WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Pages:     | 1 | 2 || 4 |

«Математические методы исследования задач электродинамики Монография Пенза 2009 УДК 517.6 + 621.371 С50 Рецензенты: доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией ...»

-- [ Страница 3 ] --

Условие 1 2 использовалось при выводе формул (17), (18), поэтому оно присутствует в теореме 1. Если 1 2, то задача о нормальных волнах перестает быть векторной, «распадается» на две скалярные задачи Дирихле и Неймана для уравнения Гельмгольца и хорошо изучена в работах [153–155].

§3 Свойства ортогональности для собственных Введем обозначения:

поперечные компоненты собственной ( p 0 ) или присоединенной ( p 1 ) волны и, соответственно, «сопряженной» волны, отвечающей х.ч. n. Скобками, будем обозначать скалярное произведение в L4 :

Докажем следующую основную формулу:

Выше отмечалось, что для компонент En,t, H n,t справедливы уравнения (2). Тогда, выражая величины nVn, mWm из этих уравнений и пользуясь формулами (17), (18), будем иметь Из формулы (33) находим, что при p 0, q 0 справедливы следующие соотношения ортогональности:

Напомним, что х.ч. с различными индексами могут совпадать:

двукратно полна в и существует единственная биортогональная к ней система.

Доказательство. Полнота системы Vn установлена в теоp реме 1. Минимальность будет следовать из существования биортогональной системы [152]. # Перенумеруем х.ч. n так, чтобы среди них не было совпадающих, и обозначим их через k, k A. Образуем системы функций:

Как видно из (34), для построения биортогональной системы к Vn, n A, p 0, 1,, mn, достаточно построить с помощью системы функций Q k конечные биортогональные системы к системам k при фиксированном K, а затем их объединить.

Будем искать элементы биортогональной системы к k в виде линейных комбинаций элементов системы Q k.

Q k, соответственно. Найдем из условий которые эквивалентны матричному уравнению GA I, где A : a pq, G : v p, wq – матрицы размера r r. Определитель матрицы G отличен от нуля в силу полноты системы Vn поэтому однозначно определяем A G 1. Теорема доказана.

Частный случай соотношений ортогональности (34), когда 1 2, отсутствуют присоединенные волны p q 0 и граница области кусочно-гладкая, хорошо известен [63]. Задача в этом случае не является векторной.

§4 О базисности системы собственных и присоединенных волн Принимая во внимание теорему 2, естественно поставить вопрос о базисности системы Vn в L4. Под базисом мы будем всегда понимать базис Шаудера [76]. Предварительно установим справедливость следующих общих предложений.

Лемма 3. Пусть i – полная нормированная система в гильбертовом пространстве H i 1, а система j удовлетворяет условиям Тогда, если существует подпоследовательность N jk последовательности N j такая, что N jk 0 при jk, то система i не является базисом в H.

Доказательство. Заметим, что все N j 0 в силу полноты системы i в H. Пусть i – базис в H. Образуем систему j j N j биортогональную к i : i, j ij. Тогда j тоже базис в H [76, с. 371]. Но если базис i нормирован, то базис почти нормирован [76, с. 372]. Вычислим при jk. Получаем противоречие с нормированностью j.

Лемма доказана. # Лемма 4. Пусть система i – базис в гильбертовом пространстве H. Тогда система, i i – также базис в H.

Доказательство. Так как i есть базис в H, то для любого справедливо разложение в ряд сходящийся по норме, и это разложение единственно. Тогда где Ci Ci i. Последнее разложение также сходится по норме пространства H, т.к.

и оба ряда сходятся по норме, то имеем Из единственности разложения по системе i получаем Ci Ci i, или Ci Ci i Ci. Таким образом, разложение в ряд ва H. Лемма доказана. # Рассмотрим х.ч. кратности 1 и вычислим с помощью (1) и (17) значение скалярного произведения V,W Здесь V V, W W. Таким образом, для собственных волн, отвечающих х.ч. n 0 кратности 1 имеем Аналогично для собственных волн, отвечающих х.ч. кратности 1 и таких, что, получаем Как следует из теоремы 1.2, V будет поперечной составляющей собственной волны, отвечающей х.ч., поэтому при в силу (33) находим, что V,W 0. Итак, для собственных волн, отвечающих х.ч. n n кратности 1, имеем Леммы 3, 4 и формулы (36), (37) позволяют доказать следующее утверждение.

Теорема 3. Пусть 1 2, спектр пучка L содержит бесконечное множество изолированных х.ч. кратности 1, n A, и n n, при n. Тогда система вектор-функций построенная по системе с.п.в. p p 0, 1,, mn пучка L, отвечающих х.ч. n, n A, A A, не является базисом в L4.

p 0, 1,, mn, n A, является базисом в L4. Построим норp p мированную систему Vn, Vn : Vn тема также будет базисом в L4.

С помощью линейных комбинаций элементов системы Wn p 0, 1,, mn, n A, как при доказательстве теоремы 2, построим (единственную) биортогональную систему W к базису V.

Положим поскольку Wn Из формул (36), (37) для достаточно больших n, когда n n (см. теоремы 1.1, 1.4), получаем Тем самым для систем Vn, Wn выполнены условия лемp мы 3, поэтому Vn не может быть базисом в L4. Полученное противоречие доказывает теорему. Теорема доказана. # В теореме 3 описана наиболее простая ситуация, когда существует бесконечное множество х.ч. кратности 1 (что имеет место, например, в частично заполненных прямоугольных и круглых волноводах). Доказательство аналогичного утверждения в общем случае встречает определенные технические трудности. Но уже теорема 3 показывает отсутствие, вообще говоря, свойства базисности системы Vn для данного круга задач.

Свойством базисности именно для поперечных компонент собственных и присоединенных волн интересуются главным образом в связи со схемой Л. А. Вайнштейна [63] решения задач возбуждения волноводов, где это свойство фактически постулируется.





Интересно отметить, что базисности нет даже в случае 1 2, однако за счет разделения системы на E- и H-волны можно показать, что имеет место базис из подпространств, поэтому разложения в [63] будут верны. При 1 2 задача «не распадается» на скалярные задачи, остается векторной, и построение базиса из подпространств (с учетом возможных присоединенных волн) затруднительно.

Очевидно, не имеет смысла ставить вопрос о базисности системы собственных и присоединенных волн Vn в H, т.к. попеp речные и продольные компоненты волн не являются независимыми и связаны соотношениями (1).

Глава 2. Метод оператор-функций Раздел 1. Интегральные оператор-функции, отвечающие задаче о нормальных волнах волноведущей структуры В предыдущей главе подробно исследовались общие свойства задачи о нормальных волнах методом операторных пучков. Следующие главы посвящены другому методу изучения электромагнитных колебаний в волноведущих структурах – методу операторфункций. Этот метод больше ориентирован на получение численных результатов, поэтому в дальнейшем несколько сузим рассматриваемый класс структур, учитывая практические приложения.

Отметим, что метод позволяет получать и результаты теоретического характера.

Цель этого раздела – вывести и проанализировать интегральную оператор-функцию, эквивалентную задаче о нормальных волнах в классической постановке. При этом оператор-функция определяется системой интегральных уравнений, нелинейно зависящей от спектрального параметра.

С помощью функций Грина выводится интегральная операторфункция, отвечающая краевой задаче о нормальных волнах. Строится система двух интегральных уравнений, относительно следов функций, описывающих поля на линии разрыва диэлектрика. Доказывается, что первое уравнение имеет логарифмическую особенность, а второе сингулярную, и исследуется гладкость регулярной части системы, не содержащей особенности. Доказывается спектральная эквивалентность задачи на собственные значения для интегральной оператор-функции и исходной краевой задачи на собственные значения.

Результаты раздела опубликованы в работах [3, 39, 41, 45, 98].

§1 Интегральная оператор-функция, отвечающая краевой задаче на собственные значения. Теорема эквивалентности Ниже мы будем рассматривать только случай, когда линия разрыва диэлектрической проницаемости лежит на прямой. Для того чтобы подчеркнуть это отличие от общего случая, введем некоторые новые обозначения. Пусть x x1, y x2, 1 y 0, i 1,, 2 N 1 N 1. В разделе 1 было дано определение решения задачи о нормальных волнах. Согласно этому определению решение удовлетворяет уравнениям Гельмгольца в областях j :

краевым условиям на границе 0 :

условиям сопряжения на линии раздела сред:

условиям на ребрах [136]:

– расстояние до ребра.

множестве принадлежат классу Гельдера H где H – класс функций, заданных на и представимых в виде H – множество функций, удовлетворяющих на условию Гельдера с показателем, 0 1 [141]. Ниже будет доказано, что условие (5) является следствием (1)–(4), поэтому мы не сужаем класса решений, накладывая это дополнительное условие.

Рассмотрим теперь краевую задачу (1)–(5). Пусть пара, – решение этой задачи. Выразим значения и внутри j через значения, которые эти функции или их нормальные производные принимают на границе j.

ветственно первой и второй краевой задачи для уравнений Гельмгольца (1) с коэффициентами k 2 в области j ; j 1, 2. Обозначим через j и j значения и в области j. Тогда по второй формуле Грина с учетом краевых условий (2) будем иметь следующие интегральные представления Отложив пока обоснование законности предельного перехода под знаком интеграла, с помощью (6), (7) получим систему интегральных уравнений на.

Считая, что 0, введем новые неизвестные функции Последняя запись корректна, т.к. в силу (3) Перепишем представления (6), (7) в виде где какая-либо первообразная подынтегральной функции по переменной t. При выводе (11) произведено интегрирование по частям Теперь, подставляя (9) и (10) во второе и четвертое уравнения (3), получим систему интегральных уравнений здесь обозначено К уравнениям (12), (13) следует добавить условия которые получаются из соотношений Система интегральных уравнений (12), (13) вместе с дополнительными условиями (14) получена как следствие задачи (1)–(5).

Ниже будет доказана эквивалентность этой системы исходной краевой задаче.

Замечание. Если 0, то задача (1)–(5) распадается на две независимые скалярные задачи для функций и. При этом возникают два интегральных уравнения, аналогичных (12). Этот случай значительно проще, чем тот, который рассматривается в работе, и мы не будем на нем останавливаться, тем более что сколь угодно малым изменением параметров задачи можно добиться того, чтобы точка 0 стала регулярной точкой задачи (1)–(5).

Исследуем некоторые свойства функций Грина G, G. Для определенности рассмотрим область 1. Пусть 1 – область, симметричная 1 относительно оси Ox. Образуем область 1 2 X, где X определено в §1; – область со строго липшицевыми границами. Пусть g1 x, y, x0, y0, g1 x, y, x0, y0 – второй краевой задачи в области. Тогда По определению функций g1, g1 справедливы представления цируемы в по совокупности аргументов, т.к. они являются решениями уравнения Гельмгольца (1) по каждой из переменi ных. Функция H 0 k1r является фундаментальным решением уравнения Гельмгольца u k12u 0 [73, с. 204] (параметр k1 может быть и комплексным).

Замечание. Под H 0 k1r мы понимаем однозначную аналитическую ветвь на разрезанной вдоль луча Im k1 0, Re k ча нас не будут интересовать, т.к. в силу теоремы 1.2 задачу (1)–(5) достаточно рассмотреть, например, только в верхней полуплоскости параметра 2.

Для фундаментального решения имеем разложение [145] из которого следует, что Легко проверить, что первые производные функции P r по x, y, x0 или y0 непрерывны, а вторые имеют логарифмическую особенность при r 0. Теперь, подставляя (16) и (17) в формулы (15), получим следующий результат.

Лемма 1. Для функций Грина G, G справедливы представления дифференцируемы на множестве j X j X, а их вторые производные (по любым переменным) имеют на этом множестве самое большее – логарифмическую особенность.

Напомним, что множество X – есть совокупность конечного числа открытых интервалов, лежащих на оси y 0, поэтому точки этого множества являются внутренними точками областей, Из леммы 1 следует, что функция G x, y, x0, y0 имеет логаj рифмическую особенность ln x x0 y 2, поэтому возможность предельного перехода под знаком интеграла при вычислении j x, 0 при выводе уравнения (12) очевидна:

Рассмотрим случай уравнения (13). Пусть y 0. Тогда все подынтегральные функции гладкие и можно дифференцировать под знаком интеграла:

причем последнее слагаемое отсутствует, если x c. Далее рассмотрим плоскость x, y как плоскость комплексного переменного. Обозначим z x, y, t x0, 0. Очевидно, что Тогда по формулам Сохоцкого-Племеля [141, с. 66] и возможность предельного перехода под знаком интеграла установлена.

