WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Pages:   || 2 | 3 |

«РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В НЕЛИНЕЙНЫХ СЛОИСТЫХ СРЕДАХ Пенза Издательство ПГУ 2010 УДК 517.958+517.927.4 ББК 22.147 В15 Рецензенты: доктор физико-математических наук, профессор, ...»

-- [ Страница 1 ] --

Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов

РАСПРОСТРАНЕНИЕ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН

В НЕЛИНЕЙНЫХ СЛОИСТЫХ СРЕДАХ

Пенза

Издательство ПГУ

2010

УДК 517.958+517.927.4

ББК 22.147

В15

Рецензенты:

доктор физико-математических наук, профессор,

заведующий лабораторией вычислительной электродинамики

Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова А. С. Ильинский;

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики Московского государственного института радиотехники, электроники и автоматики (технического университета) А. Б. Самохин Валовик, Д. В.

В15 Распространение электромагнитных волн в нелинейных слоистых средах: монография / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2010. – 264 c.

ISBN 978-5-94170-324- Издание посвящено современным результатам в области распространения поляризованных электромагнитных волн в нелинейных слоях и круглых цилиндрических волноводах. Полученные результаты могут применяться для изучения как обычных нелинейных материалов, так и нелинейных метаматериалов. Книга предназначена для исследователей в области математической теории дифракции.

УДК 517.958+517.927. ББК 22. c Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г., ISBN 978-5-94170-324- c Издательство Пензенского государственного университета,

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие Введение Часть I. Краевые задачи для системы уравнений Максвелла в слое Глава 1. ТЕ- и ТМ-поляризованные электромагнитные волны, направляемые слоем.............. Глава 2. Распространение электромагнитных ТЕ-волн в линейном слое..................... Глава 3. Распространение электромагнитных ТЕ-волн в слое с произвольной нелинейностью......... Глава 4. Распространение электромагнитных ТЕ-волн в слое с обобщенной керровской нелинейностью.... Глава 5. Распространение электромагнитных ТМ-волн в линейном слое..................... Глава 6. Распространение электромагнитных ТМ-волн в слое с произвольной нелинейностью......... Глава 7. Распространение электромагнитных ТМ-волн в изотропном слое с керровской нелинейностью.... Глава 8. Распространение электромагнитных ТМ-волн в анизотропном слое с керровской нелинейностью... 4 ОГЛАВЛЕНИЕ Часть II. Краевые задачи для системы уравнений Максвелла в круглых цилиндрических волноводах Глава 9. ТЕ- и ТМ-поляризованные электромагнитные волны, направляемые круглым цилиндрическим волноводом....................... Глава 10. Распространение электромагнитных ТЕ-волн в линейном круглом цилиндрическом волноводе.... Глава 11. Распространение электромагнитных ТЕ-волн в круглом цилиндрическом волноводе Глава 12. Распространение электромагнитных ТМ-волн в линейном круглом цилиндрическом волноводе.... Глава 13. Распространение электромагнитных ТМ-волн в круглом цилиндрическом волноводе Список литературы

ПРЕДИСЛОВИЕ

В монографии излагаются современные результаты исследования задач распространения поляризованных электромагнитных волн в нелинейных волноведущих структурах, а именно в нелинейных слоях и нелинейных цилиндрических волноводах.

В рассматриваемых средах диэлектрическая проницаемость является функцией от напряженности электрического поля. В книге изложены результаты, полученные авторами в самое последнее время и частично опубликованные в научной периодике. Но мы хотим представить эти результаты в одной монографии, поскольку они объединены общей электродинамической постановкой и общим методом решения. Также в книге мы имеем возможность представить результаты с более подробными доказательствами, что не всегда возможно сделать в журнальных публикациях.

Существенной особенностью книги является рассмотрение задач в строгой электродинамической постановке как нелинейных краевых задач на собственные значения для системы уравнений Максвелла.

Монография состоит из введения и двух частей, которые делятся на несколько глав. Каждая глава содержит самостоятельный результат относительно того или иного типа волн, распространяющихся в определенной структуре с определенным типом нелинейности.

Введение посвящено небольшому обзору состояния вопроса, обсуждению результатов монографии и обсуждению использованных подходов к решению задач. Также во введении мы совсем

6 ПРЕДИСЛОВИЕ

кратко коснулись некоторых нерешенных вопросов в надежде привлечь внимание исследователей к этим трудным и интересным задачам.

Первая часть посвящена изучению линейных и нелинейных краевых задач для поляризованных ТЕ- и ТМ-волн, распространяющихся в слоях с произвольной нелинейностью.

Вторая часть посвящена распространению поляризованных электромагнитных ТЕ- и ТМ-волн в нелинейных цилиндрических волноводах с керровской нелинейностью.

Мы постарались написать книгу так, чтобы каждая глава была независима от остальных. Это позволит читателю сразу обратиться именно к тому вопросу, который его интересует. По этой причине в главах есть некоторые повторения. Однако перекрестные ссылки между главами все равно присутствуют, они, как правило, относятся к сравнению различных результатов.

В каждой главе принята сквозная нумерация формул, определений, утверждений, теорем и рисунков. Если ссылка дается на формулу из другой главы, то перед номером формулы добавляется номер соответствующей главы. Аналогично нумеруются определения, теоремы и т.д.

Подчеркнем, что результаты, представленные в монографии, позволяют изучать как обычные нелинейные материалы, так и нелинейные метаматериалы.

Монография рассчитана на научных работников, аспирантов, студентов, специализирующихся в области исследования задач электродинамики, а также математического моделирования процессов распространения электромагнитных волн.

Авторы надеются, что изучение методов, представленных в монографии, расширит математический кругозор исследователей в области электродинамики и, возможно, позволит решить новые сложные задачи.

ВВЕДЕНИЕ

Задачи распространения электромагнитных волн в нелинейных средах интенсивно изучаются в течение нескольких десятилетий. К первым монографиям по этому вопросу, по-видимому, следует отнести работы [9, 2]. К таким задачам относится распространение волн в волноведущих структурах и, в частности, распространение волн в диэлектрическом слое и диэлектрическом круглом цилиндрическом волноводе. Явления распространения электромагнитных волн в нелинейных средах представляют как самостоятельный интерес1, так и находят широкое применение, например: в физике плазмы, в современной микроэлектронике, в оптике, в лазерной технике [9, 33]. Нелинейные эффекты наблюдаются в таких соединениях, как жидкие кристаллы [65], полупроводники InSb и HgCdTe и т.д. Вследствие этого большое значение приобретает разработка математических моделей для таких задач и методов их решения.

К основным нелинейным эффектам, возникающим в веществе при распространении в нем электромагнитных волн, относятся явления самофокусировки, дефокусировки и самоканализации лучей и т.д. [9, 33]. В связи с большим количеством нелинейных эффектов и различным их влиянием на распространение электромагнитных волн в веществе большое значение приобретает аналитическое и численное изучение таких явлений.

Учет нелинейных эффектов при построении математических моделей для описания подобных явлений приводит к заЗдесь возникают трудные нелинейные краевые задачи на собственные значения для системы уравнений Максвелла.

дачам решения систем нелинейных дифференциальных уравнений, точнее, к нелинейным краевым задачам на собственные значения, которые в большинстве случаев не поддаются решению в аналитическом виде (для случая керровской нелинейности см., например, [60, 61]). Подобные трудности приводят к тому, что исследователи рассматривают такие задачи при некоторых упрощениях [58] или аппроксимируют решения простыми функциями [71] без достаточного обоснования (в [58, 71] рассматривается керровская нелинейность).

По-видимому, впервые задачи распространения поляризованных волн в слое и круглом цилиндрическом волноводе с керровской нелинейностью в строгой электродинамической постановке были сформулированы в работе [60].

Задачи распространения поляризованных волн в линейном слое и линейном круглом цилиндрическом волноводе изучены достаточно хорошо (см., например, [1, 10, 83]). Такие задачи формулируются как краевые задачи на собственные значения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако в случае нелинейных задач многие авторы (см., например, [62, 68, 69, 73, 79]) основное внимание уделяют нахождению явных решений получающихся дифференциальных уравнений и не акцентируют внимание на разыскании дисперсионных уравнений2. В большинстве случаев уравнения проинтегрировать не удается. Конечно, располагая явными решениями дифференциальных уравнений, можно легко построить дисперсионные уравнения. Поэтому, когда уравнения не удается проинтегрировать явно, до дисперсионного уравнения дело просто не доходит. Однако в некоторых случаях дисперсионное уравнение можно найКогда говорят, что диэлектрическая проницаемость среды изменяется по закону Керра, то имеют в виду, что = пост + |E|2, пост – постоянная составляющая диэлектрической проницаемости ; – коэффициент нелинейности; |E|2 = Ex + Ey + Ez – квадрат модуля напряженности электрического поля E.

С математической точки зрения дисперсионное уравнение – это уравнение для собственных значений задачи, анализ которого позволяет делать заключения о разрешимости задачи, о локализации собственных значений.

ти в явной форме и при этом не обладать явными решениями дифференциальных уравнений. Подчеркнем, что такие задачи естественно рассматривать именно как задачи на собственные значения. Действительно, основной интерес в таких задачах представляет нахождение тех значений спектрального параметра (по сути собственных чисел), при которых волна в рассматриваемой волноведущей структуре распространяется. Если собственное значение известно, то решения дифференциальных уравнений легко находится численно. Если же собственное значение неизвестно, то применить численные методы не удается.

Подробнее остановимся на случае керровской нелинейности.

Наиболее изучены явления распространения ТЕ-поляризованных электромагнитных волн. Статья [72] посвящена изучению распространения электромагнитных волн в нелинейном диэлектрическом слое с поглощением, причем отдельно изучается случай нелинейности по закону Керра. В работе [73] изучается отражение и прохождение электромагнитных ТЕ-волн в нелинейном слое. В этом случае удается проинтегрировать получившиеся обыкновенные дифференциальные уравнения и выразить компоненты электромагнитного поля в терминах эллиптической функции Вейерштрасса.

Случай распространения электромагнитных ТМ-волн в нелинейных средах является более сложным, чем случай ТЕ-волн, так как наличие двух компонент электрического поля сильно усложняет анализ [57]. Это связано с тем, что диэлектрическая проницаемость достаточно просто выражается в терминах компонент электрического поля и наличие двух компонент электрического поля приводит к более сложной зависимости диэлектрической проницаемости от интенсивности электромагнитного поля. А это, в свою очередь, приводит к усложнению уравнений, описывающих распространение волн. В уже упоминавшейся работе [58] рассматривается линейный диэлектрический слой, окруженный с одной или двух сторон нелинейной средой с нелинейностью, выраженной законом Керра.

Подобная задача для ТЕ-волн решена аналитически [56, 77].

Для случая ТМ-волн в [58] получено дисперсионное уравнение для собственных значений задачи, которое представляет собой алгебраическое уравнение. Ранее [55] было получено аналогичное уравнение при условии, что в законе Керра учитывается только продольная компонента Ex электрического поля. Позднее [78] было показано, что доминирующий нелинейный вклад в диэлектрическую проницаемость пропорционален поперечной компоненте Ez. В работах [14, 62] рассматривается распространение электромагнитных ТМ-волн в нелинейном полупространстве с нелинейностью по закону Керра. Приводятся формальные решения в квадратурах получающихся дифференциальных уравнений. В работе [62] также представлены дисперсионные уравнения как для случая изотропной, так и анизотропной среды в нелинейном полупространстве. Дисперсионные уравнения для собственных значений представляют собой рациональные функции значений компонент поля на границе раздела сред и находятся аналитически из простейших алгебраических уравнений. Авторы находят первый интеграл системы, описывающей распространение волн (так называемый закон сохранения).

Уравнения являются дифференциальными уравнениями первого порядка, разрешенными относительно производной. Это и позволяет формально проинтегрировать получающиеся уравнения при условии, что необходимую компоненту можно выразить из первого интеграла. Авторами приводится необходимое и достаточное условие того, чтобы дифференциальное уравнение, связывающее компоненты поля, являлось уравнением в полных дифференциалах и, следовательно, его решение (первый интеграл) можно было найти аналитически. Это условие выглядит следующим образом: xx = zz, где xx и zz – компоненты диаEz Ex гонального тензора диэлектрической проницаемости в направлениях Ox и Oz соответственно.

