WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Pages:     | 1 || 3 |

«D.N. Kinsht, N.V. Kinsht WHOLE BODY HYPERTHERMIA: THEORY, EXPIERENCE, MODELING OF PROCESSES Vladivostok Dalnauka 2006 РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ДАЛЬНЕВОСТОЧНОЕ ОТДЕЛЕНИЕ Институт автоматики ...»

-- [ Страница 2 ] --

Эти признаки также, аналогично сказанному выше, могут быть описаны либо действительными числами – результатами анализов или измерений, либо целыми числами, характеризующими ситуации из нескольких возможных (в том числе – логические возможности типа «да – нет», т.е.

«0 – 1»). Признаки yij могут задаваться в интервальном виде, т.е. в виде своей 4 0.08 0.59 0.77 0.91 1.00 0.61 0.75 0.50 0. Интервальное задание результатов наблюдений позволяет отражать неточности измерений и наблюдений, в том числе – включать в статистику параметры, которые специально не измерялись, но были очевидными для персонала (например, «температура нормальная», или «пульс учащенный»). Более того, даже если какой-то параметр в некоторых наблюдениях вообще не 12 0.31 0.04 0.42 0.78 0.14 0.30 0.25 0.44 0. для включения наблюдения в общую статистическую таблицу; для такого параметра в качестве его интервальных значений назначается пара значений – максимально и минимально возможные. Конечно, информативность такого конкретного признака yij – нулевая, однако предоставляется возможность ные» при интервальном подходе теряет смысл.

Таким образом, полная таблица наблюдений состоит из вектора X значений определяющего параметра и таблицы зарегистрированных параметров Y;

в общем случае значения этих элементов таблицы – интервальные. Для простоты и единообразия приведем числовые значения элементов таблицы путем линейного масштабирования к интервалу [0, 1]. Ясно, что масштабные 6.3. Представление таблицы данных коэффициенты для различных столбцов имеют различные физические размерности, в том числе – могут быть безразмерными. Приведем пример такой ны по значениям x (2-го столбца). Обратим внимание, что в 6 столбце фигу- Аk :

рируют лишь 4 различных численных значения, что, по-видимому, соответА = Аk, (k =1, …, r) глядности одно и то же представление дано в виде трех рисунков при вариации способов графического выделения интервальных трубок.

Иначе говоря, если любому Xk1 предшествует Xk2, то любое значение xk Xk1 меньше xk2 Xk2.

Каждому множеству Аk соответствует m – мерный интервал (гиперпараллелепипед) в пространстве свойств объектов:

Если ассоциировать множество номеров свойств объекта с множеством точек плоскости на оси абсцисс, а их значения – с ординатами, то в качестве синонима понятия «гиперпараллелепипед» удобно говорить также о трубке свойств (значений yi) для каждого объекта i и, соответственно, о трубках свойств Yk для характерных представителей.

Произведем в рассматриваемом примере разбиение множества значений определяющего параметра Х на 3 подмножества представителей:

Соответственно, множество наблюдений предстанет в виде разбиения (соответствующие строки таблицы 6.1 выделены):

Определив нижние и верхние границы и соответствующих подмножеств, построим гиперпараллелепипеды Y1, Y2, Y3, (табл. 6.2). Изобразим их также в виде трубок характерных представителей (рис. 6.1, 6.2, 6.3). Для наСвойства таблицы наблюдений и решаемые задачи Рис. 6.2. Представление гиперпараллелепипедов Y1 (пара тонких линий), Y2 (выделены заливкой), Y3 (пара жирных линий) Соотношение (6.3) постулирует принципиальную возможность классификации. При необходимости можно говорить о слабой либо сильной корректности, опираясь на свойства интервалов Yk в целом, а именно, если никакая пара интервалов не находится в отношении полного включения (слабая Рис. 6.3. Представление гиперпараллелепипедов Y1 (пара жирных линий), Y2 (пара В дальнейшем, не оговаривая специально, рассматриваемые классификатонких линий), Y3 (пара линий с заливкой) ции будем считать корректными (т. е., соответствующими условию (6.3)).

множества Bk, соответствующие попаданию yi в трубку Yk и непопаданию с (6.1) сопутствовать вектор b = (b1,…br), тогда оптимизация классификации В соотношении (6.1) подразумевается полное попадание объекта yi в Рассмотрим далее практическое использование построенной классифитрубку Yk; однако аналогично свойствам (6.4, 6.5) можно различать слабое кации.

либо сильное (как в (6.5)) соответствие объекта характерным подмножествам. При получении дополнительных экспериментальных данных Можно говорить также о несоответствии объекта yi трубке Yk, если хотя бы yi (i = n, …, p), соответствующих новым объектам, множество А расширяется, по одному параметру yij объект не попадает в трубку свойств Yk: практическое решение о принадлежности объекта соответствующему подмножеству характерных представителей принимается по принципу, аналогичному (6.6) или (6.7):

Теперь эффективность классификации (вероятность распознавания объектов на основе имеющихся экспериментальных данных) отражается вектором неудачно классифицированных случаев: причем уверенность в правильности решения обеспечивается с вероятностью или же, например, суммарным интегральным показателем: Пример дополнительных данных для обработки с помощью бы покоординатно сравнивать пересечения гиперпараллелепипедов Yk и оценивать их объемы; формально здесь нет проблем. Но, имея в виду обработку естественнонаучных или технических экспериментальных данных с не вполне ясными внутренними связями и физически несоизмеримыми параметрами, 0.57 0.78 0.88 0.57 0.80 0.75 0.69 0. идеи о гиперобъеме необходимо убедительно аргументировать в каждой кон- 26 0.31 0.36 0.52 0.29 0.30 0.50 0.63 0. кретной задаче.

Проверим корректность классификации. Построив гиперпараллелепипе- Применяя принцип (6.7) к объектам {21…26}, получим, что ды Y1, Y2, Y3, выясним, что они находятся в соотношении (6.4) слабой кор- {a21, a24} А2, {a22, a23} А3, a25 А1, а объект a26 может быть отнесен как ректности. Для оценки эффективности классификации построим множества к подмножеству А2, так и подмножеству А3. Таким образом, объекты a21, …, неудачно классифицированных объектов: B1 =, B2 =, B3 = {4, 7}. Таким a25 классифицируются с уверенностью 0.9, а объект a25 – с уверенностью образом, из 20 объектов неудачно классифицируются 2, и эффективности 0.45.





классификации можно присвоить значение 0.9. Оценивая значимость каждого из свойств j (j = 1 …m) при решении задаОптимизируя классификацию, можно варьировать разбиение области оп- чи классификации, аналогично (6.6) либо (6.7) построим вектор ределяющего параметра X на (заданное) число r интервалов определения ха- bj = (b1j,…brj) = (|B1j|, …, |Brj|);

рактерных представителей. Каждому из этих разбиений будет в соответствии Норма вектора bj в обратном соотношении ассоциируется со значимо- Рассмотрим возможности применения интервального статистического стью параметра j. анализа на реальном примере обработки наблюдений результатов ОУГ высоДалее представим себе, что классификационный признак X отражает эф- кого уровня с точки зрения динамики вирусной нагрузки.

фективность лечебной процедуры, а переменные Y – применявшиеся в про- Было произведено 70 наблюдений, которые содержали в себе следуюцессе лечения медикаменты (как дозы, так и способы применения) и другие щую информацию: исходные параметры, режимы процедуры ОУГ, использопараметры терапии. Тогда на основе полученных данных можно рекомендо- ванные медикаменты и конечный результат процедуры. Таким образом, в вать или планировать параметры лечения, выбирая их из интервальных тру- общей таблице оказалось 24 параметра. Была произведена нормировка парабок, соответствующих прогнозируемому или желаемому результату лечения. метров к интервалу [0, 1] по формуле:

Наконец остановимся на связи данной модели с задачей прогнозирования состояний объекта, а дополнительные экспериментальные данные – как изPmax Pmin менение параметров некоторого объекта во времени, произведя экстраполяцию каждого из параметров, возможно на этой основе с помощью данной классификации осуществить прогноз состояния объекта по его определяюP – значение параметра, щему параметру. К примеру, обратившись к таблице 6.4, представим себе, что данные строк 27 и 28 соответствуют наблюдению поведения некоторого объекта в паре точек на оси времени с интервалом t. Отсюда видим, что со- Pmax – максимальное значение параметра.

стояние объекта характеризовалось интервалом характерного свойства Х1.

Произведя элементарную, единственно возможную (при отсутствии иных дополнительных данных) интерполяцию поведения объекта, получим строку его в состояние, соответствующее Х3.

Пример второго набора дополнительных данных для обработки с помощью X3 = [0.25, 0.30) – положительные результаты (22 реализации);

Таким образом, рассматриваемая формальная модель классификации достаточно прозрачна по постановке задачи и проста в использовании. ПредОдной из основных особенностей таблицы является ее слабая заполненставляется полезным более глубоко ее формализовать.

ном поле белыми пятнами нулевые значения элементов фрагмента полной таблицы, относящегося к использованным медикаментам (рис. 6.4).

«неполными данными», как это традиционно принято, и группировку фрагментов данных, идентичных по структуре, имеют весьма сомнительные перспективы.

Рис. 6.4. Структура расположения нулевых элементов (белые пятна) во фрагменте таблицы использования медикаментов при ОУГ Итак, в соответствии с соотношением (6.2) определим нижние и верхние Рис. 6.5. Представление гиперпараллелепипедов Y(X1) (выделены заливкой) Y(X2), границы и соответствующих подмножеств, подготовим построение ги- (пара жирных линий), Y(X3) (пара тонких линий) перпараллелепипедов Y(X1), Y(X2), Y(X3). Для удобства дальнейшего анализа Итак, выделенное заливкой пространство на рис. 6.5 соответствует наиситуаций выделим из полной таблицы обозримую часть, соответствующую Изобразим их также в виде трубок характерных представителей (рис.

различным характерным представителям. Тогда можно было бы формулировать достаточно уверенные рекомендации. К сожалению, имеющиеся статистические данные не позволяют сформироваться таким трубкам параметров.

В такой ситуации конечным результатом анализа табл. 6.5 могут быть лишь корректные заключения о тенденциях зависимостей (изменения параметров Часть II. ТЕОРИЯ ЦЕПЕЙ. МОДЕЛИРОВАНИЕ задачи).

ПРОЦЕССОВ ГЕМОДИНАМИКИ И ТЕПЛОПЕРЕНОСА.

Отметим еще одну характерную особенность реальной таблицы. Из 8 параметров 6 имеют своими минимальными значениями нулевое значение. ЛюТеория цепей в задачах гемодинамики и теплопереноса бой из результатов может, в принципе, достигаться при различных сочетаниях медикаментов, однако здесь наблюдается определенная коллизия. Нулевая минимальная граница применения некоторого препарата может (при дости- 7.1. Введение в теорию систем и теорию цепей жении наилучшего, например, результата), с одной стороны, означать тенденцию к отмене применения данного препарата в процедуре ОУГ, а, с дру- Формальное описание поведения сложных объектов потребовало создагой просто констатацию факта, что тот же результат ОУГ может быть дос- ния специального научного направления, названного теорией систем. Теорию тигнут и при ином сочетании препаратов. Вместе с тем аналогичного заклю- систем можно охарактеризовать как совокупность методов анализа объектов, чения о верхней интервальной границе сделать нельзя. Таким образом, ниж- представимых из более мелких модулей (элементов), причем поведение эленяя нулевая граница оказывается менее информативной, чем верхняя. Этот ментов математически формализовано и, кроме того, математически формавопрос можно исследовать более подробно, однако здесь, для краткости, это- лизованы связи между элементами. Наибольших успехов в этом направлении Результаты исследования сведем в табл. 6.6. теорию электрических цепей, для краткости – теорию цепей. Поэтому в русскоязычной литературе теория цепей чаще всего воспринимается как теория Y1 По данным параметра Y1 никаких заключений сделать нельзя литературе зачастую даже не разделяют между собой понятия теории систем Y2 По данным параметра Y2 можно сделать заключение, что при мак- и теории цепей, употребляя словосочетание «Circuit and System Theory» как симальном значении (более 0.94) этого параметра не наблюдалось единый термин. Весьма близкими к электрическим цепям по своему матемани одного наилучшего или хорошего результата. тическому описанию считаются гидравлические системы, где в качестве ноY3 По данным параметра Y3: на результат ОУГ его значение не влияет таты наблюдались исключительно при значении параметра не более Y6 По данным параметра Y6 никаких заключений сделать нельзя Y7 По данным параметра Y7 можно сделать заключение о некоторой тенденции к отрицательной корреляции результата и значения папрежде всего, на сложные технические объекты, «рукотворные» объекты.