поэтому для них также справедлив предельный переход под знаком интеграла; функции j x, x0 особенности не имеют.

Из полученных результатов следует, что уравнения (12), (13) можно записать в следующей форме:

Для дальнейшего изложения конкретный вид функций K ij x, x0 значения не имеет. Важно лишь знать гладкость этих функций. Из формул (15)–(17) легко видеть, что основное слагаемое в этих представлениях, «отвечающее» за гладкость функций Kij, есть r ln r. Анализ этого слагаемого показывает, что ядра K1 j x, x0 непрерывно дифференцируемы в, а их вторые производные (по любым переменным) имеют логарифмическую особенность; ядра K 2 j x, x0 непрерывны в, их первые производные имеют логарифмическую особенность при x x0 0.

До сих пор рассматривались точки множеств X и X, лежащие на оси y 0. По определению точки этих множеств не могут находиться на. Для получения системы интегральных уравнений (12), (13) такого рассмотрения достаточно, т.к. выполнение условий сопряжения (3) требуется лишь во внутренних точках. Однако при решении системы (19), (20) важно знать поведение функций K1 j, K 2 j x, x0 в окрестности концевых точек.

Если X (т.е. концы не лежат на границе области Q ), то для этих функций все перечисленные выше условия будут выполняться в. Если некоторые концы принадлежат Q, то функции N, x, x0 из (16) могут иметь дополнительную «неподвижную»

особенность (см. разд. 3 этой главы, а также [101]). Мы ограничимся случаем X, достаточным для наших целей.

Теперь докажем следующий результат.

Лемма 2. Пусть, H – некоторые фиксированные функции. Интегральное соотношение (20) вместе с условиями (14) эквивалентно следующему:

вообразные K 2 j x, x0 по переменной x, Доказательство. Пусть выполнено соотношение (20) и условия (14). Рассмотрим функцию Дифференцируя (23) под знаком интеграла, в силу (20) получим F x 0, x, следовательно, F x C, x. По теореме Фубини о повторных интегралах [109] из условий (14). Значит, F x 0, x.

Докажем обратное утверждение. Пусть (21) верно для всех точек x. Дифференцируя (21) под знаком интеграла, получим, что F x x dx x0 dx0, поэтому (14) также выполнено. Лемма доказана. # Лемма 2 означает, что система интегральных уравнений (12), (13) с дополнительными условиями (14) может быть заменена эквивалентной системой интегральных уравнений, в которой ядра имеют логарифмические особенности:

Гладкость функции K1 j x, x0 рассматривалась выше. Покажем, что функции K 2 j x, x0 имеют ту же гладкость. Для этого достаточно проследить преобразования по формулам (22) «основного» слагаемого x x0 ln x x0, которое дает особенность в производных. После несложных вычислений будем иметь и аналогичное разложение для K 22 x, x0 (при выводе (25) испольa a зовалась формула Сформулируем полученный результат в виде теоремы.

Теорема 1. Пусть X. Тогда систему интегральных уравнений (12), (13) с дополнительными условиями (14) можно свести к эквивалентной системе (24), в которой функции Таким образом, нам удалось с помощью представлений (16), (17) выделить логарифмическую особенность системы (24) и, что особенно важно, описать свойства регулярной части этой системы.

Докажем следующий результат.

Грина первой и второй краевой задачи для уравнения Гельмгольца X. Тогда если существует нетривиальное решение краевой задачи (1)–(5), то существует нетривиальное решение системы интегральных уравнений (12)–(14). Обратно, из существования нетривиального решения задачи (12)–(14) следует существование нетривиального решения задачи (1)–(5).

Замечание. В условиях теоремы 2 предполагается, что функции Грина G, G существуют при данном значении 2.

Однако эти функции будут иметь счетное множество полюсов C, если их рассматривать как функции параметра. При функции Грина не определены. Поэтому теорему можно назвать теоремой о спектральной эквивалентности задачи (1)– (5) и системы интегральных уравнений (12)–(14) на множестве C \.

Доказательство. В разделе 1 было показано, что система (12)– (14) есть следствие задачи (1)–(5), т.е. если пара, – нетривиальное решение системы (1)–(5), то пара, – также нетривиальное решение (12)–(14). Докажем обратное утверждение.

Пусть, – нетривиальное решение (12)–(14). Образуем функции j x, y будут удовлетворять уравнениям Гельмгольца (1) внутри областей j и условиям (2) на границе 0. Для доказательства этого факта достаточно провести необходимые действия под знаком интеграла в (26)–(28) (в этом случае точки x, y и x0, 0 не совпадают). Далее, по формулам (18) В плоскости комплексного переменного z x iy, z x, y, t x0, 0 по формулам Сохоцкого-Племеля будем иметь для вещественных функций t, удовлетворяющих условию Гельдера H (как и выше, достаточно рассмотреть случай вещестt dt граничные условия для функций Грина G, G и переходя к преj j делу в (27), (28), получаем Условие 0 удовлетворяется в силу интегрального уравнения (12), а условие в силу уравнения (13). Действительно, в первом случае достаточно перейти к пределу под знаком интеграла в (28); во втором – учитывая условия a 0, 1,, 2N, следующие из (26), проинтегрировать по частям (27):

и записать рассматриваемое условие сопряжения с помощью (28), (30). Это тот же путь, который привел нас к уравнениям (12), (13).

Обоснование всех предельных переходов дано в §2.

Остается установить справедливость оценок (4). Пусть a – угловая точка или ребро; a 0. Если a, то оценки (4) получаются из результатов о гладкости решений однородных эллиптических уравнений с однородными граничными условиями в окрестности угловой точки [111] (в [111] доказаны более сильные оценки, а также приведены разложения решения в окрестности точки a ).

Рассмотрим случай острого ребра a. В этом случае для главj j j j представление или в окрестности точки a. Эти представления позволяют воспользоваться результатами о поведении интеграла типа Коши вблизи концов линии интегрирования. Согласно [141] для причем точка z может находиться и на линии интегрирования.

Из (31) непосредственно следуют оценки (4) для,.

x x 2 y 2 x0 dx0, поэтому, как и выше, достаточно рассмотреть интеграл типа Коши Функция t удовлетворяет условию Гельдера на. Действительно, пусть t1, t2. По формулам (26) будем иметь Далее дополним до гладкого замкнутого контура S и положим Так определенная функция t, очевидно, также удовлетворяет условию Гельдера H на S. Тогда по теореме о поведении интеграла типа Коши вблизи линии интегрирования [141, с. 85] для любых z1, z2, лежащих внутри или на контуре S, причем под z при z S понимается соответствующее граничное значение.

Выбирая в качестве z1 точку a, z2 z, получим оценку из которой следует, что const, 0 1, в окрестности ребра a. Ограниченность в окрестности ребра a очевидна. Теорема доказана.

Доказанная теорема в сочетании с теоремой 1 позволяет утверждать, что краевая задача (1)–(5) эквивалентна системе интегральных уравнений с логарифмической особенностью в ядрах (24). Такие системы будут рассмотрены в следующем разделе.

Раздел 2. Метод вычисления характеристических чисел и собственных векторов L-оператор-функций В разделе 1 задача о нормальных волнах была сведена к нелинейной задаче на собственные значения для системы интегральных уравнений с логарифмической особенностью в ядрах. В настоящем разделе предлагается и обосновывается численный метод определения характеристических чисел и собственных векторов задачи.

Такие методы представляют и самостоятельный интерес, поэтому изложение ведется в общем виде, а потом рассматривается конкретная задача о нормальных волнах волноведущей структуры.

В разделе предлагается и обосновывается численный метод нахождения характеристических чисел и собственных векторов нелинейной задачи на собственные значения для системы интегральных оператор-функций с логарифмической особенностью в ядрах. В пространствах, естественно связанных с численным методом, изучается специальный класс таких систем, названных L -оператор-функциями. Такие оператор-функции характеризуются возможностью выделения главной обратимой части системы; компактная часть допускает равномерную аппроксимацию операторами конечного ранга. Проекционный метод основан на разложении решений по собственным функциям главной части оператора системы. Приближенные характеристические числа и собственные векторы находятся как решения уже конечномерной алгебраической задачи, которая приводит к трансцендентному уравнению относительно спектрального параметра. На основе теории дискретной сходимости [61, 62] доказываются теоремы о сходимости приближенных характеристических чисел и собственных векторов к точным для систем, голоморфно зависящих от спектрального параметра. В конце главы результаты обобщаются на случай конечномероморфных фредгольмовых оператор-функций.

Результаты раздела опубликованы в работах [3, 40, 98].

§1 Классы p. Логарифмические интегральные операторы Здесь будут изучены свойства логарифмических интегральных операторов в некоторых специальных классах p, естественно связанных с рассматриваемым в этой главе численным методом.

Пусть hp – пространство последовательностей комплексных чисел k таких, что Пространства hp, наделенные скалярным произведением превращаются в (сепарабельные) гильбертовы пространства.

Рассмотрим классы функций, заданных на отрезке [–1, 1]:

Tn t cos n arccos t – многочлены Чебышева первого рода. Эти пространства также становятся гильбертовыми, если определить скалярные произведения по формуле Ясно, что p изоморфно hp.

Хорошо известно, что [109] Утверждение 1.

Доказательство. Пусть 2. Тогда и последовательность k такова, что 0 k k 2. Следоваk тельно, по теореме Рисса-Фишера [109] существует такой элемент f L2 1, 1, 1 t, что его коэффициенты Фурье по ортогональной системе функций Чебышева второго рода U n x sin n arccos x, ляющая собой неопределенный интеграл от суммируемой функции, абсолютно непрерывна, и ее производная F x f x 1 x почти всюду непрерывна [109]. Тогда поэтому и, следовательно, L2 1, 1; 1 t.

Обратно, пусть W2. Ее ряд Фурье-Чебышева Разложение по системе функций U n x, образующих базис в Теперь, применяя неравенство Бесселя [109] к k, получим, что h2. Утверждение доказано. # Приведем еще одну характеристику пространства 2.

Утверждение 2. Функции из 2 удовлетворяют условию Гельдера с показателем,.

Доказательство. Докажем, что Отсюда будет следовать справедливость условия Гельдера при всех 0. Прежде всего заметим, что Tn x 1, функций Tn x сходится равномерно, поэтому C 1, 1. Далее, Утверждение доказано. # Будем рассматривать логарифмический оператор, определяемый формулой Свойства этого оператора в классах p определяются следующей леммой.

Лемма 1. Полиномы Чебышева Tn t являются собственными функциями оператора L и справедливы следующие выражения:

Доказательство имеется в [97] и мы не будем здесь его повторять.

Из леммы 1 сразу следует Теорема 1. Оператор L : p p 2, p 0, непрерывно обратим.

Доказательство. Действительно, в силу леммы 1 для имеем откуда непосредственно получаем утверждение теоремы. # Замечание. Формулы, приведенные выше, по существу, задают обратный оператор:

§2 Компактные операторы в пространствах p Пусть оператор K задан формулой Рассмотрим следующий вопрос: при каких условиях, налагаемых на ядро K x, s, этот оператор, действующий из p в p2, будет компактным? Ниже рассматривается случай четных p 0.

Теорема 2. Пусть p – четно, 0 p p, и выполнены условия где через D обозначена производная степени, D 1 2, 1 2. Тогда формула (6) определяет компактный оператор Доказательство. Фиксируем p, 0 p p. Обозначим через PN и QN проекторы, действующие по формулам:

где и те же, что и в (4), и рассмотрим конечномерные операторы K N QN KPN, N 1, 2, Если K, то Аналогично, для K N имеем Предположим, что для коэффициентов ank выполнено условие Тогда по неравенству Коши-Буняковского получим следовательно, K : p p 2 и K C. Далее, в силу (11), поэтому K есть предел по норме последовательности конечномерных операторов K K N 0, N, и компактность доказана. Таким образом, достаточно установить справедливость (11).

Рассмотрим функции По условию все функции принадлежат пространству а функции f q, 0 q, непрерывны. Разложим функции f q по Отсюда следует, что при n Но в силу неравенства Бесселя [109] поэтому При n 0 также из неравенства Бесселя имеем Оценки (14), (15) доказывают неравенство (11), а вместе с ним и теорему 2. # Попутно мы получили следующий результат.

