставляя ее во второе уравнение системы (7), получим уравнение для функции u2 :

Последнее уравнение после элементарных преобразований приводится к уравнению Бесселя:

Обозначая k2 = k0 2 2, из (6) получим систему дифференциальных уравнений внутри волновода:

где f1 = k0 |u|2 u1, f2 = k0 |u|2 u2 и |u|2 = u2 +u2, u = (u1, u2 )T.

Как известно, касательные составляющие электромагнитного поля непрерывны на границе раздела сред. В рассматриваемом случае касательными составляющими являются компоненты Ez и H. Из этого условия получаем где постоянная Ez = u2 (R) = Ez (R + 0) считается известной.

222 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах Компонента E является нормальной компонентой и на границе раздела сред испытывает конечный скачок, однако величина E на границе раздела сред непрерывна.

Из вышесказанного мы получаем условия сопряжения для функций u1 и u2 :

где [f ]x=x0 = lim f (x) lim f (x) обозначает скачок функxx0 0 xx0 + ции на границе раздела сред.

Из первого условия (10) легко получаем, что Сформулируем теперь краевую задачу на собственные значения (задача Р), к которой свелась исходная задача о распространяющихся поверхностных волнах цилиндрического волновода. Требуется отыскать собственные значения и соответствующие им не равные одновременно тождественно нулю на полубесконечном интервале 0 функции u1 (), u2 (), удовлетворяющие условиям непрерывности (см. §3) и такие, что u1 (), u2 () удовлетворяют системе уравнений (9) на интервале (0, R), уравнениям (7) на интервале (R, +), условиям сопряжения (10) и условиям экспоненциального убывания функций u1 (), u2 () на бесконечности при. Спектральным параметром задачи является вещественное число.

С учетом условий на бесконечности решение системы уравнений (7) имеет вид где C – произвольная постоянная; K0 (z) = i H0 (iz) – функция Макдональда [25].

Заметим, что при формулировке задачи Р можно было требовать только ограниченности функций u1 (), u2 () на бесконечности, а не экспоненциального убывания. Действительно, общее Гл. 13. ТМ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин. решение уравнения (8) является линейной комбинацией двух цилиндрический функций [22], одна из которых (функция Макдональда K0 (z)) экспоненциально убывает на бесконечности, а другая – экспоненциально возрастает на бесконечности, и поэтому должна быть отброшена в силу условия ограниченности решений. Таким образом, любое ограниченное решение u1 (), u2 () системы (7) будет экспоненциально убывающим на бесконечности.

§4. Нелинейное интегральное уравнение и дисперсионное уравнение Рассмотрим систему нелинейных уравнений (9). Из первого уравнения системы получаем и подставляем ее во второе уравнение, которое и будем решать:

1 k12 (u2 f1 ) 1 (u2 ) k0 2 u2 = f2. Оно приводится к дифференциальному уравнению второго порядка с линейной частью Lu2 (u2 ) + k2 u2.

С помощью введения соответствующей функции Грина линейную часть (дифференциальный оператор L) можно обратить и получить более удобное для исследования интегродифференциальное уравнение.

Уравнение (15) может быть переписано в виде где Помним, что f1 зависит от u1.

224 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах Построим функцию Грина для краевой задачи:

где дифференциальный оператор определяется формулой Используя метод построения функции Грина, описанный в [22], получаем Здесь J0 () – функция Бесселя нулевого порядка; N0 () – функция Неймана нулевого порядка [25]. Функция Грина существует при таких значениях параметров, что J0 (k2 R) = 0.

Рассмотрим уравнение (15). Используем вторую формулу Грина:

и, полагая v = G, получаем так как из (17) видно, что G(R, s) = 0.

Используя формулу (15), получаем, что Далее из (16) получаем, что Теперь, применяя только что полученные результаты, из (14) получаем нелинейное интегральное уравнение относительно u2 (s) на интервале (0, R):

тогда из (13) получаем Легко видеть, что при умножении в (1) функций E, H на произвольную константу C0 = 0 и коэффициента нелинейности на C0 система уравнений Максвелла не изменяется. Это обстоятельство дает возможность выбора дополнительного условия нормировки. Выберем условие нормировки в виде C = 1.

Тогда из условий сопряжения (10), (11) и формул (12) получаем 226 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах Из формул (12) и (21) получаем дисперсионное уравнение при условии, что функции u1, u2 являются решением системы уравнений (здесь использованы формулы (12), (18), (19) и (20)) u (s) = Отметим, что в системе (23) все функции определены только на интервале (0, R) и могут быть найдены независимо от условий сопряжения и дисперсионного соотношения. Ниже будет показано, что при определенных условиях система (23) имеет единственное решение и будет указан способ его нахождения.

Преобразуем систему (23) к более удобному виду, не содержащему производных под интегралом от неизвестных функций.

Для этого сначала преобразуем первое слагаемое в правой части уравнений системы (23), используя формулу интегрирования по частям и учитывая, что W = k22 k2 (f1 ) f2 :

Далее имеем Теперь подставим в формулу явное выражение для функции Грина, получим 228 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах k2 sf1 (s) J0 (k2 s)N0 (k2 s) N0 (k2 s)J0 (k2 s) = f1 (s).

Гл. 13. ТМ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин. После преобразований получим окончательный вид системы интегральных уравнений:

где Для представления системы (24) в виде матричного оператора введем матрицу ядер:

где индексы у функции G обозначают частные производные, и матрицу коэффициентов:

а также матричный линейный интегральный оператор:

с операторами Kmn, связанный с системой (24), где g = (g1, g2 )T.

230 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах Тогда система интегральных уравнений может быть записана в операторном виде где h = (h1, h2 )T, а оператор J определяется формулой Отметим, что операторы K, J являются линейными.

Введем также два линейных оператора N := (K J) и N0 := K J.

Будем рассматривать уравнение (30) в пространстве непрерывных функций C[0, R] = C[0, R] C[0, R] с нормой §5. Исследование ядер интегральных операторов Для изучения интегрального оператора (29) рассмотрим ядра соответствующих интегральных операторов.

Пусть = (0, R) (0, R). Используя свойства функций Бесселя и Неймана, докажем, что функции k11 (, s) и k22 (, s) непрерывны в (замкнутом) квадрате = [0, R] [0, R]. Функция k12 (, s) ограничена в и непрерывна в T и в T \{0}, функция k21 (, s) ограничена в и непрерывна в T и в T, где Гл. 13. ТМ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин. или для (0, s0 ) T Под непрерывностью функции f (, s) в T \{0} понимается, что функция непрерывна во всех точках T (в вышеуказанном смысле), за исключением точки = 0, s = 0. При этом функция f (, s), непрерывная в T и в T, не будет непрерывна в.

