WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Pages:     | 1 || 3 |

«РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В НЕЛИНЕЙНЫХ СЛОИСТЫХ СРЕДАХ Пенза Издательство ПГУ 2010 УДК 517.958+517.927.4 ББК 22.147 В15 Рецензенты: доктор физико-математических наук, профессор, ...»

-- [ Страница 2 ] --

Подставив поля E и H в уравнения Максвелла (1), получим Из первого и третьего уравнений этой системы видно, что Ez и Ex не зависят от y. Поскольку Hy выражается через Ex и Ez, то Hy также не зависит от y.

Волны, распространяющиеся вдоль границы z раздела сред (а мы ищем именно их), гармонически зависят от z. Значит, компоненты полей E, H имеют представление Тогда из рассмотренной выше системы получаем здесь – неизвестный спектральный параметр (постоянная распространения электромагнитной волны).

Введем обозначения k2 = 2 0 с = 0 и выполним нормировку в соответствии с формулами x = kx, dx = k d, =, 1 = 0, 3 = 0, xx = 0, zz = 0. Переобозначаем Ez Z (), iEx X () и, опуская значок тильды, систему (2) приведем к виду Из последней системы легко получаем где Будем искать те действительные значения спектрального параметра, для которых существуют действительные решения X (x), Z (x) системы (3).

Замечание. Мы считаем действительным, хотя в линейном случае можно считать спектральный параметр комплексным числом. Однако в нелинейном случае при используемом подходе уже не удается рассматривать комплексные.

Считаем, что функции X, Z дифференцируемы так, что Система (3) – это на самом деле система уравнений в анизотропном слое, однако из нее легко получаются системы для изотропных полупространств при xx = zz =, где отвечает уже изотропной среде (полупространству).

Считаем, что 2 max(1, 3 ). Отметим, что последнее условие имеет место только в случае, если хотя бы одна из величин 1 или 3 положительна, если же 1 0 и 3 0, то 2 0.

Откуда взялись эти условия, будет ясно из дальнейшего.

§3. Решение системы дифференциальных уравнений его общее решение X (x) = A1 e 1 x + Ae 1 x, в силу условия на бесконечности получаем решения Здесь мы считаем 2 1 0, ибо в противном случае мы получим общее решение, выраженное через синусы и косинусы действительного аргумента, и не сможем удовлетворить условию излучения на бесконечности. Случай 2 1 = 0 тоже невозможен, т.к. здесь мы получаем при x 0 постоянное решение, которое не удовлетворяет условию излучения на бесконечности.

его общее решение X (x) = B1 e(xh) 3 + Be(xh) 3, в силу условия на бесконечности получаем решения Здесь по тем же причинам, что и при x 0, мы считаем Постоянные A и B в (5) и (6) определяются начальными данными и условиями сопряжения.

Внутри слоя решаем систему (3). Из уравнения X = X видно, что возможны два случая:

а) 0; общее решение внутри слоя есть б) 0; общее решение внутри слоя есть §4. Условия сопряжения Как известно, касательные составляющие электромагнитного поля непрерывны на границе раздела сред. В рассматриваемом случае касательными составляющими являются компоненты Hy и Ez. Отсюда получаем где постоянная Ez = Z(h) = Z(h + 0) считается известной.

Из условий непрерывности касательных составляющих Ex, Hy электромагнитного поля E и H получаем условия сопряжения для функций X, Z:

где [f ]x=x0 = lim f (x) lim f (x) обозначает скачок функxx0 0 xx0 + ции на границе раздела сред.

Обозначаем Z (h) = Ez (известная величина – падающее поле), Z (0) = Ez, причем В случае (а) из условий сопряжения (9) и решений (5)–(7) получаем систему Решая эту систему, мы получаем дисперсионное уравнение В случае (б) из условий сопряжения (9) и решений (5), (6), (8) получаем систему 1 A = xx C2, Из последней системы находим Если cos h = 0, то получаем известное уравнение Если же условие cos h = 0 не выполняется, то мы можем записать последнее уравнение через котангенс, однако в этом случае можно получить более простое (алгебраическое) уравнение для собственных значений.

Уравнения (10) и (11) можно формально получить одно из другого, просто заменив в любом из них на и учитывая появление мнимой единицы при извлечении корня.

§5. Анализ дисперсионных уравнений В обоих дисперсионных уравнениях (10) и (12) из условий 2 1 0 и 2 3 0 следует, что 1 и 3 могут быть произвольных знаков (именно об этом шла речь в §1). Рассмотрим наиболее распространенный случай, когда 1 0 и 3 0, где 0 – диэлектрическая проницаемость вакуума.

Из условия 0 следуют такие неравенства:

Из условия 0 следуют такие неравенства:

Заметим, что из первой и второй групп неравенств в (14) следует, что 2 max(xx, 1, 3 ). То есть здесь величина не ограничена сверху. Можно показать, что в уравнении (12) lim h = 0 (рис. 2).

Пунктирная прямая отвечает значению 2 = xx Также из первой и второй групп неравенств в (13) следует, что 2 max(xx, 1, 3 ), значит, и здесь 2 не ограничена сверху. Помним, что в случае уравнения (10) существует всего одна дисперсионная кривая, т.к. экспонента имеет мнимый период. Это отличает случай ТМ-волн от аналогичного для ТЕ-волн.

В главе 2 показано, что при распространении ТЕ-волн в линейном слое всегда либо 0 2 2, либо max(1, 3 ) 2 2.

Теперь перейдем к подробному анализу простого случая, а именно рассмотрим уравнения (10) и (12) при xx = zz = 2.

Из уравнения (10) получаем Неравенства (13) переходят в Из неравенств (16) сразу следует, что в (15) k = 0.

Из уравнения (15) легко видеть, что если 1 0, 2 0, 3 0, то величина под знаком логарифма по модулю меньше 1, и мы получаем мнимое или отрицательное значение для h. То же самое верно и при 1 0, 2 0, 3 0. В других случаях может получиться как отрицательное значение h, так и положительное.

Поскольку h – толщина слоя, то эта величина может принимать только положительные значения.

Наиболее интересным кажется случай, когда 1 0, 3 0, где 0 – диэлектрическая проницаемость вакуума и 2 0. Тогда 2 max(1, 3 ). Проведем детальный анализ уравнения (10) при указанных условиях. Сразу заметим, что поскольку 1 и 3 2 2 2 2 3 1 при указанных условиях, то величина под знаком логарифма в (15) по модулю всегда больше единицы. Значит, нам лишь осталось указать условия, при которых указанная величина положительна.

Формулу (15) можно привести к виду Из формулы (17) ясно, что числители дробей под знаком логарифма должны одновременно иметь одинаковые знаки. Преобразуем (17) следующим образом:

множителя должны быть либо оба отрицательны, либо оба положительны. Если они оба отрицательны, то, как легко показать, 2 max 1, 3, |2||1, |2 ||3. Поскольку |2 |1 1 и 1, окончательно получаем, что |2 | Нетрудно показать, что в этом случае lim h = 0. Также легко видеть, что Если же оба указанных множителя положительны, то имеется четыре возможности:

а) |2 | min(1, 3 ) и 2 max (1, 3 ). В этом случае получаем lim h = 0 (поскольку под знаком логарифма в (15) число, большее единицы, а множитель перед логарифмом стремится к бесконечности);

получаем, что 1 |2 ||3. При 2 |2 ||3 получаем мнимые значения для h. Из формулы (18) ясно, что т.е. имеется горизонтальная асимптота 2 = |2||3. Величина h при 2 1 + 0 имеет конечный предел (рис. 4,б)1 ;

получаем, что 3 |2 ||1. При 2 |2 ||1 получаем мнимые значения для h;

Отметим, что двойное неравенство в п. г при некоторых значениях параметров может оказаться противоречивым. Например, при 2 = 5, 1 = 3 = 1 мы получаем, что 2 2 5/4.

Каждая из возможностей показана на рис. 4,а–г.

Вывод относительно существования горизонтальной асимптоты справедлив и для случаев в, г.

Как видно из выкладок, случаи б–г существенно не отличаются. Этот факт отражен на рис. 4,б–г. Кривые на этих рисунках очень похожи друг на друга, их можно было бы сделать практически одинаковыми, если специально подобрать параметры 1, 2, 3. Мы постарались выбрать параметры так, чтобы было видно, как может продеформироваться дисперсионная кривая.

Относительно того, как графически можно определять собственные значения из дисперсионных кривых, см. с. 33.

Перейдем к уравнению (12), это уравнение является классическим и при xx = zz = 2, 1 = 3 приведено в [83]. Рассмотрим уравнение (12) при xx = zz = 2 :

Неравенства (14) переходят в Из уравнения (19) и неравенств (20) сразу следует, что Относительно уравнения (19) можно сформулировать утверждение, аналогичное утверждению 1 из гл. 2.

Введем обозначения: = max(1, 3 ), = min(1, 3 ) и Причем чем меньше 2 тем больше значение h.

Замечание. В слое с постоянной диэлектрической проницаемостью всегда распространяется конечное число волн (равное количеству собственных значений). Чем больше величина h, тем больше волн в таком слое распространяется. Существует h такое, что при h h волны в рассматриваемом слое не распространяются.

Еще раз отметим, что сформулированное утверждение относится к уравнению (19).

Так же как и в случае ТЕ-поляризации, этот вывод характерен только для линейной волноведущей структуры. В случае нелинейного слоя может оказаться, что для любого значения h может существовать бесконечное число собственных значений, а значит, и волн.

Ясно, что рассматриваемую задачу можно было бы сформулировать как краевую задачу на собственные значения, и решения дисперсионных уравнений были бы решениями такой задачи. Тогда последнее замечание можно было бы переформулировать в соответствующую теорему. Однако мы не стали этого делать, так как дифференциальные уравнения линейные и результаты сами по себе достаточно просты.

Качественное поведение дисперсионных кривых в этом случае такое же как, на рис. 1, 2 в гл. 2 (с. 33, 34).

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ

ТМ-ВОЛН В СЛОЕ С ПРОИЗВОЛЬНОЙ

НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

Здесь мы рассматриваем задачу распространения ТМ-волн в слое, заполненном средой, диэлектрическая проницаемость которой является произвольной функцией от напряженности электрического поля. Изучается как случай обычного нелинейного материала, так и нелинейного метаматериала (обобщенное дисперсионное уравнение).

Результаты этой главы опубликованы в [12].

§1. Уравнения Максвелла и постановка задачи Рассмотрим электромагнитные волны, распространяющиеся через однородный, анизотропный, немагнитный диэлектрический слой, расположенный между двумя полупространствами x 0 и x h в декартовой системе координат Oxyz. Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянную диэлектрическую проницаемость 1 0 и 3 0 соответственно, где 0 – диэлектрическая проницаемость вакуума. Вообще говоря, условия 1 0 и необязательны, они не используются при выводе дисперсионных уравнений, однако могут оказаться полезными при анализе разрешимости дисперсионных уравнений. Считаем, что всюду = 0 – магнитная проницаемость вакуума.

Считаем поля гармонически зависящими от времени [60]:

где – круговая частота; E, E+, E, H, H+, H – вещественные искомые функции.

Образуем комплексные амплитуды полей E и H:

Везде ниже множители cos t и sin t будем опускать.

Электромагнитное поле E, H удовлетворяет системе уравнений Максвелла условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границе раздела сред x = 0 и x = h и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при |x| в областях x 0 и x h.

Диэлектрическая проницаемость внутри слоя описывается диагональным тензором где Здесь f max (1, 3 ), g max (1, 3 ) – постоянные составляющие диэлектрической проницаемости. Функции f и g являются аналитическими и таковы, что выполняется соотноf g шение |E |2 = |E |2 (в дальнейшем это условие приведет к уравнению в полных дифференциалах).

в [62], где авторы утверждают, что многие типы нелинейностей удовлетворяют указанному условию. Это условие можно обобщить, если использовать интегрирующий множитель (см. [62]).

Также вплоть до §6 полагаем, что xx 0.

Будем искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве.

На рис. 1 схематически представлена геометрия задачи.

§2. ТМ-поляризованные электромагнитные волны Рассмотрим ТМ-поляризованные волны:

где Ex = Ex (x, y, z), Ez = Ez (x, y, z), Hy = Hy (x, y, z) и ( · )T – операция транспонирования.

Подставив поля E и H в уравнения Максвелла (1), получим Из первого и третьего уравнений этой системы видно, что Ez и Ex не зависят от y. Поскольку Hy выражается через Ex и Ez, то Hy также не зависит от y.