Утверждение 3. Если выполнены условия теоремы 2, а операторы K N QN KPN определены соотношениями (8), то причем, C 2 не зависит от p, 0 p p.

Оператор K будет компактным и при менее сильных ограничениях на ядро K x, s, но мы не стремились получить точный результат. Нам было важно аппроксимировать оператор K конечномерными операторами K N и получить оценки (16), которые будут играть важную роль при доказательстве теорем сходимости.

§3 Метод вычисления характеристических чисел и собственных векторов L -оператор-функций. Теорема сходимости Дадим следующее определение.

Определение 1. Оператор-функцию A : p p 2, заданную в некоторой области G комплексной плоскости G C, будем называть L -оператор-функцией, если она представима в виде где K – компактный оператор при любом G.

Обозначим через A множество точек области G, в которых о.-ф. A непрерывно обратима, а через A – множество точек G \ A. Это, соответственно, резольвентное множество и спектр о.-ф. A в области G. Напомним, что A – линейный ограниченный оператор при всяком фиксированном G.

Теорема 3. Пусть L -оператор-функция голоморфна в области G и A. Тогда A фредгольмова в G и спектр A состоит из изолированного множества х.ч. конечной алгебраической кратности, предельные точки которого могут находиться лишь на границе области G.

Доказательство. Фредгольмовость A следует из теоремы 1 и теоремы Рисса о сумме обратимого и компактного операторов [105].

Утверждения о спектре фредгольмовой голоморфной о.-ф. A при A хорошо известны и имеются, например, в [78]. # Итак, при выполнении условий теоремы 3 спектр L -операторфункций состоит из изолированных х.ч. в G. Пусть 0 G – х.ч.

A, а 0 собственный вектор, отвечающий 0, A 0 0 0. Рассмотрим о.-ф.

где операторы PN и QN определены в (8). Естественно ожидать, что при достаточно больших N в окрестности х.ч. будет находиться а среди всех собственных векторов N найдется подпоследовательность, сходящаяся к 0. В этом случае приближенные х.ч. N и собственные векторы N уже можно находить, решая конечномерную алгебраическую задачу (20), (19) где под AN в (20) понимается матрица коэффициентов. Ниже будет доказано, что при некоторых ограничениях такая схема решения задачи действительно может быть реализована.

Замечание. Проекционный метод Галеркина с выбором в качестве базисных функций полиномов Чебышева неоднократно применялся к решению интегральных уравнений и исследовался на сходимость. Но в данном случае мы имеем дело с нелинейной задачей на собственные значения в области G. Многие авторы ошибочно полагают, что доказательства в «стационарном» случае (когда операторы не зависят от или фиксирован) достаточно для обоснования метода. Однако без каких-либо предположений о зависимости A от параметра сходимость N может не иметь места.

Для доказательства теоремы сходимости используем результаты работ [61, 62]. Определим конечномерные пространства нормы в N, N 2 индуцированы нормами в p и p2 и обознаp p различий в обозначении элементов N N и N PN p, а также в обозначении операторов AN QN APN несущественна, будем опускать.

Определение 2 [61]. Последовательность операторов n N, An : n n 2 называется собственно сходящейся к операp p тору A : p p 2, если выполнены следующие два условия:

2) xn const, n N, An xn компактна, следовательно, xn, n N, компактна (последовательность компактна, если всякая ее бесконечная подпоследовательность содержит другую сходящуюся подпоследовательность).

Замечание. В работах [61, 62] вводилось понятие P - и Q сходимости, которые в данном случае совпадают с обычной сходимостью в пространствах p и p2.

Обозначим через AN множество Теорема 4. Пусть p четно, p 0 ; функция K x, s; голоморфна в области G по переменной и выполнены условия (7) по переменным x, s. Тогда, если A, то для х.ч. и собственных векторов о.-ф. A и An, определенных соотношениями (17), (18), справедливы следующие утверждения компактна;

Доказательство. Как следует из теорем 1, 2 в [61], для доказательства перечисленных утверждений достаточно установить, что 3) An равномерно ограничены по n и на каждом компакте K 0 G ;

Рассмотрим коэффициенты Голоморфность ank в G очевидна. Из оценки (16) следует, что K n, K ограничены в окрестности каждой точки G. Согласно [106, с. 459], из голоморфности ank и ограниченности K n, K в окрестности каждой точки G следует голоморфность о.-ф. K n и K в G. Из той же оценки (16) получается равномерная ограниченность An по n и на каждом компакте K 0 G. Фредгольмовость A установлена в теореме 3. Остается доказать собственную сходимость An A, G, n N.

n N, An xn Ln xn K n xn y ; Ln Qn LPn. Поскольку пространство p гильбертово, то из ограниченной последовательности xn, n N, можно выбрать слабо сходящуюся подпоследовательность xn, n N N, которую компактный оператор K переводит в в силу Утверждения 3, поэтому так как Теорема доказана. # Теорема 4 обосновывает метод вычисления х.ч. и собственных векторов, предложенный выше. В работе [61] имеются оценки скорости сходимости n к 0 и xn к ядру ker A 0, однако они не являются конструктивными, поэтому мы не будем их приводить.

До сих пор рассматривался случай одного уравнения (17). Но задача о нормальных волнах приводит к системе уравнений вида (17), причем состоит из нескольких интервалов. Ниже дается обобщение метода вычисления х.ч. и собственных векторов для систем L -оператор-функций.

Пусть Fp p p – декартово произведение m экземпm раз i, i p. Определим проекторы переводящие пространства Fp и Fp 2 в конечномерные подпространства FpN PN Fp и FpN 2 QN Fp 2 с индуцированным скалярным произведением и нормой.

Теперь рассмотрим систему L -оператор-функций, задаваемую операторной матрицей Aij :

ij – комплексные функции переменного ;

Для произвольного оператора B : Fp Fp 2 имеем следовательно, для нормы оператора B верна оценка Из формулы (23) следует, что если для каждой функции K ij x, s; выполнены условия (7), то где cij cij имеют тот же смысл, что и в (16).

L1 1 L1, справедлива оценка L1 0 не существует, dim ker L 0, оператор A 0 не может быть фредгольмовым, и, следовательно, 0 A. При этом 0 может и не быть характеристическим числом, т.е. ker A 0.

будем называть точками вырождения системы (22), а их совокупность обозначать через G0 ; G0 A.

голоморфны в области G (по переменной ) и все функции K ij x, s; удовлетворяют условиям (7) по переменным x, s. Тогда, если A, то A фредгольмова в области G \ G0, и спектр A в этой области состоит из изолированного множества характеристических чисел конечной алгебраической кратности, предельные точки которого могут находиться лишь на границе области G \ G0 ; для х.ч. и собственных векторов о.-ф. A, AN в области G \ G0 справедливы все утверждения о сходимости (i)–(iv) из теоремы 4 (при этом предполагается, что о.-ф. A и AN определены соотношениями (22), и рассмотрения ведутся в пространствах Fp ). Кроме того, G0 A, и всякий компакт K 0 G содержит не более конечного числа точек вырождения.

Доказательство. В доказательстве нуждается лишь последнее утверждение и утверждения о сходимости. Утверждения (i)–(iv) доказываются совершенно аналогично случаю одного уравнения;

необходимо лишь учесть оценки (24), (25). Утверждение о том, что всякий компакт K 0 G содержит не более конечного числа точек вырождения, следует из теоремы единственности [130], согласно которой однозначная аналитическая функция det ij в области G, не равная тождественно нулю (иначе было бы A ), не может иметь последовательность нулей, сходящуюся к какой-либо конечной точке 0 G. Теорема доказана. # §5 Метод вычисления характеристических чисел о нормальных волнах волноведущей структуры Рассмотрим систему (1.24), возникающую при исследовании задачи о нормальных волнах волноведущей структуры. Систему (1.24) запишем в следующем виде Как показано в [104], всякое решение системы (1.12)–(1.14) (или (1.24)), удовлетворяющее условию Гельдера H (1.5) с показателем 1, удовлетворяет этому же условию с показателем 1 2, поэтому можно считать, например, что функции j ( x0 ), j ( x0 ), в (26) непрерывны в j.

Переведем с помощью замены переменных интервалы j в интервал 1, 1 и образуем функции где j – длина интервала j ; ij – символ Кронекера.

Далее образуем коэффициенты:

и введем вектор неизвестных функций:

Тогда систему (26) можно записать в виде (22) с неизвестной вектор-функцией t0, ядрами K ij t, t0 и коэффициентами ij ;

порядок системы m 2 N. Нетрудно проверить, что Отметим, что в этом случае определитель не зависит от.

В силу теоремы 1.1 условия (7) выполнены для всех функций K ij t, t0, при p 0 и p 2, поэтому задачу (26) можно рассматривать либо в пространствах F0, F2, либо в F2, F4. Тем не менее. это не приводит к неоднозначности.

Лемма 2. Всякое решение системы (26), принадлежащее пространству F0, принадлежит F2.

Доказательство. Пусть выполнено (26) и F0. Тогда, как следует из Теоремы 2, K будет непрерывным оператором из F0 в F4, K : F F. Следовательно, систему (26) можно записать в виде где через f обозначено значение K на элементе Но оператор L непрерывно обратим и 1 L1 : F4 F2, поэтому F2. Лемма доказана. # Из леммы 2 следует, что можно, не ограничивая общности, рассматривать систему (26) сразу в пространствах F2, F4.

Условие непустоты резольвентного множества задачи (26) легко получается из результатов главы 1. В самом деле, в главе 1 было доказано (теорема 1.1.1), что все точки, лежащие вне некоторой полосы l, являются регулярными точками пучка L, т.е краевая задача (1.1)–(1.5) при этих имеет только тривиальное решение. Отсюда в силу теоремы 1.2 получаем, что при этих, если только 2 не совпадает с полюсом функции Грина, задачи (1.24) (или (26)) также имеет лишь тривиальное решение, поэтому из фредгольмовости A заключаем, что в этих точках существует ограниченный оператор A1 : F4 F2 и A.

Свойства функций K ij t, t0 K ij t, t0 ; в зависимости от комплексного параметра будут подробно рассмотрены для случая прямоугольников j в разделе 3. В частности, будет показано, что эти функции являются мероморфными в C. В связи с этим сформулируем полученные результаты в следующей форме.

Теорема 6. Пусть о.-ф. A : F2 F4, отвечающая системе интегральных уравнений (26), конечномероморфна в C, а в окрестности полюсов справедливо разложение (1.26), причем оператор A0 в этом разложении фредгольмов. Тогда A фредгольмова во всей комплексной плоскости, и спектр A в C состоит из изолированного множества характеристических чисел конечной алгебраической кратности с единственно возможной предельной точкой в бесконечности. Точки вырождения отсутствуют. В области голоморфности A для х.ч. и собственных векторов конечномерных о.-ф. AN, построенных по правилам (21), (22), справедливы все утверждения о сходимости (i)–(ii) из теоремы 4.

Доказательство. По сравнению с теоремой 5 новым здесь является утверждение о предельных точках A, а также об отсутствии точек вырождения; кроме того, снято ограничение A.

Первое из этих свойств следует из результатов работы [78], а остальные доказаны выше. # Утверждение о том, что полюса (лежащие на границе области голоморфности) не могут быть предельными точками множества х.ч., является весьма существенным для применения численного метода, т.к. наличие предельных точек заметно осложнило бы расчет х.ч. в окрестности этих точек.

В заключение докажем, что условию (1.5) удовлетворяет всякое решение задачи (1.1)–(1.4). Действительно, задача (1.1)–(1.4) приводит к системе интегральных уравнений (26) с логарифмическими особенностями в ядрах (при выводе этой системы применения сингулярных интегралов можно избежать, проинтегрировав по x последнее условие в (1.3)). В силу оценок (1.4) можно считать, что j, j L2. Учитывая гладкость ядер K ij t, t0, из результатов работы [190] заключаем, что функции, W 1. Остается применить утверждение 2, из которого следует справедливость условия Гельдера для функции j, j с показателем 0 1 4 1, что и требовалось доказать.

Раздел 3. Свойства спектра волноведущей структуры – щелевой линии передачи В разделе приводятся результаты исследования спектра для конкретной волноведущей структуры щелевой линии передачи.

Приводится конкретный вид системы интегральных уравнений.