Для того чтобы доказать сформулированные выше свойства ядер, необходимо проверить только поведение функций k11 (, s), k22 (, s), k12 (, s) и k21 (, s) в нуле, т.е. в точке = 0, s = 0.

Вычислим пределы функции Грина и ее производных при 0, s 0. При x 0 имеем Запишем функцию Грина в виде Тогда, вычисляя производную, будем иметь 232 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах где o(1) означает функцию (, s), для которой lim (, s) = 0.

Так как s, то функция ограничена в окрестности точки = 0, s = 0. Отметим, что предел этой функции при 0, s 0 не существует. Аналогично имеем Вычисляя предел, получаем Гл. 13. ТМ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин. Таким образом, функция не будет непрерывной в нуле, но остается ограниченной в окрестности нуля. Здесь N1 () – функция Неймана 1-го порядка [25].

Далее вычислим производную:

Теперь вычислим предел:

Аналогично имеем Вычисляя предел, получим 234 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах Таким образом, функция тоже не будет непрерывной в нуле, но остается ограниченной в окрестности нуля.

Для вторых производных находим Вычислим предел:

Гл. 13. ТМ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин. Далее аналогично получаем Вычисляя предел, будем иметь Таким образом, функция является непрерывной в нуле.

Итак, доказано Утверждение 1. Функции k11 (, s) и k22 (, s) непрерывны в квадрате = [0, R][0, R]. Функция k12 (, s) ограничена в и непрерывна в T и в T \{0}, функция k21 (, s) ограничена в и непрерывна в T и в T.

Далее вычислим значения остальных функций, входящих в (25) и (26). Имеем G(R, s) 236 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах Аналогично для второй производной получим Перечисленные свойства ядер позволяют утверждать ограниченность оператора K : C[0, R] C[0, R]. Очевидно, что оператор J : C[0, R] C[0, R] также ограничен. Соответствующее утверждение с оценками норм операторов будет дано в следующем параграфе.

§6. Оценки норм интегральных операторов Оценим нормы интегральных операторов в пространстве C[0, R] = C[0, R] C[0, R], которые потребуются в дальнейшем.

Рассмотрим сначала скалярный случай. Пусть интегральный оператор задан формулой с ограниченным, кусочно-непрерывным в квадрате [0, R] [0, R] ядром K(x, y), тогда Следовательно, Таким образом, для нормы оператора K : C[0, R] C[0, R] имеем оценку K CC M0. Отметим, что если ядро интегрального оператора K(x, y) непрерывно в квадрате [0, R] [0, R], то имеет место равенство K CC = M0 [29]. Итак, верно Утверждение 2. Пусть K : C[0, R] C[0, R] – интегральный оператор, заданный формулой (34) с кусочно-непрерывным в квадрате [0, R] [0, R] ядром K(x, y). Тогда он ограничен и верна оценка для его нормы где Рассмотрим векторный случай. Пусть матричный линейный интегральный оператор K = {Kmn } с ограниченными ядрами Knm (x, y), обладающими свойствами, сформулированными в утверждении 1.

Тогда имеют место оценки 238 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах

CC C CC C

CC C CC C

Утверждение 3. Пусть K : C[0, R] C[0, R] – интегральный оператор, заданный формулой (35) с ограниченными в квадрате [0, R] [0, R] ядрами Knm (x, y), заданными формулами (27) и (28). Тогда он ограничен и верна оценка для его нормы где §7. Итерационный метод решения системы интегральных уравнений Приближенные решения un (r) = (un (r), un (r))T, r [0, R] системы интегральных уравнений (24) могут быть определены с помощью итерационного процесса метода сжимающих отображений:

Гл. 13. ТМ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин. Докажем, что последовательность un (r), un (r) равномерно сходится к решению системы уравнений (24) вследствие того, что правая часть системы уравнений (24) определяет сжимающий оператор. Ниже при записи норм операторов не будем писать индекс, поскольку из контекста ясно о каком – векторном или скалярном – пространстве идет речь.

Теорема 1. Пусть Br0 {u : u r0 } – шар радиуса r с центром в нуле и выполнены два условия:

Тогда существует и единственно решение u Br0 уравнения (30) (или системы (24)), и последовательность приближенных решений un Br0 уравнения (30) (или системы (24)), определяемых посредством итерационного алгоритма (или (36)), сходится в норме пространства C[0, R] к (единственному) точному решению u Br0 уравнения (30) (или системы (24)) при любом начальном приближении u0 Br0 со скоростью геометрической прогрессии с показателем q.

Доказательство. Рассмотрим уравнение u = A(u) с нелинейным оператором в пространстве C[0, R], где h определяется формулами (32), (33).

240 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах Докажем оценку (39). Действительно, Учитывая, что и, аналогично, получаем, что поэтому Получаем, что Гл. 13. ТМ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин. Отсюда следует оценка (39). Так как то при выполнении условия (38) оператор A отображает шар Br0 в себя. Из оценок (37) и (38) следует, что оператор A является сжимающим в шаре Br0. Тогда все утверждения теоремы следуют из принципа сжимающих отображений [48]. Теорема доказана.

Нетрудно видеть, что выбрав достаточно большой радиус шара r0, чтобы выполнялась оценка h r0, а потом выбрав достаточно малое, можно удовлетворить оценкам (37) и (38).

Разберем условие (38) более подробно. В последующих рассуждениях нам понадобится следующее вспомогательное числовое кубическое уравнение:

где норма оператора N = K J 0.

Рассмотрим уравнение и функцию y(r0 ) := r0 N r0.

Легко показать, что функция y(r0 ) имеет только одну положительную точку максимума: rmax = 1, значение функции два неотрицательных корня неравенствам Эти корни нетрудно выписать как решения следующего кубического уравнения:

242 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах Итак, доказано следующее утверждение.

Лемма 1. Если выполняется неравенство то уравнение (41) имеет два неотрицательных решения r и Докажем, что если выполняется условие (46), то уравнение (30) имеет единственное решение в шаре Br {u : u r }.

и N0 := K J ( 0), то уравнение (30) имеет единственное решение в шаре Br {u : u r }, являющееся непрерывной функцией: u C[0, R], u r.

