WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 7 |

«Д.И. Голенко-Гинзбург СТОХАСТИЧЕСКИЕ СЕТЕВЫЕ МОДЕЛИ ПЛАНИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ РАЗРАБОТКАМИ Воронеж Научная книга 2010 УДК 621.39:519.2 ББК 65.291.217 Г 60 Рецензенты: д.т.н., профессор ...»

-- [ Страница 3 ] --

Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками В описываемой ниже имитационной модели фактический ход процесса разыгрывается с помощью розыгрыша длительности каждой операции (работы) сети. Это позволяет более точно моделировать случай-ный процесс хода разработки, а также дает возможность варьировать управляющие воздействия и планы отдельно для каждой работы сети.

Записанный в операторной форме моделирующий алгоритм [2.2-2.5] имеет следующий вид:

F1 A2 A3 A4, 421 F Перечислим операторы, входящие в модель:

F1 - формирование исходных данных для сетевой модели;

A2 - правильная перенумерация сети;

A3 - решение задач оптимального прогнозирования, календарного планирования и распределения ресурсов;

A4 - расчет временных параметров сети и построение таблиц функций V (t ) ;

F 5 - формирование исходных данных и начальных условий для k -ой реализации;

F 6 - реализация случайных продолжительностей работ сети;

A7 - расчет фактических сроков работ;

A8 - вычисление значения VF (tik ) ;

A10 - выдача результатов к моменту t ;

F15 - формирование усеченной сетевой модели;

A16 - решение задач оптимального прогнозирования и оперативного управления;

A17 - расчет временных параметров усеченной сети и построение таблиц V (t ) ;

A18 - вычисление tik+1 по усеченной сети;

A19 - выдача результатов по k -ой реализации;

К 20 - счетчик числа реализаций;

A22 - статистическая обработка результатов моделирования;

Я 23 - выдача результатов и конец вычислений.

Перейдем теперь к детальному описанию операторов модели.

Глава 2. Статистические методы оптимизации комплекса сетевых моделей Оператор F1 формирует исходные данные для работы всей модели. Исходными данными являются:

1. Сетевая модель, которая задается в виде списка работ (i, j ), где i начальная вершина работы, j - конечная вершина.

2. Для каждой работы сети (i, j ) задаются: а) граничные значения объема ресурсов, необходимые для выполнения данной работы s min (i, j ), s max (i, j ), где s min (i, j ) - минимальный объем ресурсов, необходимый для выполнения работы (i, j ) ; s max (i, j ) - объем ресурсов, при котором их общая производительность по выполнению работы (i, j ) максимальна; б) зависимость математического ожидания продолжительности выполнения работы t cp (i, j ) от объема ресурсов s (i, j ) ; в) предельные длительности (оптимистическая и пессимистическая) выполнения работы (i, j ) при заданном количестве ресурсов s(i, j ) : a s (i, j ) = t1 (i, j ) и bs (i, j ) = t 2 (i, j ), a s (i, j ) bs (i, j ) ; г) объем работы v(i, j ), который может быть задан в процентах от общего объема работ, стоимостных единицах и т. д.

3. Данные, определяющие условия и точность моделирования:

Vпл - суммарный плановый объем всех работ сети;

Т дир - директивный срок выполнения всего комплекса работ;

p пл - вероятность выполнения комплекса работ за время Т пл ;

S - общее количество ресурсов, выделенных для выполнения всего комплекса операций;

k 3 - заданное количество реализаций процесса в модели;

Dt - допустимая погрешность по времени в модели;

DV - допустимая погрешность модели по объему;

dv - изменяемая константа, с помощью которой можно изменять размеры критической области;

d t - минимальное время между двумя опросами модели.

Оператор A2 осуществляет правильную нумерацию сети [2.6]. Последнее, как известно, означает выполнение неравенства i j для всех работ (i, j ) сетевой модели. Полезность оператора A2 объясняется тем, что алгоритмы временного расчета правильно занумерованной сети значительно проще и требуют меньше времени для своего выполнения, чем для той же сети с произвольной нумерацией. Это тем более важно, что при выполнении остальных операторов модели многократно производится временный расчет исходной сети или ее части для различных значений продолжительностей входящих в нее работ. Правильность же нумерации не нарушается при «усечении» сети или корректировке значений t (i, j ).

Оператор A3 осуществляет реализацию задачи оптимального прогнозирования с последующим перераспределением ресурсов на основе усредненных оценок продолжительностей работ сети. Результатом работы алгоСтохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками ритма являются плановые сроки начала и окончания t H (i, j ) и tok (i, j ), а такпл пл же плановый объем выделенных ресурсов s пл (i, j ), соответствующие оптимистической и пессимистической оценкам a s (i, j ) и bs (i, j ) - для всех работ (i, j ) сетевой модели. Методология решения оптимальных задач оператора A3 будет описана ниже.

Оператор A4 производит расчет временных параметров сети с детерминированными оценками длительностей работ t (i, j ) = a s (i, j ), на основе данных расчета табулирует функцию V0 (t ) с шагом Dt и определяет величину длины критического пути T0. Функция V0 (t ) описывает изменение объема выполненных работ к моменту t при оптимистическом ходе процесса выполнения комплекса работ, т.е. при выполнении их с максимально возможной скоростью [2.2]. Легко видеть, что V0 (t ) является неубывающей функцией и V0 (T0 ) = Vпл. Однако трудность ее построения заключается в том, что эта функция может быть неоднозначной во всех точках, кроме точек V0 (0 ) = 0 и V0 (T0 ) = Vпл.

Заметим, что граничными кривыми области значении V0 (t ) являются кривые, построенные по ранним и поздним срокам начала всех работ в пределах их резервов по времени pV0 (t ) и nV0 (t ), соответственно, причем кривая pV0 (t ) лежит выше кривой nV0 (t ), быть может совпадая с ней в некоторых точках. Следовательно, для построения однозначной кривой V0 (t ) должны быть выбраны точки начала всех работ. В настоящем алгоритме за сроки начала всех работ приняты ранние сроки свершения их начальных событий t H (i, j ) = T a (i, j ). Последнее формирует V0 (t ) = pV0 (t ), что приводит к увеличеa нию критической области.

Опишем далее общий алгоритм построения кривых V (t ) - зависимостей объема выполненных работ от времени. Этот алгоритм реализуется в операторах A4, A17, A8.

Из сказанного выше ясно, что исходным для этого алгоритма являются список работ с указанием объемов v(i, j ), сроков начала и окончания t H (i, j ), t O (i, j ), а также последовательности значений времени t m, для которых определяются значения функции V (t ).

Этап 1. Образуем множество M 0 для момента времени t0 из всех работ сети и устанавливаем начальные значения Этап 2. Подсчитываем Vок (tm ), просматривая все работы из множества M m - Глава 2. Статистические методы оптимизации комплекса сетевых моделей где сумма берется по всем работам (i, j ) из M m -1, для которых выполняется неравенство Этап 3. Образуем множество M m, исключая из множества M m -1 все работы множества Dm :

Этап 4. Проверяем наличие работ во множестве M m. Если M m O, то переходим к этапу 5. В противном случае - конец вычислений.

Этап 5. Просматриваем все работы множества M m и подсчитываем V (tm ) :

где Этап 6. Индекс m увеличивается на единицу, после чего переходим к этапу 2.

Для упрощения алгоритма и сокращения времени его работы полезно упорядочить работы в M 0 по возрастанию t ok (i, j ) p, ( p = 1,2,..., N ).

Упорядочение означает, что tok (i, j )p tok (i, j )p +1 В этом случае упорядочены будут и все множества M m -1, и исключается перебор всех работ этих множеств, а выбираются подряд и исключаются из дальнейшего рассмотрения все работы до номера l, для которого последний раз выполняется tok (i, j )l tm. Таким образом, одновременно из M m -1 исключается l работ, составляющих множество Dm, и этап 3 выполняется одновременно с этапом В операторе A4 этот алгоритм реализуется с начальными значениями t0 = 0, Vнач = 0 и tm +1 = tm + Dt. Еще одной функцией оператора A4 является подготовка начальных условий для первой реализации фактического хода процесса выполнения комплекса работ сети (например, установка нуля в счетчик реализаций, вычисление D 0 и t1 ).

Оператор F5 формирует массивы исходных данных и начальные условия для k -й реализации. В число исходных данных входят: таблица функции V0 (t ), сеть с данными для каждой работы (i, j ) : (t пд, v, a, b, sпл ). НачальныH ми значениями для k -й реализации являются Т 0, D 0 и время первого опроса t1. Все эти значения могут изменяться в процессе одной реализации и поэтому требуют восстановления перед каждой новой реализацией.

Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками Оператор F 6 осуществляет случайный розыгрыш длительностей всех работ исходной сети либо усеченной сети, сформированной оператором F15.

Длительность каждой работы (i, j ) разыгрывается в пределах [a (i, j ), b(i, j )], задаваемых оператором A3 для исходной сети, либо оператором A16 для усеченной сети с перераспределенными ресурсами.

В качестве закона распределения длительности выполнения работы принято бета-распределение с плотностью вида (1.3.7) где a = a(i, j ), b = b(i, j ) - изменяются от работы к работе.

Оператор А7 определяет фактические сроки начала t H (i, j ) и окончания tok (i, j ) для всех разыгранных работ. При этом реализуется стратегия управF ления фактическим ходом процесса выполнения работ с помощью плановых сроков. Целью этой стратегии является удержание процесса в области плановой интегральной кривой Vпл (t ), которая носит эталонный характер.

Правило определения t H (i, j ) может быть сформулировано следующим обF разом. Любая работа (i, j ) не начинается. раньше планового срока t H (i, j ) ).

Если же плановый срок нарушен, то работа начинается, как только появляется для этого возможность. Это правило соответствует также обычно принятой организации работ.

Алгоритм определения фактических сроков выполнения работ записывается следующим образом:

1. Устанавливаются начальные значения где T F (m ) - фактическое время свершения события с номером m ( m = 0,1,..., N ); 0, N - номера исходного и завершающего событий сети; tik-1 время (i - 1) -ого опроса модели в k -й реализации.

2. Для вершины с номером v определяются по порядку следующие величины:

где m принимает значения номеров вершин, из которых идут дуги в вершину v ( m v ), поскольку сеть правильно занумерована).

3. Значение v увеличивается на единицу.

4. Проверка окончания вычислений v N. В противном случае переходим к п. 2.

Из приведенного алгоритма видно, что если в процессе реализации Глава 2. Статистические методы оптимизации комплекса сетевых моделей оператора А7 положить значения t H (i, j ) = 0, то фактический процесс выпл полнения разработки не будет зависеть от плановых сроков. Если принять t пл (i, j ) = T b (i ), процесс пойдет по пессимистической интегральной кривой Vпс (t ), построенной на основе оценок продолжительностей t (i, j ) = b(i, j ).

Заметим, что обработка операторами F 6 и А7 всех работ заданной сети не требуется. Достаточно включать в исходный массив лишь те работы (i, j ), для которых выполняется условие t H (i, j ) tlk. Однако принятый поряпл док, при котором обрабатываются все работы сети, вплоть до завершающего события, позволяет более гибко назначать любые значения t H (i, j ), а пл также дает возможность прогнозировать до конца фактический ход процесса и, в частности, получить точное время свершения завершающего события на каждом этапе опроса модели. Следует отметить, что процедура управления ходом разработки может предусматривать и более гибкую стратегию. В частности, с учетом вероятностного характера продолжительностей t (i, j ) может иметь место t H (i, j ) t H (i, j ), но не более чем на заF пл ранее выбранную величину Dпл (i, j ), меняющуюся от работы к работе.

Иными словами, вместо ограничения t H (i, j ) t H (i, j ) имеет место t H (i, j ) t H (i, j ) - Dпл (i, j ). Значение Dпл (i, j ) может быть определено на основе задания доверительных вероятностей [2.2] или из иных соображений.

Оператор А8 производит расчет фактически выполненного к моменту tl объема работ VF (tlk ). Для этого используется приведенный выше алгоk ритм расчета V (t ), причем в операторе А8 реализуются лишь этапы 2, 3, 5.

