WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 7 |

«Д.И. Голенко-Гинзбург СТОХАСТИЧЕСКИЕ СЕТЕВЫЕ МОДЕЛИ ПЛАНИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ РАЗРАБОТКАМИ Воронеж Научная книга 2010 УДК 621.39:519.2 ББК 65.291.217 Г 60 Рецензенты: д.т.н., профессор ...»

-- [ Страница 1 ] --

Институт проблем управления Университетский Центр

им. В.А.Трапезникова РАН Самарии

(Москва, Россия) (Ариэль, Израиль)

Д.И. Голенко-Гинзбург

СТОХАСТИЧЕСКИЕ СЕТЕВЫЕ

МОДЕЛИ ПЛАНИРОВАНИЯ И

УПРАВЛЕНИЯ РАЗРАБОТКАМИ

Воронеж

«Научная книга»

2010 УДК 621.39:519.2 ББК 65.291.217 Г 60 Рецензенты:

д.т.н., профессор А.К.Погодаев (Липецкий государственный технический университет);

д.т.н., профессор В.А.Ириков (Московский физико-технический институт (университет)) Научный редактор: д.т.н., профессор В.Н. Бурков Г 60 Голенко-Гинзбург Д.И. Стохастические сетевые модели планирования и управления разработками: Монография. – Воронеж: «Научная книга», 2010. – 284 с.

ISBN 978-5-98222-646- Монография посвящена описанию моделей стохастического сетевого планирования на различных стадиях осуществления процесса разработки и является логическим продолжением описания методологических основ планирования, контроля и управления разработками и, одновременно, продолжением опубликованных автором и его научной школой серии монографий в этой области. Особое внимание уделено проблемам оптимального распределения ресурсов как между проектами, так и внутри проекта.

УДК 621.39:519. ББК 65.291. Г ISBN 978-5-98222-646-4 © Д.И. Голенко-Гинзбург, Оглавление Предисловие научного редактора

Введение

Часть I. Стохастические сетевые модели с детерминированной структурой

Глава 1. Вероятностные сетевые модели с детерминированной структурой

§1.1. Обоснование закона распределения продолжительности выполнения работ в сетевых моделях

§1.2. Оценка параметров закона распределения в системе PERT........... §1.3. Вероятностная сетевая модель на основе двух оценок

§1.4. Аналитические методы расчета параметров сетей со случайными продолжительностями операций

§1.5. Вероятностные параметры сетевых моделей на основе имитационного моделирования

§1.6. Вопросы управления в вероятностных сетевых моделях с детерминированной структурой

Глава 2. Статистические методы оптимизации комплекса сетевых моделей

§2.1. Статистические методы оптимизации сетевых моделей с детерминированными параметрами

§2.2. Оптимизация разработок со случайными оценками продолжительности операций для случая детализированных ресурсов

§2.3. Оптимизация комплекса сетевых моделей по стоимости............... §2.4. Имитационная модель разработки

Глава 3. Оптимальные задачи на современном разрабатывающем предприятии

§3.1. Технико-экономическая постановка задач

§3.2. Вопросы оптимального распределения затрат между проектами §3.3. Модель оптимального распределения ресурсов внутри проекта. §3.4. Модели оптимизации комплекса линейных аванпроектов разрабатывающего предприятия с детализированными ресурсами

§3.5. Двухуровневые задачи планирования и управления на разрабатывающем предприятии (РП)

Глава 4. Многоуровневая система планирования, контроля и управления комплексом одновременно реализуемых сетевых проектов типа PERT-COST

§4.1. Цели и объект исследования

§4.2. Терминология

§4.3. Вспомогательные задачи 1 и 2

§4.4. Модели оптимального распределения бюджета между несколькими сетевыми проектами

§4.5. Модели оптимального распределения выделенных проектам бюджетных средств между работами проектов

§4.6. Модели оперативного контроля для группы стохастических сетевых проектов PERT-COST

§4.7. Обобщенная иерархическая модель контроля и управления группой сетевых проектов PERT-COST

§4.8. Планирование и управление системой сетевых проектов PERTCOST большого объема

Глава 5. Модели календарного планирования для стохастических сетевых проектов с детализированными ресурсами................ §5.1. Введение

§5.2. Модель календарного планирования для группы линейных проектов

§5.3. Обобщенная модель календарного планирования для группы проектов типа PERT

Часть II. Альтернативные стохастические сетевые модели управления разработками

Глава 6. Альтернативные стохастические сетевые модели................ §6.1. Основные задачи управления процессами создания сложных комплексов в обстановке неопределенности

§6.2. Обзор существующих моделей и методов альтернативного сетевого планирования (АСМ)

§6.3. Состав, структура, и классификация альтернативных сетевых моделей

§6.4. Математическая модель альтернативной сети

Глава 7. Исследование однородных неуправляемых альтернативных сетей

§7.1. Простейшие альтернативные сети с разъединительными путями

§7.2. Анализ альтернативных сетей с соединительными путями.......... §7.3. Альтернативные сети с пересекающимися I/J – фрагментами.... Глава 8. Управляемые альтернативные сетевые модели

§8.1. Смешанные вполне разделимые управляющие АСМ класса CAAN

§8.2. Универсальная смешанная управляющая альтернативная модель GAAN

§8.3. Гибридные альтернативные сетевые модели

§8.4. Построение оптимальных планов на основе анализа совокупных вариантов

Указатель литературы

Предисловие научного редактора Настоящая монография выходит в важный период развития экономики Российской Федерации, когда впервые широким фронтом идет развитие новых, не имеющих близкого прототипа, научно–технических идей (инноваций) либо технологических принципов. Если вопросы генерирования новых научных идей встречаются в современной литературе, то практически отсутствуют публикации о методологии доведения этих идей до новых, уникальных продуктов. Процессы создания последних не только реализуются в условиях неопределенности, но и характеризуются многовариантностью и стохастичностью достижения конечных или промежуточных результатов. Важность и принципиальная новизна задач управления вероятностными процессами проектирования новых наукоемких продуктов требует их отдельного и детального исследования. Именно такого рода проблемам посвящена монография профессора Д.И. Голенко-Гинзбурга, особенно носящий пионерный характер раздел II, посвященный выбору оптимального пути достижения конечной цели для новых проблем научно – технического прогресса, отличающихся высоким уровнем неопределенности. На наш взгляд, разработанный в монографии теоретический аппарат, основанный на использовании альтернативных стохастических сетевых моделей, может быть использован при «прокладывании путей» к конечному продукту для широкого класса новых идей и подходов. В частности, описанный автором метод выбора оптимального варианта процесса перехода от идеи к конечной цели особенно эффективен в случае проведения исследований по параллельным альтернативным направлениям, основанным на конкурирующих научно-технических принципах. Это, как правило, требует выполнения повторных испытаний и, в ряде случаев, даже повторения крупных стадий программ НИР и ОКР при недостаточно высокой эффективности выбранного ранее направления. Описанные модели стохастического альтернативного сетевого планирования доведены до алгоритмов и программ.