Волны, распространяющиеся вдоль границы z раздела сред (а мы ищем именно их), гармонически зависят от z. Значит, компоненты полей E, H имеют представление:

Тогда из рассмотренной выше системы получаем [60] здесь – неизвестный спектральный параметр (постоянная распространения электромагнитной волны).

Введем обозначение k2 = 2 0 с = 0 и выполним нормировку в соответствии с формулами x = kx, dx = k d, =, i = 0 (i = 1, 2), f = 0, g = 0. Переобозначим Ez Z (), iEx X () и, опуская тильду, систему (2) приведем к виду Будем искать те значения спектрального параметра (собственные значения), для которых существуют действительные решения X(x), Z(x) системы (3), полагаем действительным числом (так что |E|2 не зависит от z, см. сноску на с. 38, а также замечание на с. 82) и считаем, что max (1, 3 ) 2 f.

Последнее неравенство естественно возникает при рассмотрении аналогичной задачи в линейном слое, когда f 0 и g 0 (подробности см. в гл. 4, неравенство (14)).

Считаем, что функции X, Z дифференцируемы так, что Только что указанные условия непрерывности и дифференцируемости функций X и Z продиктованы физическим содержанием задачи. Видно, что система (3) является автономной. Такую систему, если привести ее к нормальной форме, что будет сделано позднее, можно рассматривать как динамическую систему с аналитическими по X и Z правыми частями1. Известно (см., например, [5]), что решения X, Z такой динамической системы сами являются аналитическими функциями независимой переменной. Именно для этого мы потребовали, чтобы функции нелинейностей f и g были аналитическими. Этот факт окажется очень важным при выводе дисперсионных уравнений.

Система (3) – это на самом деле система уравнений в анизотропном слое, однако из нее легко получаются системы для изотропных полупространств при xx = zz =, где отвечает уже изотропной среде (полупространству).

Считаем, что 2 max(1, 3 ). Отметим, что последнее условие имеет место только в случае, если хотя бы одна из величин (или обе) 1 или 3 положительна, если же и 1 0, и 3 0, то §3. Решение системы дифференциальных уравнений В полупространствах x 0 и x h диэлектрическая проницаемость в уравнениях (1) имеет постоянное скалярное значение 1 и 3 соответственно. Учтем это при решении уравнений (3) для этих полупространств. В каждом из этих случаев мы получаем системы линейных уравнений, которые легко решаются.

Отсюда получаем уравнение X = ( 2 1 )X, его общее решение Разумеется, в соответствующей области, в которой правые части аналитичны по X и Z.

X(x) = A1 ex 1 + Aex 1. Учитывая условие излучения на бесконечности, получаем решение рассматриваемой системы:

Считаем 2 1 0, иначе общее решение выражается через синусы и косинусы действительного аргумента и не удовлетворяет условию излучения на бесконечности. Случай 2 1 = тоже невозможен. В этом случае получаем при x 0 постоянное решение, которое не удовлетворяет условию на бесконечности.

Отсюда получаем уравнение X = ( 3 )X, его общее решение X (x) = Be(xh) 3 +B1 e(xh) 3. Учитывая условие излучения на бесконечности, получаем решение системы:

Постоянные A и B в (4) и (5) определяются условиями сопряжения и начальными данными.

Внутри слоя 0 x h система (3) принимает вид в дальнейшем мы часто будем опускать аргументы функций f и g, когда это не будет вызывать недоразумений. Дифференцируем второе уравнение по x, получаем где fu = fX 2, fv = fZ 2 (далее эти производные понимаются в этом смысле, пока явно не будет оговорено иное).

Используя последнее уравнение, систему (6) можно переписать в виде Из системы (7), поделив одно уравнение на другое, получаем обыкновенное дифференциальное уравнение Уравнение (8) можно преобразовать к уравнению в полных дифференциалах.

Перепишем его в симметричной форме:

где Легко проверить, что выполняется соотношение M = X, мы эти вычисления здесь проводить не будем. Таким образом, уравнение (8) представимо как уравнение в полных дифференциалах (уравнение в симметричной форме M dX + N dZ = 0 является уравнением в полных дифференциалах). Найдем его решение – U (X, Z), поскольку U = M, то получаем Как видно, система (7) записана в нормальной форме, и об аналитичности решений именно такой системы при аналитических по X и Z правых частях мы говорили в конце §2.

Интегрируя по частям первое слагаемое, получаем отсюда получаем Далее интегрируем по Z, получаем В первом интеграле меняем порядок интегрирования (теорема Фубини), получаем приводя подобные слагаемые и интегрируя, имеем Делая замену Z 2 = s, получаем окончательно Функция U (X, Z) является первым интегралом системы (7), мы будем использовать первый интеграл в следующей форме:

§4. Условия сопряжения и задача сопряжения Как известно, касательные составляющие электромагнитного поля непрерывны на границе раздела сред. В рассматриваемом случае касательными составляющими являются компоненты Hy и Ez. Отсюда получаем Из условий непрерывности касательных составляющих полей E и H получаем где Hy Постоянная Ez = Z(h) = Z(h + 0) считается известной.

Обозначим X0 := X(0), Xh := X(h), Z0 := Z(0), Zh := Z(h).

Тогда из (10) получаем В соответствии с (6) в слое Тогда для x = h получаем из (12) причем, если Zh 0 (а мы можем так считать), то, как легко видеть из (13), Xh 0 (здесь мы использовали то, что xx 0).

Обозначим fh := f Xh, Zh и Gh := G Xh, Zh. Тогда, используя первый интеграл (9), подставляя x = h, найдем значение постоянной Ch := C|x=h :

Заметим, кстати, что при сделанных предположениях относительно функций f, g и знака Zh имеем Ch 0.

Для того чтобы найти значения X0 и Z0, необходимо решить систему двух уравнений:

Система (15) получена использованием формулы (12) в точке x = 0 и первого интеграла (9) в этой же точке.

Из второго уравнения системы (15) видно, что величины X и Z0 могут входить в это уравнение с произвольными знаками.

В то же время из первого уравнения системы (15) видно, что X и Z0 должны быть либо одновременно положительными, либо одновременно отрицательными (здесь мы опять использовали то, что xx 0).

Как известно, нормальные компоненты электромагнитного поля терпят разрыв первого рода на границе раздела сред.

В рассматриваемом случае нормальной компонентой является Ex. Также известно, что величина Ex непрерывна на границе раздела сред. Из сказанного и из непрерывности касательной компоненты Ez следуют условия сопряжения для функций X и Z:

где [f ]x=x0 = lim f (x) lim f (x) обозначает скачок функxx0 0 xx0 + ции на границе раздела сред.

Считаем, что функции X(x) и Z(x) удовлетворяют условию где X X(x) и Z Z(x) являются искомыми функциями, а G1 G1 (F, ) и G2 G2 (F, ) являются правыми частями уравнений системы (7). Число является спектральным параметром.

Перепишем задачу, используя введенные обозначения.

Для полупространства x 0, = 1 получаем Для полупространства x h, = 3 получаем Сформулируем задачу сопряжения (ее можно переформулировать как краевую задачу). Требуется найти собственные значения и соответствующие им ненулевые векторы F такие, что F удовлетворяет уравнениям (18)–(20), условиям сопряжения (16), компоненты вектора F удовлетворяют условию (17) и X0, Z0 удовлетворяют уравнениям (15).

Определение 1. Число = 0, при котором существует ненулевое решение F задачи (18)–(20) при условиях (15)– (17), будем называть собственным значением задачи. Решение F, которое соответствует собственному значению, будем называть собственным вектором задачи, а компоненты X(x) и Z(x) вектора F – собственными функциями (см. замечание на с. 42).

§5. Дисперсионное уравнение и теорема об эквивалентности Введем новые переменные1 :

тогда После перехода к новым переменным мы, естественно, считаем, что Найдем вид системы (7) и первого интеграла (9) в новых переменных. Последовательно получаем далее из первого уравнения получаем См. сноски на с. 43, 65.

Преобразуем второе уравнение:

Теперь, используя, получаем Окончательно получаем здесь и далее Первый интеграл примет вид Уравнение (23) является в общем случае трансцендентным уравнением относительно и. Его решение относительно любой из переменных легко может быть выписано лишь в исключительных случаях.

Мы будем предполагать функции f и g таковыми, что правая часть второго уравнения системы (22) положительна. На первый взгляд это условие может показаться достаточно жестким, однако это не так. Например, если f и g – многочлены от двух переменных с положительными коэффициентами, то этого достаточно для выполнения нашего требования (о положительности). Как известно, вектор поляризации в материальных уравнениях Максвелла раскладывается в ряд по степеням компонент электрического поля, значит, многочлены в качестве f и g являются достаточно общим типом нелинейности. Нужно учитывать, что условие |E |2 = |E |2 накладывает некоторые ограничеz) (x) ния на вид многочленов f и g.

Теперь мы можем найти знаки выражений (0) и (h). Как видно из системы (15), величины X0 и Z0 либо одновременно положительны, либо одновременно отрицательны. В то же время из формулы (13) видно, что Xh и Zh противоположных знаков.

Учитывая сказанное, получаем Как нетрудно видеть, правая часть второго уравнения системы (22) строго положительна, значит, функция (x) монотонно возрастает на интервале (0, h). Учитывая знаки выражений (24), получаем, что функция (x) не может быть дифференцируемой на всем интервале (0, h), а необходимо имеет точку разрыва.

Поскольку решения X и Z системы (7) – аналитические функции, то функция имеет разрывы только второго рода, они находятся в нулях функции Z. Пусть функция терпит разрыв в точке x (0, h). Причем ясно, что в этом случае Естественно полагать, что функция (x) на промежутке (0, h) имеет несколько точек x0, x1,..., xN, причем где = () выражается из первого интеграла (23) и определено в начале этого параграфа.

Учитывая сказанное, будем разыскивать решения на каждом из отрезков [0, x0 ], [x0, x1 ],..., [xN, h]:

Подставляя x = 0, x = xi+1, x = xN в уравнения (26) (в первое, второе и третье соответственно) и учитывая (25), найдем постоянные c1, c2,..., cN +1 :

С учетом (27) уравнения (26) примут вид (xi ) Введем обозначение T wd. Из формулы (28) следует, что 0 xi+1 xi = T h, где i = 0, N 1. Отсюда следует сходимость несобственного интеграла (позднее мы докажем это из других соображений). Теперь, полагая в уравнениях (28) x таким, чтобы все интегралы слева обратились в нуль (т.е. x = x0, x = xi, x = xN ), сложим все уравнения (28), получим Тогда из последнего получаем окончательно дисперсионное уравнение можно переписать так:

где N 0 – целое число; (0), (h) определены формулами (24).

Формула (29) есть дисперсионное уравнение, справедливое для любого конечного h. Когда N = 0, возникает несколько уравнений при различных значениях N. Необходимо решать относительно каждое из получающихся уравнений.

Отметим, что несобственные интегралы в дисперсионном уравнении (28) сходятся. Действительно, при функция = () остается ограниченной, поскольку = f + X 2 и X – ограниченная функция. Тогда где 0, 0 – постоянные, тогда несобственный интеграл сходится. Поскольку мы требуем, чтобы правая часть второго уравнения (22) была положительна, то из этого следует сходимость интегралов в (28) во внутренних точках.

Теорема 1. Множество решений (собственных значений) краевой задачи на собственные значения (18)–(20) с условиями (15)–(17) содержится в множестве решений дисперсионного уравнения (29).

Доказательство. Из самого способа получения дисперсионного уравнения (29) из системы (22) следует, что собственное значение краевой задачи (18)–(20) является решением дисперсионного уравнения.