В некоторых случаях более сложной нелинейности уравнение удастся проинтегрировать, найдя подходящий интегрирующий множитель (авторы упомянули об этом в конце указанной работы). В случае аналогичной задачи для ТЕ-волн наличие всего лишь одной компоненты электрического поля позволяет получить точные результаты [63, 64, 67, 85]. В работах [68, 69] распространение ТМ-волн изучается в терминах магнитной компоненты электромагнитного поля. В работе [69] изучается распространение ТМ-волн в нелинейном изотропном полупространстве, причем нелинейность – это произвольная функция квадрата интенсивности электрического поля, в качестве примера найденные результаты применяются к случаю нелинейности типа Керра. Работа [68] посвящена изучению рассеяния электромагнитных ТМ-волн в тонком нелинейном слое. В качестве диэлектрической проницаемости выступает произвольная функция от квадрата интенсивности электрического поля. Представлено формальное решение в квадратурах. В работе [55] проводится обоснование с физической точки зрения возможности учета только одной из компонент электрического поля в выражении для диэлектрической проницаемости в случае распространения ТМ-волн в нелинейном слое. Проводится сравнение с аналогичным случаем для ТЕ-волн.

Таким образом, можно сказать, что наиболее важные результаты по распространению ТМ-волн в слое и круглом цилиндрическом волноводе с керровской нелинейностью (система дифференциальных уравнений, первые интегралы, а из них, фактически, следует интегрируемость в квадратурах) были получены в работах [60, 61], выполненных в 1971–1972 гг. В некоторых работах (например, [68]) рассматривалось распространение поляризованных волн в слое с произвольной нелинейностью. Однако дисперсионные уравнения не были найдены, также не было получено никаких результатов относительно разрешимости краевой задачи и локализации собственных значений (достаточно полно была изучена лишь задача для ТЕ-волн, распространяющихся в слое с керровской нелинейностью). Задача о распространении ТМ-волн в слое с керровской нелинейностью была решена относительно недавно сначала для достаточно тонкого слоя [18], потом для слоя произвольной толщины [16, 17, 82], теоремы о существовании и локализации были доказаны в [13], некоторые численные результаты представлены в [19, 20].

Как уже было сказано, случай ТЕ-волн и керровской нелинейности (и даже обобщенной керровской) оказывается относиВВЕДЕНИЕ тельно простым. Простым в том смысле, что там удается проинтегрировать получающиеся дифференциальные уравнения [73].

Однако использованная там техника не может быть легко распространена (если вообще может) на более общие нелинейности.

Уже в случае ТМ-волн и керровской нелинейности (а это простейший случай для ТМ-волн) задача значительно усложняется.

A posteriori стало ясно, почему сравнительно легко удалось решить эту задачу для ТЕ-волн и почему такие трудности вызывала задача для ТМ-волн. В случае ТЕ-волн решение дифференциального уравнения выражалось через эллиптические функции, а решение для ТМ-волн выражается через гиперэллиптические.

В первом случае в [73] уравнение было проинтегрировано аналитически, а уже потом искали дисперсионное уравнение. Во втором случае найти аналитическую формулу (с которой можно работать) для решений получающейся системы оказалось трудно (она так и не была построена), поскольку периоды искомой гиперэллиптической функции были функциями параметров задачи и вычислить их не представлялось возможным. А без значений периодов решение было бы лишь формальным выражением, которое вряд ли возможно будет проанализировать и использовать при расчетах. Кроме того, решение уравнений – это еще не решение задачи на собственные значения. Если же рассматривать эту задачу как задачу на собственные значения, то можно сосредоточиться на поиске дисперсионного уравнения для собственных значений и не пытаться решать уравнения. Тем более, когда собственные значения известны, сами уравнения легко решаются численно [19, 20].

В рассматриваемых в этой книге задачах дисперсионное уравнение представляет собой собственно уравнение и некоторые условия. Только в случае линейных сред в слое или круглом цилиндрическом волноводе эти дисперсионные уравнения являются относительно простыми (но и в этом случае это трансцендентные уравнения). В случае нелинейных слоев дисперсионные уравнения – это довольно сложные комбинации нелинейных интегральных уравнений, в которых подынтегральные выражения определяются неявными алгебраическими (или трансцендентВВЕДЕНИЕ ными) функциями. В случае нелинейных круглых цилиндрических волноводов некоторые результаты удалось получить только для случая керровской нелинейности. Подчеркнем, что несмотря на то, что дисперсионные уравнения являются сложными, они относительно легко поддаются численному решению.

Полученные дисперсионные уравнения с единой точки позволяют изучать как обычные нелинейные материалы, так и нелинейные метаматериалы. Если говорить о материале с постоянной диэлектрической и магнитной проницаемостями, то обычным материалом называют материал с одновременно положительными и. Если же хоть одна из этих характеристик отрицательна, то говорят о метаматериале. Линейные и нелинейные метаматериалы активно изучаются в настоящее время (статья В. Г. Веселаго [21] – первая широко известная работа на эту тему) и здесь уже огромное количество работ (см. например, [4, 52, 53, 54, 70, 84] и библиографию там). Заметим, что мы изучаем материалы с произвольного знака и считаем, что 0. Однако в полученных дисперсионных уравнениях изменение знака легко учесть. Таким образом, представленные дисперсионные уравнения позволяют изучать практически любые материалы.

На протяжении всей книги мы сосредоточимся на выводе дисперсионных уравнений для рассматриваемых задач. Метод получения таких уравнений носит название метода интегральных дисперсионных соотношений. В случае слоя указанный метод позволяет исследовать нелинейность практически любого типа. Полученные дисперсионные уравнения позволяют исследовать распространение электромагнитных ТЕ- и ТМ-волн не только в обычных нелинейных материалах, но и в нелинейных метаматериалах. Также на основе дисперсионных уравнений в линейных слоях и волноводах мы проведем анализ распространения волн в линейных метаматериалах.

Как известно, диэлектрическая проницаемость есть диагональный тензор, ее записывают в виде диагональной матрицы 3 3. Тензорный характер диэлектрическая проницаемость имеет для анизотропных сред, а для изотропных сред диэлектричеВВЕДЕНИЕ ская проницаемость – скаляр. Однако для ТЕ-поляризованных волн даже в случае анизотропных сред учитывается только один элемент тензора диэлектрической проницаемости. Для ТМ-волн мы рассмотрим, как анизотропные, так и изотропные среды.

Заметим, что существует одно принципиальное различие между распространением поляризованных волн в нелинейном слое и в нелинейном круглом цилиндрическом волноводе. Дифференциальные уравнения, описывающие распространение ТЕи ТМ-волн в слое, где диэлектрическая проницаемость является функцией от напряженности электрического поля, являются автономными. В случае круглого цилиндрического волновода эти уравнения уже не являются автономными. Этот факт является существенным препятствием для распространения результатов, относящихся к нелинейному слою на нелинейный круглый цилиндрический волновод.

Здесь, когда мы говорим о нелинейных краевых задачах, то мы имеем в виду, что дифференциальные уравнения нелинейны относительно входящих в них функций; спектральный параметр входит в дифференциальные уравнения нелинейно, и краевые условия так же являются нелинейными относительно спектрального параметра. Все это не позволяет применять известные методы исследования спектральных задач и сильно усложняет их исследование.

Также большое внимание привлекают задачи распространения ТЕ- и ТМ-волн в нелинейных цилиндрических волноводах.

Эти задачи гораздо более сложные по сравнению с только что рассмотренными. И в первую очередь (с точки зрения авторов) это связано с тем, что в случае волновода получающиеся обыкновенные дифференциальные уравнения не являются автономными (в отличие от случая слоя). Тем не менее методами теории интегральных уравнений получены дисперсионные уравнения (для достаточно малых значений коэффициента нелинейности, обеспечивающих сходимость метода сжимающих отображений) для ТЕ- и ТМ-волн в цилиндрических волноводах с керровской нелинейностью (см. работы [41, 47], постановка задачи есть также в [60]).

В настоящее время проблема нахождения дисперсионных уравнений для собственных значений для ТЕ- и ТМ-волн в цилиндрическом волноводе с произвольной нелинейностью является открытой. И даже в случае керровской нелинейности хотелось бы получить дисперсионные уравнения для более широкого диапазона значений коэффициента нелинейности.

ЧАСТЬ I

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ,

НАПРАВЛЯЕМЫЕ СЛОЕМ

В этой главе приводятся известные результаты о распространении электромагнитных волн в слое с постоянной диэлектрической проницаемостью. Как известно [40], в этом случае вместо электромагнитного поля, у которого все координаты отличны от нуля, достаточно рассматривать ТЕ- и ТМполяризованные электромагнитные волны. Такой подход в дальнейшем позволит перейти от уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям. В изложении вопроса о ТЕ- и ТМ-поляризованных волнах, направляемых слоем, мы в основном следовали работе [1], также мы обращались к книгам [10, 35].

Рассмотрим электромагнитные волны, распространяющиеся через однородный, анизотропный, немагнитный диэлектрический слой, расположенный между двумя полупространствами x 0 и x h в декартовой системе координат Oxyz. Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянную диэлектрическую проницаемость 1 0 и 3 0 соответственно, где 0 – диэлектрическая проницаемость вакуума. Считаем, что всюду = 0 – магнитная проницаемость вакуума.

Гл. 1. ТЕ- и ТМ-поляризованные волны, направляемые слоем Считаем поля гармонически зависящими от времени [60]:

где – круговая частота; E, E+, E, H, H+, H – вещественные искомые функции.

Образуем комплексные амплитуды полей E и H:

где знак ( · )T обозначает операцию транспонирования и Везде ниже множители cos t и sin t будем опускать.

Электромагнитное поле E, H удовлетворяет системе уравнений Максвелла условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границе раздела сред x = 0, x = h и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при |x| в областях x 0 и x h.

Диэлектрическая проницаемость внутри слоя описывается диагональным тензором:

где xx, yy, zz – постоянные величины.

Будем искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве.

На рис. 1 схематически изображена геометрия задачи. Слой не ограничен в направлениях y и z.

Выпишем систему (1) в развернутом виде:

В рассматриваемом случае все производные по y обращаются в нуль. Это следует из предположения, что в положительном и отрицательном направлениях оси y волновод (слой) не ограничен, т.е. распределение полей мод в направлении оси y однородно. Тогда система (2) примет вид Поскольку производные по y обращаются в нуль, значит, соответствующие функции от y не зависят. Из первой группы уравнений системы (2) видно, что Hx и Hz не зависят от y, тогда и Ey не зависит от y. Из второй группы уравнений системы (2) Гл. 1. ТЕ- и ТМ-поляризованные волны, направляемые слоем видно, что Ex и Ez не зависят от y, тогда и Hy не зависит от y.

Таким образом, получаем, что Перегруппируем уравнения системы (3) таким образом:

Видно, что исходная система (1) распалась на две независимые друг от друга системы (4).

возникает из системы (1), если поля E, H имеют вид Причем здесь можно считать, что после подстановки этих выражений в уравнения (1) получим, что функции Ex, Ez, Hy не зависят от y.

возникает из системы (1), если поля E, H имеют вид Причем здесь можно считать, что после подстановки этих выражений в уравнения (1) получим, что функции Ey, Hx, Hz не зависят от y.

Волны вида (5) называются ТМ-поляризованными электромагнитными волнами1, или волнами электрического типа, или волнами типа E.

Волны вида (6) называются ТE-поляризованными электромагнитными волнами2, или волнами магнитного типа, или волнами типа H.

Как известно, в однородных направляющих структурах, таких как, например, слой с постоянной диэлектрической проницаемостью, всякая электромагнитная волна представляется в виде суперпозиции ТЕ- и ТМ-волн [40]. Именно это обстоятельство и позволяет изучать распространение электромагнитных волн в линейном слое лишь для поляризованных волн, что, конечно, значительно упрощает анализ возникающих уравнений. Такая ситуация отнюдь не характерна для слоя с нелинейным заполнением (например, когда диэлектрическая проницаемость в слое является функцией от напряженности электрического поля). Задача распространения электромагнитных волн в таком нелинейном слое, конечно, не распадается на две более простые задачи.