На наш взгляд, отдельные разделы монографии могут быть уже сегодня эффективно использованы при планировании, контроле и мониторинге процесса реализации инноваций при модернизации научно-технического прогресса.

Научный редактор академик РАЕН, Введение Отличительной особенностью современности является резкое возрастание масштабов и сложности научных и технических исследований и разработок. В этих условиях эффективный мониторинг разработками обуславливает совершенствование моделей и методов управления последними на основе новейших достижений прикладной математики. Учитывая, что практически большинство научно-исследовательских работ и опытноконструкторских разработок реализуются, в настоящее время, в обстановке случайных воздействий, обстоятельств и помех на основе аппарата сетевых моделей, автор сосредоточил основное внимание на описании моделей стохастического сетевого планирования на различных стадиях осуществления процесса разработки.

Настоящая монография является логическим продолжением описания методологических основ планирования, контроля и управления разработками и, одновременно, продолжением опубликованных автором и его научной школой (см. [1.1, 1.3–1.7]) серии монографий в этой области. В настоящее время эти монографии являются библиографической редкостью и практически недоступны широкому кругу читателей. В предлагаемую монографию включен ряд новых результатов в области альтернативных стохастических сетевых проектов, включая разработку моделей оперативного контроля и регулирования проектами. Особое внимание уделено проблемам оптимального распределения ресурсов как между проектами, так и внутри проекта. Разработанные и описанные в монографии многоуровневые системы управления типа: компания проект модели опроса о ходе реализации проекта модели оперативного контроля по вероятности календарные планы выполнения отдельных, входящих в состав проекта, операций – основаны на широком использовании моделей принятия решений в обстановке неопределенности и моделей выработки управляющих воздействий для каждого из иерархических уровней.

Автор сознательно исключил из рассмотрения использование моделей сетевого планирования и управления в некоторых других областях экономического прогресса, например, моделей мониторинга сложных инвестиционно-строительных проектов. На наш взгляд, последние, по сравнению с научно-исследовательскими и опытно-конструкторскими разработками, характеризуются как существенным ростом уровня детерминизма, так и изменениями логической структуры сетевого графа проекта. Для ряда строительных процессов сетевые модели представлены циклическими графами, тогда как сетевые проекты мониторинга разработками всегда носят ациклический характер.

Входящие в состав представляемой монографии модели носят многоуровневый характер и основаны на комбинации методов имитационного моделирования и приближенных эвристических методов и моделей оптимизации сложных нелинейных систем.

В частности, нами широко используется покоординатный метод кратчайшего спуска [3.11] и ряд других приближенных методов оптимизации.

Монография предназначена для инженеров и математиков, работающих в научно-исследовательских и опытно-конструкторских организациях, а также для студентов и аспирантов по специальностям «Управление в социальных и экономических системах» и «Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами».

В описании отдельных моделей, методов и алгоритмов принимали участие мои ученики А. Бен-Яир, А. Гоник, А. Малышева, Ш. Ситняковский, Е. Сидоренко, Г. Манухов и О. Будков, которым автор выражает глубокую признательность.

Неоценимую помощь в процессе подготовки рукописи к печати оказали научный редактор монографии профессор Владимир Николаевич Бурков и заведующий кафедрой управления строительством ВГАСУ профессор Сергей Алексеевич Баркалов.

Глава 1. Вероятностные сетевые модели с детерминированной структурой

ЧАСТЬ I

СТОХАСТИЧЕСКИЕ СЕТЕВЫЕ

МОДЕЛИ С ДЕТЕРМИНИРОВАННОЙ

СТРУКТУРОЙ

Глава 1. Вероятностные сетевые модели с детерминированной структурой §1.1 Обоснование закона распределения продолжительности выполнения работ в сетевых моделях Во всех системах сетевого планирования и управления (СПУ), в которых работы (операции) подвержены влиянию случайных воздействий [1.3принимается, что продолжительность работ сетевой модели является случайной величиной. Предполагается, что случайные величины продолжительности работ подчинены принятому для данной системы СПУ закону распределения, причем тип распределения принимается одинаковым для всех работ. Что касается параметров распределения, то последние задаются для каждой работы их ответственными исполнителями на основе либо нормативных данных, либо априорных соображений, либо своего производственного опыта.

В системах СПУ типа PERT, например, задаются три параметра: нижняя грань а области определения (оптимистическое время), верхняя грань b (пессимистическое время) и мода распределения m (наиболее вероятное время).

В других системах СПУ (например, в некоторых отечественных) задаются всего два параметра - оценки а и b. Практически во всех системах СПУ априорно принимается, что плотность распределения временных оценок продолжительности работ обладает тремя свойствами: а) непрерывностью, б) унимодальностью, в) двумя неотрицательными точками пересечения этой плотности с осью абсцисс. Простейшим распределением с подобными свойствами является бета-распределение, которое обычно постулируется на практике. Общий вид бета-распределения характеризуется, помимо наличия большого количества случайных факторов, каждый из которых в отдельности оказывает незначительное, несущественное влияние, наличием нескольких, также случайных, факторов, число которых невелико, а влияние существенно. В результате воздействия существенных факторов распределение вероятностей обычно делается асимметричным. Именно такого рода обстоятельство имеет место при реализации подавляющего большинства входящих в сетевой проект работ. Отсюда вытекает возможность выбора бетараспределения в качестве априорного типового [1.3-1.7, 1.15-1.16, 1.26Анализ большого количества статистических данных (хронометражи Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками времен реализации отдельных работ, нормативные данные и т. д.) также подтверждает возможность использования бета-распределения в качестве априорного.