Доказательство. Если u Br, то Гл. 13. ТМ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин. Так как A2, то вектор h удовлетворяет условию (46).

Поэтому выполняется неравенство (45), откуда получаем, что q = 3r K J = 3 N r 1. Следовательно, выполняются оба неравенства (37) и (38).

Таким образом, A отображает Br в себя и является сжимающим оператором на Br. Поэтому уравнение (30) имеет единственное решение в Br. Теорема доказана.

Отметим, что A 0 и не зависит от.

В нескольких следующих параграфах будут доказаны результаты о свойствах решений краевой задачи, в частности утверждение о существовании собственных значений для нелинейной задачи на собственные значения, т.е. существование решений дисперсионного уравнения (22) при некоторых достаточных условиях, наложенных на параметры задачи. Основным методом при доказательстве будет метод малого параметра. В данном случае малым является параметр нелинейности. Такой подход является естественным, так как известно [3], что закон Керра (который предполагается выполненным в этой работе) справедлив именно при малых.

§8. Теорема о непрерывной зависимости решения от спектрального параметра В дальнейшем нам понадобится утверждение о зависимости решений интегрального уравнения (30) от параметра. Перепишем уравнение (30) в форме где оператор 244 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах с матричными ядрами определен формулами (24)–(31).

Теорема 3. Пусть ядра матричного оператора N и правая часть h уравнения (30) непрерывно зависят от параметра 0, N() C(0 ), h() C(0 ), на некотором отрезке вещественной числовой оси. Пусть также Тогда решения u() уравнения (30) при 0 существуют, единственны и непрерывно зависят от параметра, u() C(0 ).

Доказательство. Рассмотрим уравнение (30). Существование и единственность решений u() при условиях теоремы следует из теоремы 2. Докажем непрерывную зависимость этих решений от спектрального параметра.

Нетрудно видеть из формулы (43), что r () непрерывно зависит от на отрезке 0. Пусть r = max r () и максимум достигается в точке, r ( ) = r. Выберем + 0, тогда Далее, пусть Q0 = max(3r () N() ) и максимум достигается в точке 0, Q0 = 3r () N(). Тогда Q0 1 в силу условия (47) теоремы.

Предположим сначала, что Тогда имеют место следующие оценки:

Гл. 13. ТМ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин. поэтому (см. доказательство теоремы 2) Здесь было использовано условие (48).

где Q0 и r не зависят от.

Пусть теперь u() u( + ). Тогда все предыдущие оценки остаются в силе, если заменить аргументы на +, а + на. Таким образом, оценка (49) также остается в силе, откуда следует утверждение теоремы. Теорема доказана.

246 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах §9. Теоремы о существовании и единственности решений дисперсионного уравнения и задачи на собственные значения Перепишем дисперсионное уравнение (22) более подробно в следующем виде:

где u1 (R 0) найдем из первого уравнения системы (24).

Используя формулу (17) для функции Грина и формулу J1 (z)N0 (z) J0 (z)N1 (z) = z, легко показать, что справедливы следующие соотношения:

Теперь, используя только что полученные результаты и первое уравнение системы (24), найдем мы помним, что f1 = k0 |u|2 u1 и f2 = k0 |u|2 u2.

Соберем все слагаемые, не содержащие параметр нелинейности a, в левой части уравнения, а остальные слагаемые – в правой части, получим Гл. 13. ТМ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин. где Умножим на k1k2 J0 (k2 R) левую и правую части уравнения (50); учитывая, что k2 = k0 2 2 и K0 (z) = K1 (z), получим где Видно, что функция (53) неявно зависит от параметра нелинейности, поскольку она выражается через решение системы интегральных уравнений (24), которое, в свою очередь, зависит от. Однако эту функцию можно будет оценить константой (в некотором шаре), не зависящей от, что позволит сделать правую часть (52) достаточно малой, выбрав достаточно малое. Смысл вышеприведенных преобразований состоит в том, что правая часть (52) содержит параметр нелинейности, который, вообще говоря, является малым (исходя из физических соображений) в законе Керра. Ниже это обстоятельство будет использовано. Уравнение (52) и система (24), по существу, будут рассматриваться как уравнения с малым параметром.

248 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах Рассмотрим левую часть уравнения (52). Она соответствует дисперсионному уравнению для линейной среды внутри волновода, т.е. при = 0 (см., например, [32, 83]):

m-й положительный корень уравнения J0 (x) = 0, а j1m – m-й положительный корень уравнения J1 (x) = 0; m = 1, 2,...

Известно [25], что j01 j11 j02 j12 j03 j13...

Очевидно, что Отсюда следует (учитывая, что при x 0 функции K0 (x) и K1 (x) положительны), что мере один корень 0i уравнения g() = если k0 1 1i и Прежде чем доказывать теорему о существовании собственных значений для нелинейной краевой задачи P, заметим, что точки 2i являются полюсами функции Грина (17). В этих точках функция Грина не определена. Поэтому выберем такие (достаточно малые) числа i 0, чтобы выполнялись условия:

Образуем отрезки i := 1i, 2i i. При условиях (54) и (55) функция g() имеет разные знаки на разных концах i и Гл. 13. ТМ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин. гда верна Теорема 4. Пусть числа 1, 2, удовлетворяют условиям и выполняется условие для определенного m 1. Тогда существует по крайней мере m значений i, i = 1,..., m, 1i i 2i i таких, что задача P имеет ненулевое решение.

Доказательство. В силу выбора чисел i 0 (i 1) (см.

условия (54) и (55)) функция Грина существует для всех.

Из ядер и правых частей матричного интегрального оператора следует, что A = A() – непрерывная функция на отрезке. Пусть A1 = min A() и выберем A2. В соответствии с теоремой 2 существует единственное решение u = u() системы уравнений (24) для каждого. Это решение является непрерывной функцией, причем u r = r (). Положим r00 = max r (). Оценивая функцию (53), получаем Функция g() непрерывна, и уравнение g() = 0 имеет корень 0i внутри отрезка i, 1i 0i 2i. Обозначим 250 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах Тогда число M = min{M1, M2 } положительно (M 0) и не зависит от параметра a.

Так как g() F (, R; u) также непрерывная функция, то уравнение g() F (, R; u) = 0 имеет корень i внутри i, Теорема доказана.

Из теоремы 4 следует, что при условиях, сформулированных выше, существуют осесимметричные распространяющиеся ТМ-поляризованные волны без затухания в цилиндрических диэлектрических волноводах кругового сечения, заполненных немагнитной, изотропной средой с нелинейностью, выраженной законом Керра. Этот результат обобщает известное соответствующее утверждение для диэлектрических волноводов круглого сечения с заполнением линейной средой (при = 0) [37].