Поэтому, изучая распространение ТЕ- и ТМ-поляризованных волн в нелинейных слоях, мы, вообще говоря, находим лишь частные решения уравнений Максвелла (1), которые соответствуют упомянутым поляризациям.

от англ. transverse-magnetic.

от англ. transverse-electric.

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ

ТЕ-ВОЛН В ЛИНЕЙНОМ СЛОЕ

В этой главе изучается распространение электромагнитных ТЕ-волн в слое с постоянной диэлектрической проницаемостью (так называемый линейный слой). Несмотря на то, что эта задача является классической в электродинамике и рассматривается во многих книгах, нам не удалось найти источник с изложением, подходящим для наших целей. Поэтому мы предпочли вывести все необходимые результаты здесь, тем более, что эти результаты часто используются в дальнейшем изложении.

§1. Уравнения Максвелла и постановка задачи Рассмотрим электромагнитные волны, распространяющиеся через однородный, изотропный, немагнитный диэлектрический слой, расположенный между двумя полупространствами x 0 и x h в декартовой системе координат Oxyz. Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянную диэлектрическую проницаемость 1 0 и 3 0 соответственно, где 0 – диэлектрическая проницаемость вакуума. Вообще говоря, условия 1 0 и необязательны, они не используются при выводе дисперсионных уравнений, однако могут оказаться полезными при анализе разрешимости дисперсионных уравнений. Считаем, что всюду = 0 – магнитная проницаемость вакуума.

Считаем поля гармонически зависящими от времени [60]:

где – круговая частота; E, E+, E, H, H+, H – вещественные искомые функции.

Образуем комплексные амплитуды полей E и H:

Везде ниже множители cos t и sin t будем опускать.

Электромагнитное поле E, H удовлетворяет системе уравнений Максвелла условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границе раздела сред x = 0, x = h и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при |x| в областях x 0 и x h.

Диэлектрическая проницаемость внутри слоя есть = 2.

Будем искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве.

На рис. 1 схематически представлена геометрия задачи.

§2. ТЕ-поляризованные электромагнитные волны Рассмотрим ТЕ-поляризованные волны где Ey = Ey (x, y, z), Hx = Hx (x, y, z), Hz = Hz (x, y, z).

Подставив поля E и H в уравнения Максвелла (1), получим Из первого и третьего уравнений этой системы видно, что Hz и Hx не зависят от y; поскольку Ey выражается через Hz и Hx, то Ey также не зависит от y.

Волны, распространяющиеся вдоль границы z раздела сред (а мы ищем именно их), гармонически зависят от z. Значит, компоненты полей E, H имеют представление Тогда рассмотренная выше система принимает вид где – неизвестный спектральный параметр (постоянная распространения электромагнитной волны).

После простейших преобразований из системы (2) получаем Пусть k2 = 2 0, = 0, выполним нормировку в соответj ствии с формулами x = kx, dx = k d, =, j = 0 (j = 1, 2, 3).

Обозначим Ey () Y (). Опуская значок тильды, получаем Введем в рассмотрение функцию Z(x) = Y (x) и будем рассматривать (3) как систему:

Будем искать те действительные значения спектрального параметра, для которых существуют действительные решения Y (x), Z(x) системы (4).

Замечание. Мы считаем действительным, хотя в линейном случае можно считать спектральный параметр комплексным числом. В нелинейном случае при используемом подходе уже не удается рассматривать комплексные.

Считаем, что функции Y и Z дифференцируемы так, что Считаем, что 2 max(1, 3 ). Отметим, что последнее условие имеет место только в случае, если хотя бы одна из величин 1 или 3 положительна, если же 1 0 и 3 0, то 2 0.

§3. Решение системы дифференциальных уравнений его общее решение Y (x) = A1 e 1 x + Ae 1 x, в силу условия на бесконечности получаем решения Здесь мы считаем 2 1 0, ибо в противном случае мы получим общее решение, выраженное через синусы и косинусы действительного аргумента и, таким образом, не сможем удовлетворить условию излучения на бесконечности. Случай 2 1 = тоже невозможен, так как в этом случае мы получаем при x постоянное решение, которое не удовлетворяет условию излучения на бесконечности.

его общее решение Y (x) = B1 e(xh) 3 + Be(xh) 3, в силу условия на бесконечности получаем решения Здесь по тем же причинам, что и при x 0, мы считаем Постоянные A и B в (5) и (6) определяются граничными условиями.

Внутри слоя 0 x h имеем = 3. Из (4) получаем уравнение Y = ( 2 2 )Y. Здесь мы можем рассматривать два случая:

а) 2 2 0; общее решение внутри слоя есть б) 2 2 0; общее решение внутри слоя есть Легко можно показать, что 2 = 2. В этом случае, очевидно, Y = C1 + C2 x, Z = C2, где C1, C2 – постоянные интегрирования. Теперь, забегая немного вперед, скажем, что если использовать условия сопряжения и найти значение h для 2 = 2, мы получим, что h 0, из этого и следует, что 2 = 2.

§4. Условия сопряжения Как известно, касательные составляющие электромагнитного поля непрерывны на границе раздела сред. В рассматриваемом случае касательными составляющими являются компоненты Ey и Hz. Из этого условия получаем где постоянная Ey = Y (h) = Ey (h + 0) считается известной, Отсюда получаем, что где Ey = Y (0) = Ey (0 0), тогда Из непрерывности касательных составляющих компонент поля следуют условия сопряжения для функций Y и Z:

где [f ]x=x0 = lim f (x) lim f (x) обозначает скачок функxx0 0 xx0 + ции на границе раздела сред.

Обозначаем Y (h) = Ey (известная величина – падающее поле), Y (0) = Ey, причем В случае (а) из условий сопряжения (9) и решений (5)–(7) получаем систему решив которую, получаем дисперсионное уравнение В случае (б) из условий сопряжения (9) и решений (5), (6), (8) получаем систему Из последней системы находим если cos Если же cos 2 2 h = 0, то можно выписать собственные значения явно.

Из последнего уравнения находим 2 и, выполнив простейшие преобразования, получаем окончательно причем в силу условий 2 1 0, 2 2 0, 2 3 0 подкоренное выражение в (13) неотрицательно. Легко проверить, что выражения (13) действительно удовлетворяют уравнению (11).

В еще более простом случае 1 = 3 = из (13) получаем Уравнение (12) можно формально получить из (10), просто заменив в (10) 2 2 на (2 2 ) и учитывая появление мнимой единицы при извлечении корня. Или аналогичным образом из (12) можно получить уравнение (10).

§5. Анализ дисперсионных уравнений В обоих дисперсионных уравнениях (10), (12) из условий 2 1 0 и 2 3 0 следует, что 1 и 3 могут быть произвольных знаков (как раз об этом мы упоминали в §1). Рассмотрим наиболее распространенный случай, когда 1 0 и 3 0, где 0 – диэлектрическая проницаемость вакуума. Ясно, что классическое уравнение (12) вообще не допускает метаматериала в слое, поскольку при его выводе используется условие 2 2 0, а значит, 2 0. В этом отношении указанное уравнение не представляет интереса с точки зрения изучения метаматериалов.

когда хотя бы одна из величин 1 или 3 больше нуля, если же Перейдем к анализу дисперсионных уравнений (10) и (12).

Уравнение (10) запишем в виде где k Z.

Поскольку множитель перед логарифмом в (14) положителен, то в этом случае всегда h 0. Но h обозначает толщину слоя, поэтому такой случай физически не реализуется.

Теперь перейдем к уравнению (12). Это уравнение является классическим и при 1 = 3 приведено в [83]. Из условия 2 2 0 сразу получаем, что 2 0. Из этого и рассмотрения уравнения (10) следует, что в случае ТЕ-поляризации волн в линейном слое с отрицательной диэлектрической проницаемостью не существует!

Легко показать, что (12) можно представить в форме где n 1 – целое число.

Действительно, поскольку | arctg x|, то ясно, что как только n + 1 1, то h 0. Отсюда следует, что n + 1 0, а поскольку n – целое число, то n 11.

Из последней формулы ясно, что прямая 2 = 2 является асимптотой: h = lim h() = +. При 2 2 мы получаем мнимые значения для h. Из этого и условия 2 max(1, 3 ) мы получаем важное следствие: в случае распространения ТЕ-волн в линейном слое для спектрального параметра выполняется неравенство где хотя бы одна из величин 1 или 3 положительна. Если же 1 0 и 3 0, то справедливо неравенство Ясно, что 0 h +. Причем чем меньше 2, тем больше значение h.

обращается в нуль в некоторой точке (max(1, 3 ), 2 ). Это означает, что функция arctg терпит в этой точке разрыв. Этот разрыв, как известно, первого рода, и скачок равен. Отсюда получается, что каждая дисперсионная кривая состоит из двух кусков: первый кусок соответствует 2 (max(1, 3 ), ), второй кусок соответствует 2 (, 2 ). Причем если мы рассматриваем какую-то конкретную дисперсионную кривую, то первый кусок есть часть этой кривой, а второй представляет собой часть следующей дисперсионной кривой. Таким образом, целая дисперсионная кривая состоит из своего“ первого куска и второго куска, принадлежащего предыдущей дисперсионной кривой, вместе эти два куска образуют непрерывную дисперсионную кривую. Поэтому, когда n = 1 в (15), то кривая h h(), определяемая (15), частично лежит в полуплоскости h 0, а частично в полуплоскости h 0. И мы оставляем только ту часть дисперсионной кривой, которая лежит в полуплоскости h 0.

Из вышесказанного относительно правой части дисперсионного уравнения (15) можно получить такое Замечание. В слое с постоянной диэлектрической проницаемостью всегда распространяется конечное число волн (равное количеству собственных значений). Чем больше величина h, тем больше волн в таком слое распространяется. Существует h такое, что при h h волны в рассматриваемом слое не распространяются.

Этот вывод характерен только для линейной волноведущей структуры. В случае нелинейного слоя может оказаться, что для любого значения h может существовать бесконечное число собственных значений, а значит, и волн.

Ясно, что рассматриваемую задачу можно было бы сформулировать как краевую задачу на собственные значения и решения дисперсионных уравнений были бы решениями такой задачи. Тогда последнее замечание можно было бы переформулировать в соответствующую теорему. Однако мы не стали этого делать, так как дифференциальные уравнения линейные и результаты сами по себе достаточно просты.

На рис. 2, 3 представлены дисперсионные кривые для различных значений параметров.

Количество собственных значений определяется следующим образом: например, на рис. 2 проводим вертикальную линию, соответствующую толщине h, изучаемого слоя (пунктирная пряЧасть I. Краевые задачи в слое мая h = 10). Тогда количество собственных значений равно количеству пересечений только что построенной вертикальной линии с дисперсионными кривыми (на рис. 2 таких пересечений шесть, они отмечены черными точками, значит, и собственных значений шесть). Также понятно, что при увеличении h количество собственных значений будет возрастать.

В случае, когда 1 0, 3 0 или 1 0, 3 0, качественно дисперсионные кривые выглядят так же, как на рис. 3.

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ

ТЕ-ВОЛН В СЛОЕ С ПРОИЗВОЛЬНОЙ

НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

В этой главе рассматривается задача распространения электромагнитных ТЕ-волн в слое, заполненном средой, диэлектрическая проницаемость которой является произвольной функцией от напряженности электрического поля. Изучается как случай обычного нелинейного материала, так и нелинейного метаматериала (обобщенное дисперсионное уравнение).

Результаты этой главы опубликованы в [11].

§1. Уравнения Максвелла и постановка задачи Рассмотрим электромагнитные волны, распространяющиеся через однородный, изотропный, немагнитный диэлектрический слой, расположенный между двумя полупространствами x 0 и x h в декартовой системе координат Oxyz. Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянную диэлектрическую проницаемость 1 0 и 3 0 соответственно, где 0 – диэлектрическая проницаемость вакуума. Вообще говоря, условия 1 0 и необязательны, они не используются при выводе дисперсионных уравнений, однако могут оказаться полезными при анализе разрешимости дисперсионных уравнений. Считаем, что всюду = 0 – магнитная проницаемость вакуума.

Считаем поля гармонически зависящими от времени [60]:

где – круговая частота; E, E+, E, H, H+, H – вещественные искомые функции.

Образуем комплексные амплитуды полей E и H:

Везде ниже множители cos t и sin t будем опускать.