В то же время не каждое решение дисперсионного уравнения (29) является решением краевой задачи. Это связано с тем, что как функция от, определяемая из первого интеграла (23), является, вообще говоря, многозначной функцией. Иными словами, может существовать несколько решений (X0, Z0 ) системы (15) таких, что (0) f. Но даже в этом случае можно среди корней дисперсионного уравнения найти решения краевой задачи. Действительно, найдя решение дисперсионного уравнения (29), мы сможем найти функции (x) и (x) из системы (22) и первого интеграла (23). Зная функции (x) и (x) и пользуясь формулами (21), найдем Вопрос о выборе знака является существенным, поэтому обсудим его подробнее. Нам известно поведение функции = Y : Z функция является монотонно возрастающей, если x = x таково, что (x ) = 0, то (x 0) 0, (x + 0) 0, и если x = x Других точек перемен знака у функции нет. Поскольку значеh) ние Zh Ez считается известным, то положим для определенности Zh 0. Если 0, то функции X и Z имеют одинаковые знаки, а если 0, то X и Z имеют разные знаки. Помня о том, что X и Z – непрерывные функции (и даже гладкие на соответствующих областях), выбираем соответствующие знаки в выражениях (30). Теперь, зная функцию X, мы можем вычислить X0, если полученное значение совпадает с найденным ранее из системы (15), значит, найденное решение дисперсионного уравнения является собственным значением краевой задачи (и не является таковым в противном случае). Если же функции f и g таковы, что существует единственное решение (X0, Z0 ) системы (15) такое, что (0) f, то получается следующая Теорема 2 (об эквивалентности). Если имеется единственное решение ( (0), (0)) системы (15), причем (0) f, то краевая задача на собственные значения (18)–(20) с условиями (15)–(17) имеет решение (собственное значение) тогда и только тогда, когда это собственное значение является решением дисперсионного уравнения (29).

Доказательство этой теоремы очевидным образом следует из доказательства предыдущей теоремы.

часть рассматриваемой формулы определяется из дисперсионного уравнения (29) и k = 0, N.

Сформулируем достаточное условие существования по крайней мере одного собственного значения краевой задачи.

Теорема 3. Если h таково, что для некоторого k = 0, N выполняется неравенство то краевая задача на собственные значения (18)–(20) с условиями (15)–(17) имеет по крайней мере одно решение (собственное значение).

Величины hk и hk можно находить численно.

Несколько замечаний относительно системы (22) и первого интеграла (23). В случае, если f и g многочлены, то (23) представляет собой алгебраическую функцию. В то же время правые части обоих уравнений в (22) являются функциями рациональными относительно и. Это значит, что первый интеграл совместно с любым из уравнений (11) можно рассматривать как определяющие абелеву функцию. В этой задаче абелевы функции, возникающие из такого рассмотрения, будут более сложными, чем в аналогичной задаче для ТЕ-волн. Это следует из того, что первый интеграл может быть многочленом любой степени как по X, так и по Z. Иная ситуация в случае аналогичной задачи для ТЕ-волн. Если мы рассматриваем многочлен в качестве нелинейности, то там всегда возникают гиперэллиптические функции, но род гиперэллиптической алгебраической кривой возрастает вместе со степенью многочлена. Здесь гипер-эллиптические функции возникают только в случае керровской нелинейности, и задача их нахождения тесно связана с проблемой обращения Якоби. Теория алгебраических, абелевых, тэта-функций, проблемы обращения Якоби изложена, например, в [6, 34, 39].

§6. Обобщенное дисперсионное уравнение В этом параграфе мы получим общее дисперсионное уравнение, справедливое при любых действительных значениях xx и zz. Разумеется, при этом мы откажемся от требования, чтобы правая часть второго уравнения системы (22) была положительна (см. сноску на с. 50), а также от условий max(1, 3 ) 2 f или 0 2 f. Эти условия возникали в линейном случае и были нами использованы при выводе дисперсионного уравнения (29). Однако в нелинейном случае нет требований, которые ограничивают значения 2 справа, хотя ограничение слева остается, так как оно возникает из решений в полупространствах (где среда линейна). Теперь мы считаем, что удовлетворяет одному из следующих двух неравенств:

когда хотя бы одна из величин 1 или 3 положительна, или когда 1 0 или 3 0.

Сначала мы выведем дисперсионное уравнение из системы уравнений (22) и первого интеграла (23), а потом обсудим детали вывода и условия, при которых сам вывод возможен и справедливо полученное дисперсионное уравнение.

Итак, обратимся к системе (22) и первому интегралу (23):

где G X 2, Z 2 Z0 g X 2, s ds, C – постоянная.

Имея в своем распоряжении первый интеграл, формально можно проинтегрировать любое из двух уравнений системы (22).

Мы, как и ранее, будем интегрировать второе уравнение этой системы. Но мы не можем получить решение на всем интервале, поскольку функция (x) может иметь разрывы в некоторых точках интервала (0, h). Как нам известно, функция (x) имеет разрывы только второго рода.

Пусть функция (x) на интервале (0, h) имеет несколько точек x0, x1,..., xN, в которых она обращается в бесконечность.

Отметим, что (xi 0) = ± и (xi + 0) = ±, i = 0, N, причем знаки ± в этих формулах независимы и нам неизвестны.

Учитывая сказанное, будем разыскивать решения на каждом из отрезков [0, x0 ], [x0, x1 ],..., [xN, h]:

Из уравнений (31), подставляя x = 0, x = xi+1, x = xN в первое, второе и третье уравнения (31), найдем необходимые константы c1, c2,..., cN +1 :

где i = 0, N 1.

Из формул (33) получаем, что Поскольку 0 xi+1 xi h, то отсюда следует, что при наших предположениях (относительно наличия особых тоxi+1 0) чек) интеграл справа сходится и образом из первого и последнего уравнений (33) получаем, что Из этих рассуждений следует, что функция (x) имеет конечное число точек разрыва второго рода, и функция w() не имеет неинтегрируемых особенностей при (, ).

Теперь, полагая в уравнениях (33) x таковым (т.е. подставляя x = x0, x = xi, x = xN в первое, второе и третье уравнения (33)), чтобы все интегралы слева обратились в нуль, сложим все уравнения (33), получим Из (35) получаем Из формулы (34) следует, что причем ясно, что бесконечности должны выбираться различных знаков.

Таким образом, получаем, что и, значит, x1 x0 =... = xN xN 1.

Теперь уравнение (36) можно переписать так:

или в окончательной форме где N 0 – целое число; (0), (h) определены формулами (24).

Формула (37) есть дисперсионное уравнение, справедливое для любого конечного h. Отметим, что когда N = 0, то возникает несколько уравнений при различных значениях N. Необходимо решать относительно каждое из получающихся уравнений.

Теперь можно сформулировать теорему, аналогичную теореме 1, но уже для обобщенного дисперсионного уравнения (37).

Теорема 4. Множество решений (собственных значений) краевой задачи на собственные значения (18)–(20) с условиями (15)–(17) содержится в множестве решений дисперсионного уравнения (37).

Доказательство этой теоремы почти дословно повторяет доказательство теоремы 1.

Теперь мы перейдем к теоретическому обоснованию вывода дисперсионных уравнений (29) и (37). С самого начала мы ничего не говорили об условиях, при которых решение системы (7) существует и единственно. Мы сделали это намеренно, предпочитая сначала проделать все технические вычисления и дать читателю возможность проследить за выводом и используемой техникой, не отвлекаясь на факты теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Воспользуемся векторной формой записи (19) системы (7):

Пусть правая часть G определена и непрерывна в области R2, G : R2. Также считаем, что G удовлетворяет в условию Липшица по F локально1.

При указанных условиях система (7) или, что то же самое, система (38) имеет единственное решение в области [8, 38, 49].

Ясно, что накладывая эти условия на систему (22) и для нее получим единственность решения (разумеется, область единственности в переменных, будет отлична от ).

Поскольку мы ищем ограниченные решения X и Z, то Из последнего мы получаем, что Из теории автономных систем известно (см., например, [38]), что при сделанных предположениях относительно правой части, По поводу условия Липшица см. сноску на с. 54.

Гл. 6. ТМ-волны в слое с произвольной нелин. фазовые траектории такой системы не пересекаются в ее фазовом пространстве. Поскольку X 0 и Z 0 являются стационарными решениями системы (7), то ясно, что рассматриваемые непостоянные решения X и Z не могут одновременно обратиться в нуль в некоторой точке x (иначе они будут пересекаться с указанным стационарным решением, чего быть не может).

То есть мы показали, что не существует точки x такой, что X|x=x = 0 и Z|x=x = 0.

Еще одно замечание относительно интегралов в дисперсионных уравнениях (29) и (37). Если при некотором значении какие-то из входящих в дисперсионные уравнения интегралов расходятся во внутренних точках, то это попросту обозначает, что выбранное значение не является решением дисперсионного уравнения и тем более не является собственным значением.

Кроме того, укажем еще один интересный случай. Когда функции нелинейностей f и g представляют собой полиномы от независимой переменной, то первый интеграл, очевидно, является алгебраической функцией от любой из двух своих переменных (см., например, [51]). В этом случае любое уравнение системы (7) совместно с первым интегралом представляет собой абелев интеграл [6, 39, 51]. Его обращением является абелева функция, которая и будет решением выбранного для интегрирования уравнения. В этом случае решение второго уравнения выражается из первого интеграла и найденного только что решения. Таким образом, обе функции – решения системы (7), являются абелевыми функциями. Как известно, абелевы функции – функции мероморфные (см., например, [28, 34]). А в этом случае наше предположение о наличии у функции точек разрыва второго рода (и только их) справедливо. Заметим также, что многочленами выражаются многие нелинейности, а те которые не выражаются, можно с любой степенью точности приблизить многочленами. Также заметим, что, хотя вектор поляризации в материальных уравнениях Максвелла имеет разложение в ряд по степеням напряженности электрического поля (и именно поэтому многочлен кажется наиболее общим типом нелинейности), имеются и другие типы нелинейностей. Некоторые сведения по этому поводу можно почерпнуть в [3]. Еще заметим, что если функции f, g – многочлены, но условие (|Ez |2 ) = (|Ex |2 ) не выполняется, то первый интеграл уже может не быть алгебраической функцией, тогда решения системы не будут абелевыми функциями. В случае ТЕ-волн решения были абелевыми функциями для любого многочлена – функции нелинейности. Появление абелевых функций в этой задаче тем более интересно, что относительно недавно выяснилось, что абелевы и тэта-функции являются решениями некоторых известных нелинейных уравнений математической физики [26]. Ясно, что все замечания относительно абелевых функций и интегралов справедливы и для системы (22), поскольку новые переменные, выражаются через старые Y, Z рационально.

Мы выводили дисперсионные уравнения из второго уравнения системы (22). Однако точно так же можно это сделать, исходя из первого уравнения этой системы (см. с. 144).

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ

ТМ-ВОЛН В ИЗОТРОПНОМ СЛОЕ

С КЕРРОВСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

В этой главе мы рассмотрим приложение общей техники, развитой в главе 6 к случаю, когда нелинейность в слое является керровской.

Хотя этот случай и является следующим по сложности после линейного для ТМ-волн, уже не так просто, как в аналогичном случае для ТЕ-волн (см. гл. 4), выяснить всю информацию о собственных значениях задачи. Так как здесь собственные функции выражаются через гиперэллиптические функции.

Результаты этой главы опубликованы в [13, 16–18, 20, 82].

§1. Уравнения Максвелла и постановка задачи Рассмотрим электромагнитные волны, распространяющиеся через однородный, изотропный, немагнитный диэлектрический слой, расположенный между двумя полупространствами x 0 и x h в декартовой системе координат Oxyz. Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянную диэлектрическую проницаемость 1 0 и 3 0 соответственно, где 0 – диэлектрическая проницаемость вакуума. Вообще говоря, условия 1 0 и необязательны, они не используются при выводе дисперсионных уравнений, однако могут оказаться полезными при анализе разрешимости дисперсионных уравнений. Считаем, что всюду = 0 – магнитная проницаемость вакуума.

Считаем поля гармонически зависящими от времени [60]:

где – круговая частота; E, E+, E, H, H+, H – вещественные искомые функции.

Образуем комплексные амплитуды полей E и H:

Везде ниже множители cos t и sin t будем опускать.

Электромагнитное поле E, H удовлетворяет системе уравнений Максвелла условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границе раздела сред x = 0, x = h и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при |x| в областях x 0 и x h.

Диэлектрическая проницаемость внутри слоя описывается законом Керра:

где a и 2 max (1, 3 ) – положительные постоянные1.

Будем искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве.

На рис. 1 схематически представлена геометрия задачи.

В §6 решение будет найдено в гораздо более широких предположениях.

Гл. 7. ТМ-волны в изотр. слое с керровской нелин. §2. ТМ-поляризованные электромагнитные волны Рассмотрим ТМ-поляризованные волны:

где Ex = Ex (x, y, z), Ez = Ez (x, y, z), Hy = Hy (x, y, z) и ( · )T – операция транспонирования.

Подставляя поля E и H в уравнения Максвелла (1), получим Из первого и третьего уравнений этой системы следует, что Ez = Ez (x, z) и Ex = Ex (x, z) не зависят от y. Поскольку Hy выражается через Ex и Ez, то Hy также не зависит от y.