Из условия 1m k0 1 следует, что R2 ( )k2. Таким образом, радиус R не может быть произвольно малым (по аналогии с существованием радиуса «отсечки» в линейном случае).

Учитывая этот факт, достаточные условия для существования нетривиального решения рассматриваемой проблемы зависят не только от малости параметра нелинейности a, но также и от радиуса R и параметра 2 волновода.

§10. Итерационный метод решения системы интегральных уравнений и оценка скорости сходимости Приближенные решения un (s) = (un (s), un (s))T системы интегральных уравнений (24) могут быть определены с помощью итерационного процесса Гл. 13. ТМ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин. Как доказано в теореме 1, последовательность u(s) равномерно сходится к решению u(s) = (u1 (s), u2 (s))T уравнения (24).

Известна также оценка для скорости сходимости итерационного алгоритма [48]. В частности, если выбрать в качестве начального приближения u0 (s) = (0, 0)T, то получаем следующую оценку скорости сходимости итерационного процесса.

Утверждение 4. Пусть u0 = (0, 0)T. Последовательность приближенных решений un = (un, un )T системы уравнений (24), определяемых посредством итерационного алгоритма (58), существует и сходится в норме пространства C[0, R] к (единственному) точному решению u системы уравнений (24) и верна оценка скорости сходимости:

где q := 3r K J 1 – коэффициент сжатия отображения.

§11. Теорема о сходимости итерационного метода Теперь сформулируем итерационный метод нахождения приближенных собственных значений краевой задачи P и докажем теоремы о существовании и сходимости приближенных собственных значений к точным.

Теорема 5. Пусть существуют 1, 2, a, удовлетворяющие условиям 2 1 0, 0 0, где 0 определяется соотношением (56), и выполняется условие (57) для определенного m 1. Тогда для каждого n 0 существует по крайней мере m значений i, i = 1,..., m, удовлетворяющих неравенствам 1i i 2i i и являющихся корнями уравнения ся соотношением (58).

252 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах Доказательство. Для каждого n 0 функции un непрерывны согласно (58). Таким образом, для доказательства достаточно повторить доказательство теоремы 4, если заменить u на un и проверить условия un r = r (). Это неравенство выполняется, так как все итерации un лежат внутри шара Br [48], если начальное приближение лежит в шаре Br (что имеет место).

Теорема 5 утверждает существование приближенных собственных значений краевой задачи P. Уравнение (59) является приближенным дисперсионным уравнением для краевой задачи P. Оно отличается от точного дисперсионного уравнения только тем, что вместо (вообще говоря, неизвестного) вектора u в формулах используется (известный!) вектор un.

Следующая теорема утверждает сходимость приближенных собственных значений к точным.

Теорема 6. Пусть существуют 1, 2, a, удовлетворяющие условиям 2 1 0, 0 0, где 0 определяется соотношением (56), и выполняется условие (57) для определенноn) го m 1. Пусть i и i – соответственно точное и приближенное собственные значения проблемы P на отрезке i (i, i – корни точного и приближенного дисперсионных уравn) при n.

Доказательство. Рассмотрим функции Тогда, используя оценку (40) и формулы (51)–(53), находим где постоянная C не зависит от n, а все другие величины определены выше.

Гл. 13. ТМ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин. При выполнении условий теорем 4 и 5 существуют решеn) ния i и i точного и приближенного дисперсионного уравнений () = 0 и n () = 0 (n 0). Также при доказательстве теорем 4 и 5 было установлено, что непрерывные функции (), n () меняют свой знак на концах отрезка i. Тогда доказательство теоремы следует из оценки (60).

§12. Численный метод Численный метод для расчета приближенных собственных значений и приближенных собственных векторов нелинейной краевой задачи P реализован следующим образом.

На отрезке [0, R] вводится равномерная сетка j = jH0, j = 0, N 1, где H0 = R/N. Все интегралы от функций по отрезку [0, R] вычисляются методом прямоугольников на этой сетке с узлами = jH0 + H0 /2. Функция un рассматривается как сеj точная функция, заданная в узлах. Точнее, un () = un ( ) На отрезке i вводится равномерная сетка ij = 1i + jhi, j = 0, Ni 1, с шагом hi = 2i i 1i /Ni (шаг выбирается достаточно мелким). Затем вычисляются значения (ij ) и определяются отрезки перемены знака (ij ) на концах отрезков, т.е. находятся отрезки [ij, i,j+1 ], для которых выполняется условие (ij )(i,j+1 ) 0. На каждом из этих отрезков значение локализованного корня уравнения () = 0 уточнялось методом дихотомии. Таким образом, получаются приближенные собственные значения i, которые за счет выбора шагов H0 и hi могут быть сделаны сколь угодно близкими к значениям i.

Итерационный процесс (58) решения системы интегральных уравнений (24) (при фиксированном ) начинается с нулевого 254 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах приближения u0 (s) = (0, 0)T и заканчивается, когда выполняется оценка max un+1 ( ) un ( ) для некоторого достаj j точно малого 0.

[1] Адамс М. Введение в теорию оптических волноводов. – М.:

Мир, 1984.

[2] Ахманов С. А., Хохлов Р. В. Проблемы нелинейной оптики. – М.: ВИНИТИ, 1964.

[3] Ахмедиев Н. Н., Анкевич А. Солитоны, нелинейные импульсы и пучки. – М.: Физматлит, 2003.

[4] Банков С. Е. Аналитическое исследование фокусировки электромагнитного поля линзой Веселаго // Радиотехника и электроника. – 2009. – Т. 54. – № 2. – С. 133–143.

[5] Баутин Н. Н., Леонтович Е. А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. – М.: Наука, 1990.

[6] Бейкер Г. Ф. Абелевы функции. Теорема Абеля и связанная с ней теория тэта-функций. – М.: МЦНМО, 2008.

[7] Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. – М.: Наука, 1974. Т. 2.

[8] Бибиков Ю. Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Высшая школа, 1991.

[9] Бломберген Н. Нелинейная оптика. – М.: Мир, 1966.

[10] Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны. – М.: Советское радио, 1957.

[11] Валовик Д. В. Задача о распространении электромагнитных волн в слое с произвольной нелинейностью (I. ТЕволны) // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. – [12] Валовик Д. В. Задача о распространении электромагнитных волн в слое с произвольной нелинейностью (II. ТМволны) // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. – [13] Валовик Д. В. О существовании решений нелинейной краевой задачи на собственные значения для ТМполяризованных электромагнитных волн // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки. – 2008. – № 2. – С. 86–94.