Электромагнитное поле E, H удовлетворяет системе уравнений Максвелла условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границе раздела сред x = 0, x = h и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при |x| в областях x 0 и x h.

Диэлектрическая проницаемость внутри слоя имеет вид где f – произвольная аналитическая функция, и мы считаем, что 2 max (1, 3 ). Объяснение последнего условия см. в конце §2.

Будем искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве.

На рис. 1 схематически представлена геометрия задачи.

Гл. 3. ТЕ-волны в слое с произвольной нелинейностью §2. ТЕ-поляризованные электромагнитные волны Рассмотрим ТЕ-поляризованные волны:

где Ey = Ey (x, y, z), Hx = Hx (x, y, z), Hz = Hz (x, y, z).

Подставив поля E и H в уравнения Максвелла (1), получим Из первого и третьего уравнений этой системы видно, что Hz и Hx не зависят от y; поскольку Ey выражается через Hz и Hx, то Ey также не зависит от y.

Волны, распространяющиеся вдоль границы z раздела сред (а мы ищем именно их), гармонически зависят от z. Значит, компоненты полей E, H имеют представление Тогда рассмотренная выше система принимает вид где – неизвестный спектральный параметр (постоянная распространения электромагнитной волны).

После простейших преобразований из системы (2) получаем Пусть k2 = 2 0, = 0, выполним нормировку в соответj ствии с формулами x = kx, dx = k d, =, j = 0 (j = 1, 2, 3).

Обозначим Ey () Y (). Опуская значок тильды, получаем Введем в рассмотрение функцию Z(x) = Y (x) и будем рассматривать (3) как систему:

Будем искать те значения спектрального параметра (собственные значения), для которых существуют не равные тождественно нулю действительные решения Y (x), Z (x) системы (4).

Полагаем действительным (так что |E|2 не зависит от z 1, см.

также замечание на с. 26) и считаем Считаем, что функции Y и Z дифференцируемы так, что Только что указанные условия непрерывности и дифференцируемости функций Y и Z продиктованы физическим содержанием задачи. Видно, что система (4) является автономной. Такую систему можно рассматривать как динамическую систему Так как E = 0, Ey (x)eiz, 0 = eiz (0, Ey, 0), то |E| = eiz Ey. Как (в зависимости от знака ). Тогда компонента Ey должна зависеть от z, а это противоречит выбору Ey (x). Поэтому мы рассматриваем только действительные.

Гл. 3. ТЕ-волны в слое с произвольной нелинейностью с аналитическими по Y и Z правыми частями. Известно (см., например, [5]), что решения Y, Z такой динамической системы сами являются аналитическими функциями независимой переменной. Именно для этого мы потребовали, чтобы функция нелинейности f была аналитической. Этот факт окажется важным при выводе дисперсионных уравнений.

Последнее условие соответствует классической задаче распространения ТЕ-волн в линейном слое при 1 0, 3 0, где 0 – диэлектрическая проницаемость вакуума и 2 max(1, 3 ).

Это условие естественно возникает в указанной задаче (см. гл. 2), и поэтому мы придерживаемся его при выводе дисперсионного уравнения для нелинейного слоя. В §6 мы выведем дисперсионное уравнение в более общих предположениях. Заметим еще, что условие 2 max(1, 3 ) имеет место, если хотя бы одна из величин 1 или 3 больше нуля. Если и 1 0, и 3 0, то 2 0.

§3. Решение системы дифференциальных уравнений его общее решение Y (x) = A1 ex 1 + Aex 1, в силу условия на бесконечности получаем Здесь мы считаем 2 1 0, ибо в противном случае мы получим общее решение, выраженное через синусы и косинусы действительного аргумента, и, таким образом, не сможем удовлетворить условию излучения на бесконечности. Случай 2 1 = тоже невозможен, так как в этом случае мы получаем при x постоянное решение, которое не удовлетворяет условию излучения на бесконечности.

его общее решение Y (x) = B1 e(xh) 3 + Be(xh) 3, в силу условия на бесконечности получаем Постоянные A и B в (6) и (7) определяются условиями сопряжения и начальными данными.

Внутри слоя 0 x h система (4) принимает вид Система (8) обладает первым интегралом, поэтому изучение уравнения второго порядка (3) можно свести к изучению уравнения первого порядка (любого из системы (8)) и первого интеграла. Поделив в (8) одно уравнение на другое, получим Последнее уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Его общее решение имеет вид §4. Условия сопряжения и задача сопряжения Как известно, касательные составляющие электромагнитного поля непрерывны на границе раздела сред. В рассматриваемом случае касательными составляющими являются компоненты Ey и Hz. Отсюда получаем Тогда из (2) и (4) получаем Отсюда получаем, что B = Yh, A = Y0 ; мы обозначили Y0 = Y (0) = Ey (0 0) и Yh = Y (h) = Ey (h + 0). Постоянная Yh считается известной (падающее поле – начальное условие).

Пусть Z0 = Z(0) = Hz (0 0), Zh = Z(h) = Hz (h + 0), тогда Из условий непрерывности касательных составляющих Ey и Hz следуют условия сопряжения для функций Y и Z:

где [f ]x=x0 = lim f (x) lim f (x) обозначает скачок функxx0 0 xx0 + ции на границе раздела сред.

Считаем, что функции Y (x) и Z (x) удовлетворяют условию где Y Y (x) и Z Z(x) являются искомыми функциями, а G1 G1 (F, ) и G2 G2 (F, ) являются правыми частями уравнений системы (8). Число является спектральным параметром.

Перепишем задачу, используя введенные обозначения.

Для полупространства x 0, = 1 получаем Для полупространства x h, = 3 получаем Условия сопряжения (10) и первый интеграл (9) приводят к уравнению относительно Y0 :

Сформулируем задачу сопряжения (ее можно переформулировать как краевую задачу). Требуется найти собственные значения и соответствующие им ненулевые векторы F такие, что F удовлетворяет уравнениям (12)–(14); компоненты Y, Z вектора F удовлетворяют условиям сопряжения (10), условию (11), и Y (0) Y0 определяется из уравнения (15).

Определение 1. Число = 0, при котором существует ненулевое решение F задачи (12)–(14) при условиях (10), (11), (15), будем называть собственным значением задачи. Решение F, которое соответствует собственному значению, будем называть собственным вектором задачи, а компоненты Y (x) и Z (x) вектора F – собственными функциями.

Замечание. Определение 1 является неклассическим аналогом известного определения характеристического числа линейной оператор-функции, нелинейно зависящей от спектрального параметра [24]. Введенное определение является, с одной стороны, распространением классического определения собственного значения на случай нелинейной оператор-функции, нелинейно зависящей от спектрального параметра; с другой стороны, соответствует физической природе задачи.

§5. Дисперсионное уравнение и теорема об эквивалентности Введем новые переменные1 :

из (16) получаем Система (8) примет вид (мы обозначили 0 2 / 2 ) Первый интеграл (9) примет вид Уравнение (19), вообще говоря, есть трансцендентное уравнение относительно. Его решение = () легко может быть выписано явно лишь в исключительных случаях.

Если считать, что функция f, выражающая нелинейность в слое, является многочленом относительно напряженности электрического поля, то уравнение (19) есть алгебраическое уравнение относительно. Вектор поляризации в материальных уравнениях в системе Максвелла имеет разложение в ряд по степеням |E|. Считая, что нелинейность выражается в виде многочлена, мы просто обрываем соответствующий ряд. Можно подбирать и другие функции нелинейности, но так, чтобы выполнялись некоторые условия (они будут приведены ниже). Различные типы нелинейностей (отличных от полиномиальных) приведены в [3].

Вообще, если нелинейность не произвольная функция, а конкретная, то возможно, что новые переменные будет удобнее выбрать несколько иначе (см. по этому поводу гл. 7 и 8).

Из начальных условий и условий сопряжения получаем поскольку Yh известна, то и (h) известна.

Для (0) и (h) получаем Из первого интеграла в форме (19) подставляя x = h, находим значение постоянной Ch := C|x=h :

Для определения постоянной C можно воспользоваться выражением (9) для первого интеграла, но удобнее использовать формулу (19).

Теперь из первого интеграла (19), используя (21) и (20), мы можем найти уравнение для (0):

Ясно, что должно быть (0) 2, поскольку (0) = 2 + Y02.

Для того чтобы существовал корень (0) 2 уравнения (22), необходимо накладывать на функцию некоторые ограничения.

Например, если – многочлен с неотрицательными коэффициентами, то нужный корень заведомо существует. Можно и подругому выбирать функцию f, так, чтобы функция обладала нужным свойством. Вероятно, многочлен в качестве f с неотрицательными коэффициентами является одной из наиболее общих нелинейностей.

Заметим, кстати, из уравнения (22) ясно, что при 1 = 3 одним из корней этого уравнения будет (h), т.е. (0) = (h). Или в старых переменных Y02 = Yh. Такая же ситуация характерна и для случая линейного слоя (см. гл. 1), с той лишь разницей, что в случае линейного слоя при 1 = 3 всегда Y02 = Yh. В данном же случае это только один из корней уравнения (22).

Мы считаем функцию f такой, что величина Это заведомо справедливо, если в качестве f выступает многочлен с неотрицательными коэффициентами.

Правая часть второго уравнения системы (18) при сделанных предположениях (относительно функции f ) положительна, это значит, что функция возрастает при x (0, h). Но из формул (20) видно, что (0) 0, а (h) 0. Из этого следует, что функция необходимо имеет точку разрыва. А поскольку функция является рациональной функцией от аналитических функций Y и Z, то и является аналитической. Это означает, что может иметь разрывы только второго рода. Эти разрывы есть полюсы функции, которые находятся в нулях функции Z.

Из первого интеграла (19) имеем 2 = C () 2 ). Точками разрыва могут являться лишь нули знаменателя последнего выражения. Тогда в этих точках = (x ) таково, что = ±.

Естественно среди всех корней знаменателя выбирать только те, которые 2.

Предположим, что имеется (N + 1) точка разрыва x0,..., xN на интервале x (0, h).

Из свойств функции = (x) следует, что Обозначим где = () находится из первого интеграла (19).

Учитывая только что сказанное, будем разыскивать решения на каждом из отрезков [0, x0 ], [x0, x1 ],..., [xN, h]:

Подставляя x = 0, x = xi+1, x = xN в уравнения (24) (в первое, второе и третье соответственно) и учитывая (23), найдем постоянные c1, c2,..., cN +1 :

С учетом (25) уравнения (24) примут вид (xi ) Введем обозначение T d. Из формулы (26) следует, что 0 xi+1 xi = T h, где i = 0, N 1. Отсюда следует сходимость несобственного интеграла (позднее мы докажем это из других соображений). Теперь, полагая в уравнениях (26) x таким, чтобы все интегралы слева обратились в нуль (т.е. x = x0, x = xi, x = xN ), сложим все уравнения (26), получим Окончательно получаем где N 0 – целое число; (0), (h) определены формулами (20).

Формула (27) есть дисперсионное уравнение, справедливое для любого конечного h. Когда N = 0, возникает несколько уравнений при различных значениях N. Необходимо решать относительно каждое из получающихся уравнений.

Отметим, что несобственные интегралы в дисперсионном уравнении (27) сходятся. Действительно, при функция = () остается ограниченной, поскольку = 2 + Y 2 и Y – ограниченная функция. Тогда где 0, 0 – постоянные, тогда несобственный интеграл сходится. Поскольку мы требуем, чтобы правая часть второго уравнения системы (18) была положительна, то из этого следует сходимость интегралов в (27) во внутренних точках.

Теорема 1. Множество решений (собственных значений) краевой задачи на собственные значения (12)–(14) с условиями (10), (11), (15) содержится в множестве решений дисперсионного уравнения (27).

Доказательство. Из самого способа получения дисперсионного уравнения (27) из системы (18) следует, что собственное значение краевой задачи (12)–(14) является решением дисперсионного уравнения.