Формула плотности бета-распределения имеет следующий вид:

где B( p, q ) - бета-функция, причем а гамма-функция Г(z) определяется по формуле причем для целых z функция G(z ) = 1 2... (z - 1) = (z - 1)! Начальный момент r -го порядка определяется формулой При r = 1 получаем математическое ожидание Для дисперсии ( r = 2 ) имеем Вид функции (1.1.1) зависит от показателей p и q, причем для p (и, соответственно, для q 2 ) функция распределения обращается в 0 в левой (или правой) конечной точке вместе с ее первой производной. Для 1 p 2 (и, соответственно, 1 q 2 ) кривая имеет вертикальную касательную в левой (правой) конечной точке. Для 0 p 1 (и, соответственно, 0 q 1 ) функция уходит в бесконечность, если значения x соответствуют левой (правой) конечной точке, причем вертикальная прямая, проведенная из левой крайней точки, будет ее асимптотой. Для p 0 (и, соответственно, q 0 ) интеграл равен бесконечности, так что функция распределения перестает существовать.

Рассмотрим одно из обоснований целесообразности принятия закона бета-распределения, [1.3, 1.8], основанное на построении модели случайной величины времени окончания работы в сетевом проекте.

Пусть начало выполнения работы относится к моменту T0, а ее окончание представляет собой случайную величину, изменяющуюся в интервале (T1,T2 ).

Величина T1 представляет собой время окончания работы, которое опГлава 1. Вероятностные сетевые модели с детерминированной структурой ределяется причинами, лежащими в существе данной работы, и называется [1.3] 1-м технологическим временем для данной работы. Аналогично, величина T2 носит название 2-го технологического времени для работы.

Плотность распределения случайной величины окончания работы определим, исходя из следующих предположений:

1. Весь интервал времени выполнения работы (T0,t ) состоит из интервалов, относящихся, собственно, к работе, и интервалов, относящихся к задержкам.

2. Длительность времени, равная T1 - T0, относится, собственно, к работе, а длительность t - T1 относится к задержкам.

3. Отрезок времени T1 - T0 разбит на n одинаковых частей длительноT -T стью (T1 - T0 ) n. Если на первом интервале T0,T0 + 1 0 возникает задержn ка, то после момента t1 = T0 + работа прекращается, и в последующий интервал времени от t1 до t1 = t1 + D, где D = (Т 2 - Т1 ) n, происходит устранение возникшей задержки и работа снова возобновляется только с момента t1. Если на интервале (T0,t1 ) не возникает задержек, то после t1 работа продолжается. Затем учитывается возможность затруднений на следующем втором, и т.д. Очевидно, что если на каждом этапе задержек не возникнет, то работа закончится в момент T1, а если задержки возникнут на каждом этапе, то работа окончится в момент T2. Если в общей сложности возникаT2 - T 4. Событие, заключающееся в том, что на i -м этапе возникло затруднение, определяется i -й выборкой из некоторой генеральной совокупности.

5. Единичный элемент генеральной совокупности содержит долю p «благоприятствия затруднениям».

6. С каждым этапом генеральная совокупность увеличивается на величину J, причем, если на предыдущем этапе возникли задержки, то J благоприятствовало задержкам и не благоприятствовало в противном случае. Если через Aik обозначить событие, заключающееся в том, что на (i + 1) -м этапе возникла задержка при условии, что на предыдущих i этапах возникло k задержек, то вероятность события Aik будет иметь вид 7. Составляется разность вероятностей задержек на i -м этапе при наСтохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками личии k + 1 и k задержек на предыдущих этапах и относится к вероятности задержек на i -м этапе при полном отсутствии задержек на предыдущих этапах. В результате получается соотношение Из этой формулы видно, что в работах [1.3, 1.8] рассматривается такой закон задержек, для которого относительная величина задержек постоянна. При этом можно показать, что распределение вероятностей для случайной величины m имеет вид Действительно, число последовательностей из n этапов, на которых возникло m задержек, равно числу сочетаний C nm. Каждая последовательность имеет одну и ту же вероятность ибо после того, как на h этапах затруднения возникли, а на k этапах не возникли, вероятность задержек и вероятность отсутствия задержек на следующем этапе выражаются, соответственно, числами Отсюда вытекает утверждение (1.1.7). Отметим, что отсутствие зависимости вероятности задержек от предыдущего этапа является частным случаем (n = 0 ) написанного выражения для p m,n и представляет собой известное биномиальное распределение. В дальнейшем находится предельное выражение для вероятности pm, n при условии, что n неограниченно возрастает. Из формулы (1.1.7) имеем n ® или Dx ® 0 и, интегрируя, получим Глава 1. Вероятностные сетевые модели с детерминированной структурой откуда видно, что плотность вероятности случайной величины x = lim выражается формулой в которой B(a, b ) есть функция Эйлера и которая совпадает с (1.1.1).

Таким образом, x является случайной величиной, распределенной по закону бета-распределения (1.1.1). Замена переменных x = (t - a )a -1 (b - a ) приводит к хорошо известной формуле бета-распределения с плотностью §1.2 Оценка параметров закона распределения в системе PERT Информацией, которая служит основой для построения теоретиковероятностного аппарата системы PERT, является задаваемая сетевая модель процесса выполнения проекта, а также оценки некоторых параметров распределения продолжительности работ t (i, j ) в сетевой модели [1.3-1.6].

В настоящем параграфе мы опишем, главным образом, методологические основы системы PERT. В основу исследования и построения теоретико-вероятностного аппарата сетевой модели положены следующие допущения [1.18-1.21].

1. Продолжительность произвольной работы t (i, j ) есть случайная величина, распределенная по закону бета-распределения на отрезке [a, b] с плотностью 2. Параметры закона распределения j (t ) - математическое ожидание M (i, j ) и дисперсия s 2 (i, j ) - определяются по формулам где aij, bij и mij - соответственно, оптимистическая, пессимистическая и наиболее вероятная (мода) оценки, задаваемые ответственными исполнителями работы (i, j ).

Ряд других допущений относится к методике расчета параметров сети в целом и будет рассмотрен в следующей главе. Как будет показано ниже, формулы (1.2.2-1.2.3) носят полуэмпирический характер.

Рассмотрим функцию плотности j (t ) при значениях p -1 = a, q -1 = g, Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками где Параметры M, m ', s 2, в этом случае, примут значения причем мода m' связана с оценками продолжительности работы a, bиm Значение m (и, соответственно, m' ) задается ответственными следует, что параметры a и g распределения связаны между собой соотношением Поскольку для конкретной работы (i, j ) величина постоянна, то удобно записать следующую формулу:

в которой свободный параметр a определяет семейство кривых этой плотности. При уменьшении a кривая плотности становится более пологой и стремится к равномерному закону распределения с дисперсией s 2 = и M = 0,5. При больших значениях a кривая плотности характеризуется уменьшением асимметрии и стремится к форме кривой плотности нормального распределения.