[14] Валовик Д. В. Электромагнитная задача дифракции ТМволн на нелинейном полубесконечном слое // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки. – 2007. – № 2. – С. 19–25.

[15] Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г. Дисперсионные уравнения в задаче о распространении электромагнитных волн в линейном слое и метаматериалы // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. – № 1. – С. 28–42.

[16] Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г. Нелинейная задача на собственные значения для ТМ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном слое // Известия вузов. Математика. – 2008. – № 10. – С. 70–74.

[17] Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г. О распространении ТМполяризованных электромагнитных волн в нелинейном слое с нелинейностью, выраженной законом Керра // Журн. выч. мат. и мат. физ. – 2008. – T. 48. – № 12. – С. 2186–2194.

[18] Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г. Распространение ТМполяризованных электромагнитных волн в нелинейном слое с нелинейностью, выраженной законом Керра // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.

Физико-математические науки. – 2007. – № 3. – С. 35–45.

[19] Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г. Расчет постоянных распространения и полей для поляризованных электромагнитных ТМ-волн в нелинейном анизотропном слое // Радиотехника и электроника. – 2009. – T. 54. – № 4. – С. 411–417.

[20] Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г. Расчет постоянных распространения ТМ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном слое // Радиотехника и электроника. – 2008. – [21] Веселаго В. Г. Электродинамика веществ с одновременно отрицательными значениями и // Усп. физ. наук. – 1967. – Т.92. – № 7. – С.517–526.

[22] Владимиров В. С. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1981.

[23] Гольдштейн Л. Д., Зернов Н. В. Электромагнитные поля и волны. – М.: Советское радио, 1971.

[24] Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. – М.: Наука, 1965.

[25] Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. – М.: ГИФМЛ, 1962.

[26] Дубровин Б. А. Римановы поверхности и нелинейные уравнения. – М.; Ижевск, 2001.

[27] Ефимов И. Е., Шермина Г. А. Волноводные линии передачи. – М.: Связь, 1979.

[28] Зигель К. Автоморфные функции нескольких комплексных переменных. – М.: ИЛ, 1954.

[29] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1989.

[30] Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. – М.: Наука, 1968.

[31] Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. – М.:

Высшая школа, 1981. Т. 2.

[32] Левин Л. Теория волноводов. – М.: Радио и Связь, 1981.

[33] Маныкин Э. А. Взаимодействие излучения с веществом.

Феноменология нелинейной оптики. – М.: МИФИ, 1996.

[34] Маркушевич А. И. Введение в классическую теорию абелевых функций. – М.: Наука, 1979.

[35] Мидвинтер Дж. Э. Волоконные световоды для передачи информации. – М.: Радио и связь, 1983.

[36] Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической физики. – М.: Наука, 1978.

[37] Никольский В. В. Теория электромагнитного поля. – М.:

Высшая Школа, 1961.

[38] Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Изд-во МГУ, 1984.

[39] Риман Б. Сочинения. – М.: ГИТТЛ, 1948.

[40] Самарский А. А., Тихонов А. Н. О представлении поля в волноводе в виде суммы полей ТЕ и ТМ // Журнал теоретической физики. – 1948. – Т. 18. – № 7. – С. 971–985.

[41] Смирнов Ю. Г., Куприянова С. Н. Распространение электромагнитных волн в цилиндрических волноводах, заполненных нелинейной средой // Журн. выч. мат. и мат.

физ. – 2004. – Т. 44. – № 10. – С. 1850–1860.

[42] Смирнов Ю. Г., Куприянова С. Н. Метод интегральных уравнений для неоднородного волновода с нелинейным заполнением по закону Керра // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2008. – № 4. – С. 3–9.

[43] Смирнов Ю. Г., Куприянова С. Н. Численный метод в задаче о распространении электромагнитных волн в цилиндрических диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средой // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. – 2003. – № 6. – С. 29–42. – (Естественные науки).

[44] Смирнов Ю. Г., Сысова Е. В. Решение задачи дифракции электромагнитной ТЕ-волны на диэлектрическом слое с нелинейностью некерровского типа // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. – 2006. – № 5. – С. 116–121. – (Естественные науки).

[45] Смирнов Ю. Г., Хорошева Э. А. Распространение электромагнитных ТМ-волн в круглых диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средой // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. – 2006. – № 5. – С. 106–115. – (Естественные науки.) [46] Смирнов Ю. Г., Хорошева Э. А. О разрешимости нелинейной краевой задачи на собственные значения для распространяющихся ТМ-волн в круглом нелинейном волноводе // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. – № 3 [принята к печати].

[47] Смирнов Ю. Г., Хорошева Э. А., Медведик М. Ю. Численное решение задачи о распространении электромагнитных ТМ-волн в круглых диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средой // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. – № 1. – С. 2–13.

[48] Треногин В. А. Функциональный анализ. – М.: Наука, [49] Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Мир, 1970.

[50] Хорошева Э. А. Задача о распространении электромагнитных ТМ-волн в цилиндрических диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средой // Труды XXVIII конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ. – М.: МГУ, 2006. – С. 218–223.

[51] Чеботарев Н. Г. Теория алгераических функций. – М.:

ГИТТЛ, 1948.

[52] Шатров А. Д. О разрешимости задач возбуждения плоскослоистых сред из метаматериалов // Радиотехника и электроника. – 2007. – Т. 52. – № 8. – С. 909–916.

[53] Шатров А. Д. Электродинамический анализ линзы Пендри // Радиотехника и электроника. – 2007. – Т. 52. – № 12. – С. 1430–1435.

[54] Шевченко В. В. К волновой теории плоской линзы из отрицательного материала // Радиотехника и электроника. – 2008. – Т. 53. – № 9. – С. 1121–1127.

[55] Agranovich V. M., Babichenko V. S., Chernyak V. Ya. Sov.

Phys. JETP Lett. – 1981. – № 32. – Р. 512.

[56] Boardman A. D., Egan P. IEEE J. Quantum Electron. – [57] Boardman A. D., Maradudin A. A., Stegeman G. I., Twardowski T., Wright E. M. Phys. Rev. – 1987. – A 35. – [58] Chen Qin, Zi Hua Wang Exact dispersion relation for TM waves guided by thin dielectric lms bounded by nonlinear media // Optics letters. – 1993. – Vol. 18. – № 4. – P. 1–3.