Волны, распространяющиеся вдоль границы z раздела сред (а мы ищем именно их), гармонически зависят от z. Значит, компоненты полей E и H имеют представление Тогда из рассмотренной выше системы получаем [60] из нее следует, что здесь – неизвестный спектральный параметр – постоянная распространения электромагнитной волны и (...) x.

Дифференцируя выражение (3) и используя второе и третье уравнения системы (2), получим Введем обозначения k2 = 2 0 с = 0 и выполним нормировку в соответствии с формулами x = kx, dx = k d, =, j = 0 (j = 1, 2, 3), a = 0. Переобозначаем Ez Z (), iEx X () и, опуская значок тильды, систему (4) приведем к виду Будем искать те значения спектрального параметра (собственные значения), для которых существуют действительные решения X(x), Z(x) системы (5), полагаем действительным (так что |E|2 не зависит от z, см. сноску на с. 38, а также замечание на с. 82). Считаем, что Гл. 7. ТМ-волны в изотр. слое с керровской нелин. Также полагаем, что спектральный параметр удовлетворяет неравенствам max(1, 3 ) 2 2. Это неравенство естественно возникает при рассмотрении аналогичной задачи в линейном слое (подробности см. в гл. 4, неравенство (14)).

Считаем, что функции X, Z дифференцируемы так, что Только что указанные условия непрерывности и дифференцируемости функций Y и Z продиктованы физическим содержанием задачи. Видно, что система (5) является автономной.

Такую систему, если привести ее к нормальной форме, что будет сделано позднее, можно рассматривать как динамическую систему с аналитическими по X и Z правыми частями1. Известно (см., например, [5]), что решения X, Z такой динамической системы сами являются аналитическими функциями независимой переменной. Этот факт окажется очень важным при выводе дисперсионных уравнений.

Считаем, что 2 max(1, 3 ). Отметим, что последнее условие имеет место только в случае, если хотя бы одна из величин (или обе) 1 или 3 положительна, если же 1 0 и 3 0, то §3. Решение системы дифференциальных уравнений Отсюда получаем уравнение X = ( 2 1 )X, его общее решение Разумеется, в соответствующей области, в которой правые части аналитичны по X и Z.

X (x) = A1 ex 1 + Aex 1. Учитывая условие излучения на бесконечности, получаем решение рассматриваемой системы:

Здесь мы считаем 2 1 0, ибо в противном случае мы получим общее решение, выраженное через синусы и косинусы действительного аргумента, и, таким образом, не сможем удовлетворить условию излучения на бесконечности. Случай 2 1 = тоже невозможен, так как в этом случае мы получаем при x постоянное решение, которое не удовлетворяет условию излучения на бесконечности. Значит, 2 1.

Отсюда получаем уравнение X = 2 3 )X, его общее решение X (x) = Be(xh) 3 + B1 e(xh) 3. Учитывая условие излучения на бесконечности, получаем решение рассматриваемой системы:

Здесь по тем же причинам, что и при x 0, мы считаем Постоянные A и B в (7) и (8) определяются условиями сопряжения и начальными данными.

Внутри слоя 0 x h система (5) принимает вид Дифференцируя второе уравнение, получаем Используя последнее уравнение, систему (9) можно привести к виду Из системы (10) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение:

Перепишем его в симметричной форме:

где Легко проверить, что выполняется соотношение M = N.

Таким образом, уравнение (11) можно представить как уравнение в полных дифференциалах (уравнение в симметричной форме M dX + N dZ = 0 и есть уравнение в полных дифференциалах). Его решение – U (X, Z) есть первый интеграл системы (10).

Преобразуем M следующим образом:

Как видно, система (10) записана в нормальной форме, и об аналитичности решений именно такой системы при аналитических по X и Z правых частях мы говорили в конце §2.

Из последнего уравнения получаем (Z) = 2 2 Z + 2 aZ 3, откуда легко находим, что Используя полученные результаты, можно первый интеграл привести к виду где C – постоянная интегрирования.

§4. Условия сопряжения и задача сопряжения Как известно, касательные составляющие электромагнитного поля непрерывны на границе раздела сред. В рассматриваемом случае касательными составляющими являются компоненты Hy и Ez. Отсюда получаем Из условий непрерывности касательных составляющих полей E и H получаем где Hy Постоянная Ez = Z(h) = Z(h + 0) считается известной.

Обозначим X0 := X(0), Xh := X(h), Z0 := Z(0), Zh := Z(h).

Тогда из (13) получаем В соответствии с (5), (6) в слое Тогда для x = h, используя (13), получаем из (15) Из (16) получаем уравнение относительно Xh :

При наших предположениях относительно 2 и a величина 2 +aZh 0, и, следовательно, уравнение (17) имеет по крайней мере один действительный корень, который мы и будем рассматривать:

Используя первый интеграл (12) при x = h, найдем значение постоянной Ch := C|x=h из уравнения Для того чтобы найти значения X0 и Z0, необходимо решить систему двух уравнений, полученную с использованием формулы (15) в точке x = 0 и первого интеграла в этой же точке:

Из второго уравнения системы (19) видно, что X0 и Z0 могут входить в это уравнение с произвольными знаками. В то же время из первого уравнения видно, что X0 и Z0 должны быть одновременно либо положительными, либо отрицательными (этот факт окажется очень важным в дальнейшем).

Как известно, нормальные компоненты электромагнитного поля терпят разрыв первого рода на границе раздела сред.

В нашем случае нормальной компонентой является Ex. Также известно, что величина Ex непрерывна на границе раздела сред.

Из сказанного и из непрерывности касательной компоненты Ez следуют условия сопряжения для функций X и Z:

где [f ]x=x0 = lim f (x) lim f (x) обозначает скачок функxx0 0 xx0 + ции на границе раздела сред.

Считаем, что функции X (x) и Z (x) удовлетворяют условию где X X(x) и Z Z(x) являются искомыми функциями, а G1 G1 (F, ) и G2 G2 (F, ) являются правыми частями уравнений системы (10). Число является спектральным параметром. Перепишем задачу, используя введенные обозначения.

Для полупространства x 0, = 1 получаем система принимает вид Для полупространства x h, = 3 получаем Сформулируем задачу сопряжения (ее можно переформулировать как краевую задачу). Требуется найти собственные значения и соответствующие им ненулевые векторы F такие, что F удовлетворяет уравнениям (22)–(24), условиям сопряжения (20); компоненты вектора F удовлетворяют условию (21), и X0, Z0 удовлетворяют уравнениям (19).

Определение 1. Число = 0, при котором существует ненулевое решение F задачи (22)–(24) при условиях (19)– (21), будем называть собственным значением задачи. Решение F, которое соответствует собственному значению, будем называть собственным вектором задачи, а компоненты X(x) и Z(x) вектора F – собственными функциями (см. замечание на с. 42).

§5. Дисперсионное уравнение и теорема об эквивалентности Введем новые переменные:

Система (10) и уравнение (12) в этих переменных имеют вид постоянная C не равна одноименной величине в (12).

Уравнение (27) – алгебраическое уравнение четвертой степени относительно. Его решение = () может быть выписано явно по формулам Кардано-Феррари [30].

Для того чтобы выписать дисперсионные уравнения для постоянных распространения электромагнитных волн, необходимо найти значения (0), (h).

Ясно, что (0) = X(0) (0), (h) = X(h) (h), но поскольку X(x) (x) = X(x), то, учитывая формулы (13) и (14), легко получаем, что Значение постоянной C, мы ее обозначим как Ch, легко находится из первого интеграла (27). Действительно, поскольку значения (h) и (h) известны, то подставляя x = h в первый интеграл (27), находим, что где (h) = Xh.

Если Ch 0, то уравнение (27), рассматриваемое как уравнение относительно (h), будет иметь положительный корень.

Легко показать, что Ch строго больше нуля. В самом деле, из выражения (29) видно, что при (h) 2 Ch 0, так как всегда Приводя к общему знаменателю выражение (29) и, где необходимо, заменяя (h) = 0 +, где 0 1, приходим к выражению с положительной правой частью.

Из положительности правой части второго уравнения системы (26) ясно, что функция (x) монотонно возрастает на интервале (0, h). Учитывая знаки выражений (28), получаем, что функция (x) не может быть дифференцируемой на всем интервале (0, h), а необходимо имеет точку разрыва. Пусть это будет x (0, h). Из (27) ясно, что x таково, что = (x ) является корнем уравнения Ch +3( )2 2( )3 2 (2 )0 = 0. Причем Естественно полагать, что функция (x) на интервале (0, h) имеет несколько точек x0, x1,..., xN таких, что Обозначим где = (), которое выражается из уравнения (15).

Учитывая сказанное, будем разыскивать решения на каждом из отрезков [0, x0 ], [x0, x1 ],..., [xN, h]:

Подставляя x = 0, x = xi+1, x = xN в уравнения (31) (в первое, второе и третье соответственно) и учитывая (30), найдем постоянные c1, c2,..., cN +1 c1, c2,..., cN +1 :

С учетом (32) уравнения (31) примут вид (xi ) Введем обозначение T wd. Из формул (33) следует, что 0 xi+1 xi = T h, где i = 0, N 1. Отсюда следует сходимость несобственного интеграла (позднее мы докажем это из других соображений). Теперь, полагая в уравнениях (33) x таким, чтобы все интегралы слева обратились в нуль (т.е. x = x0, x = xi, x = xN ), сложим все уравнения (33), получим Из последнего выражения окончательно получаем Формула (34) есть дисперсионное уравнение, справедливое для любого конечного h. Надо отметить, что когда N = 0, то возникает несколько уравнений при различных значениях N. Необходимо решать относительно каждое из них.

Отметим, что несобственные интегралы в дисперсионном уравнении (34) сходятся. Действительно, при функция = () остается ограниченной, поскольку = 2 +aX 2 +aZ, а X, Z – ограниченные функции. Тогда где 0, 0 – постоянные, тогда несобственный интеграл сходится. Поскольку мы требуем, чтобы правая часть второго уравнения (26) была положительна, то из этого следует сходимость интегралов в (34) во внутренних точках.

Если рассматривать первое уравнение системы (26) совместно с первым интегралом, то это уравнение можно проинтегрировать, и это приведет к так называемым гиперэллиптическим интегралам (это один из простых примеров абелевых интегралов). Если расширить область определения независимого переменного x на всю комплексную плоскость, то можно рассматривать функции, обратные к этим интегралам, которые и будут решениями системы (26). Это гиперэллиптические функции, принадлежащие классу абелевых функций, которые являются мероморфными периодическими функциями. А поскольку функция выражается через алгебраически, то она также является мероморфной периодической функцией. Таким образом, точка разрыва x является одним из полюсов функции. Интеграл, стоящий в уравнении (34), является более общим абелевым интегралом [6, 34].

Теорема 1 (об эквивалентности). Краевая задача на собственные значения (22)–(24) с условиями (19)–(21) имеет решение (собственное значение) тогда и только тогда, когда это собственное значение является решением дисперсионного уравнения (34).

Доказательство. Достаточность. Очевидно, что, найдя решение дисперсионного уравнения (34), мы сможем найти функции (x) и (x) из системы (26) и первого интеграла (27).

Зная функции (x) и (x) и пользуясь формулами (25), найдем Вопрос о выборе знака является существенным, и поэтому обсудим его подробнее. Нам известно поведение функции = X : функция является монотонно возрастающей, если (x + 0) 0. Других точек перемен знака у функции нет.

Из краевых условий следует, что Z (h) = Ez (0). Учтем, что если 0, то функции X и Z имеют одинаковые знаки, а если 0, то X и Z имеют разные знаки, и, помня о том, что X и Z – гладкие функции, выбираем соответствующие знаки в выражениях (35).

Необходимость. Из самого способа получения дисперсионного уравнения (34) из системы (26) следует, что собственные значения краевой задачи являются решениями дисперсионного уравнения.

Также необходимо заметить, что собственные функции, отвечающие собственному значению 0, легко могут быть найдены численно из системы (9) или (10), например, методом РунгеКутты.

часть рассматриваемой формулы определяется из дисперсионного уравнения (34) и k = 0, N.

Сформулируем достаточное условие существования по крайней мере одного собственного значения краевой задачи.

Теорема 2. Если h таково, что для некоторого k = 0, N выполняется неравенство то краевая задача на собственные значения (22)–(24) с условиями (19)–(21) имеет по крайней мере одно решение (собственное значение).

Величины hk и hk можно находить численно.

§6. Обобщенное дисперсионное уравнение В этом параграфе мы получим общее дисперсионное уравнение, справедливое при любых действительных значениях 2.