При m' ® 1 распределение (1.2.9) стремится к степенной функции Ct a, при m' ® 0 j (t ) стремится к d -функции Дирака. Резкие колебания m' ведут к существенным изменениям величины коэффициента асимметрии. Таким образом, кривая плотности (1.2.9) обладает свойством унимодальности, непрерывности и имеет две неотрицательные точки пересечения с абсциссой, то есть удовлетворяет постулированным свойствам закона распределения продолжительности работ в сети, описанных в предыдущем параграфе.

Положим t = (x - a ) (b - a ) и перейдем к ненормированному распределению Глава 1. Вероятностные сетевые модели с детерминированной структурой ся из уравнения Нетрудно установить, что для первого и второго моментов – математического ожидания M и дисперсии D (обозначаемых K1 и K 2 ) – существуют следующие соотношения:

Центральные моменты высшего порядка определяются по следующей формуле:

Эта формула действительна при n = 2, 3,...

Формулу для K1 можно написать в виде Отсюда получаем На основе детального статистического анализа, проведенного эмпирико-экспериментальным путем, разработчиками математического аппарата системы PERT было установлено, что a + g » 4. Отсюда немедленно вытекает следующая модификация формулы (1.2.12):

и т.д.

Дисперсия D при a + g = 4 определяется, исходя из формулы (1.2.14) следующим образом:

Если мода соответствует средней арифметической (a + b / 2 ) значение ; если мода лежит возле a, дисперсия s 2 = 5(b - a ) / 252. Мы видим, таким образом, что в зависимости от положения моды среднее квадратическое отклонение колеблется в интервале (b - a ), (b - a ). Это и позволило разработчикам системы PERT вместо громоздкой, хотя и более точной Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками формулы (1.2.15), принять приближенное равенство Что касается математического ожидания M, то первая из формул (1.2.14) приводит к известному в литературе о системе PERT соотношению В ряде зарубежных источников (например, в [1.18-1.21] приводится несколько другое обоснование вывода формул (1.2.16-1.2.17). На основании полученных Э.С.Пирсоном соотношений a = 2 + 2, g = 2 - 2 или a = 2 - 2, g = 2 + 2, можно получить формулы (1.2.16), (1.2.17), исходя из ранее полученных соотношений (1.2.11) и (1.2.12).

Однако, в этом случае, мы жестко закрепляем значение оценки m' (или величины m, поскольку m = m' (b - a) + a ), что противоречит принципу задания оценки m ответственным исполнителем на основании его субъективного опыта.

Мы видим, таким образом, что теоретико-вероятностный аппарат системы PERT содержит ряд неустранимых противоречий, критика которых будет рассмотрена ниже. Их причина, в основном, кроется в невозможности точного вывода формул (1.2.16) и (1.2.17) на основе уравнения (1.2.10), поскольку три параметра из четырех в этом уравнении определены заданием ответственными исполнителями оценок a, b, и m, а какие-либо дополнительные допущения немедленно влекут за собой противоречия в методике задания этих трех оценок.

§1.3 Вероятностная сетевая модель на основе двух оценок В предыдущем параграфе главы нами было установлено, что принятые в системе PERT допущения относительно закона распределения временных оценок в сетевых моделях приводят к неустранимым противоречиям. Что касается требования к исполнителям работ в системе PERT относительно задания трех временных оценок a, b, и m, то оно является, нередко, весьма затруднительным. Особенные трудности вызывает необходимость задания моды распределения, особенно, в случае работ, по которым не накоплена достаточная статистика. Между тем, в современных НИОКР процент таких работ велик.

В работах [1.3-1.6, 1.16] нами построен теоретико-вероятностный аппарат, использующий меньшее число задаваемых оценок, и разработаны формулы расчета параметров распределения продолжительностей выполнения работ. В основу проведенного исследования было положено требование построения для любой конкретной сетевой модели такого обобщенного распределения времени выполнения входящих в нее работ, которое требовало бы задания меньшего количества оценок, нежели система PERT, и которое, в принятом нами смысле, было бы оптимальным по отношению к заданной, с помощью трех оценок ответственными исполнителями работ, Глава 1. Вероятностные сетевые модели с детерминированной структурой информации.

Будем считать, что сетевая модель состоит из N работ Ri (1 i N ), для каждой из которых ответственными исполнителями задаются три оценки ai, bi, и mi.

Искомое оптимальное распределение мы будем искать среди класса бета-распределений, задаваемых, в общем виде, по известной формуле плотности (1.2.1), где a и g - неизвестные и подлежащие оценке показатели, на которые накладывается весьма существенное ограничение: они не должны меняться от работы к работе.

Поскольку распределение pi (x ) должно, в некотором смысле, оптимально аппроксимировать заданную числовую информацию ai, bi, mi (1 i N ), необходимо установить критерии этой оптимальности, на основании которых можно оценить степенные показатели a и g. Разумеется, такого рода критерии будут установлены априорно.

Во-первых, распределение pi (x ) для каждой из работ Ri формирует соответствующую моду Li. Необходимо таким образом оценить параметры распределения pi (x ), чтобы множество значений {Li } оптимально аппроксимировало множество заданных значений {mi }, полученных от ответственных исполнителей. Такого рода аппроксимация может быть построена аналитическим путем, в частности, с помощью известного метода наименьших квадратов. Необходимо подобрать такие значения показателей a и g, чтобы сумма квадратов отклонений была минимальной. Таким образом, Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками Соотношение (1.3.3), как легко видеть, не определяет однозначно степенные показатели a и g. Необходимо ввести второй критерий соответствия распределения pi (x ) эмпирическим значениям.

Как известно [1.10-1.16, 1.18-1.21], методика системы PERT предусматривает так называемую усредненную модель. Для всех входящих в сетевой проект работ определяется математическое ожидание Mx времени выполнения соответствующей работы по формуле (1.2.2), после чего все параметры сети оцениваются исходя из средних значений. Ниже будет показано, что для достаточно широкого класса сетевых проектов такого рода методика не является обоснованной. Однако, в случае, когда разброс значений параметров работ невелик (диапазон изменений незначителен), или, иными словами, уровень неопределенности случайных величин продолжительности работ сетевой модели близок к детерминированному, такого рода алгоритмы могут применяться. Необходима разработка такой универсальной методики, которая, в зависимости от характеристики сетевой модели, могла бы быть использована как для расчета с помощью усредненного метода, так и для оценки параметров сети другими методами (например, методом статистического моделирования). Отсюда вытекает второе, налагаемое на параметры распределения pi (x ), требование: вычисленное на основе закона pi (x ) множество теоретических значений {Mxi } должно оптимальным образом (в смысле метода наименьших квадратов) совпадать с множеством средних {x i }, оцениваемых по формуле (1.2.2). Выполнение этого требования дает возможность однозначно оценить значения степенных показателей a и g таким образом, чтобы заменить трехоценочную методику на двухоценочную и, одновременно, сохранить полноту объема информации, полученной с помощью трехоценочной методики.