раметра. При максимальном значении параметра достигались лишь положительные результаты, хорошие результаты наблюдались при Ясно, что разнообразие и сложность объектов и элементов, исследуемых в значении параметра не более 0.72, а наилучшие результаты наблю- естественно-научных дисциплинах, количество связей между элементами и дались лишь при значении параметра не более 0.68.

В процессе дальнейшего развития методы теории электрических цепей с усТаким образом, интервальный анализ медицинских статистических данпехом начали применять для расчетов гидравлических, пневматических сисных предоставляет дополнительные математически корректные возможности метрами пациента, применяемыми медикаментами и стратегиями лечения.

нагрева организма человека. Как оказалось, при некоторых разумных допу- ей, понятиями, математическими формализмами и методами электрических щениях это возможно, что дает надежду на более широкое и эффективное цепей, нетрудно использовать их в «параллельных» задачах общесистемного использование интеллектуальных компьютерных методов в некоторых со- характера.

временных практически важных медицинских технологиях. Связи между Математический аппарат теории цепей достаточно широк. Он включает в параметрами и показателями жизнедеятельности организма весьма сложны и себя анализ систем алгебраических и дифференциальных уравнений, элеменвключают в себя ряды цепочек электрофизических, электрохимических и ты теории матриц, основные термины и идеи теории графов, комплексные других явлений и процессов, и некоторые из таких цепочек трудно формали- числа, идеи рядов Фурье, преобразования Фурье и Лапласа. Настоящая монозовать. Поэтому на практике зачастую, выпуская из вида (или не пытаясь графия ориентирована на специалистов из области медицины, в том числе количественно описать) всю причинно-следственную цепочку, связь между практикующих врачей, студентов и аспирантов, далеко не всегда имеющих «причиной» и «следствием» характеризуют как «рефлекторную», поскольку глубокое математическое образование. В связи с этим все минимальные маэта связь, как правило, имеет место. Здесь «причина» и «следствие» созна- тематические сведения, справочные понятия и формулы по мере необходительно взяты в кавычки, поскольку и то, и другое могут оказаться лишь со- мости будут приводиться ниже прямо в тексте, и им будут даваться, по возпутствующими признаками или проявлениями истинных причин и следствий можности, простые содержательные пояснения. Читателям, далеким от теханализируемых процессов. Опыт исследования сложных систем показывает, ники, настоятельно рекомендуем дочитать до конца этот раздел, для того, что в ряде задач для получения вполне разумных результатов возможно ог- чтобы ясно понять аналогии, используемые при построении моделей гемодираничиться достаточно общими энергетическими соображениями и принци- намики и теплопереноса при ОУГ.

пами сохранения, не выясняя всей глубины, богатства и разнородности тонких процессов, совершающихся внутри объекта исследования. 7.2. Элементы цепей Относительно применяемой терминологии отметим, что ниже будет применяться смешанная терминология. Когда речь будет идти о теории цепей 7.2.1. Элемент электрической цепи. Основные обозначения.

в теоретическом аспекте, то преимущественно будет применяться терминология электрических цепей. В случаях, когда потребуется конкретизация объВведем ряд формальных понятий, определений, характерных для элекяснений биофизических процессов, происходящих в организме пациента, будут использоваться понятия из соответствующих предметных областей.

Так, к примеру, в различных предметных областях – в электротехнике, гидГлавнейшим понятием теории цепей является понятие элемента. Проравлике, теплотехнике достаточно широко применяется термин потенциал.

трансформируется в свои специализированные термины: в электротехнике разность потенциалов означает электрическое напряжение, в гидравлике и, в частности, при описании кровотока, разность потенциалов означает разность давлений, в теплотехнике разность потенциалов означает разность температур. Естественно, что в различных перечисленных вариантах подразумевается, что потенциалы имеют различные физические размерности. Эти терминологические пересечения, или параллели, не приводят к недоразумениям, поскольку обычно из контекста ясно, о каких физических процессах идет речь. Использование единой теории цепей для задач, отражающих различные физические процессы, возможно в результате общности или аналогичности математического описания этих процессов, которые достигаются при корректной формулировке соответствующих задач. Здесь, правда, нужно обратить внимание на то, что аналогия не есть идентичность, и всякая анало- В рамках гемодинамической модели таким двухполюсным элементом гия имеет свои особенности и пределы, вне которых математические описа- может быть орган или его фрагмент, имеющий в качестве одного полюса, к ния задач могут иметь значительные отличия. Однако, овладев терминологи- примеру, точку притока крови, а в качестве другого – точку оттока крови. На рис. 7.1 это выводы – «точки» a и b. Здесь же отметим, что при графическом данном случае применение стрелки, обозначающей напряжение, необязаизображении элемента на схеме цепи длина соединительных линий несуще- тельно. Ясно, что:

ственна, она выбирается из удобства начертания всей схемы цепи. С двухполюсником ассоциированы два параметра его режима – ток (физическая раз- uab = – uba.

мерность – ампер, А) и напряжение (физическая размерность – вольт, В).

Аналогом тока в физиологии можно считать минутный объем кровообращеНапряжение не обязательно ассоциируется с двухполюсником, но оно ния, аналогом напряжения – давление, например среднее артериальное. Ток всегда связано с парой точек цепи. Оказывается удобно одну из точек цепи i(t) может быть произвольной функцией времени и отражает скорость движе- выделить, назвав «базисной» (нулевой). Обычно это точка, с которой соединия зарядов:

где q – электрический заряд (физическая размерность – кулон, Кл). В иссле- базисной точкой может быть любая точка цепи, назначенная произвольно дуемых нами моделях аналогом электрического заряда является масса крови при постановке задачи. Тогда с каждой точкой a цепи сопоставляется значеили количество тепла. ние потенциала a, который равен напряжению между этой точкой a и нулеСчитается, что ток, втекающий в некоторый идеализированный двухпо- вой точкой. Так, в соответствии с обозначениями рис. 7.1 имеем соотношелюсный элемент, равен току, вытекающему из него. На схеме ток обознача- ния:

ется стрелкой на проводнике, подходящем к элементу; направление стрелки если положительные заряды движутся в направлении стрелки (или отрицательные заряды движутся в противоположном направлении, или одновреи напряжение на двухполюснике можно представить в виде разности потенменно идут оба этих процесса), ток считается положительным, в противном случае ток считается отрицательным. В теории цепей фактический знак зарядов, физически создающих электрический ток, не имеет значения. Положиuab = a – b, uba = b – a. (7.3) тельное же направление тока в двухполюснике выбирается произвольно при постановке задачи анализа цепи и в процессе решения не изменяется; измеИспользуя понятие потенциала, можно говорить, что ток протекает от нение направления тока во времени или при вариации параметров задачи отражается лишь на его знаке (выражение 7.1).

вает ясна из контекста задачи) означает работу, которая производится (или которую необходимо произвести) при перемещении (пробного) единичного схеме стрелкой, помещенной рядом с элементом. Понятно, что знак напрябазисную точку в процессе расчета менять нельзя.

жения зависит от направления перемещения этого заряда, направление стрелки означает положительное направление напряжения. Положительное ны. В конечном итоге, при обозначении каждого элемента практически припри постановке задачи. Как правило, оно принимается совпадающим с поломеняется минимум обозначений, например, обозначение элемента и положижительным направлением тока. Поэтому зачастую для удобства на самой схеме цепи обозначается лишь одна стрелка – напряжения или тока. Поскольку напряжение всегда ассоциировано с парой точек цепи, то обозначения этих точек зачастую используются в качестве индексов напряжения, и в Двухполюсник, по существу, является математической моделью некотоИсточник тока – двойственный по отношению к источнику э.д.с. и предрого реального элемента или устройства. Внутренняя его структура и свойстставляет собой источник, в котором задан ток:

ва могут быть достаточно сложными, и в этом смысле он является «черным возможных процессов, которые моделирует двухполюсник, вводится некоторый базисный набор идеализированных элементов, обладающих конкретны- Напряжение на нем зависит от элементов остальной части схемы и, в ми свойствами, имеющими простое математическое описание. Этот набор принципе, может быть любым. Режим, когда выводы источника непосредстэлементов должен позволять отражать основные физические процессы, кото- венно соединены, называется коротким замыканием, при этом напряжение на рые могут происходить в электрической цепи и, в дальнейшем, комбинируя источнике равно нулю. Режим, когда цепь источника тока оборвана, некорэти элементы в более сложные структуры, позволять моделировать поведе- ректен, поскольку ток через источник при этом должен быть нулевым, что ние и режимы работы реальных элементов и устройств. Электрическая схема противоречит определению (в общем случае ненулевого) источника тока.

образуется присоединением элементов к некоторым общим точкам, которые Источники э.д.с. и тока являются простейшими моделями генераторов будем называть узлами. электричества – преобразователей химической, механической, тепловой, свеПоддержание электрических токов в цепи требует затрат энергии, поэто- товой и пр. энергии в электрическую, причем конкретный вид этого физичему токи в схеме могут возникать, если в ней есть активные элементы, т.е. ского преобразования в теории цепей не имеет значения и игнорируется.

источники электрической энергии. Выделяются два вида простейших идеали- Если описывать систему кровообращения млекопитающего с помощью зированных активных элемента: источник электродвижущей силы (э.д.с.) и аналога – электрической цепи, то сердце (как левое, так и правое – по отдельисточник тока (рис. 7.2). ности) представляет собой активный двухполюсный элемент. При этом если В свою очередь, различают три вида пассивных элементарных двухполюсников: резистивный, индуктивный и емкостный. Идея их введения основана, прежде всего, на физическом представлении о том, что энергия, поступающая в цепь, усваивается тремя путями. Прежде всего, это необратимые Рис. 7.2. Источник э.д.с. и источник тока Стрелка в обозначении на схеме источника э.д.с. направлена к положиполей, такие, как катушки индуктивности и конденсаторы.

тельному полюсу. Ток, протекающий через источник э.д.с., зависит от элеДругими словами, протекание электрического тока всегда сопровождаетментов остальной части схемы и, в принципе, может быть любым (в том чисся следующими явлениями:

ле и отрицательным). Режим, когда цепь источника э.д.с. оборвана и ток чеэлектрическая энергия может накапливаться в виде электрического рез источник нулевой, называется холостым ходом. Непосредственное сополя, созданного электрическими зарядами;

единение выводов источника э.д.с. (их «закорачивание») некорректно, т.е.

запрещено. (При закорачивании выводов источника э.д.с. потенциалы должu = u(i), или i = i(u). (7.7) электрическая энергия может рассеиваться, преобразовываясь необратимым образом в другие виды энергии тепловую, химическую, протекание электрического тока всегда сопровождается магнитным вольтамперной характеристикой (ВАХ). ВАХ может задаваться аналитичеполем, а всякое изменение магнитного поля приводит к появлению ски, в виде формулы, либо в виде экспериментально полученной зависимоэлектрического поля. сти; часто используется графическое изображение ее в осях напряжение-ток.

Для отражения этих физических эффектов в теории цепей вводятся в рас- Простейшей и очень важной зависимостью ВАХ является линейная связь смотрение пассивные элементы – резистивный элемент (резистор), емкостной между током и напряжением (закон Ома):

элемент (конденсатор) и индуктивный элемент (катушка индуктивности).

напряжениями на них.

ответствии с законом Ома, характеризуется пропорциональностью между напряжением и током:

Коэффициент пропорциональности R – электрическое сопротивление, его размерность Ом. Это же свойство резистора можно передать в форме:

где G – проводимость, измеряемая в Ом–1.

В рамках гемодинамической модели организма можно ввести в рассмотрение элемент, аналогичный резистору, например, отрезок капилляра: падение давления на его длине пропорционально кровотоку. При заданных размерностях давления и кровотока складывается размерность сопротивления (проводимости) отрезка капилляра.

Рассмотрим более общее формальное определение. Резистор – это элемент, в котором напряжение и ток непосредственно связаны между собой некоторой функциональной зависимостью:

Здесь f –1 обозначает функцию, обратную к функции f. Дальше будем пользоваться, в зависимости от удобства, следующей записью: здесь коэффициент k зависит от масштабов U и I на чертеже.