В то же время не каждое решение дисперсионного уравнения (27) является решением краевой задачи. Это связано с тем, что как функция от, определяемая из первого интеграла (19), является, вообще говоря, многозначной функцией. Другими словами, может существовать несколько корней (0) уравнения (22), удовлетворяющих условию (0) 2. Но даже в этом случае можно среди корней дисперсионного уравнения найти решения краевой задачи. Действительно, найдя решение дисперсионного уравнения (27), мы сможем найти функции (x) и (x) из системы (18) и первого интеграла (19). Зная функции (x) и (x) и пользуясь формулами (16), (17), найдем Вопрос о выборе знака является существенным, поэтому обсудим его подробнее. Нам известно поведение функции = Y : Z функция является монотонно возрастающей, если x = x таково, что (x ) = 0, то (x 0) 0, (x + 0) 0, и если x = x Других точек перемен знака у функции нет. Начальное условие Yh положим для определенности 0. Если 0, то функции Y и Z имеют одинаковые знаки, а если 0, то Y и Z имеют разные знаки. Помня о том, что X и Z – непрерывные функции (и даже гладкие на соответствующих областях), выбираем соответствующие знаки в выражениях (28). Теперь, зная функцию Y, мы можем вычислить (0) = 2 + Y02, если полученное значение совпадает с найденным ранее из первого интеграла, значит, найденное решение дисперсионного уравнения является собственным значением краевой задачи (и не является таковым в противном случае).

Если функция такова, что существует единственный корень (0) уравнения (22), удовлетворяющий условию (0) 2, то получается следующая Теорема 2 (об эквивалентности). Если уравнение (22) имеет единственное решение (0), удовлетворяющее условию (0) 2, то краевая задача на собственные значения (12)–(14) с условиями (10), (11), (15) имеет решение (собственное значение) тогда и только тогда, когда это собственное значение является решением дисперсионного уравнения (27).

Доказательство этой теоремы очевидным образом следует из доказательства предыдущей теоремы.

часть рассматриваемой формулы определяется из дисперсионного уравнения (27) и k = 0, N.

Сформулируем достаточное условие существования по крайней мере одного собственного значения краевой задачи.

Теорема 3. Если h таково, что для некоторого k = 0, N выполняется неравенство то краевая задача на собственные значения (12)–(14) с условиями (10), (11), (15) имеет по крайней мере одно решение (собственное значение).

Величины hk и hk можно находить численно.

§6. Обобщенное дисперсионное уравнение Здесь мы получим общее дисперсионное уравнение, справедливое при любых действительных значениях 2. Кроме того, мы откажемся от требования, чтобы правая часть второго уравнения системы (18) была положительна1, а также от условий max(1, 3 ) 2 2 или 0 2 2. Эти условия возникали в линейном случае и были нами использованы при выводе дисперсионного уравнения (27). Однако в нелинейном случае нет требований, которые ограничивают значения 2 справа. Хотя ограничение слева остается, ясно, что оно возникает из решений в полупространствах (где среда линейна). Теперь мы считаем, что удовлетворяет одному из следующих двух неравенств:

когда хотя бы одна из величин 1 или 3 положительна, или Сначала мы выведем дисперсионное уравнение из системы уравнений (18) и первого интеграла (19), а потом обсудим детали вывода и условия, при которых сам вывод возможен и справедливо полученное дисперсионное уравнение.

Имея в своем распоряжении первый интеграл (19), формально можно проинтегрировать любое из двух уравнений системы (18). Мы, как и ранее, будем интегрировать второе уравнение этой системы. Но мы не можем получить решение на всем интервале, поскольку функция (x) может иметь разрывы в некоторых точках интервала (0, h). Поскольку функция (x) является аналитической, то мы можем утверждать, что при x [0, h] функция (x) имеет разрывы только второго рода.

Пусть функция (x) на интервале (0, h) имеет (N + 1) точек x0, x1,..., xN, в которых она обращается в бесконечность. Отметим, что (xi 0) = ± и (xi + 0) = ±, i = 0, N, причем знаки ± в этих формулах независимы и нам неизвестны.

Это условие возникло, когда мы рассматривали задачу о распространении ТМ-волн в слое с керровской нелинейностью (гл. 7). Требование о положительности правой части естественно там возникало (из задачи для линейного слоя). Конечно, можно было бы сразу вывести общее дисперсионное уравнение, однако при условии положительности правой части его вывод чрезвычайно прост и нагляден.

Гл. 3. ТЕ-волны в слое с произвольной нелинейностью Учитывая только что сказанное, будем разыскивать решения на каждом из отрезков [0, x0 ], [x0, x1 ],..., [xN, h]:

(x0 0) (xi +0) Из уравнений (29), подставляя x = 0, x = xi+1, x = xN в первое, второе и третье уравнения (29), найдем необходимые постоянные c1, c2,..., cN +1 :

С учетом (30) уравнения (29) примут вид (xi +0) где i = 0, N 1.

Из формул (31) получаем, что где i = 0, N 1.

Поскольку 0 xi+1 xi h, то отсюда следует, что при наших предположениях (относительно наличия особых точек) интеграл справа сходится и Таким же образом из первого и последнего уравнений (31) Из этих рассуждений следует, что функция w () не имеет неинтегрируемых особенностей при (, ).

Теперь, полагая в уравнениях (31) x таковым (т.е. подставляя x = x0, x = xi, x = xN в первое, второе и третье уравнения (31)), чтобы все интегралы слева обратились в нуль, сложим все уравнения (31), получим Из (33) получаем i = 0, N, и выбираются бесконечности разных знаков.

Таким образом, получаем, что и, значит, x1 x0 =... = xN xN 1.

Теперь уравнение (34) можно переписать так:

или в окончательной форме где N 0 – целое число; (0), (h) определены формулами (20).

Формула (35) есть дисперсионное уравнение, справедливое для любого конечного h. Когда N = 0, возникает несколько уравнений при различных значениях N. Необходимо решать относительно каждое из получающихся уравнений.

Теперь можно сформулировать теорему, аналогичную теореме 1, но уже для обобщенного дисперсионного уравнения (35).

Теорема 4. Множество решений (собственных значений) краевой задачи на собственные значения (12)–(14) с условиями (10), (11), (15) содержится в множестве решений дисперсионного уравнения (35).

Доказательство этой теоремы почти дословно повторяет доказательство теоремы 1.

Теперь мы перейдем к теоретическому обоснованию вывода дисперсионных уравнений (27) и (35). С самого начала мы ничего не говорили об условиях, при которых решение системы (8) существует и единственно. Мы сделали это намеренно, предпочитая сначала проделать все технические вычисления и дать читателю возможность проследить за выводом и используемой техникой, не отвлекаясь на факты теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Воспользуемся векторной формой записи (13) системы (8):

Пусть правая часть G определена и непрерывна в области R2, G : R2. Также считаем, что G удовлетворяет в условию Липшица по F локально1.

Пусть x R2, – область в R2 и G – непрерывное отображение в R2.

Функция G(x) : R2 удовлетворяет условию Липшица по x (глобально на ), если где L 0 – постоянная, не зависящая от выбора точек x и x (постоянная Липшица).

Функция G(x) : R2 удовлетворяет условию Липшица по x локально в, если для любой точки x0 можно указать ее окрестность V (x0 ), сужение G на которую удовлетворяет условию Липшица глобально в V (x0 ).

Гл. 3. ТЕ-волны в слое с произвольной нелинейностью При указанных условиях система (8) или, что то же самое, система (36) имеет единственное решение в области [8, 38, 49].

Ясно, что накладывая эти условия на систему (18), для нее получим единственность решения (разумеется, область единственности в переменных, будет отлична от ).

Поскольку мы ищем ограниченные решения Y и Z, то Из последнего мы получаем, что Поскольку мы считаем правую часть системы (36) аналитической и, следовательно, удовлетворяющей условию Липшица, то для такой системы справедливо все только что сказанное относительно существования и единственности.

Можно показать, что не существует точки x такой, что Y |x=x = 0 и Z|x=x = 0. Действительно, из теории автономных систем известно (см., например, [38]), что при непрерывной и удовлетворяющей условию Липшица правой части фазовые траектории такой системы не пересекаются в ее фазовом пространстве. Поскольку Y 0 и Z 0 являются стационарными решениями системы (8), то ясно, что рассматриваемые непостоянные решения Y и Z не могут одновременно обратиться в нуль в некоторой точке x (иначе они будут пересекаться с указанным стационарным решением, чего быть не может).

Еще одно замечание относительно интегралов в дисперсионных уравнениях (27) и (35). Если при некотором значении какие-то из входящих в дисперсионные уравнения интегралов расходятся во внутренних точках, то это попросту обозначает, что выбранное значение не является решением дисперсионного уравнения и тем более не является собственным значением.

Укажем еще один интересный случай. Если нелинейность f представляет собой полином от независимой переменной, то первый интеграл, очевидно, является алгебраической функцией от любой из двух своих переменных (см., например, [51]).

В этом случае любое уравнение системы (8) совместно с первым интегралом представляет собой абелев интеграл [6, 39, 51]. Его обращением является абелева функция, которая и будет решением выбранного для интегрирования уравнения. В этом случае решение второго уравнение выражается из первого интеграла и найденного только что решения. Таким образом, обе функции – решения системы (8), являются абелевыми функциями. Как известно, абелевы функции – функции мероморфные (см., например, [28, 34]). А в этом случае наше предположение о наличии у функции точек разрыва второго рода (и только их) справедливо. Заметим также, что многочленами выражаются многие нелинейности, а те, которые не выражаются, можно с любой степенью точности приблизить многочленами. Также заметим, что, хотя вектор поляризации в материальных уравнениях Максвелла имеет разложение в ряд по степеням напряженности электрического поля (и именно поэтому многочлен кажется наиболее общим типом нелинейности), имеются и другие типы нелинейностей. Некоторые сведения по этому поводу можно почерпнуть в [3]. Появление абелевых функций в этой задаче тем более интересно, что относительно недавно выяснилось, что абелевы и тэта-функции являются решениями некоторых известных нелинейных уравнений [26]. Ясно, что все замечания относительно абелевых функций и интегралов справедливы и для системы (18), поскольку новые переменные, выражаются через старые Y, Z рационально.

Мы выводили дисперсионные уравнения из второго уравнения системы (18). Однако точно так же можно это сделать исходя из первого уравнения этой системы (см. с. 144).

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ

ТЕ-ВОЛН В СЛОЕ С ОБОБЩЕННОЙ

КЕРРОВСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

В этой главе мы рассмотрим приложение общей техники, развитой в главе 3 к случаю, когда нелинейность в слое является обобщенной керровской.

Заметим, что именно в этом случае, следующем по сложности после линейного, возможно исчерпывающе исследовать разрешимость краевой задачи. Это во многом связано с тем, что собственные функции задачи являются эллиптическими функциями, которые очень хорошо изучены. Использование их свойств как раз и помогает получить полную информацию о собственных значениях.

§1. Уравнения Максвелла и постановка задачи Рассмотрим электромагнитные волны, распространяющиеся через однородный, изотропный, немагнитный диэлектрический слой, расположенный между двумя полупространствами x 0 и x h в декартовой системе координат Oxyz. Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянную диэлектрическую проницаемость 1 0 и 3 0 соответственно, где 0 – диэлектрическая проницаемость вакуума. Вообще говоря, условия 1 0 и необязательны, они не используются при выводе дисперсионных уравнений, однако могут оказаться полезными при анализе разрешимости дисперсионных уравнений. Считаем, что всюду = 0 – магнитная проницаемость вакуума.

Считаем поля гармонически зависящими от времени [60]:

где – круговая частота; E, E+, E, H, H+, H – вещественные искомые функции.

Образуем комплексные амплитуды полей E и H:

Везде ниже множители cos t и sin t будем опускать.

Электромагнитное поле E, H удовлетворяет системе уравнений Максвелла условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границе раздела сред x = 0, x = h и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при |x| в областях x 0 и x h.

Диэлектрическая проницаемость внутри слоя имеет вид где 2 – постоянная составляющая диэлектрической проницаемости; a 0, b 0 – коэффициенты нелинейности. Мы считаем, что 2 max (1, 3 ). Объяснение последнего условия см. в конце §2. В §6 мы будем считать, что 2, a, b – произвольные действительные числа.

Рассматриваемая нелинейность носит название обобщенной керровской;

при b = 0 получаем керровскую нелинейность; при a = b = 0 получаем линейный случай, подробно изученный в гл. 2.

Гл. 4. ТЕ-волны в слое с обобщенной керровской нелинейностью Будем искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве.