Дается определение четных и нечетных волн для симметричных структур. Исследуются свойства систем в зависимости от спектрального параметра. Доказывается, что оператор-функции, отвечающие этим системам, являются конечномероморфными и фредгольмовыми во всей комплексной плоскости. Отсюда делается важный вывод об изолированности любого характеристического числа и об отсутствии конечных предельных точек множества характеристических чисел.

В данном разделе методы, изложенные в разделах 1, 2, применяются для анализа спектральных характеристик конкретной волноведущей структуры – щелевой линии передачи. Для этой волноведущей структуры возможно построение соответствующих функций Грина в явном виде. Аналитически выделяется логарифмическая особенность для следов функций Грина (в разделе 1 метод выделения особенности не был конструктивным). Выписываются явные формулы проекционного метода, изложенного в разделе 2, для щелевой линии передачи.

Результаты раздела (а также результаты конкретных расчетов и особенности численной реализации метода) содержатся в работах [3, 45, 97–100, 160].

§1 Интегральные оператор-функции для щелевой линии передачи. Четные и нечетные волны Рассмотрим щелевую линию передачи, поперечное сечение которой изображено на рис. 4. В этом случае j – прямоугольник со сторонами a j, b j, Задача о нормальных волнах (1.1)–(1.5) для волноведущей структуры может быть сведена к эквивалентной спектральной задаче для оператор-функции, определяемой системой интегральных уравнений (1.12)–(1.14). Такой подход осуществим лишь тогда, когда известен явный вид функций Грина первой и второй краевой задачи для уравнения Гельмгольца u k 2u 0 в областях j.

В данном случае для функции Грина хорошо известны представления в виде двойных рядов [90, 91, 119]:

k 2 j, kl – символ Кронекера.

Эти функции определены во всей комплексной плоскости, за фигурирующие в интегральных представлениях (1.6), (1.7) и преn образуем их, суммируя ряды по индексу m n k j : Отметим, что несмотря на радикалы, присутствующие в (2), (3), коэффициенты рядов не имеют точек ветвления и являются мероморфными функциями в C.

В качестве первообразной функции (2) по переменной x0 выберем функцию В этом случае система интегральных уравнений (1.12)–(1.14) запишется так:

где Если множество симметрично относительно нуля, то система (5)–(7) распадается на две независимые системы. Действительно, пусть x0 x0 x0, x0 x0 x0 – разложение на нечетную и четную компоненты, и пусть выполнено (5)–(7).

Тогда в уравнениях (5), (6) в слагаемых с нечетным индексом n останутся только функции x0, x0, а в слагаемых с четным n – функции x0, x0. Но в уравнении (5) ряд, образованный только нечетными слагаемыми, есть нечетная функция переменной x, а ряд с четными слагаемыми – четная, поэтому равенство нулю при всех x будет иметь место тогда и только тогда, когда обе эти функции тождественно равны нулю. Аналогично для уравнения (6) с той лишь разницей, что здесь четные функции переводятся в нечетные, а нечетные – в четные. При таком разделении ядра систем несколько упрощаются:

– в нечетном случае:

– суммирование ведется только по нечетным индексам;

– суммирование ведется по четным индексам.

Если системы (8), (9) рассматривать в пространствах то свойство фредгольмовости этих систем сохраняется.

Определение 1. Решения систем (8) и (9) (и построенные по формулам (1)–(3), (1.6)–(1.8) поля E и H) будем называть соответственно нечетными и четными волнами структуры.

Такое определение согласуется с общепринятым [100]. Отметим, что разбиение общего случая (5)–(7) на две независимые системы (8) и (9) в два раза сокращает объем вычислений, производимых при расчетах характеристического числа.

§2 Свойства спектра щелевой линии передачи Общие свойства спектра щелевой линии передачи описываются теоремами 1.1.1–1.1.3. Здесь мы докажем теорему, дополняющую результаты главы 1.

Нелинейные задачи на собственные значения (5)–(9) можно рассматривать не только в области голоморфности соответствующей оператор-функции, но также и в полюсах. По определению полюс 0 является характеристическим числом о.-ф. A, если существует голоморфная в окрестности 0 вектор-функция 0 0 [78]. Такой подход позволяет рассматривать задачу на собственные значения во всей комплексной плоскости. Ниже мы установим конечномероморфность и фредгольмовость в C оператор-функций, отвечающих системам (5)–(9).

Рассмотрим ядро и выделим его главную часть, содержащую особенность при достаточно большом n, n n0, для коэффициентов оставшегося ряда справедливы оценки из которых следует возможность почленного дифференцирования ряда и голоморфность функции, образуемой этим рядом, в окрестности точки. Здесь так же, как и выше, коэффициенты ряда – мероморфные функции параметра, причем все полюса лежат левее точки на вещественной оси.

Для слагаемых главной части можно записать где N x, x0 бесконечно дифференцируема по переменным x, x0.

Если 0 x, x0 a, то второе и третье слагаемые не дают особенности; в противном случае имеет место «неподвижная» особенность Далее рассмотрим интегральную о.-ф. M в окрестности полюса существует конечное число пар индексов n1, m1,..., ns, ms, s 1, при которых n1m1... ns ms 0. Перепишем (12), группируя слагаемые, содержащие полюс, и выделим логарифмическую особенность в оставшейся части ряда, получим представление где Ts Ts 0 – конечномерный оператор; L – обратимый оператор, а K – компактный оператор (в силу теоремы 2.2), причем о.-ф. K 0 голоморфна в некоторой окрестности точки 0. Из представления (13) следует, что о.-ф. M конечномероморфна и фредгольмова во всей комплексной плоскости, т.к. фредгольмовость в области голоморфности была доказана в разделе 2.

Результаты, полученные для скалярной о.-ф. M легко переносятся на случай систем (5)–(9). Для этого по формулам (1.21), (1.22) приведем указанные системы к логарифмическому виду и разложим соответствующую оператор-функцию в ряд Лорана в окрестности полюса. В результате этих действий аналогично (13) получим где оператор T конечномерен, L – фредгольмов, а оставшийся ряд сходится по норме в некоторой окрестности точки nm. Голоморфность A в точках, отличных от полюсов, сразу следует из оценок (11).

Таким образом, системы (5)–(9) могут быть сведены к конечномероморфным о.-ф., для которых спектральная задача рассматривается уже во всей комплексной плоскости и справедливы все утверждения теоремы 2.6.

Мы не будем рассматривать вопрос о спектральной эквивалентности задачи (5)–(7) и исходной краевой задачи при nm, но отметим, что утверждение об изолированности спектра во всей комплексной плоскости сохраняет силу в любом случае.

Сформулируем этот наиболее важный для численных расчетов факт в виде теоремы.

Теорема 1. Спектр щелевой линии передачи представляет собой изолированное множество в C.

Раздел 1. Задача о распространении электромагнитных волн в цилиндрических диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средой Распространение светового луча в однородной нелинейной среде или в волноведущей структуре с нелинейной средой, описываемой по закону Керра, активно исследуется в течение последних двух десятилетий [33–35, 37, 38]. Эффекты самофокусировки и «самоканализации» луча в лазерах и оптоэлектронных устройствах также изучаются и применяются на практике [2, 142]. При распространении резко неоднородной волны – «луча» лазера, в определенных условиях волновому процессу сопутствует образование канала, направляющего его энергию. В этом случае процесс распространения волны происходит подобно распространению волны в диэлектрическом волноводе с нелинейной средой, описываемой по закону Керра. Распространение ТЕ-поляризованных волн в трехслойной среде без потерь, один из слоев которой заполнен нелинейной средой, подробно исследовано в [33–35, 37]. В этих работах были получены аналитические решения соответствующих дифференциальных уравнений, выраженные с помощью эллиптических функций, а также представлены численные результаты расчетов.

Однако при изучении других структур, например круглого диэлектрического волновода, уже не удается получить аналитические решения, но возможно применение численных методов. Кроме того, для анализа вопроса о существовании и единственности решений краевой задачи приходится привлекать методы функционального анализа исследования нелинейных операторов.

В этом разделе изучаются электромагнитные волны, распространяющиеся в диэлектрическом волноводе кругового сечения, заполненного средой с нелинейностью, выраженной законом Керра. Проблема сводится к нелинейному интегральному уравнению с ядром в виде функции Грина для уравнения Бесселя. Существование распространяющихся ТЕ-поляризованных волн доказывается с помощью принципа Шаудера и методом сжимающих отображений.

Для численного решения задачи предложен итерационный алгоритм, доказана его сходимость. Доказано существование корней дисперсионного уравнения – постоянных распространения волновода. Получены условия, когда могут распространяться несколько волн, указаны области локализации соответствующих постоянных распространения.

Результаты раздела опубликованы в работах [36, 46, 169, 176– 178, 180].

Рассмотрим задачу о собственных волнах цилиндрического диэлектрического волновода. Пусть все трехмерное пространство R3 заполнено изотропной средой без источников с 1 = const. В эту среду помещен цилиндрический диэлектрический волновод однородного заполнения с образующей, параллельной оси Оz, и поперечным сечением W : x : x12 x2 R 2. Пусть диэлектрическая проницаемость 2 внутри цилиндра определяется по закону Керра:

где и 2 – вещественные положительные константы. Здесь 2 – постоянная составляющая проницаемости ; – коэффициенты нелинейности.

Требуется отыскать поверхностные волны, распространяющиеся вдоль образующей волновода, т.е. собственные волны структуры. Электромагнитное поле Е, Н удовлетворяет системе уравнений Максвелла:

условиям непрерывности касательных составляющих поля Н и Е при переходе через границу волновода и условиям затухания поля на бесконечности.

Перейдем к цилиндрической системе координат (,, z). Тогда уравнения Максвелла примут вид В случае ТЕ-поляризации предположим, что E 0; E ;0, H H ;0; H z. В результате уравнения (3)–(8) приведутся к виду H H, z не зависят от. Из уравнений (9) и (10) находим Подстановка Н и Нz в (12) дает Решение задачи будем искать в форме осесимметричных волн E, z u eiz. Таким образом, (15) может быть переписано в виде где производная означает дифференцирование по. Во внешней области, учитывая, что = 1, получаем уравнение Бесселя:

где k2 = 21 – 2.

Внутри волновода, где = 2 + Е2, получаем кубическое нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка:

где = 2, k2 = 22 – 2. Условия сопряжения на поверхности волновода преобразуется к виду E R 0 и H z R 0, что дает где v R v R 0 v R 0 – скачок предельных значений функции в точке R. Спектральным параметром задачи является.

Сформулируем теперь краевую задачу на собственные значения, к которой свелась исходная задача о распространяющихся поверхностных волнах цилиндрического волновода. Требуется отыскать ненулевую функцию u и соответствующие собственные значения такие, что u удовлетворяет уравнениям (17), (18), условиям сопряжения (19) и условиям экспоненциального убывания функции u на бесконечности при.

Запишем решение уравнения Бесселя (17) в виде где С1 – константа, H1 – функция Ханкеля. Если Re k = 0, то где K1 – функция Макдонольда. Условия выполняются, потому что K1 k 0 экспоненциально, в то время как. Обозначим электрическую составляющую поля на границе волновода через Е0, Рассмотрим нелинейное интегральное уравнение (18), записанное в виде и линейное уравнение Бесселя Перепишем последнее уравнение в операторной форме:

Построим функцию Грина для краевой задачи в виде (см., например, [49]) где Функция Грина существует при таких значениях параметров, Запишем уравнение (18) в операторном виде:

Используя вторую формулу Грина и полагая = G, получаем Используя уравнение (27), имеем получаем интегральное представление решения u 0 уравнения (18) на интервале 0, R :

Принимая во внимание условия сопряжения u R 0 u R 0, перепишем уравнение (31) в виде где Из уравнения (32) и условий сопряжения u R 0 u R следует дисперсионное соотношение уравнение на интервале C 0, R [185]:

Предполагается, что f C 0, R и J1 kR 0. Нетрудно видеть, что ядро N, 0 является непрерывной функцией в квадрате 0, 0 R.

Рассмотрим в C 0, R линейный интегральный оператор Он ограничен, вполне непрерывен и Поскольку нелинейный оператор B0 u u 3 ограничен и непрерывен в C 0, R, то нелинейный оператор является вполне непрерывным на каждом ограниченном в C 0, R множестве.