Кроме того, на общем поле удобно для сравнения изобразить ВАХ по- зейля сопротивление сосуда выражается через его длину L и радиус r и друстоянной э.д.с. (e = E = const) и ВАХ источника постоянного тока (j = J = гие математические и физические константы следующим образом:

const); они также линейны.

рактеристику. Так, к примеру, сопротивление нити обычной лампы накаливания существенно зависит от температуры нагрева, а, следовательно, от наВместе с тем известно, что растяжимость вен обуславливает приращение пряжения на ней. ВАХ лампы симметрична относительно начала координат, объема вены при увеличении падения давления в ней (т.е. для фиксированной поскольку нагрев ее нити не зависит от полярности приложенного напряже- длины – приращение радиуса r). Таким образом, при увеличении давления ния. Приведем ВАХ лампы накаливания (рис. 7.4). Сопротивление прямого, При протекании тока через проводник он нагревается, и удельное сопро- Сохраним также аббревиатуру ВАХ для характеристики нелинейного резитивление материала нити лампы увеличивается, так что его нелинейная ВАХ стивного элемента. ВАХ вены как резистора приведена на рис. 7.5.

имеет характер, выпуклый вниз (рис. 7.4).

Рисунок 7.4. ВАХ лампы накаливания Более сложные физические процессы происходят в люминесцентных лампах; их ВАХ имеет даже неоднозначный, волнообразный характер.

При анализе системы кровообращения аналогами резистора являются кровеносные сосуды или отдельные органы, на которых происходит падение давления при протекании крови. Их также в простейшем случае характериобъем лепестков клапана. Этот процесс выражается на кривой давления позуют гидравлическим сопротивлением, причем в общем случае это сопротивявлением так называемой дикротической выемки. При недостаточности клаление нелинейно.

Рассмотрим вену как нелинейный элемент. В ней происходят процессы, закрываются полностью, при этом происходит обратный ток крови (регургиобусловливающие другой (по сравнению с лампой) вид ВАХ. По закону Пуатация) [Морман, Хеллер, 2000]. ВАХ различных клапанов приведены на рис. Ясно, что если напряжение на конденсаторе постоянно – ток равен нулю;

гии в виде электрического поля, т.е. сохранения зарядов в некотором ограниченном объеме (рис. 7.7). Напряжение на конденсаторе пропорционально заряду, накопленному им:

где C – емкость конденсатора (фарада, Ф).

Рис. 7.7. Конденсатор Ток i(t) = dq/dt заряжает конденсатор, если i 0, или разряжает его, если i стремится создать ток, противодействующий изменению магнитного потока:

0. Таким образом, Очевидно, что при протекании постоянного тока через катушку на ней не происходит падения напряжения; напряжение на ней возникает только при токе, изменяющемся во времени. Можно говорить, что катушка представляет напряжение u(t), то мгновенная мощность на этом элементе имеет вид:

а энергия, затраченная (или накопленная) за время T, имеет вид: (табл. 7.1).

а энергия магнитного поля, накопленная в катушке, по которой течет ток I: цепи Если нас интересует средняя мощность P на каком-либо интервале времени [0, T], то она может быть получена из выражения:

ни была сложна в целом, она будет складываться из отдельных двухполюсников; каждый из которых отражает тот или иной фрагмент системы. Такая процедура «складывания» простых двухполюсников в более сложные блоки на языке теории цепей называется соединением. Под электрической цепью понимают такое соединение активных и пассивных элементов цепи в систе- Граф, в математическом понимании этого термина, задает однозначное му, в результате которого в элементах протекают токи (элементы оказывают- соответствие между множеством узлов и множеством ветвей, отвлекаясь от ся под напряжением). Графическое изображение такого соединения называ- содержательного понимания самих узлов и ветвей. Графом можно предстают схемой. Пример такой схемы дает рис. 7.9. вить способ соединения электрической цепи, карту автомобильных дорог, В общем случае ветви графа могут иметь ориентацию или же быть неориентированными. Так, на автомобильных дорогах может быть задано разрешенное направление движения или же разрешено движение в обоих направлениях. Ветвям графа в теории цепей соответствуют элементы (или несколько последовательно соединенных элементов, составляющих ветвь цепи). В наших задачах направление тока (напряжения) существенно, поэтому Рис. 7.9. Пример электрической схемы Схема, изображенная на рис. 7.9, содержит 9 элементов, соединенных в узлах a, b, c, d, m, n. Вид пассивных элементов 1, 2, 3, 4, 5, 6 не уточняется, источники изображены своим специфическим начертанием. Схема содержит тором по ним протекает один и тот же ток, называются последовательным. В ник э.д.с. e3, а также элемент 6 и источник э.д.с. e6. Под параллельным соединением элементов подразумевается их присоединение к одной и той же паре узлов, при этом напряжение на параллельно соединенных элементах одно и то же. Здесь параллельно соединены 1-й элемент и источник тока j7. Точки m и n, к которым присоединены по 2 элемента, называются устранимыми узлами. По возможности устранимые узлы исключают из рассмотрения, при этом последовательно соединенные элементы объединяют (по специальным праДля удобства у матрицы A помечены номера столбцов и обозначения Рис. 7.10. Граф электрической цепи, изображенной на рис. 7. Формальное представление графа в виде таблицы нений (инциденций). Если граф имеет p ветвей и q узлов, то матрица инциденций A имеет q строк, p столбцов и для каждого ее элемента применяется 7.3.5. Матрица контуров правило:

aij = –1, если j–я ветвь присоединена к i –му узлу началом, Широко используемым понятием теории графов является контур. В проaij = 1, если j–я ветвь присоединена к i –му узлу концом, стейшем, необходимом для рассматриваемых в теории цепей случае, под aij = 0, если j–я ветвь не присоединена к i –му узлу. контуром понимается непрерывная замкнутая последовательность ветвей Так, в рассматриваемом примере матрица инциденций примет вид:

Рис. 7.11. Контуры графа электрической цепи, изображенного на рис. 7. Аналогично матрице инциденций можно ввести в рассмотрение контурS2={3, 2, 4, 5}, S3={7, 1, 2, 3}. Общее количество сечений графа также достаную матрицу B.

При ее построении применяется правило:

bij = 0, если j–я ветвь не входит в i –й контур;

bij = 1, если j–я ветвь входит в i –й контур и ее направление совпадает с направлением обхода контура;

bij = – 1, если j–я ветвь входит в i –й контур и ее направление не совпадает с направлением обхода контура.

Количество возможных контуров обычно довольно велико; и для рассматриваемого графа можно еще дополнительно построить 8 контуров. Здесь тоже возникает вопрос о минимально достаточном числе контуров. В постро- Рисунок 7.12. Сечения цепи енной матрице B имеется избыточность: сумма всех строк дает нулевую строку. Можно показать, что среди всего множества контуров можно выбрать всего (p – q + 1) независимых контуров. Очевидно, что если, начиная со 2-го контура, каждый последующий контур содержит хотя бы одну новую ветвь, то эти контуры будут независимыми. Простым правилом построения систенаправлением сечения;

мы независимых контуров также является выбор в качестве системы контуров ячейки (плоского) графа, когда ни одна ветвь не расположена внутри этовому закону Кирхгофа можно составить лишь (q – 1) линейно независимых dij = – 1, если j–я ветвь входит в i –е сечение и ее направление не совпауравнений.

дает с направлением сечения.

цепи. Именно, если сечение цепи разделяет ее на две части, то, в силу принОбратим внимание на то, что матрица инциденций является частным ципа сохранения заряда сумма токов, пересекающих сечение из одного фрагслучаем матрицы сечений, когда каждое из сечений отделяет один узел от мента цепи во второй, должна быть равна сумме токов пересекающих сечеостальной части схемы. Аналогично ранее сказанному приходим к заключе- ние в обратном направлении, т.е.:

нию, что у матрицы инциденций D всего (q – 1) линейно независимых строк, т.е. ее ранг равен (q – 1).

7.4.1. Принцип непрерывности электрического тока. Первый закон фов нужны для того, чтобы в компактной и удобной форме представлять систему уравнений электрической цепи. Рассмотрим вначале законы электричеЯсно, что линейно независимых уравнений такого рода можно получить ской цепи на содержательном уровне.

Первый закон Кирхгофа постулирует естественный принцип сохранения заряда (непрерывности тока). В простейшей своей формулировке он утверПринцип потенциальности. Второй закон Кирхгофа ждает, что заряды не накапливаются в узлах цепи, и, следовательно, сумма токов, входящих в любой узел, равна сумме токов, выходящих из него.

Алгебраическая сумма токов в любом узле цепи равна нулю. энергия системы не изменилась, поскольку система возвратилась в исходное Так, к примеру, для узла a (рис. 7.9) можно записать:

для узла b аналогично:

и т. д. для всех узлов. Поскольку вся информация о присоединении ветвей к узлам содержится в матрице инциденций, и ее ранг равен (q – 1), то по перили: uab – ucb – udc + uda = 0. ределяется числом строк матрицы А и столбцов матрицы В, соответственно, Если выразить напряжения через соответствующие потенциалы, то последнее выражение предстанет тождеством. Поэтому этот принцип называется принципом потенциальности; обычно его называют вторым законом Кирхгофа и формулируют в следующем виде:

Алгебраическая сумма напряжений в любом контуре цепи равна нулю.

Поскольку среди всего множества контуров можно выбрать всего закону Кирхгофа можно составить лишь (p – q + 1). Выбор конкретной сисстолбцы матрицы В:

темы независимых контуров производится на основе удобства решения задачи.

Матричная форма записи предоставляет возможность в единообразной форме записывать системы уравнений и формулировать алгоритмы их решеI закон Кирхгофа:

ния. Ряд топологических матриц нами уже рассмотрен – это матрица инциденций A, контурная матрица B и матрица сечений D. С их помощью можно легко описать уравнения в соответствии с законами Кирхгофа. Для этого введем еще матрицы-столбцы токов и напряжений:

обозначение матрицы-столбца:

размера, при этом результирующая матрица С имеет тот же размер, а ее элеодинаковых по своей структуре и отличающихся лишь коэффициентами при менты являются результатом сложения соответствующих элементов матрицпеременных. Эта система предстает в явном виде после умножения матриц, слагаемых.

Матричное произведение АВ = С имеет смысл в том случае, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, а размер матрицы С опили же, после умножения матриц:

мулирован для сечений цепи. Тогда в матричной форме он примет вид:

Система уравнений предстает в явном виде после умножения матриц:

имея в виду матрицу независимых контуров. Конкретно для рассматриваемоG = R–1 = diag (G1, G2, … Gp), го примера:

Сложность цепи как системы в первую очередь определяется количесторганизма». По числу точек присоединения элементы будем назывом элементов и схемой соединения. Зачастую на первом этапе изучения обвать двухполюсниками или трехполюсниками. Впрочем, трехполюсщих методов анализа сложных цепей ограничиваются линейными резистивник «остальная часть организма» может быть представлен в виде паными цепями. Это позволяет описывать их исключительно линейными алры двухполюсников А и В (рис. 7.16). Часть А отражает совокупгебраическими уравнениями и на этой основе разрабатывать общие методы расчета.

ников и резисторов (резистивную цепь). К примеру, система кровообращения в установившемся режиме может моделироваться цепью, где в качестве резиКоличество крови, входящей в каждый элемент, равно количеству сторов выступают артерии, артериолы, вены, венулы и капилляры или же, например, более крупные элементы некоторые органы в целом.

кровообращения млекопитающего, акцентировав внимание на кровоснабжедавлений на входе-выходе элемента через него происходит кровоток.

нии головного мозга. Здесь можно выделить следующие ключевые элементы, например, глюкозой и кислородом:

венозный тракт питания мозга, Кровоток имеет разветвления. В каждом разветвлении сумма кровотоков, подходящих к нему, равна сумме отходящих кровотоков.

сердце левое, сердце правое, кровоснабжение сердца, общие артериальные тракты, общие венозные тракты, остальная часть организма.

Такое представление в общих чертах соответствует рис. 7.14.

Таким образом, в этой системе выделено 11 ключевых элементов, существенных с точки зрения ее функционирования. Каждый из этих элементов несет свою функциональную нагрузку: мозг является потребителем («нагрузкой») системы, вены и артерии обеспечивают транспортные функции крови, сердце является активным элементом, создающим циркуляцию крови, и т.д.