Кроме того, мы откажемся от требования, чтобы правая часть второго уравнения системы (26) была положительна (см. сноску на с. 50), а также от условий max(1, 3 ) 2 2 или 0 2 2. Эти условия возникали в линейном случае и были нами использованы при выводе дисперсионного уравнения (34).

Однако в нелинейном случае нет требований, которые ограничивают значения 2 справа, хотя ограничение слева остается, так как оно возникает из решений в полупространствах (где среда линейна). Теперь мы считаем, что удовлетворяет одному из следующих двух неравенств:

когда хотя бы одна из величин 1 или 3 положительна, или когда 1 0 или 3 0.

Сначала мы выведем дисперсионное уравнение из системы уравнений (26) и первого интеграла (27), а потом обсудим детали вывода и условия, при которых сам вывод возможен и справедливо полученное дисперсионное уравнение.

Итак, обратимся к системе (26) и первому интегралу (27):

Имея в своем распоряжении первый интеграл, формально можно проинтегрировать любое из двух уравнений системы (26).

Как и ранее, будем интегрировать второе уравнение этой системы. Но мы не можем получить решение на всем интервале, поскольку функция (x) может иметь разрывы в некоторых точках интервала (0, h). Как нам известно, функция (x) имеет разрывы только второго рода (так как – аналитическая функция).

Пусть функция (x) на интервале (0, h) имеет несколько точек x0, x1,..., xN, в которых она обращается в бесконечность.

Отметим, что (xi 0) = ± и (xi + 0) = ±, i = 0, N, причем знаки ± в этих формулах независимы и нам неизвестны.

Учитывая сказанное, будем разыскивать решения на каждом из отрезков [0, x0 ], [x0, x1 ],..., [xN, h]:

Из уравнений (36), подставляя x = 0, x = xi+1, x = xN в первое, второе и третье уравнения (36), найдем необходимые константы c1, c2,..., cN +1 :

где i = 0, N 1.

Из формул (38) получаем, что Поскольку 0 xi+1 xi h, то отсюда следует, что при наших предположениях (относительно наличия особых тоxi+1 0) чек) интеграл справа сходится, и образом из первого и последнего уравнений (38) получаем, что Из этих рассуждений следует, что функция (x) имеет конечное число точек разрыва второго рода, и функция w() не имеет неинтегрируемых особенностей при (, ).

Теперь, полагая в уравнениях (38) x таковым (т.е. подставляя x = x0, x = xi, x = xN в первое, второе и третье уравнения (38)), чтобы все интегралы слева обратились в нуль, сложим все уравнения (38), получим Из (40) получаем Из формулы (39) следует, что причем ясно, что бесконечности должны выбираться различных знаков.

Таким образом, получаем, что и, значит, x1 x0 =... = xN xN 1.

Теперь уравнение (41) можно переписать так:

или в окончательной форме где N 0 – целое число; (0), (h) определены формулами (28).

Формула (42) есть дисперсионное уравнение, справедливое для любого конечного h. Отметим, что когда N = 0, то возникает несколько уравнений при различных значениях N. Необходимо решать относительно каждое из получающихся уравнений.

Теперь можно сформулировать теорему, аналогичную теореме 1, но уже для обобщенного дисперсионного уравнения (42).

Теорема 3. Множество решений (собственных значений) краевой задачи на собственные значения (22)–(24) с условиями (19)–(21) содержится в множестве решений дисперсионного уравнения (42).

Доказательство. Ясно, что эта теорема обобщает теорему 1. Также ясно, что всякое собственное значение рассматриваемой краевой задачи будет решением дисперсионного уравнения.

Легко понять, откуда могут появиться лишние решения (решения дисперсионного уравнения, которые не являются собственными значениями краевой задачи). Если величины 2 и a являются произвольными вещественными числами, то может оказаться так, что среди корней уравнения (17) и корней системы (19) мы не сможем выделить те, которые отвечают краевой задаче. Таким образом, мы для каждой тройки корней будем получать дисперсионное уравнение вида (42). Ясно, что решения лишь одного такого дисперсионного уравнения могут являться собственными числами. Того, которому отвечает «истинная»

тройка корней указанных уравнения (17) и системы (19). При численном решении дисперсионного уравнения это легко проверить. Вычислив решение дисперсионного уравнения, подставив его в исходную систему (9) или (10) и используя начальные условия, можно вычислить значения X0 и Z0. Если полученные таким образом значения совпадают с найденными из системы (19), то вычисленное является собственным значением (и не является таковым в противном случае).

Теперь мы перейдем к теоретическому обоснованию вывода дисперсионных уравнений (34) и (42). С самого начала мы ничего не говорили об условиях, при которых решение системы (10) существует и единственно. Мы сделали это намеренно, предпочитая сначала проделать все технические вычисления и дать читателю возможность проследить за выводом и используемой техникой, не отвлекаясь на факты теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Воспользуемся векторной формой записи (23) системы (10) Гл. 7. ТМ-волны в изотр. слое с керровской нелин. Пусть правая часть G определена и непрерывна в области R2, G : R2. Также считаем, что G удовлетворяет в условию Липшица по F локально1.

При указанных условиях система (10) или, что то же самое, система (43) имеет единственное решение в области [8, 38, 49].

Ясно, что накладывая эти условия на систему (26), для нее получим единственность решения (разумеется, область единственности в переменных, будет отлична от ).

Поскольку мы ищем ограниченные решения X и Z, то Из последнего мы получаем, что Из теории автономных систем известно (см., например, [38]), что при сделанных предположениях относительно правой части фазовые траектории такой системы не пересекаются в ее фазовом пространстве. Поскольку X 0 и Z 0 являются стационарными решениями системы (10), то ясно, что рассматриваемые непостоянные решения X и Z не могут одновременно обратиться в нуль в некоторой точке x (иначе они будут пересекаться с указанным стационарным решением, чего быть не может). То есть мы показали, что не существует точки x такой, что X|x=x = 0 и Z|x=x = 0.

Еще одно замечание относительно интегралов в дисперсионных уравнениях (34) и (42). Если при некотором значении какие-то из входящих в дисперсионные уравнения интегралов расходятся во внутренних точках, то это попросту обозначает, что выбранное значение не является решением дисперсионного уравнения и, тем более, не является собственным значением.

Мы выводили дисперсионные уравнения из второго уравнения системы (26). Однако точно так же можно это сделать, исходя из первого уравнения этой системы.

По поводу условия Липшица см. сноску на с. 54.

Здесь мы приведем без вывода дисперсионное уравнение, полученное из первого уравнения системы (26) и первого интеграла (27). Это уравнение было первоначально выведено нами при условии 2 max(1, 3 ) и a 0; его, естественно, можно распространить на произвольные действительные значения указанных параметров, однако мы этого не делали, и сейчас станет ясно почему.

Дисперсионное уравнение имеет вид Как видно, пределы интегрирования в уравнении () определяются довольно сложно. Несмотря на то, что подинтегральное выражение проще, чем в уравнении (34), удобнее (в частности для расчетов) использовать дисперсионное уравнение, выведенное из второго уравнения системы (26). По этой причине мы не приводим вывод этого уравнения (впрочем, вполне понятный), и не используем само уравнение. Уравнение () приведено здесь только для демонстрации того, что можно пользоваться и первым уравнением системы (26).

На рис. 2, 3 приведены результаты расчетов дисперсионных кривых из уравнения (42).

На рис. 2 изображены дисперсионные кривые как для линейного, так и для нелинейного случаев. Сплошные кривые обозначают решения дисперсионного уравнения (42); пунктирные кривые – решения уравнения (42) при a = 0, т.е. дисперсионного уравнения для случая линейной среды в слое (см. (19), гл. или формулу (44) этой главы). При расчетах взяты следующие значения параметров: 1 = 4, 2 = 9, 3 = 1 (эти параметры относятся как к линейной, так и к нелинейной среде), кроме того, для нелинейной среды a = 0.1 (коэффициент нелинейности), Zh = 1 (начальное условие). Пунктирные прямые задаются уравнениями: h = 6 (толщина слоя), 2 = 4 (нижняя граница для 2 ), 2 = 9 (верхняя граница для 2 в случае линейной среды в слое).

Как известно (см. гл. 5) и это видно на рис. 2, прямая 2 = является асимптотой для дисперсионных кривых в случае линейного слоя. Важно отметить, что в области 2 2 дисперсионные кривые в линейном случае отсутствуют. Можно строго показать, что функция h h(), определяемая из уравнения (42) при a = 0 непрерывна в окрестности точки 2 = 2 (см.

рис. 2). Это является существенным отличием между поведением дисперсионных кривых в линейном и нелинейном случаях.

Далее можно строго показать, что функция h h(), определяемая из уравнения (42) при a = 0, обладает следующим свойством: lim h() = 0.

На рис. 2 при h = 6 в случае линейного слоя имеется четыре собственных значения (черные точки, в которых прямая h = 6 пересекает пунктирные дисперсионные кривые), отвечающие четырем собственным волнам. В нелинейном слое на рис. отражено семь собственных значений (незакрашенные точки), отвечающих семи собственным волнам. Учитывая утверждение последнего абзаца, ясно, что на самом деле в этом случае собственных значений бесконечное множество. Причем последовательность {i } этих собственных значений является неограi= ниченной монотонно возрастающей последовательностью, а последовательность {hi } толщин слоя, отвечающая последоваi= тельности {i } собственных значений, является ограниченной нулем монотонно убывающей последовательностью.

На рис. 3 изображены дисперсионные кривые для нелинейного слоя при различных значениях коэффициента нелинейности a. Сплошные кривые обозначают решения дисперсионного уравнения (42); пунктирная кривая – решения уравнения (42) при a = 0, т.е. дисперсионного уравнения для случая линейГл. 7. ТМ-волны в изотр. слое с керровской нелин. ной среды в слое (см. (19), гл. 5 или формулу (44) этой главы).

При расчетах взяты следующие значения параметров: 1 = 4, 2 = 9, 3 = 1 (эти параметры относятся как к линейной, так и к нелинейной среде), кроме того, для нелинейной среды Zh = (начальное условие).

Дисперсионным кривым на этом рисунке для нелинейного слоя (это сплошные линии) отвечают следующие значения коэффициента нелинейности a: 1 – a = 100; 2 – a = 10; 3 – a = 1;

4 – a = 0.1; 5 – a = 0.01; 6 – a = 0.001; 7 – a = 0.0001. Кривая в случае линейного слоя – пунктирная линия, ее почти не видно, настолько близко к ней прилегает одна дисперсионная кривая для нелинейного слоя при a = 0.0001.

Из рис. 3 видно, что чем меньше коэффициент нелинейности a, тем больше вытягиваются дисперсионные кривые в нелинейном случае. Точки максимума кривых h() (на рис. 3 отмечены звездочкой) смещаются вправо. При этом части кривых, расположенные ниже этих точек, асимптотически приближаются к дисперсионным кривым в линейном случае. Кривая, соединяющая точки максимумов, асимптотически приближается к прямой 2 = 2.

§7. Предельный переход в обобщенном дисперсионном уравнении Рассмотрим предельный переход при a 0 к случаю линейной среды в слое. Здесь возможны два случая, а именно:

а) 2 0; б) 2 0 (случай метаматериала).

Рассмотрим случай а. Дисперсионное соотношение для линейного случая выглядит следующим образом [83]:

Рассмотрим функции Функция f1 получилась из f формальным предельным переходом при a 0 по переменной. Так как мы ищем действительные решения X (x) и Z (x), знаменатель функции f1 не может обратиться в нуль. Более того, функция f при a 0 равномерно на x [0, h] стремится к функции f1. Используя результаты классического анализа, можно показать, что при этом условии с учетом непрерывности функции f можно перейти к пределу при a 0 под знаком интеграла в (42):

Интегралы в (45) вычисляются аналитически. Вычислив эти интегралы, получим Взяв тангенс от выражения (46), получим (44).

В случае б имеем 2 0 (метаматериал), и дисперсионное уравнение для случая линейной среды в слое выглядит так (вывод см. в гл. 5):

Так же как и раньше, переходя к пределу при a 0 в функции f, получаем f2 = 2 2. Переходя к указанному пределу в уравнении (42) и вычисляя интегралы от функции f2, получаем Множитель позади (N + 1), очевидно, дает нуль. Выполнив простейшие вычисления и затем потенцируя, получаем формулу (47).

Результаты этого параграфа показывают, что при переходе к пределу при a 0 мы получаем регулярный случай. В пределе дисперсионное уравнение (42) для случая нелинейной среды в слое переходит в дисперсионное уравнение (44) или (47) для случая линейной среды в слое.