Остальные этапы в несколько видоизмененном виде реализуются другими операторами. В частности, начальные условия (этап 1) устанавливаются оператором F5 (Vнач = 0, t0 = 0), либо операторами A17 и A18 Vнач = VF (tik-1 ), t0 = tik-1.

Множество M 0 задается либо оператором F5, либо оператором F15, а очередной момент времени tm +1 (этап 6) выдается оператором A13 (t m +1 = t ik+1 ).

Функции этапа 6 выполняет оператор P11, который проверяет выполнение условия VF (tik ) - Vпл DV. Невыполнение этого условия означает конец k -ой реализации, после чего управление передается оператору A19, который выдает результаты этой реализации. Если условие выполняется, управление, в конце концов передается оператору A8, который вычисляет новое значение VF (tik+1 ).

Заметим, что оператор A8 может, после реализации оператора А7, выполнить алгоритм построения V (t ) полностью, например, с шагом Dt, с целью получения полной таблицы функции VF (t ik ). Тогда нужно добавить оператор выборки из этой таблицы значения VF (tik ), к которому управление должно передаваться от операторов A8 и P14.

Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками Оператор A9 выбирает из таблицы V0 (t ) значение для момента времени (tik - D 0 ), т.е. определяет значение функции V0 (t ), сдвинутой вправо на D 0 0. Значение D 0 устанавливается оператором F5 либо A18 (для «усеченной» сети) и определяется операторами A4 или A17 из условия прохождения сдвинутой кривой через точку с координатами (Tпл, Vпл ) :

Поскольку V0 (T0 ) = Vпл, то отсюда D 0 = Т пл - Т 0. После выборки оператор А определяет значение Оператор A10 выдает результаты, полученные к моменту tik.

Оператор P12 проверяет выполнение условия где dv - изменяемая константа, с помощью которой меняется величина критической зоны [2.1-2.5] Значение dv может выбираться, исходя из заданной вероятности pпл выполнения комплекса работ в срок Tпл, а также из требуемой «жесткости» управления с целью удержания процесса в пределах плановой кривой.

Выполнение условия оператора P12 означает, что перераспределения и привлечения дополнительных ресурсов не требуется, и управление может быть передано оператору А13. Невыполнение этого условия означает, что точка (tik,VF (tik )) попала в критическую зону и для выполнения объема работ Vпл в срок Tпл требуется принять необходимые меры. В этом случае оператор P12 передает управление оператору F15.

Оператор F15 осуществляет формирование усеченной сети из работ, оставшихся невыполненными к моменту tik. Для всех работ усеченной сети выполняется условие tok (i, j ) tik. F Заметим, что те из них, для которых выполняется также условие t H (i, j ) tik, уже начались. Эти работы выполняются при вычислении значеF ния VF (t i к ) на этапах 3 и 5 алгоритма построения V (t ), что может быть использовано оператором F15. Таким образом, все работы усеченной сети содержатся во множестве M i, а все начатые работы из этого множества содержатся во множестве Bi (индекс множества совпадает с индексом момента опроса ti ). С уже начатыми работами оператор F15 производит следующие операции:

1. В качестве начальной вершины работы (i, j ) записывается номер начальной вершины сети ( 0 ) вместо номера i.

2. Устанавливаются пределы длительности работы (i, j ) Глава 2. Статистические методы оптимизации комплекса сетевых моделей и, таким образом, фиксируется длительность этой работы.

3. Из объема v(i, j ) исключается уже выполненная часть 4. Устанавливаются новые плановые сроки тем самым жестко закрепляются сроки исполнения «урезанных» работ.

С помощью этих операций координаты начального события по объему и времени смещаются в точку (tik,VF (tik )) для всех последующих операторов. В частности, оператор F 6 не изменяет длительности, а оператор A7 сроки завершения урезанных работ, так как a(i, j ) = b(i, j ) и T F (0 ) = tik.

Оператор же A16 исключает эти работы из рассмотрения по признаку работ, исходящих из начальной вершины сети (см. п. 1). Функции оператора A16 аналогичны функциям оператора A3, за исключением того, что оператор A16 работает с усеченной сетью. Таким образом, алгоритм и критерии оптимальности для этих операторов принципиально не могут отличаться.

Оператор A13 вычисляет очередной момент опроса tik+1. Этот момент определяется из тех соображений, чтобы за время до очередного опроса фактический ход процесса не успел попасть в зону дефицита ресурсов даже при нулевой производительности выполнения работ [2.2-2.3]. Значение tik+1 определяется как решение уравнения V0 (tik+1 - D 0 ) = VF (tik ), где D 0 = Tпл - T0.

Отсюда получаем формулу где V0-1 - функция, обратная V0 (t ).

Учитывая, что общая производительность не может быть равной нулю (максимальная длительность каждой работы b(i, j ) ), можно уменьшить число опросов [2.2-2.5]. Тогда tik+1 будет решением уравнения где D1 ti определяется из уравнения и, следовательно, Функция Vпс (t ) определяется аналогично V0 (t ) на основе пессимистических оценок продолжительностей работ b(i, j ).

Для определения очередного момента опроса из уравнения (2.4.5) требуется дополнительно построить таблицы функции Vпс (t ) в операторах A4 и Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками A17.

Оператор A18 определяет значение первого опроса усеченной сети, который является очередным (i + 1) -м опросом модели. Поскольку для усеченной сети имеет место на основе формулы (4.3.4) получаем на основе формул (2.4.6) и (2.4.5) получаем последовательно при тех же начальных условиях Здесь D = T - T0y определяются на основе усеченной сети.

Для исходной же сети имеем начальные условия и, соответственно, получаем, исходя из формул (2.4.1-2.4.6) Значение t1 вычисляется оператором A4 и сохраняется неизменным для всех реализаций (восстанавливается оператором Fs ).

Оператор A17 выполняет функции, аналогичные функциям оператора A4. Однако для усеченной сети начальные условия при построении V0y (t ) будут Vнач = VF (tik ) и t0 = tik.Таким образом, таблица V0 (t ) корректируется, начиная с момента tik с шагом Dt.

Заметим, что операторы A4 и A17 могут быть объединены в один оператор, если выделить отдельный оператор для расчета t1 и Dt и добавить еще условный оператор передачи управления оператору A18 во всех случаях, кроме первого прохода программы через объединенный оператор, когда управление должно передаваться оператору F5.

Оператор P14 проверяет условие В случае выполнения условия значение tik восстанавливается, и управление передается оператору F15. Этот случай означает, что в момент tik процесс близок к критической зоне по координате времени. В противном случае управление передается оператору А8.

Оператор К 20 подсчитывает число реализаций процесса.

Оператор Р21 сравнивает число реализаций с заданным k k3 и при положительном результате передает управление оператору A22.

Глава 2. Статистические методы оптимизации комплекса сетевых моделей Оператор A22 осуществляет статистическую обработку результатов всех реализаций процесса.

Оператор Я 23 выдает результаты моделирования на печать и завершает работу алгоритма.

В заключение параграфа опишем оптимальную задачу прогнозирования минимального дополнительного объема ресурсов S дoп, обеспечивающего выполнение разработки в плановый срок с вероятностью pпл. Выше уже отмечалось, что необходимость решения такого рода задачи на стадии оперативного управления возникает лишь в случае несоответствия фактического состояния разработки плановому, когда VF Vпл. На наш взгляд, алгоритм решения должен быть основан на способе статистической оптимизации согласно методике, описанной в §2.3 настоящей главы.

На этапе 1 решения задачи оптимального прогнозирования устанавливаем объем ресурсов S, заведомо обеспечивающий решение поставленной задачи. В частности, значение S может быть определено по формуле S = s max (i, j ), где G ' (Y,U ) - усеченная сеть, построенная на момент обi, j )G ' (Y,U ) ращения к оператору A16 в описанной выше имитационной модели.

Второй этап состоит в распределении методом Монте-Карло суммарного объема ресурсов S между работами (i, j ) сетевой модели G ' (Y,U ) с целью получения начальной точки поиска (разумеется, в пределах интервалов [smin (i, j ), smax (i, j )]). Алгоритм распределения может быть использован в сочетании с эвристическими методами; он описан в ряде работ, например [2.1-2.5].

На этапе 3 в соответствии с ранее распределенными между работами (i, j ) G ' (Y,U ) ресурсами s(i, j ) многократно моделируем продолжительности выполнения работ (i, j ) методом Монте-Карло с последующим определением доверительной вероятности p, соответствующей плановому сроку окончания разработки Tпл. Алгоритм статистического моделирования сетей со случайными временными оценками изложен в [2.1-2.5]. При p p пл переходим к последующему этапу. В противном случае управление передается на этап 6.

Этап 4 осуществляет локальный случайный поиск в пространстве s (i, j ) (из полученной на этапе 2 начальной точки) с целью максимизации доверительной вероятности p, соответствующей Tпл. Алгоритм этого этапа, подобно предыдущим, описан в ряде монографий и работ [2.4, 2.7], вследствие чего мы не будем останавливаться на его подробном изложении. Если в результате проведения случайного поиска значение коэффициента доверия p окажется не менее pпл, управление передается на этап 6. В противном случае переходим к реализации последующего этапа.

На этапе 5 подсчитываем число k неудачных результатов поиска и Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками сравниваем это число с предельным k зад. В случае k = k зад управление передается на этап 2. При k = k зад работа алгоритма оканчивается, а управление передается на завершающий этап 7.

Этап 6 реализует итеративный процесс уменьшения значения S на шаг DS. После этого счетчик k на этапе 5 очищается, а управление передается на этап 2. Таким образом, последовательное уменьшение объема ресурсов S происходит до тех пор, пока соответствующий Tпл коэффициент доверия не станет меньше pпл. На этапе 7 происходит определение потребных дополнительных ресурсов S доп = S min - Sнал, где S min определяется на этапе 6, a S нал - наличный объем ресурсов в момент обращения к решению оптимальной задачи.

Заметим, что изложенный алгоритм позволяет определить не только минимальный дополнительный объем ресурсов S доп, но и распределить суммарный объем S = Sнал + S доп по оставшимся операциям разработки. Что касается задачи построения календарного плана-графика, то здесь мы сталкиваемся с теми же трудностями, что и при построении кривых V0 (t ) и Vпс (t ) в процессе работы оператора A4 моделирующего алгоритма. Поскольку ресурсы уже распределены, мы в состоянии при построении календарных планов-графиков варьировать лишь резервами времени для работ резервной и промежуточной зон [2.2]. В частности, можно устанавливать плановые начала выполнения работ t H (i, j ), исходя из ранних сроков свершения начальных событий или из каких-либо иных соображении.

На наш взгляд, описанная методология оптимизации может быть использована и для ряда других задач управления разработками (случай нескольких разработок, наличие в отличие от суммарного объема ресурсов суммарной интенсивности последних, распределенных во времени, случай нескольких детализированных ресурсов и др.).

Глава 3. Оптимальные задачи на современном разрабатывающем предприятии Глава 3. Оптимальные задачи на современном разрабатывающем предприятии §3.1 Технико-экономическая постановка задач В предыдущей главе мы рассматривали задачи моделирования и оптимизации на сетевых графиках. Процессы управления комплексом разработок на современном разрабатывающем предприятии (РП) могут отображаться более широким спектром математических моделей. Процесс выполнения разработок (объектов новой техники) проходит этапы:

1) разработка аванпроекта, основной задачей которого является выбор принципиальной схемы объекта, его основных конструктивных характеристик и состава узлов (агрегатов);

2) разработка эскизного проекта, основной задачей которого являются выбор направлений решения проблем создания нового изделия и уточнение его конструктивных и основных технологических параметров.

На этом этапе проводятся также лабораторное макетирование и все основные теоретические расчеты;

3) разработка технической и технологической документации технического проекта, предусматривающего выпуск рабочих чертежей изделия для передачи его в опытное производство;

4) изготовление опытного образца, а также ряд стендовых испытаний;

5) испытание опытного образца и подготовка документации для передачи ее в серийное производство.

Рассмотренные этапы можно объединить в две последовательные фазы, первая из которых включает в себя этап аванпроекта, а вторая - этапы эскизного и рабочего проектирования, подготовку производства и собственно опытное производство нового изделия.