Задаем второе условие:

Отсюда получаем Из соотношения = 0 значение q можно легко определить:

Глава 1. Вероятностные сетевые модели с детерминированной структурой Полученные соотношения (1.2.3) и (1.3.6) однозначно определяют значения a и g и, тем самым, однозначно формируют закон распределения pi (x ) для любой работы, входящей в данный сетевой проект.

Таким образом, в формулу pi (x ) параметрами входят области определения времени выполнения работ ai и bi, задаваемые ответственными исполнителями, и, вычисляемые на основании соотношений (1.3.3) и (1.3.6), степенные показатели a и g. В отличие от параметров ai и bi значения a и g неизменны для всех работ, входящих в данный сетевой проект. Мы, таким образом, переводим информацию о сетевой модели, задаваемую тремя оценками, в эквивалентную информацию об этой же модели, задаваемую лишь двумя оценками.

Аналогичные законы распределения были построены для большого количества сетевых проектов, после чего была поставлена задача выбора такого обобщенного распределения, которое зависело бы только от двух параметров a и b и было бы справедливо практически для любого сетевого проекта. Многочисленные эмпирические исследования показали, что величины a и g, определенные для большого количества сетевых проектов, концентрируются около постоянных значений a » 1, g » 2. Последние были приняты в качестве стандартных степенных показателей, и, тем самым, был построен закон распределения с плотностью, зависящей лишь от двух параметров:

Здесь C – константа, которая легко определяется из условия Получаем плотность распределения в интервале от a до b :

Распределение (1.3.7) относится к классу бета-распределений и имеет следующие параметры:

1) математическое ожидание причем можно показать, что всегда m x ;

Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками 3) дисперсию Подставив в формулу плотности распределения (1.2.10) определенное по формуле (1.3.9) значение m' = (m - a) /(b - a) = 1 / 3 и значение a = 1, получим плотность (1.3.7) как частный случай плотности (1.2.10). Следовательно, плотность распределения (1.3.7) отвечает всем требованиям: унимодальности, непрерывности и наличию двух неотрицательных точек пересечения с осью абсцисс.

Таким образом, изложенная выше методика оценки параметров распределения на основании двух задаваемых временных оценок отличается рядом преимуществ по сравнению с методикой системы PERT. Существенно уменьшается объем информации, который требуется от исполнителя работы: он должен задавать только два параметра – оптимистическую и пессимистическую оценку продолжительности выполнения этой работы.

Важно отметить, что применение двухоценочной методики носит универсальный характер. Эту методику можно, с одинаковым успехом, использовать как при расчете детерминированных (или близких к ним) сетей, так и при моделировании стохастических сетевых проектов (используя заложенный в этой методике закон распределения).

К недостатку двухоценочной методики следует отнести сужение класса бета-распределений по сравнению с используемым в системе PERT. Отказ от использования наиболее вероятной оценки (моды m ) для некоторых видов работ может деформировать закон распределения в сторону большего отклонения от действительного. Однако, статистические свойства п р о е к та в ц е л о м, как это показывают результаты статистического анализа, не претерпевают существенных изменений.

Рассмотрим более подробно методику статистического анализа соответствия эмпирического распределения времени выполнения входящих в сетевую модель работ, задаваемых ответственными исполнителями этих работ, распределению (1.3.7). При этом используем следующую методику сопоставления. Для каждой из входящих в сетевую модель работ, на основании оптимистического и пессимистического времени a и b по формуле (1.3.9), определим значение моды m. Одновременно, исполнители работ задают значение m, исходя из PERT. Заметим, что исполнители работ не должны быть знакомы с применяемой методикой, основанной на двух оценках, и, таким образом, на их решение ничего не влияет. По каждой работе, следовательно, имеются две оценки значения m – вычисляемая по формуле (1.3.9) и задаваемая исполнителем работ. Объединив полученные данные по всем входящим в сеть работам, мы получаем две эмпирические совокупности. Предстоит определить, принадлежат ли обе сравниваемые эмпирические совокупности к одной генеральной или расхождения наГлава 1. Вероятностные сетевые модели с детерминированной структурой столько существенны, что эту гипотезу следует отбросить. В последнем случае необходимо сделать вывод, что формула (1.3.7) недостаточно точно аппроксимирует распределение вероятностей временных оценок для работ.

Для проверки указанной гипотезы на практике использовался [1.3] критерий Вилкоксона, основанный на числе инверсий, причем исследованию подвергалось несколько сетевых моделей различных объемов. Случаев существенности расхождения эмпирических совокупностей, по данным критерия, не наблюдалось ни разу.

Аналогичный статистический анализ двух эмпирических совокупностей проводился для средних значений (оцениваемых, соответственно, по формулам (1.3.8) и (1.2.2)). Результаты сопоставления также подтвердили несущественность расхождения.

Помимо изложенного выше статистического анализа, для ряда сетевых проектов производилось сравнение эмпирического распределения реальных продолжительностей выполнения входящих в сетевой проект работ с распределением (1.3.7). Для каждой из уже завершенных работ ее фактическая продолжительность нормировалась относительно установленных для этой работы оптимистического и пессимистического времени, после чего эмпирическое распределение нормированной продолжительности сопоставлялось по аналогичной методике с распределением (1.3.7), для которого области определения были, соответственно, равны нулю и единице.

Заметим, что такого рода сопоставление производилось на основе системы статистических критериев согласия – критериев 2, А.Н.Колмогорова и 2. Результаты сопоставления также оказались вполне удовлетворительными.

В заключении отметим, что двухоценочная методика (1.3.7-1.3.10) весьма эффективна для статистического моделирования сетевых проектов.