Поскольку функциональное назначение элементов остается в стороне от нашего обсуждения, то полученную систему можно представить в виде, изображенном на рис. 7.15.

Абстрагируясь от биохимической трансформации крови в процессе кровообращения, специально отметим общесистемные свойства перечисленных Рис. 7.14. Кровоснабжение головного мозга. На рисунке не указаны сосуды сердца.

Рис. 7.15. Схема кровоснабжения головного мозга в виде аналога электрической Рис. 7.17 Обобщенная ветвь цепи Рис. 7.16. Вариант фрагмента модели кровообращения источников э.д.с. необходимо учесть во II законе Кирхгофа.

7.4.6. Полная система уравнений резистивной цепи Зачастую нас интересует режим постоянного тока резистивных цепей, поэтому перейдем к обозначениям постоянных токов и напряжений. Строго говоря, применительно к системе кровообращения, и давление в различных Алгебраическая сумма токов ветвей в любом узле цепи равна фрагментах системы, и ток крови в системе являются функциями времени.

Однако, например, МОК является уже неким результатом усреднения, и, слеэтому узлу.

довательно, давление в системе кровообращения также должно быть приведено к этому временнму масштабу. Таким образом, оперируя со средними Или же:

значениями, можно считать, что они неизменны на интервале их регистрации и принятия решений о состоянии пациента. Такой подход применялся другиТаким образом, если заданы все параметры резистивной цепи – Алгебраическая сумма токов ветвей в любом сечении цепи равна алгебраической сумме токов источников токов, ассоциированных с Алгебраическая сумма напряжений (на резисторах) в любом контуре цепи равна алгебраической сумме источников э.д.с. в этом контуре.

С учетом сказанного объединим теперь записи матричных уравнений по зистивной цепи.

Оценим параметры этой системы алгебраических уравнений – количест- Теперь полная система уравнений предстанет в виде:

во переменных, количество уравнений и независимость уравнений. Если в цепи p ветвей и q узлов, то число неизвестных, входящих в систему, равно 2p (p токов и p напряжений). С другой стороны, общее количество уравнений складывается из (q – 1) уравнений (7.21) по I закону Кирхгофа, закону Ома. Таким образом, количество уравнений равно 2p, т.е. количеству неизвестных.

Для однозначной разрешимости этой системы относительно всех переменных необходимо также убедиться, что все уравнения в совокупности независимы друг от друга. Это нетрудно показать. Действительно, в системе Однако полная система уравнений используется обычно как безукоризуравнений (7.21) по I закону Кирхгофа уравнения независимы между собой, ненное теоретическое описание процессов в цепи и практически никогда она т.к. сокращенная матрица инциденций имеет ранг (q – 1); в системе уравне- не используется для реальных расчетов. Дело в том, что трудоемкость обраний (7.22) по II закону Кирхгофа уравнения независимы между собой, т.к. щения матриц очень быстро возрастает с возрастанием размера матриц, что используемая нами контурная матрица имеет ранг (p – q + 1), а уравнения оказывается неприемлемым, т.к. количество необходимых арифметических (7.23) по закону Ома независимы, поскольку записаны для всех (разных) ре- операций увеличивается со скоростью порядка n3, где n – размер матрицы.

зисторов по отдельности. Окончательно, подсистемы (7.21, 7.22, 7.23) между Обычно для расчета цепи преобразовывают матричные уравнения, упсобой по блокам независимы, поскольку в первую из них входят только токи, рощая их по возможности, или (и) преобразовывают саму цепь. Такие преобво вторую – только напряжения, в третью – пары соответствующих токов и разования приводят к удобным методам расчета цепей.

напряжений на резисторах, причем только здесь присутствуют значения со- Элементарное (и полезное нам в дальнейшем) преобразование заключапротивлений самих резисторов. ется в подстановке выражения закона Ома в законы Кирхгофа. Первый вариант – подстановка выражения тока через напряжение в выражение по I закону Введя обозначение Кирхгофа, избавляясь от токов как переменных:

второй вариант – подстановка выражения напряжения через ток в выражение по II закону Кирхгофа, оставляя в качестве переменных только токи: которое формально соответствует фрагменту схемы в правой части рисунка.

изменится. Именно в этом смысле мы будем говорить далее об «эквивалентТаким образом, и система (7.25, 7.26), и система (7.27, 7.28) теперь именых преобразованиях», когда при замене части цепи на эквивалентную реют только по p переменных каждая; они и могут решаться независимо друг Рассмотрим простые преобразования фрагментов цепей. Под последовательным соединением элементов понимается такое их соединение, при котором по ним протекает один и тот же ток (на рис. 7.18 слева изображены последовательно соединенные резисторы). Иначе говоря, в точках соединения пары последовательно соединенных элементов не должно быть разветвлений.

Может оказаться, что в различных элементах токи обозначены номерами элементов и внешне записаны по-разному, но они равны друг другу на основании I закона Кирхгофа в точках соединения.

Рис. 7.18. Последовательное соединение резисторов Из II закона Кирхгофа (для контура aR1R 2…R nba) следует, что Uab = U1 + U2 +…+ Un = I R1 + I R 2 +…+ I Rn = I (R1 + R 2 +…+ R n). соединением понимается присоединение элементов к одной и той же паре точек схемы. При этом параллельно соединенные элементы оказываются под одним и тем же напряжением, как показано на рис. 7.20, a. Здесь удобно оперировать не с сопротивлениями R, как параметрами резисторов, а с обратными величинами – проводимостями G.

Введя обозначение:

получим выражение которое формально соответствует фрагменту схемы, изображенному на рис.

7.20, b. Поэтому при параллельном соединении резисторов их можно замеНапомним, что точка (U0, 0) характеризует холостой ход (разрыв цепи) нить одним эквивалентным, проводимость которого равна сумме проводимоисточника, а точка (0, I0) – короткое замыкание его выводов. Можно форстей заменяемых резисторов. При этом следует заметить, что в исходной димостям этих резисторов.

Рассмотрев параллельно соединенные несколько источников тока, полуU = U0 – I k tg = U0 – I R0. (7.29) чим, что их можно заменить эквивалентным, ток которого будет равен алгебраической сумме исходных источников тока (рис. 7.21).

Анализируя последнее выражение, можно заметить, что общее (реаль- Таким образом, можно сделать важные выводы.

членов. При этом один член – напряжение, не зависящее от тока, а другой член – напряжение, пропорциональное току. Теперь вспомним, во-первых, что напряжения суммируются при последовательном соединении элементов, во-вторых, что идеальный источник э.д.с. имеет напряжение, не зависящее от тока, и, в-третьих, что напряжение на резисторе пропорционально току. Эти стор R0 называют внутренним сопротивлением источника.

С другой стороны, так же формально можно записать уравнение ВАХ реE = J R, ального источника как уравнение наклонной прямой, проходящей через точку (0, I0):

Здесь Аналогичный анализ показывает, что ток реального источника (рис. 7.23, a) является суммой двух членов, причем один член – ток, не зависящий от напряжения, а, а другой член – ток, пропорциональный напряжеПри анализе формального описания реального источника мы не касались нию. Здесь вспомним, во-первых, что токи суммируются при параллельном на, и связана с электрофизическими, электрохимическими и другими процесне зависящий от напряжения, и, в-третьих, что ток резистора пропорционасами, о которых мы ничего не узнаем, если будем изучать лишь ВАХ относилен напряжению. Эти доводы приводят к эквивалентной схеме, изображентельно внешних зажимов. Приходится констатировать, что параметры R0, G0, ной на рис. 7.23, c. Резистор G0 называют внутренней проводимостью источI0, U0 – не более чем некоторые константы, которые по отдельности могут не ника.

Рис. 7.23. Представления реального источника схемами замещения 7.5.4. Расчет сложных последовательно-параллельных цепей Рассмотренные выше простейшие преобразования цепей позволяют последовательно упрощать сложную цепь. Особенно эффективны такие упрощения, если вся цепь состоит исключительно из ветвей, соединенных последовательно-параллельно. Здесь имеется в виду, что упрощение цепи возможно с помощью поэтапных последовательно-параллельных преобразований.

Самым простым примером может служить кровообращение любого отдельно взятого органа или его части. При этом цепь циркуляции крови артерия артериолы капилляры – венулы – вена (рис. 7.24, a) можно заменить одним резистором (рис. 7.24, b), результирующее сопротивление которого можно просто рассчитать при известных сопротивлениях составляющих его элементов.

Рис. 7.24. Цепь циркуляции крови (a) и схема замещения (b) Проведем анализ схемы кровоснабжения мозга, приведенной выше (рис. выявляется параллельное соединение этого элемента Rэ2 с элементом R8;

7.15). Для удобства эту схему изобразим в виде, показанном на рис. 7.25. проводимости этих элементов должны быть сложены для получения На схеме обозначены порядковые номера сопротивлений участков схе- следующего промежуточного результата и т.д. Приведем последовательность мы, обозначен интересующий нас кровоток мозга I1 а также левое и правое расчетов параметров эквивалентных замен элементов вплоть до объединения сердце как источники э.д.с. Е1 и Е2. Особую важность для предстоящего рас- в единый эквивалентный элемент Rэ7 множества ветвей {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, чета представляет обозначенная пара точек схемы a и b. Как только удастся 12}:

найти напряжение Uab, искомый ток элементарно вычисляется по закону Ома:

Rэ7 в виде цепной дроби:

В результате сворачивания правой части схемы получим схему в виде, пассивных элементов. Кроме того, методы преобразований требуют индивиизображенном на рис. 7.26. дуального специального анализа схемы соединения элементов. В теории цепей разработаны универсальные методы, не зависящие от количества, вида Кирхгофа. Идея метода заключается в том, что в качестве независимых переменных вводятся потенциалы узлов (всех, кроме одного базисного). Напряжения ветвей выражаются в виде разностей потенциалов соответствующих узлов. При этом уравнения автоматически соответствуют II закону Рис. 7.26. Этап упрощения схемы кровоснабжения головного мозга менты Rэ1 и Rэ7 заменим одним Rэ8, и схема предельно упрощается Ясно, что информация о связи напряжений и потенциалов заключается в (рис. 7.27). Единственный (в последней схеме) ток I4 получим по закону Ома: матрице инциденций. Имеет место соотношение:

Рис. 7.27. Упрощенная схема кровоснабжения головного мозга (рис. 7.9). За базисный узел примем узел d. Источники э.д.с. преобразуем в Обратим внимание на то, что при преобразованиях остались неизменными точки a и b, так что напряжение uab просто вычисляется:

Рис. 7.28. Схема к расчету методом узловых потенциалов паре узлов. Заметим, что 7 ветвь здесь состоит из одного источника J7, а Векторы напряжений и узловых потенциалов:

Теперь выражение (7.31) примет конкретный вид:

Далее подставляем (7.31) в (7.25):

Произведение матриц A G AТ имеет физическую размерность проводимости; ее называют матрицей узловых проводимостей:

она имеет специфическую симметричную структуру, которую поясним на 1. Рассчитав собственные и взаимные проводимости узлов, составляем рассматриваемом примере. Если произвести умножения, то здесь получим: из них матрицу узловых проводимостей Gу.

узловые токи и составляем из них вектор узловых источников тока ры, то целесообразно каждую такую последовательную цепочку кровоснабжения мозга методом узловых потенциалов. С целью упрощения со схемой на рис. 7.25 произведем некоторые простейшие преобразования (рис. 7.29). Во-первых, просуммируем источники э.д.с. и преобразуем резульВектор узловых токов равен:

тирующий источник в источник тока J; далее, просуммируем последовательно соединенные сопротивления R1, R2, R3, оставив, для простоты, индекс «1»

эквивалентному резистору; аналогично поступим с сопротивлениями R9, R11, Jу = col (Ja, Jb, Jc, Jd) = col (J, -J, 0, 0).

оставив эквивалентному элементу индекс «9». Обозначим узлы получившейся схемы – к ранее обозначенным узлам a и b добавим обозначения узлов c, d, Решение для потенциалов узлов получим в виде (7.34), вычислив обратe. Здесь же уместно заметить, что, например, узел a как место соединения ную матрицу Gу–1:

нескольких ветвей заключен внутри области, обозначенной на рис. 7.29 пунктиром. Аналогичным образом можно было бы отметить остальные узлы. В качестве базисного узла выберем, например, узел e.