Уровень неопределенности поведения объекта на первой фазе значительно выше, чем на второй. Если для изделия, находящегося на этапе аванпроекта, дальнейший ход его разработки можно описывать лишь вероятностными категориями, то на этапах второй фазы уже существует сетевой график разработки изделия. Исходя из сказанного, динамическими моделями объекта управления комплексом разработок могут быть модели одного из двух типов: 1) модели, включающие уровень неопределенности объекта; 2) сетевые модели.

Таким образом, сетевые модели отображают лишь нижний уровень иерархии - реализацию конкретного набора элементов разработки. На верхнем же уровне формализуется процесс управления разрабатывающим предприятием в целом, включая начатое обоснование и прогнозирование объектов работ и объемов важнейших ресурсов, необходимых для выполнения производственной программы. В соответствии с принятой структурой РП мы будем рассматривать двухуровневую систему управления, на Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками первом уровне которой ставятся задачи прогнозирования затрат на комплекс работ и распределения затрат между проектами и на втором уровне задача оптимального календарного планирования работ внутри проекта.

При этом предполагается возможная иерархия укрупнения работ по каждому проекту.

Задача оптимального управления ресурсами может быть рассмотрена в одном из двух классов. Первый из них связан с рассмотрением количественных оценок детализированных ресурсов. Ко второму классу задач относятся случаи, когда все виды используемых ресурсов заменяются их стоимостным эквивалентом.

В настоящей главе рассмотрены оба класса задач. В последующих разделах главы рассмотрен случай стоимостных ресурсов, как наиболее близкий к существующим в настоящее время формам управления разработками. В § 3.4 рассмотрен случай детализированных ресурсов для портфеля аванпроектов, т.е. для случая мониторинга нескольких одновременно реализуемых аванпроектов.

Выше мы отмечали, что на высшем иерархическом уровне РП рассматривается комплекс оптимальных задач распределения стоимостных ресурсов между проектами на высшем иерархическом уровне. Этапу оптимального распределения предшествует этап прогнозирования, который может быть реализован либо путем использования сетевых моделей, либо (в более общем случае) путем использования регрессионных моделей - в зависимости от состояния проекта. Этап прогнозирования позволяет адекватно оценить динамику хода реализации каждого из проектов, а также динамику распределения затрат на его выполнение, после чего можно приступать к реализации оптимизационных задач распределения ресурсов между проектами - локальными разработками объектов новой техники.

На более низком уровне возникают задачи оптимального календарного планирования работ внутри проекта с учетом выделенных суммарных ресурсов с соблюдением директивных сроков на реализацию каждого из проектов. Обычно задача оптимального управления для систем СПУ с контролем сроков и затрат формулируется в виде прямой задачи: «требуется создать комплекс новой техники за сроки, не превышающие директивно заданные, с наименьшими затратами», либо обратной: «требуется создать комплекс новой техники с заданными затратами за наименьшие сроки».

Более распространенной является первая постановка, которая и рассмотрена ниже. При функционировании системы СПУ данная задача может решаться как на стадии исходного планирования, так и на стадии оперативного управления.

§3.2 Вопросы оптимального распределения затрат между проектами [3.3] При формировании сводного тематического плана на определенный Глава 3. Оптимальные задачи на современном разрабатывающем предприятии плановый период T (год, квартал и т. д.) возникает задача оптимального распределения выделенного на этот период суммарного ресурса CT между отдельными разработками. В рассматриваемой ниже постановке задачи под суммарным ресурсом, подлежащим распределению, подразумевается суммарный объем всех ресурсов, выраженный в виде единого эквивалента - в стоимостных единицах. Учитывая то, что директивные сроки выполнения каждой из разработок могут (в общем случае) превосходить конец планового периода, необходимо заложить в критерий оптимизации степень реализуемости проектов в заданные сроки. При распределении затрат необходимо также выдерживать ряд ограничений на динамику потребления затрат не только в течение рассматриваемого планового периода T, но также и после планового периода - до момента окончания всех разработок.

Из сказанного следует, что исходная информация для математической постановки задачи распределения затрат между проектами содержит два важнейших элемента:

а) элемент прогнозирования хода разработок по некоторой обобщенной характеристике (например, относительную трудоемкость) при определении варианта распределения затрат между проектами;

б) элемент формирования критерия как числовой функции, зависящей от показателей прогноза (например, вероятность выполнения или невыполнения плана), а также ограничений задачи.

Элемент прогнозирования должен содержать максимально возможную информацию о ходе выполнения разработок после рассматриваемого периода T. Выполняемые разработки в момент планирования могут находиться в различных состояниях: на стадии аванпроекта, эскизного проекта, опытного производства, испытаний, серийного производства. Поэтому уровень неопределенности при прогнозировании для каждой стадии различен и, естественно, убывает при последовательном переходе на очередную стадию. Модели, отражающие отдельные объекты новой техники, могут быть представлены сетевыми графиками детерминированного и стохастического типов как по топологии, так и по оценкам выполнения каждой из работ.

Задача оптимального распределения затрат между проектами, представленными сетевыми графиками, в общем случае является экстремальной задачей большой размерности. Опыт решения подобных задач для сетевых моделей различного объема (см., например, [3.1, 3.4]) показал, что их реализация связана со значительными вычислительными трудностями, если речь идет о точном решении, или возможно лишь приближенное решение. Учитывая то обстоятельство, что сетевые модели, отражающие ход выполнения разработок, в процессе оперативного управления подвергаются изменениям как по топологии, так и по продолжительности оценок выполнения отдельных работ, а также принимая во внимание сложность решения многоразмерных экстремальных задач на сетях, можно считать рассмотренную постановку излишне громоздкой.

Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками В задаче оптимального распределения затрат между разработками, рассматриваемой в данном параграфе, сетевые модели используются лишь на этапе прогнозирования сроков выполнения разработок при условии, если задано распределение затрат между ними. В том случае, если отдельные стадии выполнения разработок недостаточно адекватно описываются сетевыми моделями (например, стадия аванпроекта), динамика хода выполнения таких разработок описывается случайными процессами простейшего типа с заданными функциями математических ожиданий и дисперсий.

Способы построения характеристик этих процессов рассмотрены ниже.

Для математического описания поставленной задачи предварительно введем следующие обозначения:

N - количество рассматриваемых разработок;

П = [p 1,...,p N ] - заданные приоритеты разработок;

C = [C1,...,C N ] - полные стоимости разработок;

t F = [t1,...,t N ] - время, истекшее с начала выполнения разработок;

S дир = [S1,..., S N ] - директивные сроки окончания разработок;

P = [P,..., PN ] - заданные вероятности выполнения разработок;

D = [d1,..., d N ] - ограничения на максимальную скорость потребления ресурса;

Q = [q1,..., q N ] - относительная трудоемкость выполненных работ по каждой разработке на начало планируемого периода; 0 q 1, t = 1, N ;

T - величина периода планирования (год, месяц);

CT - размер ресурса, подлежащего распределению;

C 0 - директивное распределение суммарного ресурса по времени;

X = [x1,..., xN ] - искомый вектор, определяющий приращение относительной трудоемкости на плановый период T по каждой разработке;

t = [t 1,...,t N ] - времена окончания выполнения каждой разработки, которые определяются в результате решения задачи;

t 0 - рассматриваемый момент планирования;

x (t ) - заданный случайный процесс, определяющий распределение относительной трудоемкости выполнения k -й разработки в момент времени Предполагается, что где mk (t ) - заданная детерминированная монотонно неубывающая функция;

e k (t ) - некоррелированный случайный процесс с нулевой функцией математического ожидания; s k (t ) - средне-квадратичное отклонение случайной величины e k (t ) в момент времени t.

Предполагается также, что функция s k (t ) является неубывающей.

В работе при оценке параметров рассмотренного случайного процесса Глава 3. Оптимальные задачи на современном разрабатывающем предприятии (3.2.1) будем ограничиваться лишь первыми его двумя моментами.

Задавая по каждой k -й разработке величины xk и t k, можно вычислить вероятность ее выполнения по формуле:

Формула (3.2.2) позволяет вычислить вероятность того, что случайный процесс, имеющий в качестве начального состояния где Fk (xk,t k ) вычисляется по формуле (3.2.2).

Переходим теперь к математической постановке исходной задачи.

Пусть область D всех допустимых векторов x и t, характеризующих всевозможные варианты распределения затрат между проектами, определяется следующими неравенствами:

В формулах (3.2.4-3.2.7) предполагается, что k = 1, N. Неравенство (3.2.4) отражает то требование, чтобы вероятность выполнения каждой разработки превосходила заданный уровень Pk. Неравенство (3.2.5) требует, чтобы планируемые приросты, относительных трудоемкостей по каждой разработке соответствовали суммарным затратам, не превосходящим заданного значения СТ.

Кроме того, приросты относительных трудоемкостей по каждой разработке не должны превосходить заданной скорости d k или же оставшейся Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками относительной трудоемкости. Этот факт отражен в неравенстве (3.2.6). Ограничение по динамике потребления ресурса в момент времени t t 0 + T отражено в неравенстве (3.2.7).

Требуется найти в области D наилучшую пару векторов x,t D, которая обращает в минимум функцию вида (3.2.3). Другими словами, должно выполняться соотношение:

Прежде чем переходить к описанию алгоритмов решения задачи (3.2.4-3.2.8), остановимся подробнее на свойствах функции F (x,t ), вид которой представлен в (3.2.2). При конструировании алгоритмов нас будут интересовать условия, налагаемые на случайный процесс x (t ), при выполнении которых функция F (x,t ) является для любого x неубывающей функцией t.

При любом t 0 выражение для F (x,t ) имеет вид:

F ( x,t ) в следующем виде:

Формула для вычисления производной интеграла, зависящего от параметра t, приводит к выражению для Ft' (x,t ), метры случайного процесса e (t ), которое приводит к монотонному неубыванию по t функции F (x,t ), состоит в следующем:

Очевидно, условию (3.2.9) удовлетворяют широко используемые на практике случайные процессы с линейными функциями M (t ), s (t ).

При выполнении условия (3.2.9) каждое слагаемое функции W (x,t ) в формуле (3.2.3) при заданном x k достигает минимального (нулевого) значения при t k = S k - (t 0 + T ). Если же на t k накладывается ограничение (3.2.4), то каждое слагаемое W (x,t ) достигает минимального значения при где b удовлетворяет соотношению:

Глава 3. Оптимальные задачи на современном разрабатывающем предприятии Разработанные и описанные ниже алгоритмы позволяют найти решение поставленной выше задачи (3.2.4-3.2.8) в два этапа: а) этап решения задачи №1 (3.2.4-3.2.8) без учета ограничения (3.2.7) и б) этап перехода к решению исходной задачи с учетом ограничения (3.2.7) - задача № 2.

Численная реализация задачи № 1 основана на базе использования метода динамического программирования. Численная реализация задачи № и оптимального распределения в целом приводится в комплексном алгоритме, который описан в конце данного параграфа в операторном виде.

Прогнозирование динамики изменения оставшейся трудоемкости осуществляется на базе использования регрессионной модели процесса разработки (как правило, линейной). При определении характеристик случайного процесса x k (t ), отражающего распределение относительной трудоемкости выполнения k -й разработки в момент времени t t 0 + T, будем считать, что трудоемкость на отрезке t 0 + T, t k нарастает постоянно.

Другими словами, уравнение для функции математического ожидания случайного процесса, отражающего ход выполнения разработки при t t 0 + T, имеет вид:

Коэффициенты A и B выбираются так, чтобы искомая прямая проходила через две точки, одна из которых имеет координаты (t 0 + T, qk + xk ), а другая - (S k, Qk ). Координата Qk подлежит определению, исходя из условия Неравенство (3.2.13) отражает требование выполнения разработки к директивно заданному сроку S k с надежностью Pk. Исходя из сказанного, формула для расчета A имеет вид:

В случае, если на интенсивность (по трудоемкости) выполнения разработки накладывается ограничение (меньше a ' ), то осуществляется проверка выполнения условия Если условие не выполняется, то коэффициент A : = a '.