С помощью метода Неймана [1.2] имитация (розыгрыш) закона распределения (1.3.7) проста в применении и, как показывает анализ [1.3-1.4], превосходит по эффективности ряд классических способов генерирования случайных величин. Следует сначала смоделировать значение закона распределения при a = 0, b = а в дальнейшем перейти к имитации закона распределения по формуле §1.4 Аналитические методы расчета параметров сетей со случайными продолжительностями операций В настоящем параграфе главы приведем классификацию аналитических методов расчета параметров (в основном, продолжительности выполнения проекта) вероятностных сетей.

Вероятностной сетью, в данной классификации, будем называть сеть с детерминированной структурой, допускающей правильную [1.4, 1.15] нуСтохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками мерацию событий (вершин), и случайными длительностями работ (длинами направленных дуг).

Процессы выполнения современных проектов характеризуются большой сложностью структуры и состава операций, отображаются вероятностными сетевыми моделями, содержащими до нескольких десятков тысяч работ.

Поэтому алгоритмы расчета вероятностных сетей должны быть ориентированы на машинную реализацию, что обусловливает использование численных методов. Наиболее точные численные результаты могут быть получены с помощью статистического моделирования вероятностных сетей. Однако непосредственное моделирование сетей большой размерности требует больших затрат машинного времени и машинной памяти, в силу чего становится неэффективным либо приводит к снижению требуемой точности из-за сокращения числа реализации.

Указанные обстоятельства существенно повышают роль статистических методов расчета вероятностных сетей. При этом наиболее перспективным представляется использование аналитических методов в комбинации со статистическим моделированием.

Правильная нумерация вершин сети означает, что i j для любой дуги (i, j ), где i – начальная вершина дуги, j – конечная вершина этой дуги.

Условиями осуществления правильной нумерации являются:

а) наличие в сети только одной исходной вершины, в которую не входит ни одна дуга;

б) наличие в сети только одной завершающей вершины, из которой не выходит ни одной дуги;

в) отсутствие в сети замкнутых контуров;

г) соединение любых двух смежных вершин только одной дугой.

Под аналитическими методами расчета понимаются алгоритмы, ориентированные на машинную реализацию и допускающие аналитическую запись в виде метода временного расчета вероятностной сети.

Таким образом, из рассмотрения исключаются методы, основанные на использовании статистического моделирования.

Для классификации приняты следующие характеристики:

1. Тип структуры (ограничения, накладываемые на структуру) вероятностной сети.

2. Законы распределения вероятностей длительностей работ (р. в.).

3. Предположения о независимости длительности работ или о типе зависимости.

4. Априорные предположения о законе распределения вероятностей сроков свершения событий сети.

5. Расчетные параметры.

6. Метод расчета.

7. Особенности вычислительной реализации.

Глава 1. Вероятностные сетевые модели с детерминированной структурой Все методы расчета вероятностных сетей можно, условно, разделить на два класса. К первому классу относятся методы (ниже пронумерованные как I-IV, VII), основанные на вычислении оценок моментов или параметров распределения вероятностей длины критического пути. Ко второму классу отнесем методы (V, VI, VIII, IX) вычисления аппроксимаций функции или плотности распределения вероятностей длины критического пути.

Предварительно, введем следующие обозначения:

B j – множество работ (i, j ), непосредственно предшествующих событию j (событие j является конечным для этих работ);

D j – множество номеров начальных вершин всех работ множества B j ;

Al = U Bm – множество работ, предшествующих событию l ;

t B j – вектор, координатами которого являются случайные длительности работ множества B j.

I. Методы, применяемые в системе PERT [1.2, 1.10-1.16].

1. Вероятностная сеть произвольной структуры.

2. Бета-распределение на отрезке [a, b].

3. Независимые случайные величины.

4. Нормальный закон распределения.

5. Основным расчетным параметром является оценка (нижняя) математического ожидания (м.о.) длины максимального пути до любого события от исходного или от завершающего события и, в частности, длины критического пути.

Кроме того, вычисляются оценки дисперсий и, при использовании предположения п. 4, получают распределения вероятностей сроков совершения событий, по которым могут быть вычислены вероятностные характеристики сети: p -квантили сроков свершения событий и работ, резервов времени; вероятности свершения событий и работ в заданные сроки, вероятностные коэффициенты напряженности и т. д.

6. Расчет вероятностной сети сводится к временному расчету полностью детерминированной сети, где в качестве длительностей работ взяты математические ожидания их длительностей (или «ожидаемые» длительности).

Таким способом вычисляются нижние оценки математических ожиданий сроков свершения событий, которые используются в качестве соответствующего параметра нормального закона (см. п. 4). Другой параметр нормального закона – дисперсия ( s 2 ) – оценивается как сумма дисперсий работ, лежащих на максимальном (по математическому ожиданию) пути к соответствующему событию.

6. Основным недостатком метода является использование, в качестве математического ожидания, времени свершения события нижней оценки этого математического ожидания. Кроме того, несправедливо предполоСтохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками жение о нормальном законе распределения времени свершения события.

Однако, эти недостатки компенсируются простотой алгоритмов расчета и возможностью получения большого числа различных характеристик работ и событий сети ( p -квантилей сроков свершения и резервов времени, вероятностей свершения в заданные сроки, вероятностных коэффициентов напряженности и др.). Поэтому методы PERT получили значительное распространение и обусловили разработку различных модификаций этих методов.

II. Метод Фалкерсона [1.14] 1. Произвольный.

2. Любое ограниченное дискретное распределение.

3. Задается совместное распределение длительностей работ каждого множества Bm (m = 1, n ) и предполагается независимость между собой случайных векторов t B, т.е. предполагается, что где P(t L ) - многомерное дискретное распределение вероятностей вектора t L длительностей работ множества L;

4. Отсутствуют.

5. Рассчитывается улучшенная (по сравнению с оценкой g, получаемой методом PERT) нижняя оценка f i ; математическое ожидание m j времени свершения события j и, в частности, завершающего события сети (полный расчет сети). Для этой оценки справедливы неравенства В случае несправедливости предположения п. 3 может не выполняться неравенство 6. Основной идеей метода является вычисление оценок f i рекуррентно (в порядке правильной нумерации событий) как результата воздействия оператора математического ожидания на формулу для расчета детерминированных сетей:

где M – оператор математического ожидания; i j, так как сеть правильно занумерована.

В формуле (1.4.3) в качестве случайных рассматриваются лишь величины t (i, j ), а оценка f i, вычисленная на предыдущем этапе, рассматривается как численная величина.