§8. Первое приближение для собственных значений задачи где F (a, ) – левая часть уравнения (42).

Выражение (48) определяет неявную функцию (a).

Предполагая, что эта функция является дифференцируемой в окрестности точки a = 0, далее мы покажем, что это действительно так. Разложим ее в ряд Тейлора:

где 0 является решением уравнения (44).

Находим полный дифференциал выражения (48) и, выражая искомую производную, получаем Воспользовавшись (34), найдем где В формуле (53) является функцией, которая определяется из уравнения (27).

Можно показать, что функции G(a,,) и G(a,,) при a равномерно на x [0, h] стремятся соответственно к функциям G(a,,) что функции G(a,,) и G(a,,) непрерывны по при любом фиксированном a, используя результаты классического анализа, можно перейти к пределу под знаком интеграла. Тогда формулы (51) и (52) примут вид F (a, ) где Используя (53), найдем Из формулы (27), переходя к пределу при a 0, получаем Воспользовавшись (29) и переходя к пределу при a 0, получаем получаем Имея в виду (61), окончательное вычислим (60):

Из выражения (29), используя (61), ясно, что при a Далее из (25) при a 0 находим При помощи формулы (56) вычислим значения, используемые в (55):

Теперь мы можем выписать явные выражения для функций G1 (, ) и G2 (, ) из формул (54) и (55); используя (57), (59) и (62), получим Воспользовавшись выражениями (66) и (67), мы можем выписать искомую производную (50) в такой форме:

где Из формул (68)–(70) видно, что при соблюдении условий, наложенных на 1, 2, 3, и a (см. §1), производная (50) всегда неотрицательна.

Интегралы в (69) и (70) вычисляются элементарно. Найдя необходимые интегралы и используя, где необходимо (45), получим искомую производную в такой форме:

где где Используя (71)–(73), запишем (50) в точке = 0, a = 0 :

Теперь, используя (74), можно найти 1 и, таким образом, получить разложение (49). Величина 1 представляет собой поправку в первом приближении к значению 0.

Рассмотрим функцию F (a, ) h = 0 в окрестности точки a = 0, = 0. Из формул (27), (29) и (34) ясно, что указанная функция непрерывна в этой окрестности, поскольку функция = () является решением алгебраического уравнения (27), коэффициенты которого непрерывно зависят от a и. Как видно из формул (51) и (52), в окрестности этой точки рассматриваемая функция имеет частные производные и по a, и по. Из формулы (73) ясно, что частная производная по не обращается в нуль в точке a = 0, = 0. Замечая, что F (a, ) F (0, 0 ) = в указанной точке, получаем, что уравнение F (a, ) h = 0 однозначно разрешимо относительно в некоторой окрестности точки a = 0, = 0 и (a). Из формулы (72) мы видим, что частная производная по a рассматриваемой функции также непрерывна в точке a = 0, = 0. Из этого следует, что функция (a) имеет производную в точке a = 0 и для нее справедлива формула (50) [31]. Таким образом, мы полностью обосновали возможность получения первого приближения. Необходимо помнить, что все выводы сделаны с учетом ограничений, наложенных на 1, 2, 3, a и (см. §1).

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ

ТМ-ВОЛН В АНИЗОТРОПНОМ СЛОЕ

С КЕРРОВСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

Здесь мы рассматриваем задачу распространения ТМ-волн в анизотропном слое, заполненном средой, диэлектрическая проницаемость которой является произвольной функцией от напряженности электрического поля1.

Результаты этой главы опубликованы в [19].

§1. Уравнения Максвелла и постановка задачи Рассмотрим электромагнитные волны, распространяющиеся через однородный, анизотропный, немагнитный диэлектрический слой, расположенный между двумя полупространствами x 0 и x h в декартовой системе координат Oxyz. Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянную диэлектрическую проницаемость 1 0 и 3 0 соответственно, где 0 – диэлектрическая проницаемость вакуума. Вообще говоря, условия 1 0 и необязательны, они не используются при выводе дисперсионных уравнений, однако могут оказаться полезными при анализе разрешимости дисперсионных уравнений. Считаем, что всюду = 0 – магнитная проницаемость вакуума.

Изложение сжатое, т.к. многое подробно изложено в гл. 6, 7.

Считаем поля гармонически зависящими от времени [60]:

где – круговая частота; E, E+, E, H, H+, H – вещественные искомые функции.

Образуем комплексные амплитуды полей E и H:

Везде ниже множители cos t и sin t будем опускать.

Электромагнитное поле E, H удовлетворяет системе уравнений Максвелла условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границе раздела сред x = 0, x = h и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при |x| в областях x 0 и x h.

Диэлектрическая проницаемость внутри слоя описывается диагональным тензором:

2 max (1, 3 ) – положительные постоянные1.

Будем искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве.

На рис. 1 схематически представлена геометрия задачи.

В §6 решение будет найдено в гораздо более широких предположениях.

§2. ТМ-поляризованные электромагнитные волны Рассмотрим ТМ-поляризованные волны:

где Ex = Ex (x, y, z), Ez = Ez (x, y, z), Hy = Hy (x, y, z) и ( · )T – операция транспонирования.

Подставляя поля E и H в уравнения Максвелла (1), получим Из первого и третьего уравнений этой системы следует, что Ez = Ez (x, z) и Ex = Ex (x, z) не зависят от y. Поскольку Hy выражается через Ex и Ez, то Hy также не зависит от y.

Волны, распространяющиеся вдоль границы z раздела сред (а мы ищем именно их), гармонически зависят от z. Значит, компоненты полей E и H имеют представление Тогда из рассмотренной выше системы получаем [60] Гл. 8. ТМ-волны в анизотр. слое с керровской нелин. из нее следует, что здесь – неизвестный спектральный параметр – постоянная распространения электромагнитной волны, (...) x.

Дифференцируя выражение (3) и используя второе и третье уравнения системы (2), получим Введем обозначения k2 = 2 0 с = 0 и выполним нормировку в соответствии с формулами x = kx, dx = k d, =, j = 0 (j = 1, 2, 3), a = 0, b = 0. Переобозначаем Ez Z (), iEx X () и, опуская значок тильды, систему (4) приведем к виду Будем искать те значения спектрального параметра (собственные значения), для которых существуют действительные решения X(x), Z(x) системы (5), полагаем действительным (так что |E|2 не зависит от z, см. сноску на с. 38, а также замечание на с. 82). Считаем, что Также полагаем, что спектральный параметр удовлетворяет неравенствам max(1, 3 ) 2 2. Это неравенство естественно возникает при рассмотрении аналогичной задачи в линейном слое (подробности см. в гл. 4, неравенство (14)).

Считаем, что функции X, Z дифференцируемы так, что Указанные условия непрерывности и дифференцируемости функций Y и Z продиктованы физическим содержанием задачи. Видно, что система (5) является автономной. Такую систему, если привести ее к нормальной форме, что будет сделано позднее, можно рассматривать как динамическую систему с аналитическими по X и Z правыми частями1. Известно (см., например, [5]), что решения X, Z такой динамической системы сами являются аналитическими функциями независимой переменной.

Этот факт окажется очень важным при выводе дисперсионных уравнений.

Система (5) – это на самом деле система уравнений в слое, однако из нее легко получаются системы для изотропных полупространств при xx = zz = i, где i = 1, 3.

Считаем, что 2 max(1, 3 ). Отметим, что последнее условие имеет место только в случае, если хотя бы одна из величин (или обе) 1 или 3 положительна, если же 1 0 и 3 0, то §3. Решение системы дифференциальных уравнений Отсюда получаем уравнение X = ( 2 1 )X, его общее решение Разумеется, в соответствующей области, в которой правые части аналитичны по X и Z.

Гл. 8. ТМ-волны в анизотр. слое с керровской нелин. X (x) = A1 ex 1 + Aex 1. Учитывая условие излучения на бесконечности, получаем решение рассматриваемой системы:

Здесь мы считаем 2 1 0, ибо в противном случае мы получим общее решение, выраженное через синусы и косинусы действительного аргумента, и, таким образом, не сможем удовлетворить условию излучения на бесконечности. Случай 2 1 = тоже невозможен, так как в этом случае мы получаем при x постоянное решение, которое не удовлетворяет условию излучения на бесконечности. Значит, 2 1.

Отсюда получаем уравнение X = 2 3 )X, его общее решение X (x) = Be(xh) 3 + B1 e(xh) 3. Учитывая условие излучения на бесконечности, получаем решение рассматриваемой системы:

Здесь по тем же причинам, что и при x 0, мы считаем Постоянные A и B в (7) и (8) определяются условиями сопряжения и начальными данными.

Внутри слоя 0 x h система (5) принимает вид Систему (9) можно привести к виду Из системы (10) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение:

После умножения на 2 + bX 2 + aZ 2 2 X уравнение (11) становится уравнением в полных дифференциалах. Его решение (первый интеграл системы (9)) легко находится и его можно привести к виду где C – постоянная интегрирования.

§4. Условия сопряжения и задача сопряжения Как известно, касательные составляющие электромагнитного поля непрерывны на границе раздела сред. В рассматриваемом случае касательными составляющими являются компоненты Hy и Ez. Отсюда получаем Как видно, система (10) записана в нормальной форме, и об аналитичности решений именно такой системы при аналитических по X и Z правых частях мы говорили в конце §2.

Здесь мы не стали подробно проводить выкладки, ибо аналогичные вещи были проделаны уже дважды в гл. 5 и 6.

Из условий непрерывности касательных составляющих полей E и H получаем где Hy Постоянная Ez = Z(h) = Z(h + 0) считается известной.

Обозначим X0 := X(0), Xh := X(h), Z0 := Z(0), Zh := Z(h).

Тогда из (13) получаем В соответствии с (9) в слое Тогда для x = h, используя (13), получаем из (15) Из (16) получаем уравнение относительно Xh :

При наших предположениях относительно 2, a и b величина 2 +aZh 0, и, следовательно, уравнение (17) имеет по крайней мере один действительный корень, который мы и будем рассматривать:

Используя первый интеграл (12) при x = h, найдем значение постоянной Ch := C|x=h :

Для того чтобы найти значения X0 и Z0, необходимо решить систему двух уравнений, полученную использованием формулы (15) в точке x = 0 и первого интеграла в этой же точке:

Из второго уравнения системы (19) видно, что X0 и Z0 могут входить в это уравнение с произвольными знаками. В то же время из первого уравнения видно, что X0 и Z0 должны быть одновременно либо положительными, либо отрицательными (этот факт окажется очень важным в дальнейшем).

Как известно, нормальные компоненты электромагнитного поля терпят разрыв первого рода на границе раздела сред.

В нашем случае нормальной компонентой является Ex. Также известно, что величина Ex непрерывна на границе раздела сред.

Из сказанного и из непрерывности касательной компоненты Ez следуют условия сопряжения для функций X и Z:

где [f ]x=x0 = lim f (x) lim f (x) обозначает скачок функxx0 0 xx0 + ции на границе раздела сред.

Считаем, что функции X (x) и Z (x) удовлетворяют условию где X X(x) и Z Z(x) являются искомыми функциями, а G1 G1 (F, ) и G2 G2 (F, ) являются правыми частями уравнений системы (10). Число является спектральным параметром. Перепишем задачу, используя введенные обозначения.

Для полупространства x 0, = 1 получаем Внутри слоя 0 x h мы имеем =, и система принимает вид Для полупространства x h, = 3 получаем Сформулируем задачу сопряжения (ее можно переформулировать как краевую задачу). Требуется найти собственные значения и соответствующие им ненулевые векторы F такие, что F удовлетворяет уравнениям (22)–(24), условиям сопряжения (20), компоненты вектора F удовлетворяют условию (21) и X0, Z0 удовлетворяют уравнениям (19).

Определение 1. Число = 0, при котором существует ненулевое решение F задачи (22)–(24) при условиях (19)– (21), будем называть собственным значением задачи. Решение F, которое соответствует собственному значению, будем называть собственным вектором задачи, а компоненты X(x) и Z(x) вектора F – собственными функциями (см. замечание на с. 42).

§5. Дисперсионное уравнение и теорема об эквивалентности Введем новые переменные:

Система (10) и уравнение (12) в этих переменных примут вид здесь постоянная интегрирования C не равна одноименной величине в формуле (12).

Уравнение (27) – алгебраическое уравнение шестой степени относительно и биквадратное относительно.

Для того чтобы выписать дисперсионные уравнения для постоянных распространения электромагнитных волн, необходимо найти значения (0), (h).