Таким образом, окончательная формула для расчета коэффициентов А и В имеет вид:

Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками Уравнение для функции дисперсии рассматриваемого случайного процесса, исходя из выше упомянутых предпосылок, имеет вид:

где s k2 - значение дисперсии, полученное в результате обработки полученной статистики на базе использования регрессионной модели методом пассивного эксперимента;

Приводим перечень используемой в алгоритме символики:

Dt - масштаб времени;

T - величина планового периода;

t 0 - момент начала планового периода;

C 0 (t ) - ограничение на динамику затрат для моментов времени P - уровень надежности выполнения ограничений (3.2.7);

Dy - величина начального шага;

e - точность решения;

h - параметр настройки алгоритма;

M - размер выборки для определения статистического градиента;

M z - максимальное число «неудачных» шагов по статистическому градиенту при фиксированном шаге Dy ;

R3 - счетчик удачных шагов;

доемкости;

t = [t 1,..., t N ] - время окончания выполнения проектов с заданной вероятностью Pk при распределении X * ;

w ( x*, t *) - минимальное значение критерия.

Процесс решения задачи № 1 можно представить как одномерный динамический процесс распределения ресурса CT по N шагам, где N - количество разработок. Это становится возможным, если воспользоваться формулой (3.2.10) для расчета t k. Найденное t k соответствует минимальному значению k -го слагаемого для критерия w. Иначе говоря, существует функциональная зависимость вида:

Используя зависимость (3.2.17), можно переписать формулу для критерия W следующим образом:

Глава 3. Оптимальные задачи на современном разрабатывающем предприятии Формула (3.2.18) представляет собой аддитивную функцию каждой компоненты вектора X.

Переходим теперь к описанию алгоритма, предварительно введя систему обозначений:

k - номер шага, распределения (номер проекта);

X = [x1,..., xk ] - вектор, определяющий приращение относительной трудоk емкости на плановый период T до k -го шага включительно;

y k = f X = [ y1,..., yk ] - вектор накопленных затрат, отражающий динаk мику распределения X ;

Каждая компонента вектора y k подсчитывается по формуле:

W y1,..., y k - величина целевой функции, соответствующая оптимальному распределению затрат X (k ).

Использование принципа оптимальности [3.3, 3.5] приводит к следующему соотношению:

где область D определяется неравенствами (3.2.4-3.2.6).

Алгоритм решения задачи № 1. В алгоритме осуществлена вычислительная реализация метода динамического программирования [3.5] с некоторым шагом дискретности D. На каждом шаге распределения k вычисляется разброс возможных накопленных затрат J k D, подлежащих распределению. Для каждого значения затрат yki = j D, где j = 1, J k, просматривается множество возможных вариантов и запоминается наилучший. Множество возможных вариантов распределения после k шагов, требующих затрат размером yki, определяется в результате продолжения оптимальных вариантов распределения после (k - 1) -го шага. Эти варианты хранятся в памяти ЭВМ. Просмотр вариантов распределения осуществляется путем введения составного цикла, состоящего из трех вложенных друг в друга простых циклов: цикла просмотра шагов k = 1, N, цикла просмотра различных уровней затрат на каждом шаге j = 1, J k и цикла просмотра всех вариантов, требующих затрат, равных ykj = j D, s = 1, J k -1. В результате работы алгоритма на печать выдается множество оптимальных вариантов распределения после N -го шага, каждый из которых требует различных размеров затрат с равным шагом дискретности, а именно y N = j D, где j = 1, J N, а Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками J N = Т + 1. Символ [x ] определяет целую часть величины x, не превосD ходящую x.

Переходим к описанию используемых в алгоритме операторов.

Оператор L1 осуществляет присваивание k : = 1, где k - номер шага.

Оператор L2 осуществляет присваивание y0' : = 0, где y0' - величина затрат на нулевом шаге.

Оператор L3 осуществляет присваивание w0 : = 0, где w0 - величина критерия на нулевом шаге.

Оператор L4 осуществляет присваивание J 0 : = 1, где J 0 - количество возможных вариантов на нулевом шаге.

Таким образом, операторы L1 - L4 осуществляют подготовку данных для работы алгоритма.

Оператор L5 осуществляет присваивание j : = 1, где j - индекс, определяющий уровень затрат на k -м шаге, а именно ykj = j D.

Оператор A6 вычисляет уровень накопленных затрат на k -м шаге, соответствующий индексу j по формуле:

Оператор L7 присваивает s : = 1, где s - индекс, соответствующий номеру варианта распределения до k -го шага включительно и приводящего к уровню затрат, равному y kj.

Оператор A8 вычисляет величину приращения относительной трудоемкости X ks, приводящей к заданному уровню затрат по формуле:

Оператор P9 осуществляет проверку выполнения условия X ks 0. Если условие не выполняется, то происходит передача управления оператору L14.

Оператор P10 осуществляет проверку выполнения условия X ks D, где D - область, определяемая неравенствами (3.2.4-3.2.6). Если условие не выполняется, то происходит передача управления оператору L14.

Оператор А11 вычисляет величину критерия Bk, соответствующего s му наилучшему варианту до (k - 1) -го шага с величиной приращения X ks на k -м шаге. Величина критерия подсчитывается по формуле:

В формуле (3.2.21) Wk -1 - величина критерия, соответствующая наиs лучшему варианту распределения до (k - 1) -го шага с уровнем затрат, равным yks -1 ; Wk j (X ks ) - слагаемые суммы в формуле (3.2.3).

Глава 3. Оптимальные задачи на современном разрабатывающем предприятии Оператор Р12 проверяет выполнение условия Bks - Wk j 0. Если условие выполняется, то s -й вариант не является наилучшим, и происходит передача управления оператору L14.

Оператор З13 работает в условиях, когда s -й вариант является наилучшим, и осуществляет запоминание Wk j = Bks и уровня yks -1.

Оператор L14 осуществляет переход к просмотру очередного варианта путем присваивания очередного номера счетчика s : = s + 1.

Оператор P15 проверяет выполнение условия s yk -1. Если условие не выполняется, то это означает, что просмотрены не все варианты. Осуществляется переход к просмотру очередного варианта на оператор A8.

Оператор L16 осуществляет переход к просмотру вариантов, приводящих к уровню затрат ykj +1, т. е. присваивание j : = j + 1.

Оператор P17 проверяет выполнение условия j yk. Если условие не выполняется, то происходит передача управления на начало просмотра вариантов, т.е. к оператору A6.

Оператор L18 работает в условиях, когда на k -м шаге все операции выполнены и осуществляется начало работы на (k + 1) -м шаге, т.е. осуществляет присваивание k : k + 1.

Оператор P19 проверяет выполнение условия k N. Если условие не выполняется, то происходит передача управления на окончание процедуры, т.е. к оператору Я 24.

Оператор А20 вычисляет границы изменения затрат на k -м шаге по формуле:

Оператор Q21 передает управление оператору L5.

Оператор З22 запоминает пары (Wk j, ykj ), (Wks-(1j ), yks (-j1) ) для любых j.

Оператор A23 вычисляет WNj = min WNj.

Оператор Я 24 реализует окончание алгоритма, производит печать необходимой выходной информации по оптимальному варианту распределения:

Операторная схема алгоритма при описанных операторах имеет вид:

Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками Переходим к алгоритму решения исходной задачи (задачи № 2). Ввиду того, что для требуемого суммарного ресурса Сt, соответствующего решению задачи (3.2.4-3.2.6), (3.2.8), условие (3.2.7) при некоторых t может не выполняться, требуется осуществить оптимальное «сжатие» или «растяжение» времени выполнения проектов в зависимости от превышения или недостатка наличного ресурса С 0 (t ) над требуемым Сt.

Будем предполагать, что изменение величины приращения xk относительной трудоемкости на некоторую величину Dxk вызывает изменение времени выполнения на некоторую величину Dt k :

Задача оптимального «растяжения» времени выполнения каждого проекта сводится к отысканию такого вектора в любой момент времени t, при котором выполняется ограничение и критерий достигает минимального значения.

В формуле (3.2.23) N (t ) представляет собой множество разработок, выполнение которых не окончено к рассматриваемому моменту времени t.

Переходим к описанию алгоритма решения задачи № 2. Предлагаемый ниже алгоритм основан на методе получения статистического градиента функционала W (x,t ) с проектированием его на границу допустимой области, определяемой ограничениями (3.2.4-3.2.7).

Алгоритм решения задачи № 2. Алгоритм реализует поиск локального экстремума x* = [x1*,..., xN ], отражающего оптимальное распределение ресурсов между разработками. К основным блокам рассматриваемого алгоритма можно отнести следующие: формирование исходного допустимого вектора x0, удовлетворяющего ограничениям (3.2.4-3.2.7); вычисление стохастического граk диента grad W x в рассматриваемой точке xk ; проектирование вектора ( ) на поверхность ограничений (3.2.4-3.2.7) - вычисление вектора grad W x чания процедуры.

Операторная схема.

Q1 - ввод исходной информации.

A2 - вычисление вектора x0 в результате решения задачи № 1.

A3 - вычисление моментов окончания разработок t = t x Глава 3. Оптимальные задачи на современном разрабатывающем предприятии t = Dt, 2Dt,..., nDt.

P5 - проверка условия F t, x 0 0 при всех t. Если да, то переход к Я19.

A8 - вычисление h( x0 ) - проекции grad F t j*, x 0 на плоскость (3.2.5).

P - проверка условия F t j*, x 0 0. Если нет, то переход к A6.

тельную к (3.2.7).

А16 - проверка Если да, то переход к Я19.

Я19 - окончание работы алгоритма.

Операторная схема алгоритма имеет следующий вид §3.3 Модель оптимального распределения ресурсов внутри проекта Задача распределения ресурсов внутри проекта возникает, как было указано выше в §3.1, на этапах управления ходом разработки, начиная с этапа аванпроекта. Эта задача лежит в основе формирования оперативного календарного плана по теме (разработке), сводного квартального тематического плана, планов по выпуску технической документации, постройки изделия, подготовки производства, месячных планов цехов основного производства. Основную цель, на выполнение которой направлено решение поставленной задачи, можно сформулировать следующим образом: «необходимо построить оптимальный календарный план выполнения всех работ проекта, который позволяет выполнить проект не позднее директивного срока с минимальными затратами». При этом следует выдержать ограниСтохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками чения на динамику потребления основного ресурса в течение календарного периода.

Как правило, выделяемые для выполнения проекта ресурсы (например, людские, материальные и др.) распределены в течение планового периода равномерно. Поэтому календарный план должен быть составлен таким образом, чтобы уровень ресурсов, потребных для его выполнения в течение планового периода, в любой момент времени был постоянным.

Решение поставленной задачи лежит в основе управления ходом разработки (проекта), т.е. управления на нижнем уровне иерархии рассматриваемой многоуровневой системы. Ход разработки проекта, как объекта управления, в свою очередь представляет собой сложную кибернетическую систему с многочисленными связями, динамическая модель которой достаточно хорошо описывается сетевыми графиками. Состояние этой системы определяется календарным планом или набором упорядоченных пар (TH, t ) по каждой работе проекта, где t - начало выполнения работы, а TH - ее продолжительность. Задача отыскания оптимального календарного плана сводится к решению некоторой экстремальной задачи на сети, для математического описания которой мы будем попользовать общепринятые обозначения.

Пусть G = {Y,U } - сетевой график, определяемый следующей парой множеств; Y - множество событий (вершин); U - множество работ (дуг);

TH = { i, j ; tij, где (i, j ) U } - календарный план выполнения проекта. Здесь Tij T плановое начало выполнения работы (i, j ), tij - продолжительность ее выполнения.

Каждой работе (i, j ) U соответствует числовая функция Cij = fij (t ), где t t ij, t ij - область определения этой функции; S дир - директивный срок выполнения проекта; C - плановая стоимость выполнения проекта в целом.

При этих обозначениях сформулируем задачу отыскания оптимального плана-графика выполнения работ проекта следующим образом.

Пусть календарный план T удовлетворяет ограничениям:

где В области D, описанной ограничениями (3.3.1-3.3.3), требуется найти план Т *, который обращает в минимум целевую функцию стоимости слеГлава 3. Оптимальные задачи на современном разрабатывающем предприятии дующего вида:

Сформулированная задача (3.3.1-3.3.4) относится к задаче математического целочисленного программирования [3.6]. Учитывая большую размерность задачи (число работ проекта может достигать нескольких тысяч), при ее решении использовалось одно упрощающее допущение. Это допущение состояло в том, что решение исходной задачи заменялось последовательными решениями следующих задач.