На рис. 1 схематически представлена геометрия задачи.

§2. ТЕ-поляризованные электромагнитные волны Рассмотрим ТЕ-поляризованные волны:

где Ey = Ey (x, y, z), Hx = Hx (x, y, z), Hz = Hz (x, y, z).

Подставив поля E и H в уравнения Максвелла (1), получим Из первого и третьего уравнений этой системы видно, что Hz и Hx не зависят от y; поскольку Ey выражается через Hz и Hx, то Ey также не зависит от y.

Волны, распространяющиеся вдоль границы z раздела сред (а мы ищем именно их), гармонически зависят от z. Значит, компоненты полей E, H имеют представление Тогда рассмотренная выше система принимает вид где – неизвестный спектральный параметр (постоянная распространения электромагнитной волны).

После простейших преобразований из системы (2) получаем Пусть k2 = 2 0, = 0, выполним нормировку в соответj ствии с формулами x = kx, dx = k d, =, j = 0 (j = 1, 2, 3), ды, получаем Введем в рассмотрение функцию Z(x) = Y (x) и будем рассматривать (3) как систему:

Будем искать те значения спектрального параметра (собственные значения), для которых существуют не равные тождественно нулю действительные решения Y (x), Z (x) системы (4).

Полагаем действительным (так что |E|2 не зависит от z, см.

сноску на с. 38, а также замечание на с. 26) и считаем Считаем, что функции Y и Z дифференцируемы так, что Гл. 4. ТЕ-волны в слое с обобщенной керровской нелинейностью Только что указанные условия непрерывности и дифференцируемости функций Y и Z продиктованы физическим содержанием задачи. Видно, что система (4) является автономной.

Такую систему можно рассматривать как динамическую систему с аналитическими по Y и Z правыми частями. Известно (см., например, [5]), что решения Y, Z такой динамической системы сами являются аналитическими функциями независимой переменной. Этот факт окажется очень важным при выводе дисперсионных уравнений.

Последнее условие соответствует классической задаче распространения ТЕ-волн в линейном слое при 1 0, 3 0, где 0 – диэлектрическая проницаемость вакуума и 2 max(1, 3 ).

Это условие естественно возникает в указанной задаче (см. гл. 2), и поэтому мы придерживаемся его при выводе дисперсионного уравнения для нелинейного слоя. В дальнейшем (см. §6) мы выведем дисперсионное уравнение в более общих предположениях, а именно: мы покажем, что 1, 2, 3, a, b могут быть произвольными действительными числами.

§3. Решение системы дифференциальных уравнений его общее решение Y (x) = A1 ex 1 + Aex 1, в силу условия на бесконечности получаем Здесь мы считаем 2 1 0, ибо в противном случае мы получим общее решение, выраженное через синусы и косинусы действительного аргумента, и, таким образом, не сможем удовлетворить условию излучения на бесконечности. Случай 2 1 = тоже невозможен, так как в этом случае мы получаем при x постоянное решение, которое не удовлетворяет условию на бесконечности.

его общее решение Y (x) = B1 e(xh) 3 + Be(xh) 3, в силу условия на бесконечности получаем Здесь по тем же причинам, что и при x 0, мы считаем Постоянные A и B в (6) и (7) определяются условиями сопряжения и начальными данными.

Внутри слоя 0 x h система (4) принимает вид Система (8) обладает первым интегралом, поэтому изучение уравнения второго порядка (3) можно свести к изучению уравнения первого порядка (любого из системы (8)) и первого интеграла. Поделив в (8) одно уравнение на другое, получим уравнение которое является уравнением в полных дифференциалах. Его общее решение имеет вид где C – постоянная интегрирования.

§4. Условия сопряжения и задача сопряжения Как известно, касательные составляющие электромагнитного поля непрерывны на границе раздела сред. В рассматриваеГл. 4. ТЕ-волны в слое с обобщенной керровской нелинейностью мом случае касательными составляющими являются компоненты Ey и Hz. Отсюда получаем Тогда из (2) и (4) получаем Отсюда получаем, что B = Yh, A = Y0, где Y0 = Y (0) = = Ey (0 0) и Yh = Y (h) = Ey (h + 0). Постоянная Yh считается известной (падающее поле – начальное условие).

Пусть Z0 = Z(0) = Hz (0 0), Zh = Z(h) = Hz (h + 0), тогда Из условий непрерывности касательных составляющих Ey и Hz следуют условия сопряжения для функций Y и Z:

где [f ]x=x0 = lim f (x) lim f (x) обозначает скачок функxx0 0 xx0 + ции на границе раздела сред.

Считаем, что функции Y (x) и Z(x) удовлетворяют условию где Y Y (x) и Z Z(x) являются искомыми функциями, а G1 G1 (F, ) и G2 G2 (F, ) являются правыми частями уравнений системы (8). Число является спектральным параметром.

Перепишем задачу, используя введенные обозначения.

Для полупространства x 0, = 1 получаем принимает вид Для полупространства x h, = 3 получаем Постоянную интегрирования C можно вычислить, подставив в первый интеграл (9) значение Yh (которое нам известно), тогда Ch := C|x=h поскольку Zh = Учитывая только что вычисленное значение Ch и то, что Z0 = 2 1 Y0, из первого интеграла (9) получаем уравнение относительно Y02 :

6(2 1 )Y02 + 3aY04 + 2bY06 = 6(2 3 )Yh + 3aYh + 2bYh. (15) Из уравнения (15) легко видеть, что при 1 = 3 один из корней уравнения будет Yh, т.е. Y02 = Yh. Отметим, что в линейY 2, в нелинейном же это лишь один из ном случае всегда Y0 h корней.

Здесь мы поставили верхний индекс у постоянной C Y для того, чтобы не спутать в дальнейшем. Когда будут введены новые переменные,, постоянную C удобно будет вычислить в новых переменных, разумеется, в новых переменных она может иметь другое значение.

Гл. 4. ТЕ-волны в слое с обобщенной керровской нелинейностью Сформулируем задачу сопряжения (ее можно переформулировать как краевую задачу). Требуется найти собственные значения и соответствующие им ненулевые векторы F такие, что F удовлетворяет уравнениям (12)–(14); компоненты Y, Z вектора F удовлетворяют условиям сопряжения (10), условию (11), и Y (0) Y0 определяется из уравнения (15).

Определение 1. Число = 0, при котором существует ненулевое решение F задачи (12)–(14) при условиях (10), (11), (15), будем называть собственным значением задачи. Решение F, которое соответствует собственному значению, будем называть собственным вектором задачи, а компоненты Y (x) и Z (x) вектора F – собственными функциями (см. замечание на с. 42).

§5. Дисперсионное уравнение и теорема об эквивалентности Введем новые переменные1 :

из (16) получаем В рассматриваемой задаче в случае керровской нелинейности в качестве новых переменных удобно взять = 2 + aY 2 и = Y. В таких переменных совершенно элементарно можно перейти к пределу при a и получить линейный случай (как пример, см. гл. 7). Указанные переменные в задаче с обобщенной керровской нелинейностью брать неудобно, если предполагается предельный переход при a 0 и b = 0. Поскольку в этом случае получается, что переменная вырождается в постоянную, а сама задача все еще остается нелинейной (так как b = 0). При выбранных нами в этой задаче переменных и предельный переход к случаю линейной среды в слое (при a 0, b 0) хоть и возможен в принципе, но может оказаться технически сложным, поскольку функция = (), выраженная из первого интеграла, будет содержать кубические корни, и трудно сказать a priori, возьмутся ли интегралы в дисперсионном уравнении от таких выражений. Также см. сноску на с. 43.

Система (8) примет вид (мы обозначили 0 2 / 2 ) где f (x) = ax2 + bx4. Здесь мы не стали подробно выводить последнюю систему из системы (8), поскольку это элементарные технические вычисления и они проведены в гл. 3, мы просто воспользовались результатом, полученным там.

Окончательно получаем Первый интеграл (9) можно привести к виду Из первого интеграла (19) видно, что функции и связаны алгебраически. Функция = () выражается из него по формулам Кардано [30].

Из формул (16) получаем поскольку Yh известна, то и (h) известна.

Для (0) и (h) получаем Используя (h) = (h), из первого интеграла (19), подставляя x = h, находим значение постоянной Ch := C|x=h :

Гл. 4. ТЕ-волны в слое с обобщенной керровской нелинейностью Теперь из первого интеграла (19), используя (20) и (21), мы можем найти уравнение относительно (0):

Ясно, что должно быть (0) 2, поскольку (0) = 2 + Y и 2 0. Легко показать, что при 2 1 0, 2 3 0, a 0, b 0 такой корень существует. Действительно, запишем уравнение (22) в виде a3 x3 +a2 x2 +a1 x = a0, где x = (0)2 и a0, a1, a2, a4 все больше нуля. Тогда очевидно, что это уравнение имеет корень x 0, но это значит, что уравнение (22) имеет корень (0) 2.

Заметим, кстати, из уравнения (22) ясно, что при 1 = 3 одним из корней этого уравнения будет (h), т.е. (0) = (h). Или в старых переменных Y02 = Yh. Такая же ситуация характерна и для случая линейного слоя (см. гл. 1), с той лишь разницей, что в случае линейного слоя при 1 = 3 всегда Y02 = Yh. В данном же случае это только один из корней уравнения (22).

При наших предположениях правая часть второго уравнения системы (18) положительна, это значит, что функция возрастает при x (0, h). Но из формул (20) видно, что (0) 0, а (h) 0. Из этого следует, что функция необходимо имеет точку разрыва.

Из формулы (19) ясно, что точками разрыва могут являться лишь нули знаменателя первого интеграла. Поскольку ни = 0, ни = 2 в нуль знаменатель не обращают, то из этого следует, что все точки разрыва являются точками разрыва второго рода1. Тогда в этих точках = (x ) таково, что = ±.

Хотя это ясно из аналитичности функций Y и Z. Более того, поскольку первый интеграл – алгебраическая функция своих переменных и правые части системы уравнений (18) рациональны относительно и, то, как известно (см., например, [6, 39, 51]), решения и этой системы будут абелевыми функциями. Отсюда следуют то, что все разрывы второго рода. Но, как видно из предыдущих рассуждений, в случае положительности правых частей удается доказать этот факт, не обращаясь к аналитичности решений.

Естественно среди всех корней знаменателя выбирать только те, которые 2.

Предположим, что имеется (N + 1) точка разрыва x0,..., xN на интервале x (0, h).

Из свойств функции = (x) следует, что Обозначим где w w() и = () находится из первого интеграла (19).

Учитывая сказанное, будем разыскивать решения на каждом из отрезков [0, x0 ], [x0, x1 ],..., [xN, h]:

Подставляя x = 0, x = xi+1, x = xN в уравнения (24) (в первое, второе и третье соответственно) и учитывая (23), найдем постоянные c1, c2,..., cN +1 :

Гл. 4. ТЕ-волны в слое с обобщенной керровской нелинейностью С учетом (25) уравнения (24) примут вид (xi ) что 0 xi+1 xi = T h, где i = 0, N 1. Отсюда следует сходимость несобственного интеграла (позднее мы докажем это из других соображений). Теперь, полагая в уравнениях (26) x таким, чтобы все интегралы слева обратились в нуль (т.е. x = x0, x = xi, x = xN ), сложим все уравнения (26), получим Окончательно получаем где N 0 – целое число; (0), (h) определены формулами (20).

Формула (27) есть дисперсионное уравнение, справедливое для любого конечного h. Когда N = 0, возникает несколько уравнений при различных значениях N. Необходимо решать относительно каждое из получающихся уравнений.

Отметим, что несобственные интегралы в дисперсионном уравнении (27) сходятся. Действительно, при функция = () остается ограниченной, поскольку = 2 + Y 2 и Y – ограниченная функция. Тогда где 0, 0 – постоянные, тогда несобственный интеграл сходится. Поскольку мы требуем, чтобы правая часть второго уравнения (19) была положительна, то из этого следует сходимость интегралов в (28) во внутренних точках.

Теорема 1. Множество решений (собственных значений) краевой задачи на собственные значения (12)–(14) с условиями (10), (11), (15) содержится в множестве решений дисперсионного уравнения (27).