[59] Chiao R. Y., Garmire E., Townes C. Phys. Rev. Lett. – 1964. – [60] Eleonskii P. N., Oganes’yants L. G., Silin V. P. Cylindrical Nonlinear Waveguides // Soviet Physics Jetp. – 1972. – [61] Eleonskii P. N., Silin V. P. Nonlinear theory of penetration of p-polarized waves into a conductor // Soviet Physics JETP. – 1971. – М. 33. – № 5. – P. 1039–1044.

[62] Joseph R. I., Christodoulides D. N. Exact eld decomposition for TM waves in nonlinear media // Opt. Lett. – 1987. – Vol. 12. – № 10. – P. 826–828.

[63] Kaplan A. E. JETP Lett. – 1976. – № 24. – Р. 114.

[64] Kaplan A. E. Sov. Phys. JETP. – 1977. – № 45. – Р. 896.

[65] Khoo I. C. Phys. Rev. – 1982. – A 25. – Р. 1040.

[66] Kumar D., Choudhury P. K. Introduction to modes and their designation in circular and elliptical bers // Am. J. Phys. – 2007. – Vol. 75. – № 6. – P. 546–551.

[67] Langbein U., Lederer F., Peschel T., Ponath H.-E. Opt. Lett. – [68] Leung K. M., Lin R. L. Scattering of transverse-magnetic waves with a nonlinear lm: Formal eld solutions in quadratures // Phys. Rev. B. – 1991. – Vol. 44. – № 10. – P. 5007–5012.

[69] Leung K. M. Р-polarized nonlinear surface polaritons in materials with intensity-dependent dielectric functions // Physical Review B. – 1985. – Vol. 32. – № 8. – Р. 5093-5101.

[70] Marques R., Martin F., Sorolla M. Metamaterials with Negative Parameters. Theory, Design, and Microwave Applications. – Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons Inc., [71] Sammut R. A., Pask C. Gaussian and equivalent-step-index approximations for nonlinear waveguides // Journal of the Optical Society of America B. – 1991. – Vol. 8. – № 2. – P. 395– [72] Schrmann H. W., Schmoldt R. Optical response of a nonlinear absorbing dielectric lm // Optics Letters. – 1996. – Vol. 21. – № 6. – P. 387–389.

[73] Schrmann H. W., Serov V. S., Shestopalov Yu. V. Reection and transmission of a plane TE-wave at a lossless nonlinear dielectric lm // Physica D. – 2001. – № 158. – P. 197–215.

[74] Schrmann H. W., Serov V. S., Shestopalov Yu. V. Solutions to the Helmholtz equation for TE-guided waves in a three-layer structure with Kerr-type nonlinearity // J. Phys. A: Math.

Gen. – 2002. – Vol. 35. – Р. 10789-10801.

[75] Schrmann H. W., Serov V. S., Shestopalov Yu. V. TEu polarized waves guided by a lossless nonlinear three-layer structure // Phys. Rev. E. – 1998. – Vol. 58. – Р. 1040-1050.

[76] Schrmann H. W., Smirnov Yu. G., Shestopalov Yu. V.

Propagation of TE-waves in cylindrical nonlinear dielectric waveguides // Physical Review E. – 2005. – Vol. 71. – № 1. – P. 016614-1–016614-10.

[77] Seaton C. T., Valera J. D., Shoemaker R. L., Stegeman G. I., Chilwel J. T., Smith S. D. IEEE J. Quantum Electron. – [78] Seaton C. T., Valera J. D., Svenson B., Stegeman G. I. Opt.

Lett. – 1985. – № 10. – Р. 149.

[79] Serov V. S., Shestopalov Yu. V., Schrman H. W. Propagation of TE waves through a layer having permittivity depending on the transverse coordinate and lying between two half-innite nonlinear media // Dokl. Maths. – 1999. – Vol. 60. – Р. 742– [80] Serov V. S., Shestopalov Yu. V., Schrmann H. W. Existence of eigenwaves and solitary waves in lossy linear and lossless nonlinear layered waveguides // Dokl. Maths. – 1996. – Vol. 53. – Р. 98–100.

[81] Smirnov Yu. G., Schrmann H. W., Shestopalov Yu. V.

Integral equation approach for the propagation of TE-waves in a nonlinear dielectric cylindrical waveguide // Journal of Nonlinear Mathematical Physics. – 2004. – Vol. 11. – № 2. – P. 256–268.

[82] Smirnov Yu. G., Valovik D. V. Boundary eigenvalue problem for Maxwell equations in a nonlinear dielectric layer // Applied Mathematics. – 2010. – № 1. – P. 29–36.

[83] Snyder A., Love J. Optical Waveguide Theory. – London:

Chapman and Hall, 1983.

[84] Solymar L., Shamonina E. Waves in Metamaterials. – Oxford:

Oxford University Press, 2009.

[85] Tomlinson W. J. Opt. Lett. – 1980. – № 5. – Р. 323.

[86] Zeidler E. Aplied Functional Analysis. – New York, Berlin, Heidelberg: Springer, 1997.

ВАЛОВИК Дмитрий Викторович СМИРНОВ Юрий Геннадьевич

РАСПРОСТРАНЕНИЕ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН

В НЕЛИНЕЙНЫХ СЛОИСТЫХ СРЕДАХ

Компьютерная верстка Д. В. Валовика Подписано в печать 20.08.2010. Формат 6090 1 /16.

Издательство Пензенского государственного университета Пенза, ул. Красная, 40, т.: 8(8412)56-47-

Pages:     | 1 | 2 ||
 
Похожие работы:

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК Институт проблем безопасного развития атомной энергетики А. А. Саркисов, Л. Б. Гусев, Р. И. Калинин ОСНОВЫ ТЕОРИИ И ЭКСПЛУАТАЦИИ СУДОВЫХ ЯДЕРНЫХ РЕАКТОРОВ Под редакцией академика РАН А. А. Саркисова Москва Наука 2008 УДК 621.039 ББК 31.4 С20 Рецензенты: академик РАН Н. С. Хлопкин, доктор технических наук В. И. Швеев Основы теории и эксплуатации судовых ядерных реакторов / А. А. Саркисов, Л. Б. Гусев, Р. И. Калинин ; под общ. ред. акад. РАН А. А. Саркисова ; Ин-т проблем...»