В последующих рассуждениях нам понадобится следующее вспомогательное числовое кубическое уравнение:

где норма оператора N 0 определяется формулой (39), а Рассмотрим уравнение и функцию Функция y r имеет только одну положительную точку максимума:

значение функции в которой равно Тогда, при условии уравнение (42) имеет два неотрицательных корня r и r*, r r*, удовлетворяющих неравенствам Эти корни нетрудно выписать как решения кубического уравнения Итак, доказано следующее утверждение.

Лемма 1. Если выполняется неравенство то уравнение (40) имеет два неотрицательных решения r* и r *, Используя принцип Шаудера [53, 185], можно доказать, что шение u уравнения (36) внутри шара S * Sr* 0.

крайней мере, одно решение и u r.

Доказательство. Так как F u абсолютно непрерывен, необходимо только проверить, что F переводит шар в себя. Предположим, что и S*. Используя (37)–(39), получаем Это означает, что FS* S*. Лемма доказана. # Теперь докажем, что если выполняется условие (42), то (37) имеет единственное решение и в шаре S* S r*.

то уравнение (36) имеет единственное решение и, являющееся непрерывной функцией:

Доказательство. Если и S, то Так как A, то f 0 удовлетворяет условию (52). Поэтому выполняется неравенство (51), откуда 3 N r*2 1.

Следовательно, F отображает S в себя и является сжимающим оператором на S. Поэтому уравнение (36) имеет единственное решение в S. Теорема доказана. # Отметим, что А 0 и не зависит от.

В дальнейшем нам понадобится утверждение о зависимости решений интегрального уравнения (36) от параметра.

Теорема 2. Пусть ядро N и правая часть f интегрального уравнения (36) непрерывно зависят от параметра 0, Тогда решения u, уравнения (36) при 0 существуют, единственны и непрерывно зависят от параметра, Доказательство. Рассмотрим уравнение Существование и единственность решений u при условиях теоремы 2 следует из теоремы 1. # Докажем непрерывную зависимость этих решений от параметра.

Нетрудно видеть из формулы (49), что r* непрерывно зависит от на отрезке 0. Пусть r0 max r*, и максимум достигается в точке 0, r* r0.

Далее, пусть Q max 3r*2 N (), и максимум достигается в точке 0, Q 3r*2 N. Тогда Q 1 в силу условия (54) теоремы.

Предположим сначала, что u u. Тогда имеют место следующие оценки:

Отсюда получаем, что где Q и r0 не зависят от.

Пусть теперь u u. Тогда все предыдущие оценки остаются в силе, если заменить аргументы на +, а + на. Таким образом, оценка (56) также остается в силе, откуда следует утверждение теоремы. Теорема доказана. # Приближенные решения иn интегрального уравнения (36), представимого в виде u F u, могут быть определены итерационным процессом un1 F un, n = 0, 1,..., Последовательность un равномерно сходится к решению u уравнения (36) вследствие того, что F u – сжимающий оператор.

Известна также оценка для скорости сходимости итерационного алгоритма (57). Сформулируем эти результаты в виде следующего утверждения.

Утверждение 1. Последовательность приближенных решений un уравнения (36), определяемых посредством итерационного алгоритма (57), существует и сходится в норме пространства C 0, R к (единственному) точному решению и этого уравнения, и верна оценка скорости сходимости:

где q : 3 Nr*2 1 – коэффициент сжатия отображения F.

§4 Существование решений дисперсионного уравнения Вводя безразмерные переменные и постоянные опуская тильду и принимая во внимание (21), дисперсионное соотношение (35) может быть представлено в нормализованной форме:

Из выражения (34) и свойств цилиндрических функций следует, что Подставляя эти формулы в (59), мы можем переписать дисперсионное соотношение в другой форме:

или иначе где Нули функции g F – это значения, для которых существует нетривиальное решение задачи Р, сформулированной ранее. Следующее утверждение дает достаточные условия существования нулей функции Ф.

Пусть j0m – m-й положительный корень функции Бесселя J0; j1m – m-й положительный корень функции Бесселя J1; j1m – m-й положительный корень функции Бесселя J1 ; m = 1, 2,...

Введем обозначения m = 1, 2,...

Теорема 3. Пусть 1, 2 и – три числа, удовлетворяющие условиям 2 1 0 и 0 0, где и выполняются условия при m = 1, 2, 3 или 4. Тогда существует по крайней мере m значений i, i = 1,..., m, таких, что задача Р имеет ненулевое решение.

Доказательство. Пусть = 2, Так как j1i для i = 1, 2, 3, 4, то функция Грина (25) существует для 2. Из формулы (53) и свойств функции Грина следует, что A A – непрерывная относительно функция на промежутке,. Пусть A0 min A и 0. Согласно теореме 1, существует единственное решение u u уравнения (27) для каждого, причем это решение – непрерывная функция, u r* r*. Пусть r0 max r* ( ). Так как J1 x 0,6 при неотрицательных x, то, используя простейшую оценку интеграла (63), мы получаем, что F ( ) 0,3R 2 r03.

Согласно свойствам функций Макдональда, K 0 x и K1 x – положительны при положительных x. Функция g также положительна относительно, g 1i g 2i 0, i = 1,..., m. Таким образом, g 0 имеет корень 0i на интервале i, 1i 0i 2i.

M 0 не зависит от.

Так как g F – тоже положительная функция, то уравнение g F 0 имеет корень i на интервале i, 1i i 2i. Мы рема доказана. # Из теоремы 3 следует, что при условиях, сформулированных выше, существуют осесимметричные распространяющиеся ТЕ-поляризованные волны без затухания в цилиндрических диэлектрических волноводах кругового сечения, заполненных немагнитной, изотропной средой с нелинейностью, выраженной законом Керра.

Этот результат обобщает известное соответствующее утверждение для диэлектрических волноводов круглого сечения с заполнением линейной средой (при = 0).

Для численного решения задачи предложим метод отыскания приближенных решений. На практике, как правило, интересуются постоянными распространения волноведущей структуры, т.е. такими (собственными) значениями (или, соответственно, ), при которых существуют нетривиальные решения краевой задачи Р. Ответ на вопрос о существовании и локализации собственных значений дает теорема 3. Рассмотрим метод приближенного определения таких.

Пусть собственные значения ищутся на отрезке A1, A2 (выбор которого может быть сделан с помощью результатов теоремы 3 или исходя из практических соображений). Введем на этом отрезке сетку с узлами, причем A1 j A2 A1 N, j = 0, …, N, где N удовлетвоj ряет условию А2 – А1 N, если собственное значение требуется найти с точностью. Вычисляем значения функции Ф в узлах, причем при каждом решаем интегральное уравнение (36) с поj мощью итерационного алгоритма (57) с требуемой точностью. Далее определяем перемену знака в последовательности чисел. Есj Раздел 2. Задача о распространении электромагнитных волн в диэлектрическом слое, заполненном нелинейной средой Изучение задач распространения электромагнитных волн в нелинейных средах актуально в связи с тем, что эти явления находят широкое применение в физике плазмы, в современной микроэлектронике, в оптике, в лазерной технике. К таким задачам относится распространение волн в волноведущих структурах и, в частности, в диэлектрическом слое. Математические модели для таких задач и некоторые результаты представлены в работах [10, 14, 17, 18]. Эти модели приводят к краевым задачам на собственные значения для систем дифференциальных уравнений, в которые спектральный параметр входит нелинейным образом. Изучение таких задач представляет большие трудности в связи с тем, что не удается применить известные методы исследования спектральных задач.

Необходимо отметить, что подобные задачи представляют собой именно краевые задачи на собственные значения. Это связано с тем, что главный интерес представляет нахождение тех значений спектрального параметра (по сути, собственных чисел), при которых волна в указанной структуре распространяется. Таким образом, в таких задачах необходимо акцентировать внимание на разыскании дисперсионных уравнений, а не на поисках решений самих дифференциальных уравнений, описывающих рассматриваемое явление. С математической точки зрения дисперсионное уравнение является уравнением относительно спектрального параметра, анализ которого позволяет делать заключение о существовании решений краевой задачи на собственные значения.

Наиболее изучены явления распространения ТЕ-поляризованных электромагнитных волн. Результаты, связанные с распространением ТЕ-поляризованных волн в нелинейном диэлектрическом слое, представлены в работах H.-W. Shurmann, В. С. Серова и Ю. В. Шестопалова [33–35, 37]. В работах [14, 17] изложены результаты по распространению ТМ-поляризованных волн в нелинейном диэлектрическом полубесконечном слое. В работе [18] получен первый интеграл исследуемой в настоящем разделе системы дифференциальных уравнений, описывающий закон сохранения. Однако полного аналитического решения задачи распространения ТМ-поляризованных волн в нелинейном диэлектрическом слое не было получено. Не было выписано дисперсионное уравнение для постоянных распространения ТМ-поляризованных электромагнитных волн.

Впервые уравнения, описывающие распространение волн в нелинейной среде, с нелинейностью, выраженной законом Керра, были выведены в 1971–1972 гг. в пионерских работах П. Н. Елеонского и В. П. Силина (см., например, [10]).

Результаты раздела опубликованы в работах [64–68, 179].

Рассмотрим электромагнитные волны, проходящие через однородный, изотропный, немагнитный диэлектрический слой с нелинейностью типа Керра, расположенный между двумя полубесконечными полупространствами x 0 и x h в декартовой системе координат Oxyz. Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянную диэлектрическую проницаемость 1 0 и 3 0 соответственно, где 0 – диэлектрическая проницаемость вакуума. Считаем, что всюду 0 ;

где 0 – магнитная проницаемость вакуума.

Электрическое поле гармонически зависит от времени t:

удовлетворяет уравнениям Максвелла где есть комплексные амплитуды.

Диэлектрическая проницаемость внутри слоя описывается законом Керра 2 a E, где a и 2 max 1, 3 – положительные константы. Будем искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве. Временной множитель везде ниже опущен.

Электромагнитное поле E, H удовлетворяет уравнениям Максвелла (1), условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границе раздела сред x 0, x h и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при x в областях x 0 и x h.

H 0, H y, 0. В результате система (1) примет вид Из первого и третьего уравнений системы (2) следует, что Ez Ez x, z и Ex Ex x, z не зависят от y. Поскольку H y выражается через Ex и Ez, то H y также не зависит от y.

Обозначим из которой следует, что здесь – неизвестный спектральный параметр – постоянная распространения электромагнитной волны.

Дифференцируя выражение (4) и используя второе и третье уравнения системы (3), получим (j = 1, 2, 3), a. Переобозначаем Ez Z x, iEx X x и, опуская значок тильды, систему (5) приведем к виду Будем искать действительные решения X x, Z x для системы (6), полагая действительным (так что E не зависит от z), где Также будем полагать, что функции X x, Z x дифференцируемы в слое так, что Такие условия гладкости следуют из условий непрерывности касательных составляющих поля на границах раздела сред.

§2 Решение системы дифференциальных уравнений Для 1 в полупространстве x 0 получаем общее решение:

где принято во внимание условие на бесконечности.

Для 3 в полупространстве x h имеем в соответствии с условием на бесконечности. В решениях (8) и (9) константы A и B будут определяться граничными условиями.

Внутри слоя 0 x h система (6) принимает вид Систему (10) можно привести к виду Из системы (11) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение:

Уравнение (12) является уравнением в полных дифференциалах, его решение имеет вид Введем новые переменные:

Система (11) и уравнение (13) в этих переменных примут вид Уравнение (16) есть алгебраическое уравнение четвертой степени относительно. Его решение может быть выписано явно по формулам Кардано-Феррари [112].

§3 Граничные условия и дисперсионное уравнение Для того чтобы выписать дисперсионные уравнения для постоянных распространения электромагнитных волн, необходимо Из непрерывности касательных составляющих полей E и H, получаем где константа Ez считается известной, и тогда В соответствии с (7) в слое Комбинируя (14), (16), (17) и (19), получаем где Решая уравнение (21) относительно X h, получаем уравнение (23) имеет, по крайней мере, один действительный корень, который мы и будем рассматривать:

Из уравнений (20) и (24) имеем Если C1 0, то уравнение (16), рассматриваемое как уравнение относительно h, будет иметь положительный корень. Легко показать, что C1 строго больше нуля. В самом деле, из выражения с положительной правой частью.