Задача I. Требуется найти план продолжительностей работ t * = { tij, (i, j ) U }, который удовлетворяет ограничению и обращает в минимум целевую функцию Задача II. При заданном векторе продолжительностей t * = {tij, (i, j ) U } требуется найти вектор T * = { ij*, tij, (i, j )U }, характеризующий начало выT* полнения каждой работы, который удовлетворяет условию (3.3.1) и обращает в минимум целевую функцию следующего вида:

Разработанные методы решения задач I и II позволяют, на наш взгляд, преодолеть трудности, связанные с большой их размерностью благодаря учету специфических особенностей топологии рассматриваемых сетевых графиков. Эти особенности состоят в возможности выделения фрагментов и замене каждого из этих фрагментов одной работой или же небольшим количеством укрупненных работ. Идея выделения фрагментов в свое время широко использовалась при расчете временных параметров сетей Рис. 3.2. Множество вариантов вы- укрупнения исходной информации Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками I. Последовательность («цепочка») работ. Этот тип фрагментов обладает тем свойством, что начало выполнения любой (последующей) работы (кроме первой работы цепочки) является концом выполнения только одной (предыдущей) работы. Обозначим все работы цепочки через (i, j1 ), ( j1, j2 ),K, ( jn, j ), и пронумеруем их в порядке следования.

задаются числовой функцией вида:

Далее, пусть Сij = f it (t ) - числовая функция, отражающая варианты выполнения работы (i, j ) или цепочки в целом. Очевидно, что эта функция имеет следующую зависимость от вариантов выполнения каждой работы цепочки:

В формуле (3.3.7) минимум берется по всем наборам {t1, K, tn }, которые в сумме не превосходят заданного числа t и tk t k. Функция f it (t ) является монотонно невозрастающей и имеет следующий техникоэкономический смысл.

Каждому набору {t1,...,tn } однозначно соответствует значение длины цепочки t = t k и затрат C = Ck (tk ). Если каждое t k пробегает t k, то все наборы {t1,...,tn } отображаются в множество M точек плоскости с осями координат C0t. Эти наборы можно пронумеровать для случая конечных t k.

Каждая из точек множества M представляет собой вариант.выполнения цепочки (i, j ). Однако из множества M можно удалить те варианты с номером P (им соответствуют пары С р, Т р ), для каждого из которых найдется вариант с номером q(Cq,Tq ), если выполняются условия Оставшиеся после удаления точки в плоскости (C, t ) позволяют построить функцию fij (t ). Для этого перенумеруем точки в порядке возрастания t и проведем из любой точки влево прямую, параллельную оси t до тех пор, пока координата t не примет значение координаты предыдущей точки.

Нетрудно видеть, что предложенная процедура построения зависимости fij (t ) позволяет лишь раскрыть ее сущность, однако является практически нереализуемой даже для небольшого количества работ и вариантов.

Глава 3. Оптимальные задачи на современном разрабатывающем предприятии Например, для цепочки с количеством работ, равным 10, и одинаковым числом вариантов, равным 3, для построения функции fij (t ) требуется «просматривать» порядка 310 точек.

Для построения зависимости fij (t ) будем использовать весьма эффективный метод динамического программирования [3.5]. При этом вычисление fij для любого t сводится к последовательному вычислению на k -м шаге (k = 1, n ) значения tk t k так, чтобы получить минимальное значение оптимальному распределению величины x N -1 по (N - 1) -му шагу, и через (x,..., x ) - варианты распределения накопленной суммы t шага, запишем функциональное уравнение, которому удовлетворяет оптимальное распределение после N шагов:

Исходя из сказанного, запишем алгоритм вычисления f it (t ) для любого t в пределах Tmin t Tmax.

Исходная информация для алгоритма.

1. Массивы значений (СN, t N ) - вариантов выполнения N -й работы, где N = 1,2,..., n, n – количество разработок.

Используемые обозначения в алгоритме.

N - номер шага выбора t N по N -й работе цепочки;

X N -1 - запоминаемое значение накопленной суммы гo шага для оптимального варианта;

С N -1 - соответствующее значение затрат;

D - интервал дискретности для просмотра отрезка [Tmin, Tmax ].

Поэтапная реализация алгоритма для последовательной цепочки работ имеет следующий вид:

Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками Этап 8. Вычисление: d m = zm - x N -1.

Этап 9. Сравнение d m 0. Если нет, то переход к этапу 17.

Этап 11. Сравнение d m - t N 0. Если нет, то переход к этапу 14.

Этап 13. Переход к этапу 11.

Этап 14. Вычисление СN = CN -1 + CN (t N-1 ).

Этап 15. Сравнение СN - CN 0. Если нет, то переход к этапу 17.

Этап 16. k : k + 1. Переход к этапу 8.

Этап 18. Сравнение m M. Если нет, то переход к этапу 7.

Этап 20. Сравнение N n. Если да, то переход к этапу 22.

Этап 21. Переход к этапу 2.

Этап 22. Вычисление M : CN = min CN.

Окончание работы алгоритма и выдача результатов: xN, CN и значеM M ния t N, CN (t N ) при N = 1,2,..., n.

Рис. 3.3. Множество параллельных работ Рис. 3.4. Фрагмент сети II. Множество параллельных работ, соединяющих вершины i и j.

Пусть задано множество дуг, соединяющих вершины i и j, и все дуги пронумерованы от 1 до n, как это показано на рис. 3.3.

Каждой дуге с номером k соответствует числовая функция С k = f k (t ), где t t k, определяющая множество вариантов выполнения работы k.

Построим функцию Сij = f ij (t ), определяющую множество вариантов выполнения фрагмента, состоящего из одной работы, соединяющей i и j.

Очевидно, продолжительность t любого варианта выполнения фрагмента лежит в отрезке [Tmin, Tmax ], где Глава 3. Оптимальные задачи на современном разрабатывающем предприятии Область определения t ij функции Cij (t ) состоит из всех точек t, принадлежащих теоретико-множественному пересечению двух множеств t = t U t 2 U,...,Ut n и [Tmin, Tmax ], т.е. t ij = t I [Tmin, Tmax ].

Каждой точке множества t ij соответствует значение функции где tk = max t '.

В качестве примера рассмотрим фрагмент вида рис. 3.4, где III. Сетевой график, имеющий одну начальную и одну конечную вершины. Фрагмент этого типа представляет собой более общий случай по отношению к рассмотренным ранее типам. Этот фрагмент так же, как и раньше, можно заменить эквивалентной ему одной работой, соединяющей начальную и конечную вершины. Однако предложенные ранее методы получения информации по вариантам выполнения укрупненной работы в данном случае неприемлемы.

Рассмотрим теперь постановку задачи укрупнения информации при редукции фрагмента.

Пусть задан сетевой график G = {Y,U }, где Y - множество вершин, из которых одна не имеет входящих работ (вершина O ) и одна не имеет выходящих работ (вершина K ).

Каждой работе (i, j ) U соответствует числовая функция Сij = f ij (t ), где t t ij - произвольное непустое множество.

Пусть t = {tij (i, j ) U } план продолжительностей выполнения работ графика G. Tкр (t ) - длина критического пути графика G. Исходная задача укрупнения информации при редукции фрагмента сводится к построению функции f (t ) следующего вида:

В формуле (3.3.8) минимум берется по всем наборам t = {tij, i, j U }, для которых длина критического пути меньше заданного числа t. Очевидно, t [Tкр (a ) - Tкр (b)], где Точные методы решения поставленной задачи, как, например, методы целочисленного программирования [3.6], слишком громоздки даже для небольшой размерности. Существующие приближенные методы или неэффективны, или (как, например, на базе использования метода статистиСтохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками ческих испытаний [3.4]) требуют большого количества повторных реализаций для получения удовлетворительной точности.

Предложим далее приближенный метод построения зависимости (3.3.8), который состоит в последовательном использовании правила предпочтения при выборе одной дуги сетевого графика и увеличения ее длины, соответствующей следующему варианту.

Правило предпочтения состоит в реализации 2-х этапов:

1) вычисление функции предпочтения F (i, j ) для каждой дуги (i, j ) U ;

2) выделение дуги (i *, j * ) с наибольшим значением функции предпочтения, т.е. F (i *, j * ) = max E (i, j ).

Функция предпочтения E (i, j ) учитывает в прямой зависимости относительную величину D(i, j ) убывания функции затрат fij на единицу увеличения t (i, j ), а также в обратной зависимости - возможную величину D' (i, j ) изменения функции затрат по всем дугам (i -1, j -1 ), лежащим на тех критических путях, которые проходят через дугу (i, j ).

Например, если множество t ij конечно и в момент вычисления функции F (i, j ) дуга (i, j ) имела продолжительность tijk t ij, где k - номер точки множества t ij в порядке возрастания t, то Предполагается, что в формуле (3.3.9) выполняется соотношение t t, и величина D' (i, j ) вычисляется по формуле:

где M pq = {( p, q ) L(i, j ), t k ( p, q ) max t pq }; L(i, j ) - множество путей, проходящих через дугу (i, j ).

Иногда в целях упрощения в качестве D' (i, j ) можно принимать количество дуг, входящих в L(i, j ), или количество путей множества L(i, j ).

Алгоритм построения зависимости (3.3.8) состоит из следующих этапов.

Этап 1. Вычисление длины критического пути Т кр (а ), где Этап 2. Вычисление длины критического пути Т кр (b ), где Этап 3. Вычисление полных резервов Rполн (i, j ) для каждой работы сетевого графика G с метрикой Глава 3. Оптимальные задачи на современном разрабатывающем предприятии тервалов разбиения.

Этап 5. m : = 0, где m - номер интервала разбиения.

Этап 8. Выделение множества работ U ' = {(i, j ) : R полн (i, j ) Am }.

Этап 10. Выделение множества u ' ' = u \ u ' как теоретикомножественной разности множеств U и U '. Количество дуг множества U " обозначим через s m.

Этап 11. Вычисление функции предпочтения F (i, j ) для каждой дуги Этап 13. Сравнение tis, js - tis, +1 0. Если условие не выполнено, то осуk ществляем переход к этапу 19.

Этап 16. Проверка Tкр s m 0. Если условие не выполнено, то переход к этапу 19.

Этап 17. k s : = k s + 1, где k s - варианты выполнения работы по дуге s.

Этап 18. Переход к этапу 13.

Этап 20. Проверка s sm. Если условие не выполнено, то переход к этапу 13.

Этап 22. Проверка m n. Если выполнено, то переход к этапу 25.

Этап 24. Переход к этапу 7.

Этап 25. Остановка ЭВМ и выдача на печать значений Tm, Cm, где Операторная схема приведенного алгоритма имеет вид:

A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 F8 A9 F10 A11 A12 20 P- 19 A14 A15 P - A17 П18 A19 P20 13 A21 P22 25 A23 П 24 Я 25.

Варианты выполнения работы (0,1) состоят в следующем:

t 1,1 = 1, f 01,1 = 6, t 0,2 = 2, f 02,1 = 4, t 0,1 = 3, f 03,1 = 3. Реализация этапов 1-4 алгоритма приводит к результатам:

Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками 3. Значения полных резервов работ графика G с метрикой (b ) следующие:

Как следует из вывода для работы (1, k ) выполняется соотношение R полн (1, k ) = Tкр (b ) - Tкр (o ), поэтому ее можно не рассматривать в процессе оптимизации, задав величину продолжительности ее выполнения максимальной, т.е. равной 3.

Процесс вычисления коэффициента D' (i, j ) (количество путей, проходя-щих через дугу (i, j ) ), следующий:

Результаты расчетов по вычислению зависимости затрат ресурсов от продолжительности выполнения работы (O, K ), соответствующей фрагменту, приведены в табл. 3.1.

Рис. 3.5. Фрагмент производственного сетевого графика.