«Волгоградский государственный педагогический университет Николай Михайлович БОРЫТКО ПРОСТРАНСТВО ВОСПИТАНИЯ: ОБРАЗ БЫТИЯ Волгоград 2000 ББК 74(03) Б839 БОРЫТКО Николай Михайлович — канд. пед. наук, доц., докторант кафедры педагогики ВГПУ, зав. кафедрой воспитания и социально-педагогической работы Волгоградского института повышения квалификации специалистов образовательных учреждений Научный редактор: СЕРГЕЕВ Николай Константинович — д-р пед. наук, проф., первый проректор ВГПУ, зав. кафедрой...»

«В.С. Щербаков И.В. Лазута Е.Ф. Денисова АВТОМАТИЗАЦИЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ОСНОВНЫХ ПАРАМЕТРОВ УСТРОЙСТВА УПРАВЛЕНИЯ РАБОЧИМ ОРГАНОМ БУЛЬДОЗЕРНОГО АГРЕГАТА Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) В.С. Щербаков И.В. Лазута Е.Ф. Денисова АВТОМАТИЗАЦИЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ОСНОВНЫХ ПАРАМЕТРОВ УСТРОЙСТВА УПРАВЛЕНИЯ РАБОЧИМ ОРГАНОМ БУЛЬДОЗЕРНОГО...»

«СОЦИОЛОГИЯ НЕФОРМАЛЬНЫХ ОТНОШЕНИЙ: ЭКОНОМИКА, КУЛЬТУРА И ПОЛИТИКА Давыденко В.А., Ромашкина Г.Ф., Абдалова Ю.П., Мездрина Н.В., Тарасова А.Н., Захаров В.Г., Сухарев С.Я. УДК 301.085:178 ББК 60.508.0 С 69 Ответственный редактор доктор социологических наук, профессор Давыденко В. А. Коллектив авторов Давыденко В. А., Ромашкина Г. Ф., Абдалова Ю. П., Мездрина Н. В., Тарасова А. Н. Захаров В.Г., Сухарев С.Я. Социология неформальных отношений: экономика, политика, культура / Коллективная монография...»

«О. М. Морозова БАЛОВЕНЬ СУДЬБЫ: генерал Иван Георгиевич Эрдели 2 УДК 97(47+57)(092) М80 Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского гуманитарного научного фонда (РГНФ) Морозова, О. М. Баловень судьбы: генерал Иван Георгиевич Эрдели / О. М. Морозова. М80 – _ – 225 с. ISBN _ Книга посвящена одному из основателей Добровольческой армии на Юге России генералу И.Г. Эрдели. В основу положены его письма-дневники, адресованные М.К. Свербеевой, датированные 1918-1919 годами. В этих текстах...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тамбовский государственный технический университет Н.И. САТАЛКИНА, С.И. ДВОРЕЦКИЙ, М.Н. КРАСНЯНСКИЙ, В.Е. ГАЛЫГИН, В.П. ТАРОВ, Т.В. ПАСЬКО, Г.И. ТЕРЕХОВА КОММЕРЦИАЛИЗАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ НАУЧНЫХ И ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ: СОСТОЯНИЕ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ Рекомендовано научно-техническим советом университета в...»

«Yaroslavl L П 'теп I 67,400 О мм ч - U|— N1 О. N Tver' М.В. Мархгейм О.Н. Полухин Moscow О.О. Товсшуха О Icebsk QRya an' о о Smolensk Tula А ЗАЩИТА ПРАВ И СВОБОД ЧЕЛОВЕКА И ГРАЖДАНИНА В СФЕРЕ ИСПОЛНИТЕЛЬНОЙ ВЛАСТИ: ОПЫТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ И ГОСУДАРСТВ ЦЕНТРАЛЬНОЙ И ВОСТОЧНОЙ ЕВРОПЫ V; one; монография - у * ovno Kyiv О a tomyr о о Kharkiv о Poltava Э0Г Luga к ;* О ” tnnytsya Dnipropetrovs’k Dor)( §,к ° О Kryvyy Rlh Iti *•••; Mariupol* p КЕР. OF М.В. Мархгейм О.Н. Полухин О.О. Товстуха ЗАЩИТА...»

«АКАДЕМИЯ НАУК СССР ТРУДЫ ПАЛЕОНТОЛОГИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА · Поздне­ мезозойские· HaceKOMble Восточного Забайкалья ТОМ 239 OCHOIIOHЬl 11 году 1932 Ответственный редактор доктор биологических наук А.П. РАСНИЦЫН МОСКВА НАУКА 1990 УДК 565.7:551.762/3 (57J.55) 1990.Позднемезозойские насекомые Восточного Забайкалья. М.: Наука, 223 с. -(Тр. ПИНАНСССР; Т. 239). - ISBN 5-02-004697-3 Монография содержит описания. ' ископаемых насекомых (поденки, полужесткокрылые, жуки, вислокрылки, верблюдки,'...»

«Г. Федоров, Й. фон Браун, В. Корнеевец ОПЫТ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА И ПИЩЕВОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ КАЛИНИНГРАДСКОЙ ОБЛАСТИ Калининград 1997 3 Министерство общего Кильский и профессионального образования университет Российской Федерации Калининградский государственный университет Г. Федоров, Й. фон Браун, В. Корнеевец ОПЫТ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА И ПИЩЕВОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ КАЛИНИНГРАДСКОЙ ОБЛАСТИ Калининград УДК 338.436. Федоров Г.М.,...»

«П.И.Басманов, В.Н.Кириченко, Ю.Н.Филатов, Ю.Л.Юров Высокоэффективная очистка газов от аэрозолей фильтрами Петрянова Москва 2002 УДК 62-733 П.И.Басманов, В.Н.Кириченко, Ю.Н.Филатов, Ю.Л.Юров. Высокоэффективная очистка газов от аэрозолей фильтрами Петрянова. М.: 2002. - 193 стр. Монография посвящена основам широко используемых в России и других странах СНГ метода и техники высокоэффективной очистки воздуха и других газов от аэрозолей волокнистыми фильтрующими материалами ФП (фильтрами Петрянова)....»

«1 Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) А. Н. АСАУЛ, Ю. Н. КАЗАКОВ, Н. И. ПАСЯДА, И.В. ДЕНИСОВА ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА МАЛОЭТАЖНОГО ЖИЛИЩНОГО СТРОИТЕЛЬСТВА В РОССИИ Под редакцией д. э. н., профессора А. Н. Асаула Санкт-Петербург Гуманистика Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) УДК 338. Асаул А. Н., Казаков Ю. Н., Пасяда Н. И., Денисова И.В. Теория и практика малоэтажного жилищного...»