Рис. 7.29. Схема к расчету кровоснабжения мозга методом узловых потенциалов b, c, d. Тогда для этой схемы можно составить матрицу узловых проводимооказаться проще, чем учет всех источников вместе взятых, существует возстей типа (7.33):

ком-либо (пассивном) элементе или напряжение на этом элементе в процессе расчетов становится известным. Тогда, исходя из законов Кирхгофа, этот член в соответствующем уравнении можно перенести в правую часть. С точки зрения теории цепей, указанный элемент заменяется известным источниВ общем случае электрическая цепь или цепь иного вида содержит в себе ком тока или источником э.д.с. Таким образом, любой пассивный элемент, режим которого известен, можно удалить из цепи, заменив его соответстэнергию при протекании по ним тока, но и реактивные элементы – индуктиввующим источником тока или э.д.с.

ности и конденсаторы. Эти элементы обладают способностью запасать энергию (выражения 7.14, 7.15), и поэтому мгновенное изменение энергетического состояния таких элементов невозможно. Распределение энергии, запасенной цепью в виде электрического и магнитного полей, задается напряжениями на конденсаторах uC и токами в индуктивностях iL, производные которых Рис. 8.1. Простая R L C цепь к примеру анализа переходного процесса то интегродифференциальное уравнение, записанное по II закону Кирхгофа, Для решения дифференциального уравнения необходимо также задать начальные условия. С точки зрения формальной математики следует задать значения переменной и достаточного числа ее производных в момент начала процесса, (обычно при t = 0). Поскольку уравнение (8.2) второго порядка, то необходимо задать два начальных условия i(0) и (0). В задачах анализа цепей удобно (и достаточно) знать значения напряжений на конденсаторах uC(0) и токов в индуктивностях iL(0) в момент начала рассчитываемого процесса.

Как известно, общее решение такого уравнения складывается из общего решения однородного уравнения, не зависящего от правой части и частного решения неоднородного уравнения, имеющего, как правило, такой же вид, Рассмотрим применение изложенных принципов на простых примерах.

как правая часть уравнения.

Частное решение выражает принужденный, или установившийся, режим работы цепи. К примеру, если э.д.с. – постоянная, то и принужденный режим является режимом постоянного тока, и эта часть задачи сводится к расчету резистивной цепи, как изложено выше в разделе 7.5. Если переменная э.д.с.

представляет собой переменный синусоидальный ток.

Рис. 8.2. Простая цепь к примеру анализа заряда конденсатора Убрав из (8.1), часть, касающуюся индуктивности, получим:

Учитывая, что:

подставив в (8.4), получим исходное дифференциальное уравнение:

Общий вид решения предстанет в виде:

Правая часть неоднородного уравнения представляет собой постоянную э.д.с., поэтому принужденная составляющая решения представляет собой режиме полного заряда. Ясно, что конденсатор зарядится до величины э.д.с.:

Свободную составляющую ищем в виде:

uCсв(t) = Aept, составляющую, потому что его установившееся значение равно нулю. Скорость изменения экспоненты зависит от постоянной времени. На графике водимости G = 1/R. Можно также по аналогии говорить о тепловом сопротивлении RT = 1/GT.

затухающей экспоненты ее можно показать как подкасательную свободного тока. Принято считать, что переходный процесс заканчивается за время (3…4); при этом величина свободной составляющей процесса отличается от нуля не более чем на (1…3)% от своего начального значения.

Рис. 8.3. Кривые изменения напряжения и тока заряда конденсатора 8.4. Теплообмен физического тела с окружающей средой Рассмотрим задачу теплообмена физического тела с окружающей средой. виде, совершенно аналогичном уравнению заряда конденсатора (8.5):

Эта задача является задачей расчета переходного процесса, когда необходимо ет процесс.

Пусть физическое тело, имеющее начальную температуру Т0, погружено неизменна. Теплоемкость тела обозначим через С, тепловой поток через Q, теплопроводность – через GT. Запишем выражение для теплового потока, пропорционального теплопроводности и разности температур тела и окружающей среды:

здесь Т – текущее значение температуры тела.

Выражение (8.8) – аналог закона Ома, если Т – аналог потенциала (на Рис. 8.5. Эквивалентная схема теплообмена физического тела с окружающей средой рис. 8.4 формально отмечена некоторая точка нулевого потенциала, от которой производится измерение температуры), а GT – аналог электрической проТеперь можно воспользоваться полученными ранее результатами Теперь составим эквивалентную схему замещения, изображенную на рис.

здесь = RTC – постоянная времени процесса.

8.5. Примеры построения эквивалентных схем теплопереноса Рис. 8.7. Эквивалентная схема тела пациента в ванне Особенность этой задачи состоит в том, что температуру установившегоКак следует из изложенного в предыдущем разделе, при формулировке ся процесса еще следует рассчитать. Установившийся процесс по своему опзадач теплопереноса появляется возможность оперировать схемами замеще- ределению характеризуется тем, что температура тела оказывается постоянния, которые опираются на теорию цепей. Рассмотрим несколько характер- ной, следовательно, не происходит теплообмена с другими телами или среных примеров. дами:

Ниже под источником тепла будут подразумеваться:

либо среды (тела), температуры которых постоянны или поддержиdT вается постоянными (аналоги источников э.д.с.), либо среды (тела), отдающие постоянные (или известные) тепловые потоки (аналоги источников тока).

8.5.1. Теплообмен физического тела, связанного с несколькими Представим себе тело пациента в ванне, которое частично погружено в воду и частично контактирует с окружающим воздухом. Пациента во время ОУГ в простейшем случае можно рассматривать как простое физическое тело, обладающее теплоемкостью С, и имеющее первоначальную температуру T0. Считается, что температура воды в ванне неизменна и равна Tв, температура воздуха также задана и равна Tа.

Заданы также теплопроводности (тепловые сопротивления) между телом и водой R1 = 1/G1 и между телом и воздухом R2 = 1/G2.

Рис. 8.6. Тело пациента в ванне Здесь – постоянная времени, которая может быть найдена из характеристического уравнения, ассоциированного с дифференциальным уравнением цепи. Уравнения цепи составляются на основе законов Кирхгофа.

Предоставляем читателю самостоятельно составить уравнения по законам Кирхгофа и привести их к единственному дифференциальному уравнению, исключив все переменные, кроме температуры пациента Т.

Здесь же заметим, что анализируемая цепь может быть преобразована к виду, изображенному на рис. 8.5. При этом окажется, что соответствующие параметры задач можно приравнять:

Для этого можно применить различные методы преобразования резистивной цепи с источниками, изложенные выше в разделе 7.5.

Приведем теперь выражение для постоянной времени цепи: Для расчета переходного процесса изменения температуры составного T(0) = T0:

так что окончательно получим:

вместе они погружены в среду с постоянной температурой Те, как показано на рис. 8.9. Начальные температуры фрагментов тела Т01 и Т02, а также их так что если составить дифференциальное уравнение, то окажется, что оно имеет второй порядок. Таким образом, решение характеристического уравнения даст два корня – p1 и p2.

Свободная составляющая любой переменной задачи будет иметь вид:

и постоянные интегрирования А1 и А2 необходимо будет рассчитывать на основе начальных условий Т01 и Т02.

Построение эквивалентной сложной схемы теплопереноса в методичебаланса тепловых потоков в узле k по 1 закону Кирхгофа запишется в виде:

ском смысле аналогично предыдущим построениям. Задача анализа теплопереноса сводится к расчету температур элементов как функций времени.

Пусть имеется n элементов, каждый k-й элемент характеризуется тепло- Qk = Ck = Gk (Tek Tk ) + Gkv1 (Tv1 Tk ) + Gkv 2 (Tv 2 Tk ) + J k.

емкостью Сk, параметрами режима – температурой Tk, и потоком тепла Qk, (k = 1, …, n).

Элементы имеют произвольную систему тепловых контактов между соCk – теплоемкость элемента k, бой. Теплоперенос между парой элементов k и v характеризуется теплопроTk, Tv1, Tv2 – температуры элементов с номерами k, v1, v2, соответственно, водностью Gkv (k, v = 1, …, n).

В качестве активных элементов рассматриваются элементы двух видов – которую погружен пациент или окружающего воздуха) и источники теплового потока Jk (например, моделирующие отток или приток тепла за счет дыха- После элементарных преобразований получим выражение:

ния). Источники заданной температуры на схеме будем изображать аналогично источникам э.д.с., источники теплового потока – аналогично источни- dTk кам тока.

Узлам тепловой схемы замещения соответствуют точки (элементы, в случае нагрева пациента – органы), характеризующиеся некоторой темпераВыражение (8.13) имеет ясно выраженную структуру. Коэффициенты турой. Кроме того, в качестве отдельного узла добавляется внешняя среда – виртуальная точка отсчета температур с нулевым потенциалом. Ветвями схеузловых проводимостей (7.33). Это не случайность; уравнение (8.13) сомы замещения являются пути теплопереноса.

здесь T = col {T1, …, Tn} – матрица – столбец температур элементов, G = {Gkv} – матрица узловых теплопроводностей размера n n, J = col {J1, …, Jn}, – матрица – столбец узловых источников тепла, отражающая нагрев элементов от сторонних источников тела водой (и, возможно, охлаждение его окружающим воздухом).

К дифференциальному уравнению (8.14) необходимо добавить начальные условия – значения температур элементов при t = 0. Обычно дифференциальные уравнения порядка выше второго решаются с помощью ЭВМ. Вид системы дифференциальных уравнений, разрешенных относительно первых производных (8.14), называемый представлением системы дифференциальРис. 8.13. Эквивалентная тепловая схема замещения сложной модели теплопереноса ных уравнений в форме Коши, вполне удобен для использования в соответстпри ОУГ вующих компьютерных программах.

8.7. Пример представления сложной модели теплопереноса данной модели:

щей средой. Первый канал – это нагрев кожных покровов части тела, погруdT2 «внешней» части тела, не погруженной в воду, воздухом имеющим температуру Tа. Третий канал – теплообмен дыханием, имеющим температуру легких dT3 Tл; считаем, что при этом тело отдает тепловой поток J.

Рис. 8.12. Построение сложной модели теплопереноса при ОУГ образом, они вбирают в себя часть объективной сложности задачи моделирования процессов, которая не поддается интуитивной оценке. 9. Требования к системной модели ОУГ Реальные процессы в организме во время ОУГ (да и в обычных условиях) значительно сложнее представленных линейных моделей. Однако эти модели Трудности моделирования реальных процессов можно условно разбить на следующие группы.

• Проблема наличия исходной информации, необходимой для попредпроцедурного обследования.

строения модели. Здесь, к примеру, можно упомянуть о сопротивлеСопровождение процесса ОУГ в реальном времени, уточнение параниях элементов (органов) в задаче расчета кровообращения. Такую задачу достаточно большой размерности просто сформулировать и решить, если известны все сопротивления для конкретного пациента.

приемлемого размера. Аналогичная проблема в задаче теплопереноСбор и первичную обработку информации о параметрах ОУГ с цеса связана, например, с распределением жировых отложений в органах и влиянием последних на теплопроводности между органами. лью клинического и научного обобщения.

• Вторая группа связана с нелинейностью характеристик элементов Модель должна опираться на современные методы медицинского обслемоделей. В более общей формулировке – с зависимостью параметров дования и диагностики пациента, и удовлетворять следующим требованиям:

моделей от режимов – от температур органов, кровотоков и т.п. Иметь в основе реальные биометрические данные о пациенте.

• Наконец, параметры элементов моделей могут зависеть как от пато- Использовать достоверные обобщенные математические модели об логических изменений в организме и возникновении при этом иных основных биофизических (физиологических) процессах в организме патофизиологических механизмов (например, снижении сердечного во время ОУГ.

выброса при опухолевой интоксикации), так и от внешних воздейстОпираться на банк данных реальных процедур ОУГ.

вий – например, от применяемых медикаментов.

отражающие специфические особенности анализируемой задачи.

В главах 9 и 11 представлено дальнейшее развитие этих подходов.