IV. Фрагмент работ, имеющих несколько входных и несколько выходных вершин. Рассмотрим пример фрагментов общего вида, имеющих несколько входных и выходных вершин, приведенный на рис. 3.6.

Представленный на рис. 3.6 фрагмент F имеет две входные вершины ( O1 и O2 ) и две выходные ( K1 и K 2 ).

Если фрагмент F с n входами и m выходами перенумеровать, т.е.

любой его дуге присвоить конкретное число (продолжительность его выполнения), то при укрупнении его можно заменить графом F, состоящим из работ в количестве n m. Пусть, например, продолжительности работ фрагмента, представленного на рис. 3.6, записаны в следующем виде:

Глава 3. Оптимальные задачи на современном разрабатывающем предприятии Тогда укрупненный фрагмент имеет вид, представленный на рис 3.7.

t * (0) t * (1) t * (2) t * (3) t * (4) t * (5) t (6) Продолжительности работ этого фрагмента представлены так:

Работе (O1, K1 ) укрупненного фрагмента соответствует максимальный путь L(O1, K1 ) исходного фрагмента, соединяющий вершины O1 и K1.

L(O1, K 1 ) : (0,1), (1,2 ), (2,3), (3,4 ), (4,5), (5,6), (6, K 1 ).

Длина пути L(O1, K1 ) равна 12 ед.

L(O1, K 2 ) : (O1,1), (1,2 ), (2,3), (3,4 ), (4,5), (5, K 2 ).

Длина пути L(O1, K 2 ) равна 12 ед.

Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками Длина L(O2, K1 ) равна 11 ед.

L(O2, K 2 ) : (O2, 2 ), (2,3), (3,4 ), (4,5), (5, K 2 ).

Последовательное выделение фрагментов и расчет временных параметров для каждого из фрагментов с последующим расчетом укрупненного сетевого графика позволяют обрабатывать исходные сетевые графики большого размера, значительно превышающего объем оперативной памяти ЭВМ [3.4]. Эта идея легла в основу методологии укрупнения исходной информации при переходе от исходного фрагмента к укрупненному. Следует отметить, что понятие затрат для каждой работы укрупненного фрагмента может не иметь смысла, так как затраты на выполнение укрупненной работы нельзя определять как сумму затрат работ соответствующего максимального пути по следующим причинам.

1. Сумма затрат на выполнение всех укрупненных работ не равна (в общем случае) сумме затрат на выполнение всех работ исходного фрагмента. Сказанное можно записать в следующем виде:

где U - множество всех работ исходного фрагмента.

2. Двум различным укрупненным работам (O p K q ) и (Or K s ), p r, или q s, могут соответствовать пути, содержащие общие работы, т. е.

Однако можно говорить о функции затрат f (t ), зависящей от вектора t = t O p, K q, p = 1, n, q = 1, m, или одновременно от всех его компонент, но в общем случае не являющейся аддитивной функцией компонент вектора t.

Если для всех работ исходного фрагмента заданы варианты выполнения «затраты-время» в виде функции Cij = f ij (t ), (i, j ) U, то для укрупненного фрагмента функцию затрат f (t ) определим следующим образом:

где После этого можно перейти к первой из двух основных задач - задаче формирования оптимальных продолжительностей выполнения работ проекта.

Как было отмечено ранее, задача формирования оптимального плана продолжительностей работ (задача 1) возникает на стадии оперативного планирования хода разработок. Сущность задачи состоит в том, чтобы оптимально, с минимальными затратами в качестве критерия оптимизации, Глава 3. Оптимальные задачи на современном разрабатывающем предприятии спланировать оставшиеся работы в рассматриваемый отрезок времени при дополнительном условии обеспечения выполнения всех работ к директивно заданному сроку.

Рассматриваемая задача относится к классу экстремальных и приобретает особую актуальность для сети большого объема (число работ сетевого графика может достигать нескольких тысяч работ). Существующие классические методы в настоящее время не приспособлены для решения подобных задач.

Однако особенности топологии рассматриваемых сетевых графиков, состоящие в возможности выделения фрагментов, позволяют использовать принцип децентрализации и для решения задач большого объема [3.4].

Сущность этого принципа состоит в последовательной реализации следующих этапов:

1. Выделение множества фрагментов {F n }, n = 1, N, исходного сетевого графика G = {Y,U }. Если обозначить через F n = {Yn,U n }, n = 1,2,..., N, где Yn множество вершин; U n - множество дуг, то выполняются соотношения:

Совокупность фрагментов {U i } мы будем называть иногда разбиением исходного сетевого графика G.

Очевидно, что процедура разбиения графика G на фрагменты не является однозначной, поэтому этот этап трудно поддается формализации.

Однако при разбиении мы будем придерживаться следующего правила: с одной стороны, количество фрагментов, полученных после разбиения, должно быть существенно меньше числа всех работ исходного сетевого графика, с другой стороны, полученные фрагменты должны допускать несложную процедуру укрупнения исходной информации.

2. Реализация укрупнения исходной информации, дифференцированной по типам фрагментов. Для фрагментов 1-3-го типов используются рассмотренные ранее алгоритмы. Для фрагмента 4-го типа используется алгоритм, реализованный в блоке II и описываемый ниже.

3. Построение укрупненного сетевого графика G, соответствующего данному варианту разбиения Y, и подготовка исходной информации по укрупненным работам.

4. Выполнение k -гo шага оптимизации для укрупненного графика G.

Реализация этого этапа приводит к «улучшению» (в смысле рассматриваемого критерия) плана продолжительностей укрупненных работ по сравнению с предыдущим шагом.

5. На базе сформированного вектора t (k ) и решения соответствующей задачи оптимизации для каждого из фрагментов F n осуществляется переход к плану продолжительностей работ фрагмента F n, наилучшим образом соответствующего заданной продолжительности его выполнения.

Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками Многократное иcпользование принципа децентрализации позволяет последовательно улучшать планы продолжительностей исходного сетевого графика G до момента получения локального экстремума.

Переходим к описанию алгоритма поставленной задачи, которая, как это видно из ее математической постановки, является многоразмерной задачей дискретного математического программирования. Поэтому предлагаемый ниже алгоритм включает в себя следующие важнейшие этапы:

1. Переход от дискретной постановки к непрерывной путем сглаживания исходной информации по каждой работе функциями из заданного класса.

2. Преобразованная таким образом задача допускает для своего решения хорошо развитые методы локальной оптимизации (типа наискорейшего списка, случайного поиска и др.). Учитывая то обстоятельство, что исходная информация по вариантам выполнения работ сетевого графика описывается в основном выпуклыми функциями (экономическое обоснование этого факта состоит в том, что каждая единица уменьшения продолжительности работы требует все большего прироста затрат), предложенные методы приводят к глобальному экстремуму.

3. Переход от найденного решения преобразованной задачи к ближайшему (в смысле рассматриваемого критерия) целочисленному по срокам плану, удовлетворяющему всем ограничениям задачи.

Функционирование предлагаемого алгоритма решения задачи 1 основано на последовательном решении следующей группы локальных задач.

Задача 1. Пусть задана функция C = f (t ), где t t ij и t ij - некоторое конечное множество t ij = {tij }, s = 1, s. Требуется найти наилучшую в смысле среднеквадратичного отклонения функцию f (t ) из некоторого класса полиномов Pn, где n - степень полинома.

Если обозначить f (t ) = Co + C1t +,...,Cnt n, то поставленная задача состоит в отыскании вектора С = [Сo*,...,Cn ], который обращает в минимум функцию вида:

Задача 1II. Пусть задан фрагмент F = {Y, U } с n входными вершинами O1,..., On и m выходными K 1,..., K m. По каждой работе (i, j ) U задана функция Cij = f ij (t ), где t t ij =[aij, bij ] и по фрагменту в целом задан вектор T размерности n m, т.е.

Требуется найти вектор t = {tij, (i, j ) U }, который удовлетворяет системе ограничений Глава 3. Оптимальные задачи на современном разрабатывающем предприятии и обращает в минимум функцию следующего вида:

Решение этой задачи позволяет вычислить значение функции затрат, определенной по формуле (3.3.8), для любого плана продолжительностей T рассматриваемого фрагмента.

Задача 1III. Пусть вектор t - решение задачи 2, удовлетворяющее условиям (3.3.14). Требуется для любой дуги (O p, K q ) и заданного d 0 найти приращение Dt вектора t, которое удовлетворяет следующей системе ограничений:

где i p, j q одновременно и обращает в минимум функцию следующего вида:

Решение этой задачи позволяет найти направление g наискорейшего убывания функции затрат для укрупненного фрагмента F n. Точнее, направление g определяется из соотношения (изложено ниже в данном параграфе):

Задача 1IV. Пусть в условиях задачи 1II существует вектор t, который удовлетворяет условиям (3.3.14).

Требуется найти приращение Dt, для которого выполняются соотношения Решение этой задачи позволяет отыскать допустимое направление h убывания функции затрат для укрупненного фрагмента. Точнее говоря, вектор h определяется следующим образом:

Задача 1V. Пусть в условиях задачи 1II функция Cij = f ij (t ) определена на некотором числовом множестве t ij, где t ij = {tij, k = 1, K }, k - номер точки по возрастанию, K - количество точек множества t ij. Пусть далее задан некоторый вектор t {tij, (ij ) U }, где t ij [t ij,..., t ij ]. Вектор t определяет по кажk дой работе (i, j ) U пару индексов p (i, j ) = {k (i, j ), k (i, j ) + 1} таких, что выполняется условие Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками Требуется найти для любой работы (i, j ) U номер точки так, чтобы выполнялось одно из двух условий или чение целевой функции Решение этой задачи позволяет наилучшим образом в смысле критерия f (t ) округлить дробный план по каждой компоненте до целого большего или меньшего значения.

Алгоритмы решения задач 1I-1V отражены в блоках I-V.

Блок I позволяет вычислить наилучший вектор С * параметров полинома n -й степени путем решения следующей системы (n + 1) -го линейного уравнения с (n + 1) -им неизвестным:

где j = 0, n.

В (3.3.22) коэффициенты при неизвестных C0, C1,..., C n включают в качестве своих слагаемых заданный набор из S точек {t i, f i (t i )}, где i = 1, s.

Блок II представляет собой алгоритм решения задачи 1II, который реализуется в двух этапах:

а) алгоритмы формирования начального плана (вектора) продолжительностей t, который удовлетворяет системе ограничений (3.3.14);

б) алгоритм последовательного улучшения вектора до момента получения приближенного экстремума.

Первый из алгоритмов состоит в последовательном увеличении компонент вектора t = {aij, (i, j ) U } до момента выхода на ограничения (3.3.14) и состоит из следующих этапов:

Глава 3. Оптимальные задачи на современном разрабатывающем предприятии Этап 7. Сравнение Tкр t - Tpq 0. Если да, то переход к этапу 11.

Этап 9. Проверка a - a 0. Если условие выполнено, то переход к этапу 19.

Этап 10. Переход к этапу 5.

Этап 12. Проверка q m. Если не выполнено, то к этапу 6.

Этап 14. Проверка p n. Если нет, то к этапу 6.

Этап 16. Восстановление a.

Этап 17. Переход к этапу 3.

путь максимальной длины, соединяющий вершины O p и K q.

Этап 20. Формирование U k = U k -1 / M k -1.

Этап 21. Проверка U k =. Если нет, то к этапу 3.

Этап 22. Окончание работы и выдача параметров вектора t 0 : = t, C t.

Операторная схема описанного алгоритма имеет вид:

Второй алгоритм задачи 1II (блок IIб) состоит в последовательном улучшении исходного вектора t, которое состоит в вычислении допустимого в пределах ограничений вектора убывания целевой функции h(t ) в текущей точке t и в переходе к очередному вектору t вдоль направления h(t ) с шагом a. Эта процедура продолжается до тех пор, пока приближенно не выполнится необходимое условие экстремума. Алгоритм состоит из следующих этапов:

Этап 1. Формирование исходного плана t.

Этап 3. Вычисление вектора h t наискорейшего убывания целевой функции, удовлетворяющего ограничениям (3.3.14).

Этап 4. Проверка условия оптимальности вектора t, (g, h ) 0. Если да, то к этапу 19.