Доказательство. Из самого способа получения дисперсионного уравнения (27) из системы (18) следует, что собственное значение краевой задачи (12)–(14) является решением дисперсионного уравнения.

В то же время не каждое решение дисперсионного уравнения (27) является решением краевой задачи. Это связано с тем, что как функция от, определяемая из первого интеграла (19), является, вообще говоря, многозначной функцией. Другими словами, может существовать несколько корней (0) уравнения (22), удовлетворяющих условию (0) 2. Но даже в этом случае можно среди корней дисперсионного уравнения найти решения краевой задачи. Действительно, найдя решение дисперсионного уравнения (27), мы сможем найти функции (x) и (x) из системы (18) и первого интеграла (19). Зная функции (x) и (x) и пользуясь формулами (16), (17), найдем Вопрос о выборе знака является существенным, поэтому обсудим его подробнее. Нам известно поведение функции = Y :

функция является монотонно возрастающей, если x = x таково, что (x ) = 0, то (x 0) 0, (x + 0) 0, и если x = x Других точек перемен знака у функции нет. Начальное условие Yh положим для определенности 0. Если 0, то функции Y и Z имеют одинаковые знаки, а если 0, то Y и Z имеют разные знаки. Помня о том, что X и Z – непрерывные функции (и даже гладкие на соответствующих областях), выбираем соответствующие знаки в выражениях (28). Теперь, зная функцию Y, мы можем вычислить (0) = 2 + Y02, если полученное значение совпадает с найденным ранее из первого интеграла, значит, найденное решение дисперсионного уравнения является собственным значением краевой задачи (и не является таковым в противном случае). Если же функция такова, что существует единственный корень (0) уравнения (22), удовлетворяющий условию (0) 2, то получается следующая Теорема 2 (об эквивалентности). Если уравнение (22) имеет единственное решение (0), удовлетворяющее условию (0) 2, то краевая задача на собственные значения (12)–(14) с условиями (10), (11), (15) имеет решение (собственное значение) тогда и только тогда, когда это собственное значение является решением дисперсионного уравнения (27).

Доказательство этой теоремы очевидным образом следует из доказательства предыдущей теоремы.

часть рассматриваемой формулы определяется из дисперсионного уравнения (28) и k = 0, N.

Сформулируем достаточное условие существования по крайней мере одного собственного значения краевой задачи.

Теорема 3. Если h таково, что для некоторого k = 0, N выполняется неравенство то краевая задача на собственные значения (12)–(14) с условиями (10), (11), (15) имеет по крайней мере одно решение (собственное значение).

Величины hk и hk можно находить численно.

§6. Обобщенное дисперсионное уравнение В этом параграфе мы получим общее дисперсионное уравнение, справедливое при любых действительных значениях 2.

Также мы откажемся от требования, чтобы правая часть второго уравнения системы (18) была положительна (см. сноску на Эти условия возникали в линейном случае и были использованы при выводе дисперсионного уравнения (27). Однако в нелинейном случае нет требований, которые ограничивают значения 2 справа, хотя ограничение слева остается (оно возникает из решений в полупространствах, где среда линейна). Теперь мы считаем, что удовлетворяет одному из двух неравенств когда хотя бы одна из величин 1 или 3 положительна, или когда 1 0 или 3 0.

Сначала мы выведем дисперсионное уравнение из системы уравнений (18) и первого интеграла (19), а потом обсудим детали вывода и условия, при которых сам вывод возможен и справедливо полученное дисперсионное уравнение.

Гл. 4. ТЕ-волны в слое с обобщенной керровской нелинейностью Имея в своем распоряжении первый интеграл (19), формально можно проинтегрировать любое из двух уравнений системы (18). Мы, как и ранее, будем интегрировать второе уравнение системы (18). Но мы не можем получить решение на всем интервале, поскольку функция (x) может иметь разрывы в некоторых точках интервала (0, h). При выводе дисперсионного уравнения мы будем считать, что (x) имеет разрывы только второго рода. Это можно доказать несколькими способами, в частности, можно исходную систему рассматривать как систему с аналитическими правыми частями. Можно поступить подругому, легко показать, что собственные функции будут эллиптическими, отсюда сразу следует, что разрывы только второго рода и что их конечное число.

Пусть функция (x) на интервале (0, h) имеет несколько точек x0, x1,..., xN, в которых она обращается в бесконечность.

Отметим, что i = 0, N, причем знаки ± в этих формулах независимы и нам неизвестны.

Учитывая сказанное, будем разыскивать решения на каждом из отрезков [0, x0 ], [x0, x1 ],..., [xN, h]:

(x0 0) (xi +0) Из уравнений (29), подставляя x = 0, x = xi+1, x = xN в первое, второе и третье уравнения (29), найдем необходимые константы c1, c2,..., cN +1 :

С учетом (30) уравнения (29) примут вид где i = 0, N 1.

Из формул (31) получаем, что где i = 0, N 1.

Поскольку 0 xi+1 xi h, то отсюда следует, что при наших предположениях (относительно наличия особых точек) интеграл справа сходится, и Гл. 4. ТЕ-волны в слое с обобщенной керровской нелинейностью Таким же образом из первого и последнего уравнений (31) Из этих рассуждений следует, что функция (x) имеет конечное число точек разрыва второго рода, и функция w() не имеет неинтегрируемых особенностей при (, ).

Теперь, полагая в уравнениях (31) x таковым (т.е. подставляя x = x0, x = xi, x = xN в первое, второе и третье уравнения (31)), чтобы все интегралы слева обратились в нуль, сложим все уравнения (31) и получим Из (33) получаем Из формулы (32) следует, что причем ясно, что бесконечности должны выбираться различных знаков.

Таким образом, получаем, что и, значит, x1 x0 =... = xN xN 1.

Теперь уравнение (34) можно переписать так:

или в окончательной форме где N 0 – целое число; (0), (h) определены формулами (20).

Формула (35) есть дисперсионное уравнение, справедливое для любого конечного h. Когда N = 0, возникает несколько уравнений при различных значениях N. Необходимо решать относительно каждое из получающихся уравнений.

Теперь можно сформулировать теорему, аналогичную теореме 1, но уже для обобщенного дисперсионного уравнения (35).

Теорема 4. Множество решений (собственных значений) краевой задачи на собственные значения (12)–(14) с условиями (10), (11), (15) содержится в множестве решений дисперсионного уравнения (35).

Доказательство этой теоремы почти дословно повторяет доказательство теоремы 1.

Гл. 4. ТЕ-волны в слое с обобщенной керровской нелинейностью Теперь мы перейдем к теоретическому обоснованию вывода дисперсионных уравнений (27) и (35). С самого начала мы ничего не говорили об условиях, при которых решение системы (8) существует и единственно. Мы сделали это намеренно, предпочитая сначала проделать все технические вычисления и дать читателю возможность проследить за выводом и используемой техникой, не отвлекаясь на теоретические факты теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Воспользуемся векторной формой записи (13) системы (8):

Пусть правая часть G определена и непрерывна в области R2, G : R2. Также считаем, что G удовлетворяет в условию Липшица по F локально1.

При указанных условиях система (8) или, что то же самое, система (36) имеет единственное решение в области [8, 38, 49].

Ясно, что накладывая эти условия на систему (18), для нее получим единственность решения (разумеется, область единственности в переменных, будет отлична от ).

Поскольку мы ищем ограниченные решения Y и Z, то Из последнего мы получаем, что Первый интеграл, очевидно, является алгебраической функцией от любой из двух своих переменных (см., например, [51]).

В этом случае любое уравнение системы (8) совместно с первым интегралом представляет собой абелев интеграл [6, 39, 51]. Его обращением является абелева функция, которая и будет решением выбранного для интегрирования уравнения. В этом случае решение второго уравнение выражается из первого интеграла и По поводу условия Липшица см. сноску на с. найденного только что решения. Таким образом, обе функции – решения системы (8), являются абелевыми функциями. Как известно, абелевы функции – функции мероморфные (см., например, [28, 34]). А в этом случае наше предположение о наличии у функции точек разрыва второго рода (и только их) справедливо. Таким образом, мы полностью обосновали справедливость полученных дисперсионных уравнений.

На самом деле в этой задаче собственные функции выражаются через эллиптические функции (которые являются частным случаем абелевых). Если рассматривать задачу о распространении ТМ-волн в слое с керровской (не обобщенной керровской!) нелинейностью, то там уже не удается выразить собственные функции через эллиптические (см. гл. 7). Их можно выразить через так называемые гиперэллиптические абелевы функции (они тесно связаны с проблемой обращения Якоби, см., например, [26]). Так, всего лишь изменение поляризации уже существенно усложняет задачу. Ясно, что все замечания относительно абелевых функций и интегралов справедливы и для системы (18), поскольку новые переменные, выражаются через старые Y, Z рационально.

Еще одно замечание относительно интегралов в дисперсионных уравнениях (27) и (35). Если при некотором значении какие-то из входящих в дисперсионные уравнения интегралов расходятся во внутренних точках, то это попросту обозначает, что выбранное значение не является решением дисперсионного уравнения и тем более не является собственным значением.

Мы выводили дисперсионные уравнения из второго уравнения системы (18). Однако точно так же можно это сделать, исходя из первого уравнения этой системы (см. с. 144).

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ

ТМ-ВОЛН В ЛИНЕЙНОМ СЛОЕ

Глава посвящена изучению распространения поляризованных электромагнитных ТМ-волн в линейном слое, расположенном между двумя изотропными полупространствами. Несмотря на то, что эта задача является классической в электродинамике, она, как нам кажется, еще не была исследована в полной мере для метаматериалов1. Нам не удалось найти работы, в которой были бы представлены в полной мере полученные результаты, и это побудило нас вывести указанные дисперсионные уравнения здесь. В дальнейшем мы неоднократно ссылаемся на результаты этой главы. Приведенные здесь дисперсионные уравнения могут быть применены при изучении линейных метаматериалов.

Результаты этой главы опубликованы в [15].

§1. Уравнения Максвелла и постановка задачи Рассмотрим электромагнитные волны, распространяющиеся через однородный, анизотропный, немагнитный диэлектрический слой, расположенный между двумя полупространствами x 0 и x h в декартовой системе координат Oxyz. Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянную диэлектрическую проницаемость Задачи распространения электромагнитных волн в линейном слое из метаматериала активно изучаются в настоящее время, с некоторыми аспектами исследований можно познакомиться по работам [4, 52–54], см. также [70, 84].

1 0 и 3 0 соответственно, где 0 – диэлектрическая проницаемость вакуума. Вообще говоря, условия 1 0 и необязательны, они не используются при выводе дисперсионных уравнений, однако могут оказаться полезными при анализе разрешимости дисперсионных уравнений. Считаем, что всюду = 0 – магнитная проницаемость вакуума.

Считаем поля гармонически зависящими от времени [60]:

где – круговая частота; E, E+, E, H, H+, H – вещественные искомые функции.

Образуем комплексные амплитуды полей E и H:

Везде ниже множители cos t и sin t будем опускать.

Электромагнитное поле E, H удовлетворяет системе уравнений Максвелла условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границе раздела сред x = 0, x = h и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при |x| в областях x 0 и x h.

Диэлектрическая проницаемость внутри слоя описывается диагональным тензором:

где xx, zz – постоянные величины. Какой вид имеет yy, не имеет значения, поскольку при рассмотрении ТМ-поляризованных волн yy не содержится в рассматриваемых ниже уравнениях.

Будем искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве.

На рис. 1 схематически представлена геометрия задачи.

§2. ТМ-поляризованные электромагнитные волны Рассмотрим ТМ-поляризованные волны:

где Ex = Ex (x, y, z), Ez = Ez (x, y, z), Hy = Hy (x, y, z) и ( · )T – операция транспонирования.



Pages:   || 2 | 3 |
 


Похожие работы:

«В. Н. Игнатович Парадокс Гиббса с точки зрения математика Киев – 2010 2 Игнатович В. Н. УДК 51-7:536.75 И26 Рекомендовано к печати Отделением математики Академии наук высшей школы Украины (Протокол №3 от 13.04.2010) Рецензент Н. А. Вирченко, д-р ф.-м. наук, проф. Игнатович В. Н. И 26 Парадокс Гиббса с точки зрения математика: Монография. — Киев: Издательская группа АТОПОЛ, 2010. — 80 с.: Библиогр.: с.75-78. ISBN 978-966-2459-01-2 Парадокс Гиббса возникает при теоретическом рассмотрении...»