Поскольку управляемая гипертермия применяется достаточно продолжительное время для лечения, например, онкологических заболеваний, вопросы математического моделирования процессов теплопереноса в организме пациента привлекали и привлекают к себе внимание специалистов.Так, в работе З.П. Шульмана [1996] дан обзор моделей, применявшихся при решении задач ОУГ. Отмечается, что основные модели, как правило, имеют иерархическую двухуровневую структуру. На первом уровне применяется так называемый компартментный подход, на втором уровне – модель с распределенными параметрами. Компартментный подход базируется на мысленном разделении человеческого тела на секции с использованием интегральных балансов тепла, массы, импульса для каждой секции (компартмента). Секции разбиваются на индивидуальные, как правило, цилиндрические, слои (субкомпартменты), обычно числом от 2 до 6. Для каждого слоя (кожа, жир, мышцы, кость, опухоль, крупные кровеносные сосуды) предполагаются пространственные постоянство и непрерывность всех свойств и параметров.

Типичные виды разъединения тела пациента на компартменты приведены на рис. 10.1.

Рис. 10.1. Компартментные тепловые модели человека: a - Хакаба и Там, 1980, b – Шитцер, 1976, c – схема компартмента (изображено по З.П. Шульману, 1996) На рис. 10.1, а, схематически представлена плоская модель Хакабы и Тама, состоящая из 11 компартментов одного сферического и 10 цилиндрических. Парные конечности в данной модели представлены одиночными: голова, шея, предплечья, кисть, рука, пальцы, грудь, живот, бедро, голень, стопа.

К ним добавлен отдельный самостоятельный компартмент депо крови. В Рис. 10.3. Тепловой баланс центрального депо крови модели рассматриваются субкомпартменты: кожа, жир, мышцы, центральная После подстановки материальных свойств, параметров, характеристик логических параметров – метаболизма и сердечного выброса крови от возэта система из 45 дифференциальных уравнений решается численно. В ре- раста пациента. Так подсчитываются базисные характеристики (перфузионзультате определяются пространственно-временные эволюции температур- ные и метаболистические) для всех субкомпартментов. Модель Шитцера доных полей в человеческом теле при общей и регионарной гипертермии. вольно сложна, громоздка и требует очень большого количества разнообразВ работах A. Shitzer и M.K. Kleiner [1976, 1980] дано развитие и усовер- ной входной информации.

шенствование модели ОГТ в виде 14-компартментной осесимметричной мо- Оценим применимость описанных моделей к решению реальных задач дели (рис. 10.1, b). Важным достоинством такой модели, по мнению авторов, ОУГ. Общий принцип разделения сложной (или очень сложной) задачи на считается более строгий анализ геометрии температурных полей в субком- подзадачи и решение этих подзадач с последующим согласованием их решепартментах в радиальном и азимутальном направлениях. ний абсолютно правомерен и единственно возможен. Более того, даже активТем самым авторы ориентируются на учет асимметрии внешних воздей- ное применение современной вычислительной техники не является панацеей.

ствий со стороны окружающей среды или источника электромагнитного из- Однако прямолинейное использование ее возможностей без продуманной лучения. Модель Шитцера включает в тепловые балансы, в упрощенном ви- системной организации процесса решения не дает обычно желаемого резульде, переменность температуры крупных кровеносных сосудов: учтен тепло- тата. Перечисленные модели весьма уязвимы для критики.

обмен между артериями и венами, а также тепловое взаимодействие крупных Во-первых, бросается в глаза механистический подход к моделированию крупные русла, где артерии и вены в противотоке обмениваются теплом друг Например, в данных моделях невозможно учитывать теплопотери при дыхас другом и окружающими их биотканями – преимущественно мышечными. нии, а также рассматривать принципиальные различия кровообращения в Вторая включает мелкие капиллярные сосуды, где течение крови намного разных органах (сравним, например, кровообращение легких, кишечника и Для каждого i – го субкомпартмента (слоя, общее число которых 52) Во-вторых, для решения задачи оказывается необходимым решать сисприменяется модель с распределенными параметрами; записывается уравне- тему дифференциальных уравнений типа (1) (например, 44 или 52 уравнение теплопереноса в частных производных вида: ния), в каждое из которых входит по 2 частных производных 2-го порядка по Не вдаваясь в подробности, опишем содержательную составляющую части тела пациента цилиндрическим объемом. Так, к примеру, локтевой этой формулы. Здесь температура Ti(t,, r) зависит времени, азимута и ра- компартмент взрослого человека может иметь следующие характерные фордиуса, и, следовательно, неявно подразумевается, что она не зависит от про- мы и размеры: около запястья – в сечении примерно эллиптическую форму дольной координаты компартмента. Кроме собственно дифференциальной по осям 46 см, в районе локтя – 710 см. С очевидностью проявляется почасти уравнение учитывает теплоперенос за счет метаболизма, внешнюю грешность моделирования этого компартмента в виде кругового цилиндра.

теплоотдачу, теплоту потоотделения и теплообмен кровотоком. Погрешность в размерах моделирования такого эллипса окружностью (асимВ подходе Шитцера используются базовые параметры, которые находятметрия в азимутальном направлении) – до 50%, изменение площади поперечся численным решением начальной псевдостационарной задачи в отсутствие ного сечения (отклонение от цилиндра по высоте) – трехкратная. Если аналигипертермии, потения и при выключенной терморегуляторной системе. При зировать это соответствие по слоям, то, к примеру, для мышечных тканей, этом как базисные используются известные зависимости измеренных физиоуказанная погрешность может оказаться еще более высокой. Здесь мы даже Далее, пренебрежение расчетом распределения температуры по третьей координате (z в цилиндрической системе координат) – высоте цилиндра, уча- 11.1. Взаимосвязь моделей кровообращения стие которой в уравнениях распределения тепла субкомпартмента даже не обсуждается, вызывает недоумение. Указывается, что реализуется термическое взаимодействие (сопряженность) соседних (контактирующих) компарНа наш взгляд, рассматривая процессы теплопереноса во время ОУГ нетментов, но тогда приходится признавать различие температур на различных основаниях цилиндров – компартментов, а, следовательно, зависимость темI. Теплоперенос осуществляется двумя путями: непосредственно от ператур от третьей координаты z. Некоторые очевидные для авторов моделей неувязки они пытаются компенсировать дополнительными соотношениями между параметрами, однако на фоне «грубости» первоначальной аппроксипорций крови из венозных синусов кожи с более холодными фракмации фрагментов тела пациента привлечение на дальнейших этапах диффециями, а артериальная кровь переносит тепло в органы.

ренциальных уравнений в частных производных и их «точных» решений «компартментного» анализа процессов при ОУГ представляется тупиковым.

оценки некоторых вариантов процессов гипертермии. Если же ориентироочередь гемодинамику.

ваться на моделирование процесса нагрева пациента в реальном масштабе цедуру ОУГ, то здесь необходимо применять более сбалансированный сиснагрева и, следовательно, температуру каждого органа, в первую очередь темный подход. На наш взгляд, подход, направленный на разработку модеявляется МОК, а также различные теплоемкости тканей и разные массы орлей, должен гармонично использовать как наши знания о процессах ОУГ, так Этим требованиям отвечает разработанная авторами системная модель ОУГ.

Для эффективного решения клинических задач ОУГ представляет интерес температура и МОК каждого органа. Фактически необходимо рассматривать две взаимосвязанные модели более низкого уровня: гемодинамический режим элемента характеризуется средним артериальным давлением САД (или падением артериального давления) и МОК, а тепловой режим работы элементов характеризуется их температурой и потоком тепла. Взаимосвязь моделей теплопереноса и кровообращения представлена на рис. 11.1.

11.2.1. Полная схема системы кровообращения человека при ОУГ Идея построения резистивной модели кровообращения не нова. Первая резистивная модель сердечно-сосудистой системы создана Янгом и Пуазейлем еще в XIX веке. Основные подходы к моделированию системы кровообращения в виде резистивной цепи на примере кровоснабжения головного мозга рассмотрены выше (разд. 7.4.5, рис 7.14 и 7.15). При построении этой модели рассматривались органы, участвующие в доставке головному мозгу основных нутриентов. В принципе, степень детализации объектов, представленных в виде резисторов (рис. 7.24), определяется поставленными целями и задачами.

По аналогии можно составить полную схему системы кровообращения человека при ОУГ. Исходя из поставленных задач, основными элементами схемы кровообращения в данной модели необходимо считать отдельные органы, которые характеризуются единственным значением температуры и единственным значением МОК через орган. Если различные фрагменты органа имеют существенно отличающуюся температуру (например, нагреваемые и ненагреваемые фрагменты кожи) или различное кровоснабжение (например, кровеносные сосуды с разветвлениями), то элементами схемы кровообращения будем считать соответствующие фрагменты этих органов с единственными значениями температуры и кровотока. Полная схема системы кровообращения человека при ОУГ представлена на рис. 11.2.

Здесь изображены n = 42 пассивных элемента, два активных элемента (правое и левое сердце), соединенных с помощью q = 32 узлов, пронумерованных на схеме 0…31. Эту схему можно также представить в табличной форме – прототипе матрицы инциденций (табл. 11.1) Фрагмент табличной формы представления полной схемы кровообращения 13, 15, 17, 24 и 27):

Более подробную схему с точки зрения поставленных задач, на наш взгляд, составлять не имеет смысла. При этом у клиницистов могут возникуказаны кровотоки и сопротивления некоторых органов [Шошенко, 1975;

нуть закономерные вопросы, например, почему кожа на четырех конечностях человека, кровоснабжение которой происходит с помощью различных артесердечно-сосудистой системы в процессе ОУГ характеризуется выраженной риальных ветвей, рассматривается как один элемент. В данной модели такие фрагменты рассматриваются как параллельные идентичные ветви, упрощенпоказаны данные при максимальном увеличении диаметра сосудов. Кровотоные в соответствии с основными принципами теории цепей (разд. 7.5). При наличии достаточных оснований эти фрагменты можно рассматривать по отдельности.

Расчет этой схемы не представляет проблем, например, методом узловых потенциалов при минимальных элементарных преобразованиях. Так, к примеру, при построении матрицы узловых проводимостей вида (7.33) в строке, соответствующей 14 узлу, будет всего 5 ненулевых элементов Кровотоки и сопротивления некоторых органов закономерности изменения кожного кровотока в зависимости от температуры кишечный тракт соединительная тока всего тела при максимальной вазодилатации. Суммировав все значения столбца, можно получить нереальное значение в 43 л/мин. Практически у здорового чело- исследовании тканей производился подсчет количества гранул разного цвета века МОС при максимальной физической нагрузке не превышает 20 – 25 л/мин, а у на единицу массы ткани и, в соответствии с результатами подсчета, делались ослабленных больных, например, онкологического профиля, может быть еще меньше. выводы о кровотоке во время различных этапов процедуры ОУГ.

С другой стороны, несложные расчеты в соответствии с законом Ома показы- Увеличение минутного кровотока вследствие вазодилатации, происходит вают, что среднее артериальное давление при кровотоке 20 л/мин и суммарном сопараллельно с другим явлением – увеличением объема крови, находящегося в противлении (подсчитанное как сопротивление параллельных резисторов) составит кровотока от температуры хорошо изучены только для кожи в контексте исможет накапливать в венозных синусах, по разным сведениям, от 20% до 40% всего объема циркулирующей крови. В синусоидах печени человека, органа массой 1500 г, может накапливаться до 500 мл крови. Значительно варьировать количество крови может и в трабекулах селезенки. Хотя небольшая масса этого органа у человека не позволяет реально рассматривать селезенку как депо крови, вместе с тем, количество депонированной крови может влиять на скорость нагрева этого органа.

Аналогично модели кровообращения можно составить эквивалентную схему системы теплопереноса человека при ОУГ [Киншт Д.Н., Киншт Н.В., 2004]. Естественным условием является согласованность этой модели с эле- Рис. 11.4. Фрагмент эквивалентной схемы теплопереноса системной модели ОУГ ментами схемы кровообращения, поскольку распределение кровотоков опреТеплопроводности между элементами специально не обозначались, а исделяет в значительной мере процесс теплопереноса. Графическое изображеточники теплового потока (для краткости, как и прежде – «тока») имеют обоние полной схемы теплопереноса в организме человека при ОУГ может быть представлено аналогично рис. 11.2. Эта схема получается довольно громоздQ(Ihv) – источник тока, обусловленный оттоком Ihv венозной крови от кой, поскольку каждый элемент имеет тепловой контакт с несколькими сопечени, седними элементами. Кроме того, практически для каждого элемента (кроме Изобразим фрагмент такой схемы на рис. 11.4, включающий в себя в ка- Q(Igh) – источник тока, обусловленный притоком Iag венозной крови честве элементов венозный тракт, легкие и сердце как единый элемент, арте- желудка к печени.