Известно, что составляющие электромагнитного поля X x и Z x непрерывны на границе раздела сред. Тогда функция x также непрерывна на границе раздела сред в точках x таких, что Z x 0. Тогда, используя (8) и (9), имеем Из положительности правой части второго уравнения системы (15) ясно, что функция x монотонно возрастает на интервале 0; h. Учитывая знаки выражений (26), получаем, что функция x не может быть дифференцируемой на всем интервале 0; h, а необходимо имеет точку разрыва. Пусть это будет x 0; h. Из (16) ясно, что x таково, что x является корнем уравнения где, выраженное из уравнения (16). В общем случае функция x на промежутке 0, h имеет несколько точек x0, x1,..., xN, в которых она обращается в бесконечность, причем Ниже будет доказано, что число таких точек конечно для любого h.

Будем искать решения на каждом отрезке 0, x0, x0, x1,..., Из уравнений (28), учитывая (27), подставляя x 0, x xi 1, x xN в первое, второе и третье уравнения (28), найдем необходимые константы c1, c2,..., cN 1 :

С учетом (29) уравнения (28) примут вид Введем обозначение xi 1 xi T 0, где i 0, N 1. Отсюда следует, что число точек, в которых функция x обращается в бесконечность, конечно на интервале 0; h. Теперь, полагая в уравнениях (30) x таковым (т.е.

подставляя x x0, x xi, x xN в первое, второе и третье уравнения (30)), чтобы все интегралы слева обратились в нуль, сложим все уравнения (30), получим Из выражения (31) окончательно получаем где N 0 и является целым числом.

Формула (32) есть дисперсионное уравнение, справедливое для любого h. Надо отметить, что когда N 0, то возникает несколько уравнений при различных значениях N. Необходимо решать относительно каждое из получающихся уравнений. Все полученные будут составлять множество постоянных распространения, на которых и только на которых будут распространяться волны в слое при данном h. На самом деле N будет принимать все целые значеh ния от 0 до, где – целая часть числа.

Также необходимо заметить, что нечные минимум и максимум, ясно из ограниченности функций Если рассматривать первое уравнение системы (15) совместно с первым интегралом, то это уравнение можно проинтегрировать, и это приведет к так называемым гиперэллиптическим интегралам (это один из простых примеров абелевых интегралов). Если расширить область определения независимого переменного x на всю комплексную плоскость, то можно рассматривать функции, обратные к этим интегралам, которые и будут решениями системы (15).

Это гиперэллиптические функции, принадлежащие классу абелевых функций, которые являются мероморфными периодическими функциями. А поскольку функция выражается через алгебраически, то она также является мероморфной периодической функцией. Таким образом, точка разрыва x является одним из полюсов функции. Интеграл, стоящий в уравнении (32), является более общим абелевым интегралом [57, 129].

§4 Краевая задача и теоремы существования Условия сопряжения для компонент поля E дают Будем считать, что функции X x и Z x также удовлетворяют условию функциями, а G1 и G2 являются правыми частями уравнений системы (11). Число является спектральным параметром. Также шем задачу, используя введенные обозначения.

Для полупространства x 0, 1, N 1 получаем и система принимает вид Условия сопряжения (33) приводят к условиям переход к пределу по каждой компоненте вектора.

Сформулируем краевую задачу (задачу сопряжения). Требуется найти ненулевой вектор F и соответствующие собственные значения такие, что F удовлетворяет уравнениям (35)–(37) и условиям сопряжения (38). Кроме того, компоненты вектора F удовлетворяют условию (34).

L F, из формулы (36) является нелинейной операторфункцией нелинейно зависящей от спектрального параметра. Спектральная теория для линейных оператор-функций, нелинейно зависящих от спектрального параметра, разработана в [76]. На данный момент не существует общей спектральной теории нелинейных оператор-функций нелинейно зависящих от спектрального параметра. Поэтому краевые задачи, приводящие к исследованию таких оператор-функций, в большинстве случаев не удается решить известными методами.

Определение 1. Число 0, при котором существует ненулевое решение F задачи (35)–(37) при условиях (34) и (38), будем называть собственным значением задачи. Решение F, которое соответствует собственному значению, будем называть собственным вектором задачи, а компоненты X x и Z x вектора F – собственными функциями.

Определение 1 является неклассическим аналогом известного определения характеристического числа линейной оператор-функции, нелинейно зависящей от спектрального параметра [76]. Введенное определение 1 является, с одной стороны, распространением классического определения собственного значения на случай нелинейной оператор-функции, нелинейно зависящей от спектрального параметра, с другой стороны, соответствует физической природе задачи.

Теорема 1. Краевая задача на собственные значения (35)–(37) с условиями (34) и (38) имеет решение – собственное значение, тогда и только тогда, когда это собственное значение является решением дисперсионного уравнения (32).

Доказательство. Достаточность. Очевидно, что, найдя решение дисперсионного уравнения (32), мы сможем найти функции x и x из системы (15) и первого интеграла (16). Зная функции x и x и пользуясь формулами (14), найдем Вопрос о выборе знака является существенным, и поэтому остановимся на нем подробнее. Нам известно поведение функции : функция является монотонно возрастающей, если Других точек перемен знака у функции нет. Из краевых условий следует, что Z h Ez h (0). Учтем, что если 0, то функции X и Z имеют одинаковые знаки, а если 0, то X и Z имеют разные знаки и, помня о том, что X и Z – гладкие функции, выбираем соответствующие знаки в выражениях (39).

Необходимость. Из способа получения дисперсионного уравнения (32) из системы (15) следует, что собственное значение краевой задачи является решением дисперсионного уравнения. # Также необходимо заметить, что собственные функции, отвечающие собственному значению 0, легко могут быть найдены численно из системы (11), например, методом Рунге-Кутты.

На основе полученных результатов сформулируем теоремы о существовании и локализации собственных значений рассматриваемой краевой задачи. Пусть функция J J a,, N обозначает правую часть дисперсионного уравнения (32). Ясно, что для любого целого неотрицательного конечного N более того, из самого вида дисперсионного уравнения следует, что при уменьшении N значения нижней и верхней грани уменьшаются, а при увеличении N – увеличиваются.

Теорема 2. Пусть Тогда для любого h h1 0, h20 существует по крайней мере одно собственное значение задачи (35)–(37) при условиях (34) и (38).

Теорема 3. Пусть и пусть h h1, h Тогда существует по крайней мере N 1 собственных значений задачи (35)–(37) при условиях (34) и (38).

Теорема 4. Пусть и h таково, что найдутся такие i и j, что h2 h, а h Тогда существует по крайней мере j i собственных значений задачи (35)–(37) при условиях (34) и (38).

Теорема 4 требует некоторых пояснений. Поскольку нижняя и верхняя грани исследуемой функции конечны, то ясно, что если для какого-то j нижняя грань больше h, то для больших номеров j она тем более больше h, и дисперсионное уравнение не имеет решений. Также если для какого-то i верхняя грань меньше h, то для всех меньших номеров i она тем более меньше h, таким образом, и в этом случае дисперсионное уравнение не имеет решений.

§5 Предельный переход к случаю линейной среды в слое Рассмотрим предельный переход при a 0 к случаю линейной среды в слое. Дисперсионное соотношение для линейного случая выглядит следующим образом [47]:

Рассмотрим функции Функция f1 получилась из f формальным предельным переходом при a 0 по переменной. Так как мы ищем действительные решения X x и Z x, знаменатель функции f1 не может обратиться в нуль. Более того, функция f при a 0 равномерно на x 0, h стремится к функции f1. Используя результаты классического анализа, можно показать, что при этом условии с учетом непрерывности функции f можно перейти к пределу при a 0 под знаком интеграла в (32):

Интегралы в (41) вычисляются аналитически. Вычислив эти интегралы, получим Взяв тангенс от выражения (42), получим (40).

Результаты этого параграфа показывают, что при переходе к пределу при a 0 мы получаем регулярный случай. В пределе дисперсионное уравнение (32) для случая нелинейной среды в слое переходит в дисперсионное уравнение (40) для случая линейной среды в слое. Уравнение (40) является классическим в электродинамике и хорошо известно.

§6 Первое приближение для собственных значений задачи где F a, – левая часть уравнения (32). Выражение (43) определяет неявную функцию a. Предполагая, что эта функция является дифференцируемой в окрестности точки a 0, далее мы покажем, что это действительно так. Разложим ее в ряд Тейлора:

где 0 является решением уравнения (40).

Находим полный дифференциал выражения (43) и, выражая искомую производную, получаем Воспользовавшись (32), найдем где В формуле (48) является функцией, которая определяется из уравнения (16).

любом фиксированном a, используя результаты классического анализа, можно перейти к пределу под знаком интеграла. Тогда формулы (46) и (47) примут вид Используя (48), найдем Из формулы (16), переходя к пределу при a 0, получаем Воспользовавшись (25) и переходя к пределу при a 0, получаем Используя (22), (23) и переходя к пределу при a 0, получаем Имея в виду (56), найдем окончательное выражение для (55):

Из выражения (25), используя (56), ясно, что при a Далее, из (16) при a 0 находим При помощи формулы (51) вычислим значения, используемые в (50):

Теперь мы можем выписать явные выражения для функций G1, и G2, из формул (49) и (50), используя (52), (54) и (57), получим получаем Воспользовавшись выражениями (61) и (62), мы можем выписать искомую производную (45) в такой форме:

где Из формул (63)–(65) видно, что при соблюдении условий наложенных на 1, 2, 3, и a (см. §1), производная (45) всегда неотрицательна.

Интегралы в (64) и (65) вычисляются элементарно. Найдя необходимые интегралы и используя, где необходимо (42), получим искомую производную в такой форме:

где Используя (66)–(68), запишем формулу (45) в точке 0, a 0 :

Теперь, используя (69), можно найти 1 и, таким образом, получить разложение (44). Величина 1 представляет собой поправку в первом приближении к значению 0.

Рассмотрим функцию F a, h 0 в окрестности точки a 0, 0. Из формул (16), (24), (25), (32) ясно, что указанная функция непрерывна в этой окрестности, поскольку функция является решением алгебраического уравнения (16), коэффициенты которого непрерывно зависят от a и. Как видно из формул (46) и (47), в окрестности этой точки рассматриваемая функция имеет частные производные и по a, и по. Из формулы (68) ясно, что частная производная по не обращается в нуль точке, получаем, что уравнение F a, h 0 однозначно разрешимо относительно в некоторой окрестности точки a 0, 0, и a. Из формулы (67) мы видим, что частная производная по a рассматриваемой функции также непрерывна в точке a 0, 0. Из этого следует, что функция a имеет производную в точке a 0 и для нее справедлива формула (45) [116, с. 30–31]. Таким образом, мы полностью обосновали возможность получения первого приближения. Необходимо помнить, что все выводы сделаны с учетом ограничений, наложенных на 1, 2, 3, a и (см. §1).

Также необходимо отметить, что рассмотренный в этом разделе метод отыскания дисперсионного уравнения применим и к более общей задаче. А именно, к задаче распространения ТМ-волны в нелинейном анизотропном слое с керровской нелинейностью. Постановка задачи отличается только тем, что диэлектрическая проницаемость в слое в этом случае описывается диагональным тензором вида a, b, 12 max 1, 3 и 21 max 1, 3. Здесь после записи системы уравнений в терминах функций X x и Z x в качестве переменbX 2 aZ Анизотропный случай, когда 12 21 2, подробно разобран в статье [67].

Adams R. Sobolev spaces. New York : Academic Press, 1975.

2. Akhmediev N. N., Ankiewicz A. Solitons, nonlinear pulses and beams. – London : Chapman and Hall, 1997.

3. Chernokozhin E. V., Shestopalov Yu. V., Smirnov Yu. G. Logarithmic Integral Equations in Electromagnetics. Utrecht, the Netherlands, VSPublisher, 2000.

4. Computational Electromagnetics: Frequency-Domain Method of Moments / ed. by E. K. Miller, L. Medgyesi-Mitschand, E. H. Newman; IEEE Press. – New York, 1992.

5. Costabel M. A remark on the regularity of solutions of Maxwell’s equations on Lipschitz domains // Math. Meth. Appl. Sci. 1990.

6. Costabel M. Boundary Integral Operators on Lipschitz Domains:

Elementary Results // SIAM J. Math. Anal. 1988. V. 19. № 3.

7. Costabel M., Stephan E. Strongly elliptic boundary integral equations for electromagnetic transmission problems // Proc. Roy Soc.

Edinburg. 1988. V. 109A. Р. 271–296.

8. Costabel M., Stephan E. P. A Direct boundary integral equation method for transmission problems // J. Math. Analys. and Appl.