Рекуррентная формула для вычисления оценки f i записывается слеГлава 1. Вероятностные сетевые модели с детерминированной структурой дующим образом:

где сумма берется по всем значениям вектора t B и t (i, j ) является значениj ем его i -й координаты.

Улучшение оценки достигается за счет роста объема вычислений, так как в процессе расчета f i приходится перебирать все возможные сочетания значений длительностей работ из множества B j (непосредственно предшествующих событию j ).

III. Метод Клингена [1.12] (обобщение метода Фалкерсона на непрерывные распределения).

1. Любой (ограничения отсутствуют).

2. Любые ограниченные законы р. в.

3. Дополнительно (по сравнению с предыдущим методом) предполагается независимость длительностей работ внутри каждого множества B j ( j = 1, 2,..., n ). Это допущение является не более сильным, чем обычно принимаемое допущение о независимости всех работ сети.

4. Отсутствуют.

5. Улучшенная (по сравнению с PERT) оценка C j математического ожидания времени свершения события j.

6. Допущение п. 3 позволяет избавиться от вычисления многомерного интеграла от многомерной плотности распределения вектора t B, и, в реj зультате, интегральное распределение F j (z ) случайной величины h j получаем в виде произведения сдвинутых на величины C j функций где Fij (z ) – интегральное распределение длительности работы (i, j ) ; Ci – вычисленная на предыдущем этапе оценка Клингена математического ожидания времени свершения начального события работы (i, j ) из множества B j ;

Обобщение метода Фалкерсона на непрерывные распределения достигается с помощью записи оператора математического ожидания в виде интеграла Стилтьеса:

Эта рекуррентная (т.к. сдвиг функций Fij (z ) в формуле (1.4.6) зависят от величины Ci ) формула пригодна как для непрерывных, так и для дисСтохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками кретных распределений. Здесь нижний и верхний пределы a j и b j распределения времени свершения события j вычисляются следующим образом:

где aij, bij - соответственно, нижний и верхний пределы длительности работы (i, j ).

В случае непрерывных распределений интеграл (1.4.6), с помощью интегрирования по частям, приводится к виду В случае дискретных распределений интеграл (1.4.6) может быть подсчитан по формуле где zk = zk + d для малых d 0.

Причем, значения Fj (zk+ ) и Fj (z ) подсчитываются по формуле (1.4.5) как произведения значений ступенчатых функций Fij (zk+ - Ci ) и Fij (zk - Ci ), соответственно.

Значения последних функций в точках zk и zk+ определяются следующим образом:

где Pij (zm ) - вероятность дискретного значения z m.

7. При машинной реализации, в случае непрерывных распределений, значительные трудности могут вызывать перемножение сдвинутых функций интегральных распределений по формуле (1.4.5) и последующее интегрирование.

IV. Метод Кларка [1.5, 1.11] 1. Любой (ограничения отсутствуют).

2. Нормальный закон.

3. Предполагается независимость.

4. Нормальный закон.

5. Рассчитываются оценки начальных моментов порядка с первого по четвертый.

6. Оператор вычисления соответствующего момента применяется к формуле Форда-Фалкерсона (1.4.3), где все величины рассматриваются как случайные. В силу того, что сроки свершения непосредственно предшествующих событий (в общем случае) являются зависимыми, предварительно Глава 1. Вероятностные сетевые модели с детерминированной структурой вычисляются соответствующие коэффициенты корреляции. Основой метода являются формулы для вычисления начальных моментов 1-го и 2-го порядков n 1 и n 2 р.в. максимума двух коррелированных случайных величин xi и x j с математическими ожиданиями mi, m j и дисперсиями s i2, s 2 : j Моменты распределения максимума нескольких случайных величин вычисляются рекуррентно с помощью формул (1.4.9), (1.4.10) и формулы для вычисления коэффициента корреляции r (xk, y ) полученной случайной величины y = max (xi, x j ) с третьей случайной величиной x k :

Формулы (1.4.9-1.4.11), так же как и формулы для вычисления моментов 3-го и 4-го порядков, выведены Кларком в предположении, что на каждом этапе вычисления максимума вновь получается нормальное распределение. В этих формулах использованы следующие обозначения:

Источником погрешностей данного метода является лишь предположение о сохранении на каждом этапе действия нормального закона. Однако, значительные трудности при реализации на ЭВМ вызывает расчет попарных коэффициентов корреляции между длинами путей, ведущих к каждому событию. Причем, в работе [1.11] нет формализованного алгоритма для расчета этих коэффициентов.

Объем вычислений и их сложность резко возрастают с увеличением числа работ в сети.

V. Метод С.Я. Виленкина [1.2].

1. Любой (ограничения отсутствуют).

2. Ограниченное распределение, например, бета-распределение.

3. Предполагается независимость.

4. Длина h k любого пути от исходного до завершающего события предполагается распределенной нормально, т.е. предполагается m -мерный нормальный закон ( m – число путей) для совместной плотности распределения величин h k.

5. Аппроксимация интегральной функции распределения длины критического пути.

Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками 6. Длина критического пути h max рассматривается как максимум случайных длин всех путей h k (k = 1, 2,..., m ).

Для упрощения вычисления m -мерного интеграла, дающего выражение для интегральной функции распределения длины критического пути, подынтегральная функция плотности f (x1, x2,..., xm ) раскладывается в m мерный ряд Грамма-Шарлье типа А (по полиномам Эрмита), порожденным функцией При этом, можно ограничиться лишь несколькими членами ряда. После интегрирования ряда аппроксимация интегральной функции длины критического пути выражается через табулированную функцию интеграла вероятности F ( y ) и полиномы Эрмита H k (x) :

где сn,...,n - коэффициенты разложения в m -мерный ряд, выражающиеся через моменты плотности В силу предположения п. 3 математическое ожидание и дисперсия длины пути подсчитываются суммированием математических ожиданий и дисперсий работ, лежащих на этом пути. Коэффициенты корреляции матрицы r jk подсчитывают по формуле где s tjk - дисперсия работ, принадлежащих обоим путям j и k.

7. Для случаев сетевых моделей большого объема метод приводит к существенным вычислительным трудностям.

VI. Метод Мартина [1.22].

1. Последовательно-параллельные сети.

2. Плотности распределений описываются полиномами ограниченной степени.

3. Предполагается независимость.

4. Отсутствуют.

5. Функция распределения длины критического пути.

6. Используются алгоритмы приведения последовательных и параллельных подсетей к одной эквивалентной дуге.