риальный тракт, желудок и печень. Контактный теплоперенос между элемен- Ясно, что данные о кровотоках Ihv, Iah,, Iag, Igh получаются в результате тами отражается резистивными двухполюсниками – теплопроводностями, расчета модели кровообращения. Присоединения к остальной части полной теплоперенос кровотоком естественно отражается с помощью источников модели обозначены стрелками.

тока (потока тепла). Возвращаясь к графическому изображению полной тепловой схемы замещения, отметим, что фактически в нем нет особой необходимости. НапомНа обозначениях схемы применены индексы:

a – принадлежность артериальному тракту, v – принадлежность венозному тракту, h – принадлежность печени, p – принадлежность легким.

ренциальных уравнений (11.1) требует также задания начальных условий для объеме и являющейся неотъемлемой его частью:

температур всех рассматриваемых элементов. Обсудим некоторые вопросы водностей.

Элементы матрицы источников J отражают заданные источники теплогде ck – удельная теплоемкость тканей элемента (органа), вого потока. Для произвольного k-го узла (k-го элемента тепловой схемы заmk – масса тканей элемента, мещения) справедливо, что в его капилляры «принудительно» вводится тепmаk – масса капиллярной крови элемента.

ловой поток артериальной крови J k :

Аналогично с венозным кровотоком «принудительно» выводится теплообразом, в общем случае теплоемкость элементов может зависеть от их тепвой поток J k :

где Ivk – венозный кровоток k-го элемента, Tk – температура k-го элемента.

Наконец в тепловой схеме замещения могут быть отражены (внешние) источники температуры T0k (аналоги э.д.с), которые связаны с k-м элементом теплопроводностью Gk. Применив принципы преобразования источников, 1. головной мозг 7. подкожная клетчатка изложенные в (см. раздел 7.5.2, рис 7.23), можно преобразовать этот источлегкие 8. кожа ник в источник тока:

Таким образом, k –й элемент матрицы источников J получает вид:

Обратимся к вопросу о теплоемкостях элементов. Для любого k-го элеОриентировочно площади тепловых контактов между органами могут мента его теплоемкость складывается, по крайней мере, из двух компонентов – собственно теплоемкости его тканей и содержащейся в его капиллярах кроорганов Г (нумерация строк и столбцов соответствует приведенному перечуточнены, например, с помощью компьютерной томографии. Так, некоторые усредненные данные приведены ниже в таблице 11.4.

Площади тепловых контактов некоторых элементов (органов) модели теплопереноса ТеплоносиGik = Gik ;

Значение удельной теплопроводности gik должно определяться на основе определяющим перераспределение тепла в организме, является минутный Коэффициенты p и q индивидуальны для каждого пациента и, что важно, объем кровообращения. могут быть вычислены при температуре тела пациента ниже 41°C. ЗнаменаРегуляция кровотока в организме – очень сложный и до настоящего вре- тель выражения (11.10) определяет уменьшение частоты пульса при темперамени не до конца изученный процесс. Во время анестезии реакция организма турах выше 42°C. На рис. 11.5 показаны расчетные значения и реальные знана внешние воздействия изменяется. В то же время, в контексте прогноза чения пациента М. во время процедуры ОУГ. В исследуемой группе пациенскорости и степени нагрева органов, а также общего состояния пациента, тов расчетные значения частоты пульса отличались от реальных значений не необходимо искать закономерности изменения параметров гемодинамики во более чем на 15%.

время ОУГ. Как известно, МОС зависит от ЧСС и ударного объема сердца:

где v – объем кровообращения, V – ударный объем.

Наиболее вариабельный параметр гемодинамики – частота сердечных сокращений (ЧСС). Во время анестезии ЧСС зависит от исходного состояния организма, степени операционного стресса, вида анестезии, метаболических изменений. Считается, что при повышении температуры тела на 1°C ЧСС увеличивается на 10 ударов в минуту. Однако во время ОУГ, при температуре тела выше максимального физиологического уровня, а также в связи с проводимой анестезиологической защитой, проявляют себя другие закономерности динамики ЧСС.

С целью поиска закономерностей зависимости ЧСС от температуры тела при ОУГ высокого уровня проанализирована ЧСС у 23 пациентов-мужчин в возрасте 17…37 лет, не имевших исходной патологии сердечно-сосудистой системы и нарушений ритма во время проведения процедуры. Коэффициент корреляции между температурой тела и ЧСС в интервале температур тела от 36 до 41оC равен 0.96. При температуре свыше 42оC отмечено статистически значимое снижение ЧСС.

Найдено эмпирическое соотношение, определяющее зависимость ЧСС от температуры в интервале 36…44°C:

p – коэффициент регрессии, определяется выражением: объема V при экстремальных значениях температуры тела воспользуемся Как уже было отмечено (см. разд. 11.2.2), кровоток кожи в значительной тором C3. Распределение тепла током крови отражается источниками тока мере зависит от температуры и изменяется от 30 мл/мин/100 г до 150 тепла Q11 – теплоперенос от кожи крови и Q22 – теплоперенос от нагретой мл/мин/100 г в диапазоне температур от 34 до 45°C [Фолков, Нил, 1976]. Эти крови остальной части организма.

изменения опишем соотношением:

где b1 – доля кожного кровотока от МОС, T1 – температура кожи.

Ранее указывалось (см. разд. 11.2.2, 11.3), что скорость нагрева органа может существенно зависеть от объема крови, содержащегося в нем. В первую очередь это касается кожи, в сосудах которой может содержаться от 7 до 40% от общей массы крови в интервале температур от 34 до 46°C [Джонсон, 1982].

плопереноса (11.1) и нелинейных связей далее представим пример расчета нагрева организма пациента при проведении ОУГ.

Несколько видоизменив схему, изображенную на рис. 8. (см. разд. 8.7), представим эквивалентную схему процессов нагрева организQ11 и Q22 – суммарные потоки тепла.

ма при ОУГ в ванне с теплоносителем на рис. 11.6. Условно выделены три фрагмента организма: нагреваемая кожа (1), остальная часть организма, В свою очередь:

включая ненагреваемую часть кожи (2), и в качестве отдельного фрагмента выделена циркулирующая кровь (3).

имеющую общую теплоемкость C1. Сопротивление резистора G1 – это величина, обратная коэффициенту теплопроводности на границе двух сред (теплоноситель-кожа), и, как правило, определяется опытным путем [Физический энциклопедический словарь, 1984]. Тепло от нагретой кожи передается осC 2 (T ) = c2 m2 + c3 a 2 (T2 )m3 (11.16) тальной части организма (имеющей теплоемкость C2) через подкожноC (T ) = c (1 a (T ) a (T ))m, жировую клетчатку (G12) и с помощью кровотока (Q11 и Q22). В этой иллюстративной модели для простоты не разделены венозный и артериальный тракты, и процесс накопления тепла в циркулирующей крови отражен конденсагде a1 и a2 – кровенаполнение соответственно кожи и фрагмента 2, b1 – доля кровотока кожи от МОС, c1, c2 и c3 – удельная теплоемкость соответственно 1, 2 и 3 фрагментов, m1, m2 и m3 – собственная масса соответственно 1, 2 и 3 фрагментов, F – частота сердечных сокращений, V – ударный объем сердца.

Учтем следующие коэффициенты:

масса крови m3 равна 5 кг;

c1, c2 и c3 = const = 3600 Дж/(кгград).

С целью проверки верности выражений и уточнения коэффициентов теплопроводности на основе математического описания (11.10…11.16), проведено численное моделирование нагревания организма человека при проведении ОУГ в ванне с теплоносителем в среде Matlab, toolbox Simulink. Мы сознательно подробно не описываем представленную модель, считая, что читателю, знакомому со средой Matlab, представит определенный интерес самостоятельно разобраться в модели на рис. 11.7. Отметим, что в данной модели не учтена метаболическая теплопродукция, а также расход тепла на нагревание вводимых пациенту растворов. Результат моделирования – температуры кожи, остальной части организма и крови (Scope T1, T2, T3) представлен на рис. 11.8. Расчетные значения температур оказались бликзи к реальным, измеренным непосредственно во время проведения процедуры ОУГ.

Руководствуясь теми же принципами и положениями, изложенными в разделе 11.3, возможно дальнейшее усложнение схемы теплообмена при ОУГ, как, например, на рис. 11.9. На представленной схеме процессы нагрева кожи от теплоносителя аналогичны изображенным на рис. 11.6. Но, в отличие от предыдущего примера, из фрагмента 2 отдельно выделен фрагмент n.

В принципе, по аналогии можно отдельно выделить любое необходимое количество фрагментов. Для каждого фрагмента (фрагментов) должны быть известны: масса, удельная теплоемкость, а также кровенаполнение и доля кровотока от МОС и их зависимость от температуры.

Контактный теплоперенос между кожей и органами, а также между органами обозначен как G12, G1n и G2n. Наконец, в этой модели можно учесть контактный теплоперенос между кожей и поверхностно идущими кровеносными сосудами, обозначенный на схеме элементом G13, а также теплоперенос между крупными сосудами и внутренними органами G3n и G23.

Рис. 11.8. Результат моделирования процессов нагрева организма при ОУГ в ванне с теплоносителем в среде MatLab, toolbox Simulink.

Потоки тепла в каждом фрагменте можно подсчитать, используя (11.17):

Такая система уравнений может быть решена в числовом виде, например, в среде Matlab, по аналогии с рис. 11.7. Результатом решения этой системы могут быть температуры различных фрагментов в различные моменты времени. Также можно ставить и решать противоположные задачи – оценка кроКиншт Н.В., Киншт Д.Н. Математическое моделирование нагрева пациента при процедуре общей управляемой гипертермии // Докл. и тез. междунар. конф. «Инфокоммуникационные и Багаев С.Н., Захаров В.Н., Орлов В.А. Физические механизмы транспортных систем живого Киншт Н.В., Петрунько Н.Н., Цициашвили Г.Ш. О распознавании экстремальных объектов с организма: Препр. №1. Новосибирск, 1999. – 51 с. помощью интервальных решающих правил // Тр. Междунар. конф. по вычислительной математике МКВМ-2004, 2123 июня 2004г. Новосибирск, 2004. С. 225230.

Багаев С.Н., Захаров В.Н., Орлов В.А. Закономерности ветвления кровеносного русла: Препр.

Баллюзек Ф.В., Баллюзек М.Ф., Виленский В.И., Горелов С.И., Жигалов С.А., Иванов А.А., Левтов В.А., Регирер С.А., Шадрина Н.Х. Реология крови. – М.: Медицина, 1982. – 272 с.

Кузьмин С.Н., Определяков Г.А. Управляемая гипертермия. СПб.: Невский диалект, 2001. Леляк А.И., Горбатов А.Ф. Мистюрин Ю.Н. Родионов С.Ю. Пат. Российской Федерации Болотин Е.И., Цициашвили Г.Ш., Голычева И.В. Некоторые аспекты и перспективы факторного приоритетом от 20 мая 1996 г.

прогнозирования эпидемического проявления очагов клещевого энцефалита на основе мно- Леляк А.И., Горбатов А.Ф. Мистюрин Ю.Н. Родионов С.Ю. Пат. Российской Федерации гомерного анализа временных рядов // Паразитология. 2002. Т. 36. №2. № 2090163 «Устройство для проведения процедур общей управляемой гипертермии» с Бунатян А.А, Мещеряков А.В., Цибуляк В.Н. Атаралгезия. Будапешт: Медицина, 1983. Литвинов И.В. Выбор способа ИВЛ при общей управляемой гипертермии у онкологических Васильев С.В. Механизм кардиопротективного действия даларгина в неотложной анестезиоло- Меерсон Ф.З. Патогенез и предупреждение стрессорных и ишемических повреждений гии у больных с сопутствующей ишемической болезнью сердца: автореф. дис. … канд. мед. сердца. М.: Медицина, 1984. 269 с.

наук. Кемерово, 1993. – 22 с.

Верещагин Е.И., Ефремов А.В., Волков С.Г., Баковец В.В. Липидные метаболиты как факторы 396 с.

танатогенеза при гнойно-септических заболеваниях // Вестн. интенсивной терапии. 2003.