«ИТОГИ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ Самарская Лука: проблемы региональной и глобальной экологии. 2012. – Т. 21, № 1. – С. 5-158. УДК 581.9(470.324) ФЛОРА ВОРОНЕЖСКОГО ГОРОДСКОГО ОКРУГА ГОРОД ВОРОНЕЖ: БИОГЕОГРАФИЧЕСКИЙ, ЛАНДШАФТНОЭКОЛОГИЧЕСКИЙ, ИСТОРИЧЕСКИЙ АСПЕКТЫ © 2012 А.Я. Григорьевская, Л.А. Лепешкина, Д.С. Зелепукин Воронежский государственный университет Поступила 11 января 2011г. Исследование посвящено современному состоянию флоры городского округа г. Воронеж, насчитывающей 1465 видов растений....»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСТИТЕТ ЭКОНОМИКИ, СТАТИСТИКИ И ИНФОРМАТИКИ (МЭСИ) КАФЕДРА УПРАВЛЕНИЯ ЧЕЛОВЕЧЕСКИМИ РЕСУРСАМИ КОЛЛЕКТИВНАЯ МОНОГРАФИЯ ИННОВАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ УПРАВЛЕНИЯ ЧЕЛОВЕЧЕСКИМИ РЕСУРСАМИ Москва, 2012 1 УДК 65.014 ББК 65.290-2 И 665 ИННОВАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ УПРАВЛЕНИЯ ЧЕЛОВЕЧЕСКИМИ РЕСУРСАМИ: коллективная монография / Под редакцией к.э.н. А.А. Корсаковой, д.с.н. Е.С. Яхонтовой. – М.: МЭСИ, 2012. – С. 230. В книге...»

«Лупарев Е.Б. Добробаба М.Б., Мокина Т.В Общая теория публичных правоотношений УДК ББК Л 85, Д 56, М Рецензенты: Доктор юридических наук, профессор Момотов В.В. Доктор юридических наук, профессор Овчинников А.И. Лупарев Е.Б., Добробаба М.Б., Мокина Т.В. Общая теория публичных правоотношений: монография ISBN Монография посвящена изучению одного из малоисследованных вопросов отечественной правовой науки – вопросу общей теории публичных правоотношений в их системной взаимосвязи с отраслевыми...»

«Институт археологии Российской академии наук С.Ю.ВНУКОВ ПРИЧЕРНОМОРСКИЕ АМФОРЫ I В. ДО Н.Э. – II В. Н.Э. (МОРФОЛОГИЯ) Москва 2003 Институт археологии Российской Академии наук С.Ю.ВНУКОВ ПРИЧЕРНОМОРСКИЕ АМФОРЫ I В. ДО Н.Э. – II В. Н.Э. (МОРФОЛОГИЯ) Москва 2003 УДК 902/904 ББК 63.4 В60 Монография утверждена к печати на заседании Ученого совета Института археологии РАН 24.05.2002 Рецензенты: кандидат исторических наук А.А.Завойкин, кандидат исторических наук Ш.Н.Амиров Внуков С.Ю. В60...»

«ФГБУН Северо-Осетинский институт гуманитарных и социальных исследований им. В.И. Абаева ВНЦ РАН и Правительства РСО – А Ф.Х. Гутнов ОБЫЧНОЕ ПРАВО ОСЕТИН Часть I АДАТЫ ТАГАУРСКОГО ОБЩЕСТВА (СПИСОК НОРДЕНСТРЕНГА. 1844 г.) Владикавказ 2012 ББК 63.521(=521.323)-52 Печатается по решению Ученого совета СОИГСИ Гутнов Ф.Х. Обычное право осетин. Часть I. Адаты тагаурского общества (список Норденстренга. 1844 г.): Монография. ФГБУН Сев.-Осет. ин-т гум. и соц. исслед. – Владикавказ: ИПО СОИГСИ, 2012. –...»

«Б.П. Белозеров Фронт без границ 1 9 4 1 - 1 9 4 5 гг. (Историко-правовой анализ обеспечения безопасности фронта и тыла северо-запада) Монография Санкт-Петербург 2001 УДК 84.3 ББК Ц 35 (2) 722 63 28 И-85 Л. 28 Белозеров Б.П. Фронт без границ. 1941-1945 гг. ( и с т о р и к о - п р а в о в о й а н а л и з о б е с п е ч е н и я б е з о п а с н о с т и ф р о н т а и тыла северо-запада). Монография. - СПб.: Агентство РДК-принт, 2001 г. - 320 с. ISBN 5-93583-042-6 Научный консультант: В.Ф. Некрасов —...»

«1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ДАЛЬНЕВОСТОЧНАЯ АКАДЕМИЯ ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ СОЦИАЛЬНОЕ САМОЧУВСТВИЕ И ПОЛОЖЕНИЕ ПОЖИЛЫХ ЛЮДЕЙ В РЕГИОНЕ Исследование выполнено при финансовой поддержке РГНФ в рамках научно-исследовательского проекта № 11-13-27005а/Т Хабаровск-2012 2 УДК 316.35.023.6 ББК 60.542.18 С692 Авторский коллектив: Байков Н.М., д.соц.н., профессор (введение, п. 2.1, заключение); Березутский Ю.В., к.соц.н., доцент (введение, п. 3.2); Бойкова Е.В, преподаватель...»

«Светлана Замлелова Трансгрессия мифа об Иуде Искариоте в XX-XXI вв. Москва – 2014 УДК 1:2 ББК 87:86.2 З-26 Рецензенты: В.С. Глаголев - д. филос. н., профессор; К.И. Никонов - д. филос. н., профессор. Замлелова С.Г. З-26 Приблизился предающий. : Трансгрессия мифа об Иуде Искариоте в XX-XXI вв. : моногр. / С.Г. Замлелова. – М., 2014. – 272 с. ISBN 978-5-4465-0327-8 Монография Замлеловой Светланы Георгиевны, посвящена философскому осмыслению трансгрессии христианского мифа об Иуде Искариоте в...»

«Ученые труды философского факультета Таврического национального университета им. В.И. Вернадского Кемалова Л.И., Парунова Ю.Д. Личность маргинала и возможности её социализации в условиях транзитивного общества Симферополь,2010 2 10-летию Керченского экономико-гуманитарного института Таврического национального университета им. В.И. Вернадского посвящается Л.И. Кемалова, Ю.Д. Парунова Личность маргинала и возможности ее социализации в условиях транзитивного общества Симферополь „Таврия” 2010 3...»








 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.