1985. V. 106. Р. 367–413.

9. Cwik T. Coupling finite element and integral equation solutions using decoupled boundary meshes // IEEE Trans. Antennas Propagat. 1992. V. 40. № 12. Р. 1496–1504.

10. Eleonskii P. N., Oganes’yants L. G., Silin V. P. Cylindrical Nonlinear Waveguides // Soviet Physics JEPT. 1972. V. 35.

Harrington R. F. Field Computation by Moment Methods. New 11.

York : Macmillian Co., 1968.

12. Ilyinsky A. S., Smirnov Yu. G. Electromagnetic Wave Diffraction by Conducting Screens // VSP, Utrecht, the Netherlands. 1998.

13. Ivakhnenko V. I., Smirnov Yu. G., Tyrtyshnikov E. E. The Electric Field Integral Equation: Theory and Algorithms // Approximations and Numerical Methods for the Solution of Maxwell Equations, The Institute of Mathematics and its Applications, Conference Series, New Series Number 65, Clarendon Press. Oxford, 14. Joseph R. I., Christodoulides D. N. Exact field decomposition for TM waves in nonlinear media // Optics Letters. 1987. V. 12.

15. Kobayashi K., Shestopalov Yu. V., Smirnov Yu. G. Investigation of Electromagnetic Diffraction by a Dielectric Body in a Waveguide Using the Method of Volume Singular Integral Equation // SIAM Journal of Applied Mathematics. 2009. – (принято к печати).

16. Kress R. Linear Integral Equations // Applied Mathematical sciences. V. 82. Springer-Verlag. New York, 1989.

17. Leung K. M. Р-polarized nonlinear surface polaritons in materials with intensity-dependent dielectric functions // Physical Review B.

1985. V. 32. № 8. Р. 5093–5101.

18. Leung K. M., Lin R. L. Scattering of transverse-magnetic waves with a nonlinear film: formal field solutions in quadratures // Physical Review B. 1991. V. 44. № 10. Р. 5007–5012.

19. Maue A. W. Toward Formulator of a General Diffraction Problem via an Integral Equation // Zeitschrift fur Physik. 1949. V. 12.

Р. 601–618.

20. Miller E. K., Poggio A. J. Electromagnetic Scattering / еd. by P.L.E. Uslenghi. – New York : Academic Press, 1978. Р. 315– 21. Mittra R., ed. Numerical and Asymptotic Techniques in Electromagnetics. – New York : Springer Verlag, 1975.

22. Moore J., Pizer R. Moment Methods in Electromagnetics: Techniques and Applications. – New York : John Wiley & Sons, 1984.

23. Morgenrother K., Werner P. On the Instability of Resonances in Parallelplane Waveguides // Mathematical Methods in the Applied Sciences. 1989. V. 11. Р. 279–315.

24. Muller Cl. Foundations of the Mathematical Theory of Electromagnetic Waves. Springer-Verlag. – New York, 1969.

25. Nedelec J.-C. Mixed finite elements // R3 Numer. Math. 1980.

V. 35. Р. 315–341.

26. Paivarinta L., Rempel S. A deconvolution problem with Kernel 1/|x| on the plane // Appl. Anal. 1987. V. 26. Р. 105–128.

27. Paivarinta L., Rempel S. Corner siggularities of solutions to ±1/ u = f in two dimensions // Asymptotic Analysis. 1992. V. 5.

Р. 429–460.

28. Ramm F. G. Scattering by Obstacles. – Dordrecht. D. Reidel Publ.

Comp., 1986.

29. Rao S. M., Wilton D. R., Glisson A. W. Electromagnetic Scattering by Surfaces of Arbitrary Shape // IEEE Trans. Antennas Propagation. 1982. V. AP-30. № 3. Р. 409–418.

30. Raviart P. A., Thomas J.-M. A mixed finite ‘element method for 2nd order elliptic problems // Lect. Notes in Math. V. 606. Berlin and New York : Springer, 1977. P. 292–315.

31. Salazar-Palma M., Garcia-Castillio L. E., Sarkar T. K. Radiation / Scattering from 3D Conducting / Dielectric structures utilizing the finite element method // Proc. Progress Electromagnetics Res. Symp. 1998. July 1317. Nantes, France. P. 467.

32. Schuman H. K., Warren D. E. Aperture Coupling in Bodies of Revolution // IEEE Trans. Antennas Propagation. 1978. V. APР. 778–783.

33. Schurmann H. W., Serov V. S., Shestopalov Yu. V. Reflection and transmission of a plane TE-wave at a lossless nonlinear dielectric film // Physica D. 2001. V. 158. Р. 197–215.

34. Schrmann H. W., Serov V. S., Shestopalov Yu. V. Solutions to the Helmholtz equation for TE-guided waves in a threelayer structure with Kerr-type nonlinearity // J. Phys. A: Math. Gen.

2002. V. 35. Р. 10789–10801.

35. Schrmann H. W., Serov V. S. and Shestopalov Yu. V.

TE-polarized waves guided by a lossless nonlinear three-layer structure // Phys. Rev. E. 1998. V. 58. Р. 1040–1050.

36. Schurmann H.-W., Smirnov Yu. G., Shestopalov Yu. V. Propagation of TE-waves in cylindrical nonlinear dielectric waveguides // Physical Review E. 2005. V. 71. № 1. Р. 016614-1016614-10.

37. Serov V. S., Shestopalov Yu. V., Schrman H. W. Propagation of TE waves through a layer having permittivity depending on the transverse coordinate and lying between two half-infinite nonlinear media // Dokl. Maths. 1999. V. 60. Р. 742–744.

38. Serov V. S., Shestopalov Yu. V., Schrmann H. W. Existence of eigenwaves and solitary waves in lossy linear and lossless nonlinear layered waveguides // Dokl. Maths. 1996. V. 53.

39. Shestopalov Yu. V., Podlipenko Yu., Smirnov Yu. G., Anderson D., Lisak M. Mathematical Modelling of Waves Scattering in Plane Waveguides with Cone-Type Discontinuities // Preprint: Institute for Electromagnetic Field Theory and Plasma Physics. Chalmers University of Technology, Gothenburg, Sweeden, 1993.

40. Shestopalov Yu. V., Smirnov Yu. G. The Diffraction in a Class of Unbounded Domains Connected Through a Hole // Mathematical Methods in the Applied Sciences. 2003. V. 26. Р. 1363–1389.

41. Shestopalov Yu. V., Smirnov Yu. V. Integral Equations (A compendium). Sweden, Karlstad University Press, 2002.

42. Smirnov Yu. G. Inverse Boundary Value Problem for Determination of Permittivity of Dielectric Body in a Waveguide Using the Method of Volume Singular Integral Equation // IEEJ Transactions A (Fundamentals and Materials). 2009. (принято к печати).

43. Smirnov Yu. G. Method of Pseudodifferential Equations for Problems of Electromagnetic Wave Diffraction by Thin Screens // Journal of Communications, Technology and Electronics. 2000.

V. 45. Suppl. 2, December. Р. 212–228.

44. Smirnov Yu. G. Method of Pseudodifferential Equations for Problems of Electromagnetic Wave Diffraction by Screens and Bodies // Известия Высших учебных заведений. Поволжский регион.

2004. № 6. Р. 4–29. (Естественные науки).

45. Smirnov Yu. G. Method of Singular Integral Operator-Functions for the Transmission Line Problem // Electromagnetics. 1993.

46. Smirnov Yu. G., Schuermann H. W., Schestopalov Yu. V. Integral Equation Approach for the Propagation of TE-Waves in a Nonlinear Dielectric Cylinrical Waveguide // Journal of Nonlinear Mathematical Physics. 2004. Р. 11. № 2. Р. 256–268.

47. Snyder A., Love J. Optical Waveguide Theory. Chapmen and Hall. London, 1983.

48. Sommerfeld A. Mathematische Theorie der Diffraction // Math.

Ann. 1896. V. 47. Р. 317–374.

49. Stakgold I. Green`s Functions and Boundary Value Problems. – New York : Wiley, 1979.

50. Stephan E., Wendland W.L. An Augmented Galerkin Procedure for the Boundary Integral Method Applied to Two-dimensional Screen and Crack Problems // Applicable Analysis. 1984.

V. 18. Р. 105–128.

51. Stephan E. P. Boundary Integral Equations for Screen Problem in R3 // Integral Equations and Operator Theory. 1987. V. 10.

Р. 236–257.

52. Wang J. H. H. Generalized Moment Methods in Electromagnetics. – New York : John Wiley & Sons, 1991.

53. Zeidler E. Applied Functional Analysis. – Springer, New York, Berlin, Heidelberg, 1997.

54. Азизов Т. Я., Иохвидов И. С. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой. М. :

Наука, 1986.

55. Антонов А. В., Медведик М. Ю., Смирнов Ю. Г. Разработка Web-ориентированного вычислительного комплекса для решения трехмерных векторных задач дифракции электромагнитных волн на основе субиерархических параллельных алгоритмов и ГРИД технологий // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. 2007. № 4. С. 3–12. (Физикоматематические науки).

56. Бабич В. М., Булдырев B. C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. – М. : Наука, 1972.

57. Бейкер Г. Ф. Абелевы функции. Теорема Абеля и связанная с ней теория тэта-функций. М. : МЦНМО, 2008.

58. Белянцев A. M., Гапонов А. В. О волнах с комплексными постоянными распространения в связных линиях передачи без диссипации // Радиотехника и электроника. 1964. Т. 9.

№ 7. С. 1188–1197.

59. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. L2-теория оператора Максвелла в произвольных областях // Успехи математических наук. 1987. Т. 42. Вып. 6. С. 61–75.

60. Быховский Э. Б., Смирнов Н. В. Об ортогональном разложении пространства вектор-функций, квадратично-суммируемых по заданной области и операторах векторного анализа // Труды МИАН СССР. 1960. Т. 59. С. 5–36.

61. Вайникко Г. М., Карма О. О. О быстроте сходимости приближенных методов в проблеме собственных значений с нелинейным вхождением параметра // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1974. Т. 14. № 6. С. 1393–1408.

62. Вайникко Г. М., Карма О. О. О сходимости приближенных методов решения линейных и нелинейных операторных уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1974. Т. 14. № 4. С. 828–837.

63. Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны. – М. : Радио и связь, 1988.

64. Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г. Нелинейная задача на собственные значения для ТМ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном слое // Известия вузов. Математика. 2008.

65. Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г. О распространении ТМполяризованных электромагнитных волн в нелинейном слое с нелинейностью, выраженной законом Керра // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2008.

Т. 48. № 12. С. 2186–2194.

66. Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г. Распространение ТМполяризованных электромагнитных волн в нелинейном слое с нелинейностью, выраженной законом Керра // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. 2007. № 3.

С. 35–45. (Физико-математические науки).

67. Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г. Расчет постоянных распространения и полей для поляризованных электромагнитных ТМ-волн в нелинейном анизотропном слое // Радиотехника и электроника. – 2009. – Т. 54. – № 4. – С. 411–417.

68. Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г. Расчет постоянных распространения ТМ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном слое // Радиотехника и электроника. 2008.

69. Васильев Е. Н. Возбуждение тел вращения. – М. : Радио и связь, 1987.

70. Веселов Г. И., Краснушкин П. Е. О дисперсионных свойствах экранированного круглого волновода и комплексных волнах в нем // Доклады АН СССР. 1981. Т. 260. № 3. С. 576–579.

71. Веселов Г. И., Раевский С. Б. Слоистые металлодиэлектрические волноводы. М. : Радио и связь, 1988.

72. Викулова О. П., Смирнов Ю. Г. Исследование электромагнитной задачи дифракции на диэлектрическом теле в слое методом объемного сингулярного интегрального уравнения // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.

2005. № 6. С. 29–42. (Естественные науки).

73. Владимиров B. C. Уравнения математической физики. М. :

Наука, 1981.

74. Вычислительные методы в электродинамике / под ред. Р. Миттры. – М. : Мир, 1977.



Pages:     | 1 | 2 || 4 |
 
Похожие работы:

«В.Н.ЧЕРЕПИЦА СЧАСТЬЕ ЖИТЬ ДЛЯ ДРУГИХ -западнобелорусские последователи религиознофилософского учения Л.Н.Толстого 1921-1939 г. Гродно 2007 УДК ББК Рецензенты: доктор исторических наук, профессор А.Н.Нечухрин доктор философских наук, профессор Ч.С.Кирвель Рекомендовано Советом исторического факультета им.Я.Купалы Черепица В.Н. Счастье жить для других: западнобелорусские последователи религиозно-философского учения Л.Н.Толстого. 1921-1939 гг.: монография. – Гродно: ГрГУ, 2007.- 350 с.: ил. ISBN-В...»