Pages:     | 1 || 3 |
 
Похожие работы:

«Н асел ени е К ы ргы зстана в начал е XXI века Под редакцией М. Б. Денисенко UNFPA Фонд ООН в области народонаселения в Кыргызской Республике Население Кыргызстана в начале XXI века Под редакцией М.Б. Денисенко Бишкек 2011 УДК 314 ББК 60.7 Н 31 Население Кыргызстана в начале XXI века Н 31. Под редакцией М.Б. Денисенко. - Б.: 2011. -.с. ISBN 978-9967-26-443-4 Предлагаемая вниманию читателей коллективная монография основана на результатах исследований, выполненных в рамках проекта Население...»

«Федеральная таможенная служба Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Российская таможенная академия Владивостокский филиал И.О. Сагитова Диаспорные общины Приморского края: история и современность Монография Владивосток 2007 УДК 39 ББК 63.5 (255) С13 Сагитова, И.О. Диаспорные общины Приморского края: история и современность : монография / И.О. Сагитова ; Российская таможенная академия, Владивостокский филиал. – Владивосток : ВФ РТА, 2007. – 168 с. ISBN...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТОРГОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Омский институт (филиал) ЛЕВОЧКИНА НАТАЛЬЯ АЛЕКСЕЕВНА РЕСУРСЫ РЕГИОНАЛЬНОГО ТУРИЗМА: СТРУКТУРА, ВИДЫ И ОСОБЕННОСТИ УПРАВЛЕНИЯ Монография Омск 2013 УДК 379.83:332 ББК 65.04:75,8 Л 36 Рецензенты: доктор экономических наук, профессор С.М. Хаирова доктор экономических наук, профессор А. М. Попович...»

«М.А. Титок ПЛАЗМИДЫ ГРАМПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ БАКТЕРИЙ МИНСК БГУ 2004 УДК 575:579.852 М.А. Титок Плазмиды грамположительных бактерий.—Мн.: БГУ, 2004.— 130. ISBN 985-445-XXX-X. Монография посвящена рассмотрению вопросов, касающихся основных механизмов копирования плазмид грамположительных бактерий и возможности их использования при изучении репликативного аппарата клетки-хозяина, а также для создания на их основе векторов для молекулярного клонирования. Работа включает результаты исследований плазмид...»

«Негосударственное образовательное учреждение Камский институт гуманитарных и инженерных технологий А.В. Коробейников ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПО ДАННЫМ АРХЕОЛОГИИ Ижевск 2006 УДК 902.6 + 902.7 ББК 63.4 К 68 Под научной редакцией проректора по научной и инновационной деятельности НОУ КИГИТ канд. техн. наук, доц. Н.В. Митюкова Редактор и автор предисловия канд. истор. наук Д.А. Салангин Рецензенты: С.К. Белых, канд. ист. наук, доцент Института социальных коммуникаций Удмуртского госуниверситета...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ, СТАТИСТИКИ И ИНФОРМАТИКИ (МЭСИ) КАФЕДРА МИРОВОЙ ЭКОНОМИКИ И МЕЖДУНАРОДНЫХ ОТНОШЕНИЙ Липатов В.А. МЕХАНИЗМ СОГЛАСОВАНИЯ ИНТЕРЕСОВ ГОСУДАРСТВА И ПРЕДПРИНИМАТЕЛЕЙ ПРИ РАЗРАБОТКЕ И РЕАЛИЗАЦИИ ПРОМЫШЛЕННОЙ ПОЛИТИКИ (НА ПРИМЕРЕ ТРАНСНАЦИОНАЛЬНОЙ КОРПОРАЦИИ ОТРАСЛИ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО МАШИНОСТРОЕНИЯ) Монография Москва, 2012 УДК 399. ББК 65. Л Липатов В.А. МЕХАНИЗМ СОГЛАСОВАНИЯ ИНТЕРЕСОВ ГОСУДАРСТВА И...»

«Министерство образования Республики Беларусь УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ И.И.Веленто ПРОБЛЕМЫ МАКРОПРАВОВОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ОТНОШЕНИЙ СОБСТВЕННОСТИ В РЕСПУБЛИКЕ БЕЛАРУСЬ И РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Монография Гродно 2003 УДК 347.2/.3 ББК 67.623 В27 Рецензенты: канд. юрид. наук, доц. В.Н. Годунов; д-р юрид. наук, проф. М.Г. Пронина. Научный консультант д-р юрид. наук, проф. А.А.Головко. Рекомендовано Советом гуманитарного факультета ГрГУ им....»

«А.С. Тимощук ЭСТЕТИКА ВЕДИЙСКОЙ КУЛЬТУРЫ Монография Владимир 2003 УДК2 (075.8) ББК 86 Т 41 В текст монографии включена статья Проблемы интерпретации расы, написанная при участии Дворянова С.В. Тимощук А.С. Эстетика ведийской культуры: Монография. ВЮИ Минюста России. Владимир, 2003. 140 с. ISBN 5-93035-061-2 Предназначена для тех, кто интересуется эстетикой традиционного общества. В книге обсуждаются эстетические ориентиры классического ведийского общества и их модификация в региональной...»

«Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Департамент кадровой политики и образования Московский государственный агроинженерный университет им. В.П. Горячкина Волгоградский государственный университет Ю.А. КОЗЕНКО ФОРМИРОВАНИЕ МЕХАНИЗМА АНТИКРИЗИСНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПРЕДПРИЯТИЯМИ АПК Монография Волгоград 2002 УДК 631.152 ББК 67.621.144 К 59 Рецензенты: доктор экономических наук, профессор И.М. Шабунина; доктор экономических наук, профессор Р.П.Харебава. Научный консультант академик...»

«Институт биологии моря ДВО РАН В.В. Исаева, Ю.А. Каретин, А.В. Чернышев, Д.Ю. Шкуратов ФРАКТАЛЫ И ХАОС В БИОЛОГИЧЕСКОМ МОРФОГЕНЕЗЕ Владивосток 2004 2 ББК Монография состоит из двух частей, первая представляет собой адаптированное для биологов и иллюстрированное изложение основных идей нелинейной науки (нередко называемой синергетикой), включающее фрактальную геометрию, теории детерминированного (динамического) хаоса, бифуркаций и катастроф, а также теорию самоорганизации. Во второй части эти...»

«IМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА СПРАВОЧНО-БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ КАФЕДРА ФИЗИЧЕСКОГО ВОСПИТАНИЯ И СПОРТА ПЕДАГОГИКА ФИЗИЧЕСКОГО ВОСПИТАНИЯ И СПОРТИВНОЙ ТРЕНИРОВКИ (Аннотированный библиографический указатель литературы) Донецк-2010 1 УДК 37.091.33-027.22:796 П24 Педагогика физического воспитания и спортивной тренировки / сост.: Е.В. Дьяконенко; науч. ред.: А.Г. Рыбковский. - Донецк: ДонНУ, 2010. Составитель: Библиограф Дьяконенко...»

«В.Г. Матвейкин, В.А. Погонин, С.Б. Путин, С.А. Скворцов МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССОМ КОРОТКОЦИКЛОВОЙ АДСОРБЦИИ МОСКВА ИЗДАТЕЛЬСТВО МАШИНОСТРОЕНИЕ-1 2007 В.Г. Матвейкин, В.А. Погонин, С.Б. Путин, С.А. Скворцов МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССОМ КОРОТКОЦИКЛОВОЙ АДСОРБЦИИ МОСКВА ИЗДАТЕЛЬСТВО МАШИНОСТРОЕНИЕ-1 УДК 517. ББК 965+л11-1с116+В М Р е це н зе н т ы: Доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой Информационные процессы Тверского...»

«Межрегиональные исследования в общественных науках Министерство образования и науки Российской Федерации ИНОЦЕНТР (Информация. Наука. Образование) Институт имени Кеннана Центра Вудро Вильсона (США) Корпорация Карнеги в Нью-Йорке (США) Фонд Джона Д. и Кэтрин Т. МакАртуров (США) Данное издание осуществлено в рамках программы Межрегиональные исследования в общественных науках, реализуемой совместно Министерством образования и науки РФ, ИНОЦЕНТРом (Информация. Наука. Образование) и Институтом имени...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ И. Л. Коневиченко СТАНИЦА ЧЕСМЕНСКАЯ Монография Санкт-Петербург 2011 УДК 621.396.67 ББК 32.845 К78 Рецензенты доктор исторических наук, кандидат юридических наук, профессор В. А. Журавлев (Санкт-Петербургский филиал Академии правосудия Минюста Российской...»

«Н.Ф. ГЛАДЫШЕВ, Т.В. ГЛАДЫШЕВА, С.И. ДВОРЕЦКИЙ, С.Б. ПУТИН, М.А. УЛЬЯНОВА, Ю.А. ФЕРАПОНТОВ РЕГЕНЕРАТИВНЫЕ ПРОДУКТЫ НОВОГО ПОКОЛЕНИЯ: ТЕХНОЛОГИЯ И АППАРАТУРНОЕ ОФОРМЛЕНИЕ Монография Москва Издательство Машиностроение-1 2007 УДК 661.183:546.32-39+546.41-36 ББК Л113.2 Р177 Рецензенты: Доктор химических наук, профессор Воронежского государственного университета Г.В. Семенова Доктор технических наук, профессор Санкт-Петербургского государственного технологического института (технического...»

«Министерство образования Российской Федерации Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) В. И. Сологаев ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ РАСЧЕТЫ И КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИ ЗАЩИТЕ ОТ ПОДТОПЛЕНИЯ В ГОРОДСКОМ СТРОИТЕЛЬСТВЕ Омск 2002 УДК 69.034.96 ББК 38.621 С 60 Рецензенты: д-р геогр. наук, профессор И.В. Карнацевич (Омский государственный аграрный университет) канд. техн. наук Р.Ш. Абжалимов (ОАО Омскгражданпроект) УДК 69.034.96 Сологаев В.И. Фильтрационные расчеты и моделирование...»

«ЯНКОВСКИЙ Н.А., МАКОГОН Ю.В., РЯБЧИН А.М., ГУБАТЕНКО Н.И. АЛЬТЕРНАТИВЫ ПРИРОДНОМУ ГАЗУ В УКРАИНЕ В УСЛОВИЯХ ЭНЕРГО- И РЕСУРСОДЕФИЦИТА: ПРОМЫШЛЕННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ Научное издание 2011 УДК 696.2 (477) Янковский Н.А., Макогон Ю.В., Рябчин А.М., Губатенко Н.И. Альтернативы природному газу в Украине в условиях энерго- и ресурсодефицита: промышленные технологии: Монография / под ред. Ю. В. Макогона. – Донецк: ДонНУ, 2011.–247 с. Авторы: Янковский Н.А. (введение, п.1.3., 2.3., 2.4., 3.1.), Макогон Ю.В....»

«Центр проблемного анализа и государственноуправленческого проектирования при Отделении общественных наук РАН Государственная конкурентная политика и стимулирование конкуренции в Российской Федерации Том 1 Москва Научный эксперт 2008 УДК 351:346.546 ББК 65.013.8 Г 72 Рецензенты: Олейник О.М., доктор юридических наук, профессор Авдашева С.Б., доктор экономических наук, профессор Авторский коллектив: Якунин В.И., Сулакшин С.С., Фонарева Н.Е., Тотьев К.Ю., Бочаров В.Е., Ахметзянова И.Р., Аникеева...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Национальный исследовательский университет Институт экологии Волжского бассейна РАН Институт прикладной физики РАН Д.Б. Гелашвили, Д.И. Иудин, Г.С. Розенберг, В.Н. Якимов, Л.А. Солнцев ФРАКТАЛЫ И МУЛЬТИФРАКТАЛЫ В БИОЭКОЛОГИИ Монография Нижний Новгород Издательство Нижегородского госуниверситета 2013 ББК 28.0 УДК 574.2 Ф 40 Рецензенты: доктор биологических наук А.И. Азовский (МГУ...»

«Жизнь замечательн ых людей Се р и я б и о г р а фи й Основана в 1890 году  Ф. Павленковым  и продолжена в 1933 году  М. Горьким                          И.Ю. Лебеденко, С.В.Курляндская и др. КУРЛЯНДСКИЙ                                                 Москва Молодая гвардия                 _       УДК 616.31(092) ББК 56. К Авторский проект И. Ю. ЛЕБЕДЕНКО Коллектив авторов С. В. КУРЛЯНДСКАЯ, А. В. БЕЛОЛАПОТКОВА, Г. И. ТРОЯНСКИЙ, Е. С. ЛЕВИНА, В. С. ЕСЕНОВА © Лебеденке И. Ю., авт. проект, ©...»








 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.