Ясно, что (0) = X(0) (0), (h) = X(h) (h), но поскольку X(x) (x) = X(x), то, учитывая (13) и (14), легко получаем, что Значение постоянной C, мы ее обозначим как Ch, легко находится из первого интеграла (27), поскольку (h) и (H) известны, то подставляя x = h в (27), находим, что Из положительности правой части второго уравнения системы (26) ясно, что функция (x) монотонно возрастает на интервале (0, h). Учитывая знаки выражений (28), получаем, что функция (x) не может быть дифференцируемой на всем интервале (0, h), а необходимо имеет точку разрыва. Пусть это будет x (0, h). Из (27) ясно, что x таково, что = (x ) является корнем уравнения Ch +3( )2 2( )3 2 (2 )0 = 0. Причем Естественно полагать, что функция (x) на интервале (0, h) имеет несколько точек x0, x1,..., xN таких, что Обозначим где = (), которое выражается из уравнения (15).

Учитывая только что сказанное, будем разыскивать решения на каждом из отрезков [0, x0 ], [x0, x1 ],..., [xN, h]:

Подставляя x = 0, x = xi+1, x = xN в уравнения (31) (в первое, второе и третье соответственно) и учитывая (30), найдем постоянные c1, c2,..., cN +1 c1, c2,..., cN +1 :

С учетом (32) уравнения (31) примут вид (xi ) Введем обозначение T wd. Из формул (33) следует, что 0 xi+1 xi = T h, где i = 0, N 1. Отсюда следует сходимость несобственного интеграла (позднее мы докажем это из других соображений). Теперь, полагая в уравнениях (33) x таким, чтобы все интегралы слева обратились в нуль (т.е. x = x0, x = xi, x = xN ), сложим все уравнения (33), получим Из последнего выражения окончательно получаем где N 0 – целое число.

Формула (34) есть дисперсионное уравнение, справедливое для любого конечного h. Надо отметить, что когда N = 0, то возникает несколько уравнений при различных значениях N.

Необходимо решать относительно каждое из получающихся уравнений.

Отметим, что несобственные интегралы в дисперсионном уравнении (34) сходятся. Действительно, при функция = () остается ограниченной, поскольку = 2 +bX 2+aZ, а X, Z – ограниченные функции. Тогда где 0, 0 – постоянные, тогда несобственный интеграл сходится. Поскольку мы требуем, чтобы правая часть второго уравнения (26) была положительна, то из этого следует сходимость интегралов в (34) во внутренних точках.

Если рассматривать первое или второе уравнение системы (26) совместно с первым интегралом, то это уравнение можно проинтегрировать, и это приведет к так называемым абелевым интегралам (см., например, [6, 39]). Если расширить область определения независимого переменного x на всю комплексную плоскость, то можно рассматривать функции, обратные к этим интегралам, которые и будут решениями системы (26). Это абелевы функции, которые являются мероморфными периодическими функциями. А поскольку функция выражается через алгебраически, то она также является мероморфной периодической функцией. Таким образом, точка разрыва x является одним из полюсов функции.

Теорема 1 (об эквивалентности). Краевая задача на собственные значения (22)–(24) с условиями (19)–(21) имеет решение (собственное значение) тогда и только тогда, когда это собственное значение является решением дисперсионного уравнения (34).

Доказательство. Достаточность. Очевидно, что, найдя решение дисперсионного уравнения (34), мы сможем найти функции (x) и (x) из системы (26) и первого интеграла (27).

Зная функции (x) и (x) и пользуясь формулами (25), найдем Вопрос о выборе знака является существенным, и поэтому обсудим его подробнее. Нам известно поведение функции = X : функция является монотонно возрастающей, если (x + 0) 0. Других точек перемен знака у функции нет.

Из краевых условий следует, что Z (h) = Ez (0). Учтем, что если 0, то функции X и Z имеют одинаковые знаки, а если 0, то X и Z имеют разные знаки, и, помня о том, что X и Z – гладкие функции, выбираем соответствующие знаки в выражениях (35).

Необходимость. Из самого способа получения дисперсионного уравнения (34) из системы (26) следует, что собственные значения краевой задачи являются решениями дисперсионного уравнения.

Также необходимо заметить, что собственные функции, отвечающие собственному значению 0, легко могут быть найдены численно из системы (9) или (10), например, методом РунгеКутты.

часть рассматриваемой формулы определяется из дисперсионного уравнения (34) и k = 0, N.

Сформулируем достаточное условие существования по крайней мере одного собственного значения рассматриваемой краевой задачи.

Теорема 2. Если h таково, что для некоторого k = 0, N выполняется неравенство то краевая задача на собственные значения (22)–(24) с условиями (19)–(21) имеет по крайней мере одно решение (собственное значение).

Величины hk и hk можно находить численно.

§6. Обобщенное дисперсионное уравнение В этом параграфе мы получим общее дисперсионное уравнение, справедливое при любых действительных значениях 2.

Кроме того, мы откажемся от требования, чтобы правая часть второго уравнения системы (26) была положительна (см. сноску на с. 50), а также от условий max(1, 3 ) 2 2 или 0 2 2. Эти условия возникали в линейном случае и были нами использованы при выводе дисперсионного уравнения (34).

Однако в нелинейном случае нет требований, которые ограничивают значения 2 справа, хотя ограничение слева остается, так как оно возникает из решений в полупространствах (где среда линейна). Теперь мы считаем, что удовлетворяет одному из следующих двух неравенств:

когда хотя бы одна из величин 1 или 3 положительна, или когда 1 0 или 3 0.

Сначала мы выведем дисперсионное уравнение из системы уравнений (26) и первого интеграла (27), а потом обсудим детали вывода и условия, при которых сам вывод возможен и справедливо полученное дисперсионное уравнение.

Имея в своем распоряжении первый интеграл, формально можно проинтегрировать любое из двух уравнений системы (26).

Как и ранее, будем интегрировать второе уравнение этой системы. Но мы не можем получить решение на всем интервале, поскольку функция (x) может иметь разрывы в некоторых точках интервала (0, h). Как нам известно, функция (x) имеет разрывы только второго рода (так как – аналитическая функция).

Пусть функция (x) на интервале (0, h) имеет несколько точек x0, x1,..., xN, в которых она обращается в бесконечность.

Отметим, что (xi 0) = ± и (xi + 0) = ±, i = 0, N, причем знаки ± в этих формулах независимы и нам неизвестны.

Учитывая сказанное, будем разыскивать решения на каждом из отрезков [0, x0 ], [x0, x1 ],..., [xN, h]:

(x0 0) (xi +0) Гл. 8. ТМ-волны в анизотр. слое с керровской нелин. Из уравнений (36), подставляя x = 0, x = xi+1, x = xN в первое, второе и третье уравнения (36), найдем необходимые константы c1, c2,..., cN +1 :

С учетом (37) уравнения (36) примут вид (xi +0) где i = 0, N 1.

Из формул (38) получаем, что где i = 0, N 1.

Поскольку 0 xi+1 xi h, то отсюда следует, что при наших предположениях (относительно наличия особых тоxi+1 0) чек) интеграл справа сходится, и образом из первого и последнего уравнений (38) получаем, что Из этих рассуждений следует, что функция (x) имеет конечное число точек разрыва второго рода и функция w() не имеет неинтегрируемых особенностей при (, ).

Теперь, полагая в уравнениях (38) x таковым (т.е. подставляя x = x0, x = xi, x = xN в первое, второе и третье уравнения (38)), чтобы все интегралы слева обратились в нуль, сложим все уравнения (38), получим Из (40) получаем Гл. 8. ТМ-волны в анизотр. слое с керровской нелин. Из формулы (39) следует, что причем ясно, что бесконечности должны выбираться различных знаков.

Таким образом, получаем, что и, значит, x1 x0 =... = xN xN 1.

Теперь уравнение (41) можно переписать так:

или в окончательной форме где N 0 – целое число; (0), (h) определены формулами (28).

Формула (42) есть дисперсионное уравнение, справедливое для любого конечного h. Отметим, что когда N = 0, то возникает несколько уравнений при различных значениях N. Необходимо решать относительно каждое из получающихся уравнений.

Теперь можно сформулировать теорему, аналогичную теореме 1, но уже для обобщенного дисперсионного уравнения (42).

Теорема 3. Множество решений (собственных значений) краевой задачи на собственные значения (22)–(24) с условиями (19)–(21) содержится в множестве решений дисперсионного уравнения (42).

Доказательство. Ясно, что эта теорема обобщает теорему 1. Также ясно, что всякое собственное значение рассматриваемой краевой задачи будет решением дисперсионного уравнения.

Легко понять, откуда появляются лишние решения (решения дисперсионного уравнения, которые не являются собственными значениями краевой задачи). Если величины 2, a и b являются произвольными вещественными числами, то может оказаться так, что среди корней уравнения (17) и корней системы (19) мы не сможем выделить те, которые отвечают решению краевой задачи. Таким образом, мы для каждой тройки корней будем получать дисперсионное уравнение вида (42). Ясно, что решения лишь одного такого дисперсионного уравнения могут являться собственными числами. Того, которому отвечает «истинная»

тройка корней указанных уравнения (17) и системы (19). При численном решении дисперсионного уравнения это легко проверить. Вычислив решение дисперсионного уравнения, подставив его в исходную систему (9) или (10) и используя начальные условия, можно вычислить значения X0 и Z0. Если полученные таким образом значения совпадают с найденными из системы (19), то вычисленное является собственным значением (и не является таковым в противном случае).

Теперь мы перейдем к теоретическому обоснованию вывода дисперсионных уравнений (34) и (42). Мы намеренно не говорили об условиях, при которых решение системы (10) существует и единственно, предпочитая сначала проделать все технические вычисления и дать читателю возможность проследить за выводом и используемой техникой, не отвлекаясь на факты теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Воспользуемся векторной формой записи (23) системы (10):

Пусть правая часть G определена и непрерывна в области R2, G : R2. Также считаем, что G удовлетворяет в условию Липшица по F локально1.

По поводу условия Липшица см. сноску на с. 54.

Гл. 8. ТМ-волны в анизотр. слое с керровской нелин. При указанных условиях система (10) или, что то же самое, система (43) имеет единственное решение в области [8, 38, 49].

Ясно, что накладывая эти условия на систему (26), для нее получим единственность решения (разумеется, область единственности в переменных, будет отлична от ).

Поскольку мы ищем ограниченные решения X и Z, то Из последнего мы получаем, что Из теории автономных систем известно (см., например, [38]), что при сделанных предположениях относительно правой части, фазовые траектории такой системы не пересекаются в ее фазовом пространстве. Поскольку X 0 и Z 0 являются стационарными решениями системы (10), то ясно, что рассматриваемые непостоянные решения X и Z не могут одновременно обратиться в нуль в некоторой точке x (иначе они будут пересекаться с указанным стационарным решением, чего быть не может). То есть мы показали, что не существует точки x, такой, что X|x=x = 0 и Z|x=x = 0.

Еще одно замечание относительно интегралов в дисперсионных уравнениях (34) и (42). Если при некотором значении какие-то из входящих в дисперсионные уравнения интегралов расходятся во внутренних точках, то это попросту обозначает, что выбранное значение не является решением дисперсионного уравнения и, тем более, не является собственным значением.

Мы выводили дисперсионные уравнения из второго уравнения системы (26). Однако точно так же можно это сделать, исходя из первого уравнения этой системы (см. с. 144).

Для положительных значений коэффициентов нелинейностей a и b и 2 0 поведение дисперсионных кривых отражено на рис. 2, 3 гл. 7 (см. с. 145, 146).

ЧАСТЬ II

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА

В КРУГЛЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДАХ

ТЕ- И ТМ-ПОЛЯРИЗОВАННЫЕ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ,

НАПРАВЛЯЕМЫЕ КРУГЛЫМ

ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ ВОЛНОВОДОМ

В этой главе приводятся известные результаты о том, что в круглом цилиндрическом волноводе с постоянной диэлектрической проницаемостью вместо электромагнитного поля, у которого все координаты отличны от нуля, достаточно рассматривать ТЕ- и ТМ-поляризованные электромагнитные волны. Это позволит перейти от уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Излагая вопрос о ТЕи ТМ-волнах, направляемых слоем, мы в основном следовали работам [1, 35], также мы обращались к книге [10].