«А.В. Графкин ПРИНЦИПЫ ПРОГРАММНОГО УПРАВЛЕНИЯ МОДУЛЯМИ ICP DAS СЕРИИ I-7000 В ЗАДАЧАХ ПРОМЫШЛЕННОЙ АВТОМАТИЗАЦИИ САМАРА 2010 УДК 004.9 (075) Рецензенты: Заслуженный работник высшей школы РФ, д.т.н., профессор Прохоров С.А.; д.т.н., профессор Кузнецов П.К. А.В. Графкин Принципы программного управления модулями ICP DAS СЕРИИ I-7000 в задачах промышленной автоматизации / СНЦ РАН, 2010. – 133 с.: ил. ISBN 978-5-93424-475-1 Монография содержит описание особенностей, которые необходимо учитывать при...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ ИНСТИТУТ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ НОВОСИБИРСКОЙ ОБЛАСТИ Е. В. Соколова Отклоняющееся развитие причины, факторы и условия преодоления НОВОСИБИРСК 2003 Печатается по решению УДК 152.27(075.8)+157(075.8)+152.3(075.8) редакционно-издательского совета Новосибирского гуманитарного ББК 88.837.я73-1+88.48я73-1+88.37я73-1 института и Управления образования...»

«Р.В. КОСОВ ПРЕДЕЛЫ ВЛАСТИ (ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ, СОДЕРЖАНИЕ И ПРАКТИКА РЕАЛИЗАЦИИ ДОКТРИНЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ВЛАСТЕЙ) ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тамбовский государственный технический университет Р.В. КОСОВ ПРЕДЕЛЫ ВЛАСТИ (ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ, СОДЕРЖАНИЕ И ПРАКТИКА РЕАЛИЗАЦИИ ДОКТРИНЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ВЛАСТЕЙ) Утверждено Научно-техническим советом ТГТУ в...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО Сочинский государственный университет Филиал ФГБОУ ВПО Сочинский государственный университет в г.Нижний Новгород Нижегородской области Факультет Туризма и физической культуры Кафедра адаптивной физической культуры Фомичева Е. Н. КОРРЕКЦИОННО-ВОСПИТАТЕЛЬНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ ПЕДАГОГОВ ФИЗИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ С ЛИЦАМИ, ИМЕЮЩИМИ ОТКЛОНЕНИЯ В ПОВЕДЕНИИ МОНОГРАФИЯ Второе издание, переработанное и дополненное Нижний Новгород 2012 1 ББК 88.53 Р...»

«Д.А. ЗАЛОЖНЕВ, Д. А. НОВИКОВ МОДЕЛИ СИСТЕМ ОПЛАТЫ ТРУДА Российская академия наук Институт проблем управления Д.А. ЗАЛОЖНЕВ, Д.А. НОВИКОВ МОДЕЛИ СИСТЕМ ОПЛАТЫ ТРУДА Москва ПМСОФТ 2009 УДК ББК Заложнев Д.А, Новиков Д.А. Модели систем оплаты труда. – М.: ПМСОФТ, 2009. – 192 с.: ил. ISBN 978-5-903183-07-4 Монография посвящена изложению результатов синтеза теорий индивидуальных и коллективных систем оплаты труда и поощрительных вознаграждений, разрабатываемых в рамках общей экономической...»

«КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Филиал в г. Елабуга А.Г. САБИРОВ ТАТАРСКАЯ ФИЛОСОФИЯ: ИСТОРИЯ, СУЩНОСТЬ И РОЛЬ В ДУХОВНОМ РАЗВИТИИ ТАТАРСКОГО НАРОДА Елабуга – 2012 УДК 10 ББК 87 С13 Печатается по решению редакционно-издательского совета филиала Казанского (Приволжского) федерального университета в г. Елабуга Рецензенты: Хайруллин А.Г, доктор философских наук, профессор (ИНЭКА, г. Набережные Челны), Громов Е.В., кандидат философских наук, доцент (филиал КФУ в г. Елабуга). С13...»

«ИТОГИ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ Самарская Лука: проблемы региональной и глобальной экологии. 2012. – Т. 21, № 1. – С. 5-158. УДК 581.9(470.324) ФЛОРА ВОРОНЕЖСКОГО ГОРОДСКОГО ОКРУГА ГОРОД ВОРОНЕЖ: БИОГЕОГРАФИЧЕСКИЙ, ЛАНДШАФТНОЭКОЛОГИЧЕСКИЙ, ИСТОРИЧЕСКИЙ АСПЕКТЫ © 2012 А.Я. Григорьевская, Л.А. Лепешкина, Д.С. Зелепукин Воронежский государственный университет Поступила 11 января 2011г. Исследование посвящено современному состоянию флоры городского округа г. Воронеж, насчитывающей 1465 видов растений....»

«Междисциплинарные исследования А. Я. Аноприенко Археомоделирование: Модели и инструменты докомпьютерной эпохи Донецк УНИТЕХ 2007 УДК 004.383.4 А69 Аноприенко А. Я. Археомоделирование: Модели и инструменты докомпьютерной эпохи – Донецк: УНИТЕХ, 2007. – 318 с., ил. Anoprienko A. Archaeosimulation: Models and Tools of Precomputer Age. – Donetsk: UNITECH, 2007. – 318 p. ISBN 966-8248-00-7 Монография посвящена систематическому рассмотрению методов и средств вычислительного моделирования...»

«М.И. МИКЕШИН СОЦИАЛЬНАЯ ФИЛОСОФИЯ ШОТЛАНДСКОГО ПРОСВЕЩЕНИЯ М.И. Микешин СОЦИАЛЬНАЯ ФИЛОСОФИЯ ШОТЛАНДСКОГО ПРОСВЕЩЕНИЯ Санкт-Петербургский Центр истории идей Санкт-Петербург 2005 УДК 1(091)(4/9) ББК 87.3 Рекомендовано к печати кафедрой истории философии Санкт-Петербургского государственного университета Научный редактор доктор философских наук, профессор Ю.В. Перов Научные рецензенты: доктор философских наук, профессор Б.Я. Пукшанский доктор философских наук, профессор И.И. Евлампиев В книге...»

«Министерство образования Российской Федерации Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) В. И. Сологаев ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ РАСЧЕТЫ И КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИ ЗАЩИТЕ ОТ ПОДТОПЛЕНИЯ В ГОРОДСКОМ СТРОИТЕЛЬСТВЕ Омск 2002 УДК 69.034.96 ББК 38.621 С 60 Рецензенты: д-р геогр. наук, профессор И.В. Карнацевич (Омский государственный аграрный университет) канд. техн. наук Р.Ш. Абжалимов (ОАО Омскгражданпроект) УДК 69.034.96 Сологаев В.И. Фильтрационные расчеты и моделирование...»

«КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЮРИДИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Д.Х.Валеев ПРОЦЕССУАЛЬНЫЕ ГАРАНТИИ ПРАВ ГРАЖДАН И ОРГАНИЗАЦИЙ В ИСПОЛНИТЕЛЬНОМ ПРОИЗВОДСТВЕ Монография Казань УНИПРЕСС 2001 УДК 347 ББК 67.410 В15 Рецензенты: Доктор юридических наук, профессор В.В.Ярков Кандидат юридических наук, доцент М.М.Галимов Научный редактор Я.Ф.Фархтдинов Валеев Д.Х. В15 Процессуальные гарантии прав граждан и организаций в исполнительном производстве: Монография. - Казань: Унипресс, 2001. с. ISBN 5-900044-77-...»

«АI-\АДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОй ССР ИНС ТИТУ Т ГО СУДАР С ТВА И ПРАВА Ю. С. ШЕМШУЧЕНRО ПРАВОВЬIЕ ПРОБЛЕМЬI экологии юшв IIЛYI\OBA ДУМI\А 1989 ~i.jSg ВБК 67.99(2)5 Ш46 Ответственный редактор В. Л. МJ!НТЯН Утверждено к печати ученым советом Института государства и права АН УССР Редакция философ9кой и правовой литературы Редактор В. П. Вин.окур Шемшученко Ю. С. Ш46 Правовые проблемы экологии/ АН УССР. Ин-т государства и права; Отв. ред. В. Л. Мунтян- К:иев: Наук. думка, 1989.-232 с.- Библиогр.: 219-229...»

«УПРАВЛЕНИЕ ВОДНЫМИ РЕСУРСАМИ РОССИИ МОСКВА - 2008 УДК 351/354 ББК 65.05 Рецензенты: БАБИНА Ю.В. – доктор экономических наук, профессор, ОСТРОВСКИЙ Г.М. – кандидат географических наук. Монография Управление водными ресурсами России подготовлена Федеральным агентством водных ресурсов и ОАО Институт микроэкономики при участии ведущих специалистов в области охраны и рационального использования водных ресурсов. В книге представлены важнейшие аспекты осуществляемой в Российской Федерации...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Архангельский государственный технический университет Международная Академия Наук педагогического образования Ломоносовский Фонд Т.С. Буторина Ломоносовский период в истории русской педагогической мысли XVIII века Москва–Архангельск 2005 УДК 37(07) + 94/99(07) ББК 74(2р-4Арх)+63.3(2Р-4Арх) Б93 Рецензенты: д-р пед. наук, проф. РГПУ имени А.И. Герцена Радионова Н.Ф.; Вед. научн. сотрудник института теории и истории педагогики РАО, д-р пед....»

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ В. Г. Родионов РЕГУЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО– ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ В УСЛОВИЯХ РОСТА НЕСТАБИЛЬНОСТИ ВНЕШНЕЙ И ВНУТРЕННЕЙ СРЕДЫ Санкт- Петербург Издательство Нестор–История 2012 УДК 338(100) ББК 65.5 Р60 Рекомендовано к изданию Методической комиссией экономического факультета Санкт-Петербургского государственного университета Рецензенты: д. э. н., проф. Ю. А. Маленков д. э. н., проф. С. В. Соколова д. э. н., проф. Н. И. Усик Родионов В. Г. Р...»

«СЕВЕРНЫЙ ФИЛИАЛ РОССИЙСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА ИННОВАЦИИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА Середа С.Г., Батулин И.С., Сокол В.В. МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ НАУЧНОЙ И ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ КОММУНИКАЦИИ НА ИНТЕРНЕТ-РЕСУРСАХ МОНОГРАФИЯ Великий Новгород 2009 УДК 001:002+025.4 ББК 73+74 РЕЦЕНЗЕНТЫ: С.А. Митрофанов, доктор технических наук, профессор; В.А.Старых, кандидат технических наук, доцент. Середа С.Г., Батулин И.С., Сокол В.В. Модели и методы повышения эффективности...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тамбовский государственный технический университет Е. И. МУРАТОВА, П. М. СМОЛИХИНА РЕОЛОГИЯ КОНДИТЕРСКИХ МАСС Рекомендовано Научно-техническим советом университета в качестве монографии Тамбов Издательство ФГБОУ ВПО ТГТУ 2013 1 УДК 663.916.2; 664.681/144 ББК Л8/9 36.86 Д24 Р е це н зе н т ы: Доктор технических наук, профессор ФГБОУ ВПО...»

«Министерство здравоохранения Российской Федерации Северный государственный медицинский университет И.Г. Мосягин, С.Г. Хугаева, И.М. Бойко Психофизиологические стратегии адаптивного профессиогенеза моряков тралового флота в условиях Арктического Севера Монография Архангельск 2013 УДК [612.821.017.2:613.68](211-17) ББК 28.707.3(211)+88.23(211) М 24 Рецензенты: доктор медицинских наук, доцент, начальник Филиала № 3 Главного военного клинического госпиталя им. академика Н.Н. Бурденко Министерства...»

«Центр проблемного анализа и государственноуправленческого проектирования В.И. Якунин, В.Э. Багдасарян, С.С. Сулакшин Новые технологии борьбы с российской государственностью Москва Научный эксперт 2009 УДК 321.01.(066) ББК 66.0в7 Я 49 Якунин В.И., Багдасарян В.Э., Сулакшин С.С. Я 49 Новые технологии борьбы с российской государственностью. Монография — М.: Научный эксперт, 2009. — 424 с. ISBN 978-5-91290-083-9 В работе проанализирована эволюция широкого спектра управленческих технологий...»






 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.