«ЭКОНОМИЧЕСКИХ ВЗАИМООТНОШЕНИЙ СЕЛЬХОЗТОВАРОПРОИЗВОДИТЕЛЕЙ КАЗАХСТАНА С ООСТАВЩИКАМИ СЕЛЬХОЗТЕХНИКИ И АГРОТЕХНИЧЕСКИХ УСЛУГ В УСЛОВИЯХ РЫНКА ПРОБЛЕМЫ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ВЗАИМООТНОШЕНИЙ СЕЛЬХОЗТОВАРОПРОИЗОДИТЕЛЕЙ КАЗАХСТАНА С ПОСТАВЩИКАМИ СЕЛЬХОЗТЕХНИКИ И АРГОТЕХНИЧЕСКИХ УСЛУГ В УСЛОВИЯХ РЫНКА 7с Г1 / Астана УДК 631.15 + 333. ББК 65.9 (2) М Министерство Образования и Науки Республики Казахстан Евразийский национальный Университет...»

«Камчатский государственный технический университет Профессорский клуб ЮНЕСКО (г. Владивосток) Е.К. Борисов, С.Г. Алимов, А.Г. Усов Л.Г. Лысак, Т.В. Крылова, Е.А. Степанова ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ДИНАМИКА СООРУЖЕНИЙ. МОНИТОРИНГ ТРАНСПОРТНОЙ ВИБРАЦИИ Петропавловск-Камчатский 2007 УДК 624.131.551.4+699.841:519.246 ББК 38.58+38.112 Б82 Рецензенты: И.Б. Друзь, доктор технических наук, профессор Н.В. Земляная, доктор технических наук, профессор В.В. Юдин, доктор физико-математических наук, профессор,...»

«Министерство образования Республики Беларусь УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ СОВРЕМЕННЫЕ ГЛОБАЛЬНЫЕ ТРАНСФОРМАЦИИ И ПРОБЛЕМА ИСТОРИЧЕСКОГО САМООЛПРЕДЕЛЕНИЯ ВОСТОЧНОСЛАВЯНСКИХ НАРОДОВ Монография Под редакцией доктора философских наук, профессора Ч.С. Кирвеля 2 издание, переработанное и дополненное Гродно ГрГУ им. Я.Купалы 2009 УДК 005.44:94(=16) ББК 87 С56 Авторы: Ч.С.Кирвель (Человечество в начале третьего тысячелетия: проблемы и противоречия...»

«Академия искусств Украины ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ СОВРЕМЕННОГО ИСКУССТВА Алексей Босенко СЛУЧАЙНАЯ СВОБОДА ИСКУССТВА Киев Химджест 2009 ББК 87.3(4) УДК 101.2 Б 85 БОСЕНКО А. В. Случайная свобода искусства / Инст. проблем совр. искусства Акад. исБ 85 кусств Украины. — К.: Химджест, 2009. — 584 с. ISBN 978-966-8537-68-4 Монография Случайная свобода искусства представляет собой самодвижущееся развитие текста, хотя и звучит, антифоном перекликаясь с предыдущими произведениями автора и отзываясь им. Это...»

«М.А. Титок ПЛАЗМИДЫ ГРАМПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ БАКТЕРИЙ МИНСК БГУ 2004 УДК 575:579.852 М.А. Титок Плазмиды грамположительных бактерий.—Мн.: БГУ, 2004.— 130. ISBN 985-445-XXX-X. Монография посвящена рассмотрению вопросов, касающихся основных механизмов копирования плазмид грамположительных бактерий и возможности их использования при изучении репликативного аппарата клетки-хозяина, а также для создания на их основе векторов для молекулярного клонирования. Работа включает результаты исследований плазмид...»

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ Татарко Александр Николаевич СОЦИАЛЬНЫЙ КАПИТАЛ КАК ОБЪЕКТ ПСИХОЛОГИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ Москва, 2011 3 УДК ББК Т Данное издание подготовлено при поддержке РГНФ (проект № 11 06 00056а) Татарко А.Н. Т Социальный капитал как объект психологического исследова ния. Монография. – М.: 2011. – с. ISBN В монографии представлены результаты психологического иссле дования социального капитала поликультурного общества на примере России....»

«Министерство образования Республики Беларусь УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ Э.С.ЯРМУСИК КАТОЛИЧЕСКИЙ КОСТЕЛ В БЕЛАРУСИ В ГОДЫ ВТОРОЙ МИРОВОЙ ВОЙНЫ (1939–1945) Монография Гродно 2002 УДК 282: 947.6 ББК 86.375+63.3(4Беи)721 Я75 Рецензенты: доктор исторических наук, профессор кафедры истории Беларуси нового и новейшего времени БГУ В.Ф.Ладысев; кандидат исторических наук Григорианского университета в Риме, докторант Варшавского университета имени...»

«1 УДК 341 ББК 67.412 Ш 18 Шалин В.В., Альбов А.П. Право и толерантность:либеральная традиция в эпоху глобализации. – 2-е изд., перераб. и доп. – Краснодар. Краснодарская академия МВД России, 2005. - 266 с. Монография представляет собой первое оригинальное научное издание, формирующее целостное предствление о закономерностях развития концепции толерантности, о правовых и нравствтенных регуляторах взаимодействия личности, общества, государства в России и в странах Западной Европы. В книге, в...»

«В. М. Васюков РАСТЕНИЯ ПЕНЗЕНСКОЙ ОБЛАСТИ (КОНСПЕКТ ФЛОРЫ) Издательство Пензенского государственного университета Пенза 2004 1 УДК 581.9 ББК 28.592 В19 Р е ц е н з е н т ы: Кандидат биологических наук, доцент Мордовского государственного университета им. Н. П. Огарева Т. Б. Силаева Кандидат биологических наук, научный сотрудник Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова А. П. Сухоруков Васюков В. М. В19 Растения Пензенской области (конспект флоры): Монография. – Пенза:...»

«Л.Т. Ж у р б а • Е. М. М а с т ю к о в а НАРУШЕНИЕ ПСИХОМОТОРНОГО РАЗВИТИЯ ДЕТЕЙ ПЕРВОГО ГОДА ЖИЗНИ Москва. Медицина. 1981 ББК 56.12 УДК 616.7+616.89]-0.53.3 Ж У Р Б А Л. Т., МАСТЮКОВА Е. М. Нарушение психомоторного развития детей первого года жизни. — М.: Медицина, 1981, 272 с., ил. Л. Т. Журба — кандидат медицинских наук, старший научный сотрудник кафедры нервных болезней II М О Л Г М И им. Н. И. Пирогова. Е. М. Мастюкова — доктор медицинских наук, старший научный сотрудник Института...»

«С.В.Бухаров, Н.А. Мукменева, Г.Н. Нугуманова ФЕНОЛЬНЫЕ СТАБИЛИЗАТОРЫ НА ОСНОВЕ 3,5-ДИ-ТРЕТ-БУТИЛ-4-ГИДРОКСИБЕНЗИЛАЦЕТАТА 2006 Федеральное агенство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Казанский государственный технологический университет С.В.Бухаров, Н.А. Мукменева, Г.Н. Нугуманова Фенольные стабилизаторы на основе 3,5-ди-трет-бутил-4-гидроксибензилацетата Монография Казань КГТУ 2006 УДК 678.048 Бухаров, С.В. Фенольные стабилизаторы на...»

«Е.А. ОГНЕВА ХУДОЖЕСТВЕННЫЙ ПЕРЕВОД: ПРОБЛЕМЫ ПЕРЕДАЧИ КОМПОНЕНТОВ ПЕРЕВОДЧЕСКОГО КОДА УДК 82.03+81`25 ББК 83.3+81.2-7 О-38 Огнева Е.А. Художественный перевод: проблемы передачи компонентов переводческого кода: Монография. 2-е изд., доп. – Москва: Эдитус, 2012. – 234 с. Рецензенты: доктор филологических наук С.Г. Воркачев доктор филологических наук Л.М. Минкин В монографии обсуждаются актуальные проблемы сопоставительного языкознания и теории перевода. Изложена типология преобразований...»

«П. Ф. ЗАБРОДСКИЙ, В. Г. МАНДЫЧ ИММУНОТОКСИКОЛОГИЯ КСЕНОБИОТИКОВ Монография Саратов 2007 УДК 612.014.46:616–092:612.017.1]–008.64–008.9–085.246.9.(024) ББК 52.84+52.54+52.8 я 43 З–127 Забродский П.Ф., Мандыч В.Г. Иммунотоксикология ксенобиотиков: Монография. – СВИБХБ, 2007.- 420 с. ISBN 978–5 –91272-254-7 Монография посвящена рассмотрению токсических и иммунотоксических свойств ксенобиотиков, в частности токсичных химикатов (боевых отравляющих веществ), ядовитых технических жидкостей,...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ В. Л. Чечулин, В. И. Смыслов Модели социально-экономической ситуации в России 1990-2010 годов и сценарные прогнозы до 2100 года Монография Пермь 2013 УДК 314.1; 331.2; 316.4; 51-77 ББК 60.7 Ч 57 Чечулин В. Л., Смыслов В. И. Модели социально-экономической ситуации в России...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ В. Л. Чечулин История математики, науки и культуры (структура, периоды, новообразования) МОНОГРАФИЯ Пермь 2013 УДК 51; 16 ББК 22.1 Ч 57 Чечулин В. Л. История математики, науки и культуры (структура, периоды, ноЧ 57 вообразования): монография / В. Л. Чечулин; Перм. гос. нац....»

«УДК 001(09) ББК Ч213 Р86 Рецензенты: Академик РАН А.В. Чаплик (ИФП СО РАН) Член-корреспондент РАН В.А. Ламин (ИИ СО РАН) Член-корреспондент РАН И.Б. Хриплович (ИЯФ СО РАН) Издание осуществлено в рамках интеграционного проекта фундаментальных исследований СО РАН М-48 Открытый архив СО РАН 2012–2014 гг. Авторы-составители: Крайнева И.А., Михайлов М.Ю., Михайлова Т.Ю., Черкасская З.А. Юрий Борисович Румер: Физика, XX век : авт.-сост. И.А. Крайнева [и др.] ; отв. ред. А.Г. Марчук ; Рос. акад. наук,...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Пермский государственный университет Н.С.Бочкарева И.В.Суслова РОМАН О РОМАНЕ: ПРЕОДОЛЕНИЕ КРИЗИСА ЖАНРА (на материале русской и французской литератур 20-х годов ХХ века) Пермь 2010 УДК 821.133.1-31190/194+821.161.1-31190/195 ББК 83.3(2Рос=Рус)+83.3(4Фра) Б86 Бочкарева Н.С., Суслова И.В. Б86 Роман о романе: преодоление кризиса жанра (на материале русской и...»

«Российская академия наук музей антРопологии и этногРафии им. петРа Великого (кунсткамеРа) В. а. кисель поездка за кРасной солЬЮ погРеБалЬнЫе оБРядЫ туВЫ XVIII наЧало XXI в. санкт-петербург наука 2009 Электронная библиотека Музея антропологии и этнографии им. Петра Великого (Кунсткамера) РАН http://www.kunstkamera.ru/lib/rubrikator/03/03_03/978-5-02-025566-1/ © МАЭ РАН УДК 393.05(571.52) ББК 63.5(2) К44 Утверждено к печати Ученым Советом МАЭ РАН Ответственный редактор д-р истор. наук Ю.Ю....»

«~1~ Департамент образования и науки Ханты-Мансийского автономного округа – Югры Сургутский государственный педагогический университет Е.И. Гололобов ЧЕловЕк И прИроДа на обь-ИртышСкоМ СЕвЕрЕ (1917-1930): ИСторИЧЕСкИЕ корнИ СоврЕМЕнныХ эколоГИЧЕСкИХ проблЕМ Монография ответственный редактор Доктор исторических наук, профессор В.П. Зиновьев Ханты-Мансийск 2009 ~1~ ББК 20.1 Г 61 рецензенты Л.В. Алексеева, доктор исторических наук, профессор; Г.М. Кукуричкин, кандидат биологических наук, доцент...»








 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.