Pages:     | 1 || 3 |
 
Похожие работы:

«И.Н. Попов МЕТАФИЗИКА АБСОЛЮТНОГО ДУАЛИЗМА: ОРАТОРИЯ ПРЕОДОЛЕНИЯ Монография Барнаул 2010 УДК 11/14 Сведения об авторе: кандидат философских наук, доцент кафедры менеджмента и правоведения Алтайского государственного аграрного университета, докторант Алтайского государственного университета, основатель религиозного объединения Круг преданных Аллат. E-mail: salmanasar@rambler.ru Рецензенты: кандидат философских наук, доцент кафедры философии, декан факультета гуманитарного образования АлтГТУ им....»

«УДК 341 ББК 67.412 В19 Рецензенты: доктор юридических наук, старший научный сотрудник Центра международно-правовых исследований Института государства и права Российской академии наук Р.А. Каламкарян, доктор юридических наук, профессор Военного университета Ю.И. Мигачев Васильев Ю.Г. Институт выдачи преступников (экстрадиции) в совре меннам международном праве.- М.: Современная экономика и право, с. 2003. - 320 ISBN 5-8411-0098-Х В монографии рассматривается процесс становления инсти­ тута...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИННОВАЦИОННАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ ВУЗА Ульяновск УлГТУ 2013 УДК 338.49:378.4 ББК 65.011 И 93 Редакционная коллегия: Ярушкина Н. Г. д-р техн. наук, профессор; Кондратьева М. Н. д-р эконом. наук, доцент; Тронин В. Г. канд. техн. наук (отв. редактор) Инновационная деятельность вуза / отв. ред. В. Г....»

«Д.В. БАСТРЫКИН, А.И. ЕВСЕЙЧЕВ, Е.В. НИЖЕГОРОДОВ, Е.К. РУМЯНЦЕВ, А.Ю. СИЗИКИН, О.И. ТОРБИНА УПРАВЛЕНИЕ КАЧЕСТВОМ НА ПРОМЫШЛЕННОМ ПРЕДПРИЯТИИ МОСКВА ИЗДАТЕЛЬСТВО МАШИНОСТРОЕНИЕ-1 2006 Д.В. БАСТРЫКИН, А.И. ЕВСЕЙЧЕВ, Е.В. НИЖЕГОРОДОВ, Е.К. РУМЯНЦЕВ, А.Ю. СИЗИКИН, О.И. ТОРБИНА УПРАВЛЕНИЕ КАЧЕСТВОМ НА ПРОМЫШЛЕННОМ ПРЕДПРИЯТИИ Под научной редакцией доктора экономических наук, профессора Б.И. Герасимова МОСКВА ИЗДАТЕЛЬСТВО МАШИНОСТРОЕНИЕ-1 УДК 655.531. ББК У9(2)305. У Р е ц е н з е н т ы:...»

«Федеральное агентство по образованию Восточно-Сибирский государственный технологический университет Н.Ц. БАДМАЕВА ВЛИЯНИЕ МОТИВАЦИОННОГО ФАКТОРА НА РАЗВИТИЕ УМСТВЕННЫХ СПОСОБНОСТЕЙ Улан-Удэ 2004 ББК Ю 937.24 Научный редактор В.Г. Леонтьев - доктор психологических наук, профессор (Новосибирский государственный педагогический университет) Рецензенты: Л.Ф.Алексеева - доктор психологических наук, профессор (Томский государственный педагогический университет) Т.Л. Миронова - доктор психологических...»

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Рязанский государственный университет имени С.А. Есенина Н.В. Мартишина СТАНОВЛЕНИЕ И РАЗВИТИЕ ТВОРЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА ПЕДАГОГА В СИСТЕМЕ НЕПРЕРЫВНОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ Монография Рязань 2009 ББК 74.00 М29 Рецензенты: Л.К. Гребенкина, д-р пед. наук, проф., В.А. Беляева, д-р пед. наук, проф. Мартишина Н.В. М29 Становление и развитие творческого потенциала педагога в...»

«Аркадий Тихонов АВТОВАЗ – ЛОКОМОТИВ ПРОГРЕССА Тольятти–2010 ББК 65.304.62 Тихонов А.К. АВТОВАЗ – локомотив прогресса. – Российская инженерная академия, центр Материаловедение и технологии, Волжский филиал ИМЕТ им. А.А. Байкова РАН. Тольятти, АВТОВАЗ, 2010, 192 с. Монография посвящена рассмотрению и оценке этапов создания и развития Волжского автомобильного завода. В книге показана грандиозная работа, проведенная с конца 60-х годов прошлого и до начала нынешнего века по приобретению, созданию и...»

«Социальное неравенство этнических групп: представления и реальность Электронный ресурс URL: http://www.civisbook.ru/files/File/neravenstvo.pdf Перепечатка с сайта Института социологии РАН http://www.isras.ru/ СОЦИАЛЬНОЕ НЕРАВЕНСТВО НЕРАВЕНСТВО ЭТНИЧЕСКИХ ГРУПП: ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И РЕАЛЬНОСТЬ МОСКВА 2002 РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ЭТНОЛОГИИ ИНСТИТУТ И АНТРОПОЛОГИИ СОЦИОЛОГИИ Международный научно исследовательский проект Социальное неравенство этнических групп и проблемы...»

«Министерство образования Российской Федерации Государственное образовательное учреждение “ Красноярский государственный педагогический университет им. В.П. Астафьева” Г.Ф. Быконя Казачество и другое служебное население Восточной Сибири в XVIII - начале XIX в. (демографо-сословный аспект) Красноярск 2007 УДК 93 (18-19) (571.5); 351-755 БКК 63.3 Б 95 Ответственный редактор: Н. И. Дроздов, доктор исторических наук, профессор Рецензенты: Л. М. Дамешек, доктор исторических наук, профессор А. Р....»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт) НИИ истории казачества и развития казачьих регионов Т.В. Панкова-Козочкина, В.А. Бондарев КАЗАЧЬЕ-КРЕСТЬЯНСКОЕ ХОЗЯЙСТВО ЭПОХИ НЭПА: проблемы модернизации аграрных отношений на Юге России Научный редактор: доктор исторических наук, доктор...»

«ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ КАРЕЛЬСКОГО НАУЧНОГО ЦЕНТРА РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК УПРАВЛЕНИЕ РАЗВИТИЕМ ТУРИЗМА В РЕГИОНЕ ОПЫТ РЕАЛИЗАЦИИ СТРАТЕГИИ РЕСПУБЛИКИ КАРЕЛИЯ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ КАРЕЛЬСКОГО НАУЧНОГО ЦЕНТРА РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК УПРАВЛЕНИЕ РАЗВИТИЕМ ТУРИЗМА В РЕГИОНЕ ОПЫТ РЕАЛИЗАЦИИ СТРАТЕГИИ РЕСПУБЛИКИ КАРЕЛИЯ Петрозаводск УДК Рецензенты: Рудаков М.Н. доктор экономических наук, профессор Лесоинженерного...»

«ФОНД ПРАВОВЫХ ПРОБЛЕМ ФЕДЕРАЛИЗМА И МЕСТНОГО САМОУПРАВЛЕНИЯ ОФИЦИАЛЬНОЕ ЭЛЕКТРОННОЕ ОПУБЛИКОВАНИЕ ИСТОРИЯ / ПОДХОДЫ / ПЕРСПЕКТИВЫ Под редакцией заслуженного юриста Российской Федерации, доктора юридических наук, профессора Национального исследовательского университета Высшая школа экономики В.Б. Исакова Москва • 2012 УДК 34:002 ББК 67.400.6 О91 Официальное электронное опубликование: История, подходы, перспективы / Под ред. проф. В.Б. Исакова. — О91 М.: Формула права, 2012. — 320 с. ISBN...»

«И Н С Т И Т У Т П С И ХОА Н А Л И З А Психологические и психоаналитические исследования 2010–2011 Москва Институт Психоанализа 2011 УДК 159.9 ББК 88 П86 Печатается по решению Ученого совета Института Психоанализа Ответственный редактор доктор психологических наук Нагибина Н.Л. ПСИХОЛОГИЧЕСКИЕ И ПСИХОАНАЛИТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ. П86 2010–2011 / Под ред. Н.Л.Нагибиной. 2011. — М.: Институт Психоанализа, Издатель Воробьев А.В., 2011. — 268 с. ISBN 978–5–904677–04–6 ISBN 978–5–93883–179–7 В сборнике...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО Сочинский государственный университет туризма и курортного дела Филиал ГОУ ВПО Сочинский государственный университет туризма и курортного дела в г. Нижний Новгород Кафедра Реабилитологии РЕАБИЛИТАЦИЯ И СОЦИАЛЬНАЯ ИНТЕГРАЦИЯ ЛИЦ С ОТКЛОНЕНИЯМИ В СОСТОЯНИИ ЗДОРОВЬЯ Коллективная монография Нижний Новгород 2010 2 ББК К Реабилитация и социальная интеграция лиц с отклонениями в состоянии здоровья: коллективая монография / под ред. Е.М....»

«А.В. Сметанин Л.М. Сметанина Архангельская область: истоки, потенциал, модернизация Монография Архангельск ИПЦ САФУ 2013 УДК 338(470.11) ББК65.9(2Рос-4Арх) С50 Рецензенты: доктор социологических наук, профессор кафедры экономики, менеджмента и маркетинга Архангельского филиала Финансового университета при Правительстве РФ, член-корреспондент РАЕН О.В.Овчинников; доктор исторических наук, профессор Северного (арктического) федерального университета имени М.В.Ломоносова СИ.Шубин Сметанин А.В....»

«Барановский А.В. Механизмы экологической сегрегации домового и полевого воробьев Рязань, 2010 0 УДК 581.145:581.162 ББК Барановский А.В. Механизмы экологической сегрегации домового и полевого воробьев. Монография. – Рязань. 2010. - 192 с. ISBN - 978-5-904221-09-6 В монографии обобщены данные многолетних исследований автора, посвященных экологии и поведению домового и полевого воробьев рассмотрены актуальные вопросы питания, пространственного распределения, динамики численности, биоценотических...»

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК МУЗЕЙ АНТРОПОЛОГИИ И ЭТНОГРАФИИ им. ПЕТРА ВЕЛИКОГО (КУНСТКАМЕРА) Д. А. Самсонов КОРЕЙСКИЙ ЭТИКЕТ: ОПыТ ЭТНОГРАФИчЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ Санкт-Петербург Наука 2013 Электронная библиотека Музея антропологии и этнографии им. Петра Великого (Кунсткамера) РАН http://www.kunstkamera.ru/lib/rubrikator/03/03_03/978-5-02-038335-7/ © МАЭ РАН УДК 395(=531) ББК 63.5 С17 Рецензенты: д-р ист. наук, зав. Центром политической и социальной антропологии МАЭ РАН В. А. Попов; канд. ист. наук,...»

«АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН Г.Н. Петров, Х.М. Ахмедов Комплексное использование водно-энергетических ресурсов трансграничных рек Центральной Азии. Современное состояние, проблемы и пути решения Душанбе – 2011 г. ББК – 40.62+ 31.5 УДК: 621.209:631.6:626.8 П – 30. Г.Н.Петров, Х.М.Ахмедов. Комплексное использование водно-энергетических ресурсов трансграничных рек Центральной Азии. Современное состояние, проблемы и пути решения. – Душанбе: Дониш, 2011. – 234 с. В книге рассматриваются...»

«PERCEPTION, CONSCIOUSNESS, MEMORY Reflections of a Biologist G. ADAM Plenum Press. New York and London Д. АДАМ ВОСПРИЯТИЕ, СОЗНАНИЕ, ПАМЯТЬ Размышления биолога Перевод с английского канд. биол. наук Н. Ю. Алексеенко под редакцией д-ра биол. наук Е. Н. Соколова Москва Мир 1983 ББК 28. 903 А28 УДК 612 + 577.3 Адам Д. А28 Восприятие, сознание, память. Размышления биолога: Пер. с англ./Перевод Алексеенко Н. Ю.; Под ред. и с предисл. Е. Н. Соколова.—М.; Мир, 1983. —152 с, ил. Монография известного...»

«Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Гродненский государственный университет имени Янки Купалы Кафедра алгебры, геометрии и методики преподавания математики М.В. Касперко ФОРМИРОВАНИЕ МЕТОДИЧЕСКОЙ КОМПЕТЕНТНОСТИ БУДУЩЕГО УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ В УСЛОВИЯХ КЛАССИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Гродно 2012 УДК 378.4:51(035.3) ББК 74.262.21 К28 Рекомендовано Советом факультета математики и информатики ГрГУ им. Я. Купалы. Рецензенты: Казачёнок В.В., доктор педагогических наук,...»








 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.