Этап 7. Вычисление t ijk = max {aij, tkij-1 - a hkij-1 }, hkij-1 0 (i, j ) U k.

Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками Этап 8. Вычисление Tкр t, где t = {t ij, (i, j ) U }.

Этап 11. Проверка условия a - a 0. Если да, то к этапу 13.

Этап 12. Переход к этапу 5.

Этап 14. Проверка q m. Если нет, то к этапу 7.

Этап 16. Проверка p n. Если нет, то к этапу 13.

Этап 18. Восстановление a и переход к этапу 5.

Этап 19. Окончание работы и выдача компонент вектора t, C t.

Блок III является алгоритмом решения задачи 1III.

Суть алгоритма состоит в выделении множества работ U pg, которые принадлежат путям L pg и не принадлежат критическим путям Lkp, соеди- kl няющими вершины Ok, K l.

Далее обращаемся к блоку IIб, где оптимизация осуществляется по работам множества U pq, а неравенство (3.3.14) для рассматриваемых p, q принимает следующий вид:

Блок IV осуществляет решение задачи 1IV путем моделирования вектора смещений Dt относительно заданного t и проверку ограничений (3.3.20-3.3.21).

Алгоритм состоит из следующих этапов:

Этап 1. Моделирование вектора x = { ij, (i, j ) U }, где x ij - случайная веx личина, равномерно распределенная на отрезке [- 1, + 1].

Этап 2. Расчет вектора Dt = {Dt ij, (i, j ) U }, где Этап 3. Расчет вектора t + Dt.

Этап 4. Проверка выполнения условий (3.3.20-3.3.21) для вектора t + Dt. Если нет, то к этапу 1.

Этап 5. Окончание работы и выдача на печать координат вектора Блок V осуществляет решение задачи 1V, или переход от дробного плана к некоторому целому.

Он состоит из следующих этапов:

Этап 1. Округление каждой компоненты вектора t до ближайших цеГлава 3. Оптимальные задачи на современном разрабатывающем предприятии Этап 2. Вычисление F (i, j ) (функции предпочтения) для каждой дуги Этап 3. Упорядочение множества U в порядке убывания F (i, j ).

Этап 6. Проверка выполнения условий (3.3.14). Если да, то переход к этапу 8.

Этап 8. Формирование множества U = U \ (i*, j *).

Этап 9. Проверка условия U =. Если нет, то переход к этапу 3.

Этап 10. Окончание работы и выдача результатов. Операторная схема алгоритма имеет вид:

которая заключается в установлении оптимальных сроков TH (i, j ) начала * выполнения всех работ (i, j ), продолжительность которых t ij определена после первого этапа оптимизации.

Одним из наиболее эффективных вычислительных методов оптимизации функционалов вида (3.3.6), заданного в области D, определенной неравенствами (3.3.1), является сочетание метода статистических испытаний и случайного локального поиска.

Приведенный ниже алгоритм оптимизации включает в себя два самостоятельных этапа: моделирование исходного случайного плана начал выполнения каждой работы TH (i, j ) и последовательное улучшение плана TH на основе локального случайного поиска.

На первом этапе алгоритма для каждой работы (i, j ) U устанавливаются начала выполнения всех работ TH (i, j ) в пределах полных резервов (операторы 1 - 6). Далее моменты TH (i, j ) корректируются так, чтобы не было пересечений отрезков выполнения предшествующих и последующих работ (операторы 7 - 17).

Скорректированный план Tн начал продолжительностей всех работ принимается за исходный T H.

На втором этапе осуществляется последовательное улучшение исходного плана T H путем моделирования смещений (операторы 18, 19). После l итераций в результате работы алгоритма определяем план T Н, близкий к локальному экстремуму.

Алгоритм оптимизации состоит из следующих операторов:

A1 - расчет раннего t p (i ) и позднего t n (i ) сроков свершения любого соСтохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками бытия i p.

A2 - расчет полных резервов работ Rn (i, j ), где (i, j ) U.

A3 - вычисление количества работ K (i, j ) сетевого графика, имеющих резерв Rn (i, j ).

F 4 - моделирование случайного вектора h = { ij, (i, j ) U } с равномерh ным распределением на отрезке [0,1] каждой его компоненты hij.

F 5 - моделирование случайного вектора v = {vij, (i, j ) U }, каждая компонента n ij имеет плотность распределения вероятностей Pij (x ) :

При моделировании используется реализация случайной величины hij [3.4].

A6 - расчет моментов начала и окончания каждой работы:

F 7 - k := 1, Q0 = 0, k - номер уровня работ исходного сетевого графика.

F 8 - формирование множества событий Pk :

P9 - проверка условия Pk =. Если да, то переход к F17.

F 10 - формирование множества событий Qk' Pk, где F 11 - формирование Qk = Qk' U Qk -1.

P12 - проверка условия t0 (i, j ) tn ( j ) для всех i Qk -1, (i, j ) U. Если нет, то переход к A15.

P13 - проверка условия t0 (i, j ) t H ( j, l ) для всех ( j, l ) U. Если нет, то переход к A16.

F17 - m := 0, TH : = T H, где m - количество итераций в случайном поиске.

Глава 3. Оптимальные задачи на современном разрабатывающем предприятии F 18 - моделирование случайного вектора h = { ij, (i, j ) U } с равномерh ным распределением на отрезке [- 1, 1] каждой его компоненты hij.

A20 - вычисление вектора TH +1 = t H +1 (i, j ), (i, j ) U, где t H +1 (i, j ) = t H (i, j ) + aR (i, j )xij, a - шаг продвижения по направлению x.

Если да, то переход к A24.

A22 - p := p + 1 ( p - счетчик «неудачных испытаний»).

P23 - проверка условия p P. Если «нет», то переход к Я30. Если «да», то переход к F 18.

A24 - вычисление функционала N T H P27 - сравнение m M ( M - назначаемое заранее количество испытаний). Если «да», то переход к F 18 и p := 1.

P29 - cравнение l L. Если да, то переход к F 8.

§3.4 Модели оптимизации комплекса аванпроектов разрабатывающего предприятия с детализированными ресурсами 3.4.1 Введение Процесс управления комплексом проектов создания объектов новой техники на современном разрабатывающем предприятии начинается с этапа аванпроекта.

На этом этапе ход разработки нового изделия носит вероятностный характер и обычно представлен цепочкой взаимосвязанных операций со случайными продолжительностями их выполнения. Каждая из операций осуществляется группой разработчиков различных специальностей, число которых по каждому шифру специальностей индивидуально для каждой операции, задается заранее и не меняется в процессе выполнения операции. Общее количество разработчиков каждого типа на предприятии ограничено, вследствие чего в процессе реализации нескольких разработок одновременно отдельные операции могут стоять в очередях ввиду отсутствия свободных разработчиков. Для каждого проекта задается директивный Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками срок окончания реализации этапа аванпроекта, доверительная вероятность выполнения аванпроекта в срок и (в некоторых случаях) степень важности этого проекта в виде приоритетного коэффициента. Для каждого шифра специальностей разработчиков заранее задается стоимость содержания разработчика (аренда, заработная плата и др.) за единицу времени.

Требуется по каждому шифру специальностей определить оптимальные суммарные количества разработчиков по предприятию в целом, которые:

- обеспечили бы выполнение всех аванпроектов в соответствующие директивные сроки и с соответствующими доверительными вероятностями, и - минимизировали бы математическое ожидание расходов на содержание всех разработчиков в течение срока реализации аванпроектов.

Второй оптимизационной задачей (обратной первой) является определение оптимального набора разработчиков, который:

- обеспечивает максимизацию взвешенного произведения приоритетных коэффициентов и фактических доверительных вероятностей выполнения проектов в директивные сроки;

- имеет ограниченный сверху и заранее заданный объем финансирования по расходам на содержание разработчиков.

В настоящем разделе будут рассмотрены обе оптимизационные задачи. В процессе решения последних примем, что для каждого из аванпроектов РП входящие в состав аванпроекта операции осуществляются с помощью детализированных ресурсов, возобновляемых в процессе их потребления - разработчиков различных специальностей.

Теоретические основы и модели п.3.4 рассмотрены в [3.7-3.8, 3.12].

3.4.2 Формализация модели управлении проектами Введём следующую терминологию:

n - число проектов (аванпроектов) P i, 1 i n, каждый из которых представлен цепочкой операций Oic, 1 c mi ;

mi - число операций в проекте P i ;

t ic - случайная продолжительность операции Oic ;

t ic - математическое ожидание случайной величины t ic ;

Vic - дисперсия случайной величины t ic ;

rick - мощность k -го ресурса (количество разработчиков k -й специальности), используемая в процессе реализации Oic (постоянна и задаётся заранее), 1 k d ;

d - количество потребляемых ресурсов;

Rk - суммарные k -ресурсы (общее число разработчиков k -й специальности), находящиеся в распоряжении РП (оптимизируемая переменГлава 3. Оптимальные задачи на современном разрабатывающем предприятии ная);

Di - директивный срок окончания аванпроекта P i (задаётся заранее);

Pi - допустимая вероятность окончания аванпроекта P i в директивный срок Di (задаётся заранее);

S ic - фактическое время начала реализации операции Oic (случайная величина); S ic определяется в процессе решения конфликтных ситуаций при одновременной реализации нескольких проектов;

Fic - момент завершения операции Oic (случайная величина);

Fi - момент окончания выполнения i -го проекта; Fi = Sim + tim (случайi i ная величина);

pi {R k, Di } - вероятность выполнения проекта P i в срок (на основе имитационного моделирования системы) при условии, что системе выделены постоянные наличные ресурсы Rk, 1 k d ( R k - вектор ресурсов);

Wk (S ic, t ) - суммарная мощность задействованных ресурсов типа k в момент t при условии, что операции Oic стартуют в момент S ic ;

Rk (t ) = Rk - Wk (S ic, t ) - наличные свободные ресурсы k -го типа, готовые к реализации новых операций;

S k - стоимость аренды и содержания единицы k -го ресурса (то есть, одного разработчика k -й специальности) за единицу времени, 1 k d (постоянна и задается заранее);

DRk - шаг поиска оптимального значения Rk, 1 k d (задаётся заранее);

e - оценка погрешности целевой функции при поиске оптимального решения;

h i - индекс приоритета (степень важности) проекта P i (задаётся заранее). Если проект Пi имеет более высокую степень важности, нежели проект Пi, имеет место hi hi Обычно имеет место hi hi pi* pi*, и наоборот;

Rk min - нижняя грань возможного числа разработчиков k -й специальности на РП, 1 k d (задаётся заранее);

Rk max - верхняя грань возможного числа разработчиков k -й специальности на РП, 1 k d (задаётся заранее).

Заметим, что имеют место соотношения Ограничение (3.4.1) очевидно, ибо в противном случае некоторые из Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками аванпроектов не смогут быть вообще реализованы. В случае невыполнения ограничения (3.4.2) часть разработчиков вообще не примет участие в процессе реализации аванпроектов.

3.4.3 Прямая оптимизационная задача минимизации количества разработчиков Математическая формулировка задачи имеет следующий вид [3.7-3.8, 3.12].

Определить оптимальные детерминированные значения Rk, 1 k d, (на этапе, предшествующем реализации аванпроектов), и случайные значения S ic, 1 i n, 1 c mi (в процессе реализации аванпроектов), с тем, чтобы минимизировать целевую функцию с ограничениями (3.4.1-3.4.3) и Задача (3.4.4-3.4.6) является исключительно сложной стохастической оптимизационной задачей, которая не имеет классического решения. Последнее может быть достигнуто только путём комбинации эвристики, имитации и покоординатных методов оптимизации.

Алгоритм решения задачи (3.4.4-3.4.6) будет изложен ниже. При этом, в целях упрощения, мы будем впредь полагать Min S i1 = 0.



Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 7 |
 


Похожие работы:

«Н.А. Березина РАСШИРЕНИЕ АССОРТИМЕНТА И ПОВЫШЕНИЕ КАЧЕСТВА РЖАНО-ПШЕНИЧНЫХ ХЛЕБОБУЛОЧНЫХ ИЗДЕЛИЙ С САХАРОСОДЕРЖАЩИМИ ДОБАВКАМИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ - УЧЕБНО-НАУЧНО-ПРОИЗВОДСТВЕННЫЙ КОМПЛЕКС Н.А. Березина РАСШИРЕНИЕ АССОРТИМЕНТА И ПОВЫШЕНИЕ КАЧЕСТВА РЖАНО-ПШЕНИЧНЫХ ХЛЕБОБУЛОЧНЫХ ИЗДЕЛИЙ С САХАРОСОДЕРЖАЩИМИ ДОБАВКАМИ...»

«V MH MO Межрегиональные исследования в общественных науках Министерство образования и науки Российской Федерации ИНОЦЕНТР (Информация. Наука. Образование) Институт имени Кеннана Центра Вудро Вильсона (США) Корпорация Карнеги в Нью-Йорке ( С Ш А ) Ф о н д Д ж о н а Д. и Кэтрин Т. МакАртуров (США) ИНОЦЕНТР информация наука • образование Данное издание осуществлено в рамках программы Межрегиональные исследования в общественных науках, реализуемой совместно Министерством образования и науки РФ,...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСТИТЕТ ЭКОНОМИКИ, СТАТИСТИКИ И ИНФОРМАТИКИ (МЭСИ) КАФЕДРА УПРАВЛЕНИЯ ЧЕЛОВЕЧЕСКИМИ РЕСУРСАМИ КОЛЛЕКТИВНАЯ МОНОГРАФИЯ ИННОВАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ УПРАВЛЕНИЯ ЧЕЛОВЕЧЕСКИМИ РЕСУРСАМИ Москва, 2012 1 УДК 65.014 ББК 65.290-2 И 665 ИННОВАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ УПРАВЛЕНИЯ ЧЕЛОВЕЧЕСКИМИ РЕСУРСАМИ: коллективная монография / Под редакцией к.э.н. А.А. Корсаковой, д.с.н. Е.С. Яхонтовой. – М.: МЭСИ, 2012. – С. 230. В книге...»

«Межрегиональные исследования в общественных науках Министерство образования и науки Российской Федерации ИНОЦЕНТР (Информация. Наука. Образование) Институт имени Кеннана Центра Вудро Вильсона (США) Корпорация Карнеги в Нью-Йорке (США) Фонд Джона Д. и Кэтрин Т. МакАртуров (США) Данное издание осуществлено в рамках программы Межрегиональные исследования в общественных науках, реализуемой совместно Министерством образования и науки РФ, ИНОЦЕНТРом (Информация. Наука. Образование) и Институтом имени...»

«Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО Иркутский государственный университет Н. В. Задонина, К. Г. Леви ХРОНОЛОГИЯ ПРИРОДНЫХ И СОЦИАЛЬНЫХ ФЕНОМЕНОВ В СИБИРИ И МОНГОЛИИ Монография 1 УДК 316.334.5 ББК 55.03 З–15 Печатается по решению редакционно-издательского совета Иркутского государственного университета и ученого совета Института земной коры СО РАН Рецензенты: д-р геол.-минерал. наук, проф. В. С. Имаев д-р геол.-минерал. наук, проф. Р. М. Семенов Ответственный редактор: д-р физ.-мат....»

«московский ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. Ломоносова ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ И.П.Пономарёв Мотивация работой в организации УРСС Москва • 2004 ББК 60.5, 65.2 Пономарёв Игорь Пантелеевич Мотивация работой в организации. — М.: EдитopиaJ^ УРСС, 2004. — 224 с. ISBN 5-354-00326-1 В данной монографии сделана попытка дальнейшего развития теории мо­ тивации, построена новая модель мотивации работника работой и описано про­ веденное эмпирическое исследование в организациях г. Москвы. Предложенная...»

«Министерство образования и науки, молодежи и спорта Украины Государственное учреждение „Луганский национальный университет имени Тараса Шевченко” ЛИНГВОКОНЦЕПТОЛОГИЯ: ПЕРСПЕКТИВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ Монография Луганск ГУ „ЛНУ имени Тараса Шевченко” 2013 1 УДК 81’1 ББК 8100 Л59 Авторский коллектив: Левицкий А. Э., доктор филологических наук, профессор; Потапенко С. И., доктор филологических наук, профессор; Воробьева О. П., доктор филологических наук, профессор и др. Рецензенты: доктор филологических...»

«Министерство образования Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Ю. И. ПОДГОРНЫЙ, Ю. А. АФАНАСЬЕВ ИССЛЕДОВАНИЕ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ МЕХАНИЗМОВ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ МАШИН НОВОСИБИРСК 2000 УДК 621.01.001.63 П 441 Рецензенты: д-р техн. наук А. М. Ярунов, канд. техн. наук В. Ф. Ермолаев Подгорный Ю. И., Афанасьев Ю. А. П 441 Исследование и проектирование механизмов технологических машин: Монография. – Новосибирск. Изд-во НГТУ, 2000. – 191 с. ISBN 5-7782-0298- В монографии...»

«В.А. КАЧЕСОВ ИНТЕНСИВНАЯ РЕАБИЛИТАЦИЯ ПОСТРАДАВШИХ С СОЧЕТАННОЙ ТРАВМОЙ МОСКВА 2007 Оборот титула. Выходные сведения. УДК ББК Качесов В.А. К 111 Интенсивная реабилитация пострадавших с сочетанной травмой: монография / В.А. Качесов.— М.: название издательства, 2007.— 111 с. ISBN Книга знакомит практических врачей реаниматологов, травматологов, нейрохирургов и реабилитологов с опытом работы автора в вопросах оказания интенсивной реабилитационной помощи пострадавшим с тяжелыми травмами в отделении...»

«ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИЙ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО Е. А. МОЛЕВ БОСПОР В ПЕРИОД ЭЛЛИНИЗМА Монография Издательство Нижегородского университета Нижний Новгород 1994 ББК T3(0) 324.46. М 75. Рецензенты: доктор исторических наук, профессор Строгецкий В. М., доктор исторических наук Фролова Н. А. М 75. Молев Е. А. Боспор в период эллинизма: Монография.—Нижний Новгород: изд-ва ННГУ, 19Н 140 с. В книге исследуется...»

«Министерство образования и науки Украины ГОСУДАРСТВЕННОЕ ВЫСШЕЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р.Н. ТЕРЕЩУК КРЕПЛЕНИЕ КАПИТАЛЬНЫХ НАКЛОННЫХ ВЫРАБОТОК АНКЕРНОЙ КРЕПЬЮ Монография Днепропетровск НГУ 2013 УДК 622.281.74 ББК 33.141 Т 35 Рекомендовано вченою радою Державного вищого навчального закладу Національний гірничий університет (протокол № 9 від 01 жовтня 2013). Рецензенти: Шашенко О.М. – д-р техн. наук, проф., завідувач кафедри будівництва і геомеханіки Державного вищого...»

«У истоков ДРЕВНЕГРЕЧЕСКОЙ ЦИВИЛИЗАЦИИ Иония -V I вв. до н. э. Санкт- Петербург 2009 УДК 94(38) ББК 63.3(0)32 Л24 Р ец ен зен ты : доктор исторических наук, профессор О. В. Кулиш ова, кандидат исторических наук, доцент С. М. Ж естоканов Н аучн ы й р ед ак то р кандидат исторических наук, доцент Т. В. Кудрявцева Лаптева М. Ю. У истоков древнегреческой цивилизации: Иония X I— вв. VI Л24 до н. э. — СПб.: ИЦ Гуманитарная Академия, 2009. — 512 с. : ил. — (Серия Studia classica). ISBN...»

«Федеральное агентство по образованию Тверской государственный технический университет 85-летию Тверского государственного технического университета посвящается Н.И. Гамаюнов, С.Н. Гамаюнов, В.А. Миронов ОСМОТИЧЕСКИЙ МАССОПЕРЕНОС Монография Тверь 2007 УДК 66.015.23(04) ББК 24.5 Гамаюнов, Н.И. Осмотический массоперенос: монография / Н.И. Гамаюнов, С.Н. Гамаюнов, В.А. Миронов. Тверь: ТГТУ, 2007. 228 с. Рассмотрен осмотический массоперенос в модельных средах (капиллярах, пористых телах) и реальных...»

«ОМСКАЯ АКАДЕМИЯ МВД РФ КЕМЕРОВСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ЗАОЧНОГО ОБУЧЕНИЯ С. П. Звягин ПРАВООХРАНИТЕЛЬНАЯ ПОЛИТИКА А. В. КОЛЧАКА Кемерово Кузбассвузиздат 2001 ББК 63.3(0)61 345 Рецензенты: кафедра истории России Кемеровского государственного университета (заведующий - доктор исторических наук, профессор С. В. Макарчук); доктор исторических наук, профессор, заведующий кафедрой истории и документоведения Томского государственного университета Н. С. Ларьков Ф о т о г р а ф и и н а о б л о ж к е (слева...»

«УДК 323.1; 327.39 ББК 66.5(0) К 82 Рекомендовано к печати Ученым советом Института политических и этнонациональных исследований имени И.Ф. Кураса Национальной академии наук Украины (протокол № 4 от 20 мая 2013 г.) Научные рецензенты: д. филос. н. М.М. Рогожа, д. с. н. П.В. Кутуев. д. пол. н. И.И. Погорская Редактор к.и.н. О.А. Зимарин Кризис мультикультурализма и проблемы национальной полиК 82 тики. Под ред. М.Б. Погребинского и А.К. Толпыго. М.: Весь Мир, 2013. С. 400. ISBN 978-5-7777-0554-9...»

«Семченко В.В. Ерениев С.И. Степанов С.С. Дыгай А.М. Ощепков В.Г. Лебедев И.Н. РЕГЕНЕРАТИВНАЯ БИОЛОГИЯ И МЕДИЦИНА Генные технологии и клонирование 1 Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Министерство здравоохранения и социального развития Российской Федерации Омский государственный аграрный университет Институт ветеринарной медицины и биотехнологий Всероссийский научно-исследовательский институт бруцеллеза и туберкулеза животных Россельхозакадемии Российский национальный...»

«УДК 80 ББК 83 Г12 Научный редактор: ДОМАНСКИЙ Ю.В., доктор филологических наук, профессор кафедры теории литературы Тверского государственного университета. БЫКОВ Л.П., доктор филологических наук, профессор, Рецензенты: заведующий кафедрой русской литературы ХХ-ХХI веков Уральского Государственного университета. КУЛАГИН А.В., доктор филологических наук, профессор кафедры литературы Московского государственного областного социально-гуманитарного института. ШОСТАК Г.В., кандидат педагогических...»

«Межрегиональные исследования в общественных науках Министерство образования и науки Российской Федерации ИНО-Центр (Информация. Наука. Образование) Институт имени Кеннана Центра Вудро Вильсона (США) Корпорация Карнеги в Нью-Йорке (США) Фонд Джона Д. и Кэтрин Т. МакАртуров (США) Данное издание осуществлено в рамках программы Межрегиональные исследования в общественных науках, реализуемой совместно Министерством образования и науки РФ, ИНО-Центром (Информация. Наука. Образование) и Институтом...»

«МИНИСТЕРСТВО СПОРТА, ТУРИЗМА И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ВОЛГОГРАДСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ФИЗИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ Н.Н.Сентябрев, В.В.Караулов, В.С.Кайдалин, А.Г.Камчатников ЭФИРНЫЕ МАСЛА В СПОРТИВНОЙ ПРАКТИКЕ (МОНОГРАФИЯ) ВОЛГОГРАД 2009 ББК 28.903 С315 Рецензенты Доктор медицинских наук, профессор С.В.Клаучек Доктор биологических наук, профессор И.Н.Солопов Рекомендовано к изданию...»

«Межрегиональные исследования в общественных науках Министерство образования и науки Российской Федерации ИНОЦЕНТР (Информация. Наука. Образование) Институт имени Кеннана Центра Вудро Вильсона (США) Корпорация Карнеги в Нью Йорке (США) Фонд Джона Д. и Кэтрин Т. МакАртуров (США) Данное издание осуществлено в рамках программы Межрегиональные исследования в общественных науках, реализуемой совместно Министерством образования и науки РФ, ИНОЦЕНТРом (Информация. Наука. Образование.) и Институтом...»














 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.