Эквивалентная интегральная функция G m (t ) p. в. времени выполнения последовательной подсети, состоящей из m работ, определяется с помоГлава 1. Вероятностные сетевые модели с детерминированной структурой щью рекуррентной свертки плотностей f k длительностей работ Интегральная функция р. в. длины эквивалентной дуги для параллельной подсети из n дуг определяется следующим образом:

Алгоритмы приведения реализуются на ЭВМ достаточно просто в случае использования полиномов (см. п. 2) и последовательнопараллельных сетей.

Следует отметить, что в работе [1.22] рассматривается также случай отказа от ограничения п. 1. Вероятностную сеть произвольной структуры можно преобразовать в последовательно-параллельную форму, в которой уже не все пути являются взаимно независимыми, так как могут содержать общие работы. Это преобразование достигается с помощью представления сети в виде дерева путей. Для этого случая предлагаются модифицированные алгоритмы приведения.

Модификация алгоритмов заключается в том, что сначала фиксируются некоторые значения длин xi вектора X = {xi } всех дуг, входящих более чем в один путь. При фиксированном значении вектора X справедливы формулы (1.4.14) и (1.4.15) параллельного и последовательного приведения для условных распределений.

Формула (1.4.14) для алгоритма последовательного приведения изменяется лишь в случае, когда очередная дуга xk X. В этом случае свертка заменяется сдвигом на значение xk :

С помощью формул последовательного приведения определяется условная интегральная функция р.в. длины пути y i Условная интегральная функция FT (t X ) р.в. длины критического пути T определяется из соотношения Учитывая, что при фиксированном значении вектора X длины путей являются независимыми, то аналогично (1.4.15) получаем В силу предположения п. 3 совместная плотность f ( X ) р.в. координат вектора X Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками где f i (xi ) – плотность р.в. длины пути xi.

Интегрируя функцию FT (t X ) по всем значениям вектора X, находим функцию Вычисление интеграла (1.4.16) связано с большими трудностями даже при умеренной размерности m.

VII. Метод А. А. Мешкова [1.3, 1.5].

1. Любой (ограничения отсутствуют).

2. Задаются математические ожидания и дисперсии длительностей работ.

3. Предполагается независимость.

4. Нормальный закон.

5. Математическое ожидание и дисперсия длины критического пути.

6. Разработаны алгоритмы для отбора нескольких (порядка 15–20) существенных путей - наиболее длительных по математическому ожиданию и наименее коррелированных с остальными путями.

Математическое ожидание m x и дисперсия с s s2 длины i -го пути определяются (в силу предположения п. 3) суммированием cсоответствующих параметров работ, лежащих на этом пути. Коэффициент корреляции r ij путей i и j определяется по формуле (1.4.13).

После проведения отбора длина критического пути T рассматривается как максимум случайных длин xi существенных путей. Математическое ожидание M T и дисперсия DT длины критического пути вычисляются рекуррентно с помощью формул (1.4.9) и (1.4.10), где M T = n 1 и DT = n 2 - n 12.

При выполнении рекуррентных вычислений по этим формулам, необходимо знать, на каждом этапе, значение коэффициента корреляции случайных величин xk +1 и y = max{xi }. Этот коэффициент оценивается с помоi =1, k щью множественного коэффициента корреляции где D - модуль определителя корреляционной матрицы rij существенных путей (i, j = 1, 2,..., k ) ; D* - модуль определителя корреляционной матрицы 7. Метод позволяет резко уменьшить количество рассматриваемых путей и, следовательно, сократить объем вычислений (при сохранении достаточной точности результатов).

Глава 1. Вероятностные сетевые модели с детерминированной структурой VIII. Метод упрощения сетей [1.5] и его расширение [1.24-1.25].

1. Мультипересеченные сети, содержащие типовые параллельные, последовательные и «пересеченные» подсети определенных видов («мост Винстона» и «двойной мост», «крест накрест»).

2. Любые ограниченные распределения.

3. Предполагаются независимость и расширение [1.5] зависимости специального вида в простейших исходных последовательных и параллельных подсетях.

4. Отсутствуют.

5. Функция р. в. длины эквивалентной дуги.

6. В результате последовательного многократного применения интегральных операторов свертывания типовых параллельных, последовательных и затем пересеченных подсетей, алгоритм приводит исходную сеть к одной эквивалентной дуге, если сеть является мультипересеченной. В противном случае, исходная сеть упрощается до тех пор, пока она не будет содержать типовых подсетей, после чего предлагается использовать методы статистического моделирования.

Для свертывания параллельных и последовательных подсетей используются формулы (1.4.14) и (1.4.15).

С целью возможности использования, как для непрерывных, так и для дискретных распределений, формула (1.4.14) записывается в виде интеграла Стилтьеса:

где распределения предполагаются определенными на положительной полуоси.

Для получения интегрального оператора функции р.в. длины дуги, эквивалентной пересеченной подсети, используется модифицированный алгоритм Мартина (см. метод VI). В отличие от этого алгоритма, для исключения операции свертки, фиксируются длительности общих для нескольких путей работ таким образом, что в каждом пути остается только одна работа нефиксированной длительности. Ее интегральная функция и определяет условное р.в. длины пути после сдвига вправо на фиксированную величину остальной длины пути. В [1.22] дан общий метод выбора набора работ, длительности которых остаются нефиксированными. Если не фиксируется длительность работы, входящей в несколько путей, то у функции ее р.в., входящей в оператор приведения, появляется сложный аргумент вида где j принимает значения номеров путей, в которые входит данная нефиксированная работа; xij – длина i -й фиксированной работы, входящей в j -й Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками путь; t – аргумент результирующей функции р.в. длины критического пути.

Вид полученных интегральных операторов приведения аналогичен формуле (1.4.16), которая также может быть записана в виде интеграла Стилтьеса:

Таким образом, метод, в основном, является детализацией модифицированного алгоритма Мартина для типовых пересеченных подсетей.

7. Реализация на ЭВМ метода достаточно сложна даже для сетей небольших размеров, так как требуется многократно распознавать подсети каждой типовой конфигурации. При свертывании типовой подсети требуются вычисление многомерного интеграла и предварительное перемножение условных интегральных распределений. Интегрирование еще более затрудняется, если в формулу входят функции со сложными аргументами вида (1.4.19).

Алгоритм упрощения предлагается для сокращения объема или полного исключения (в случае мультипересеченных сетей) статистического моделирования сетей. Однако наилучшим методом вычисления указанных интегралов представляется метод статистических испытаний.

IX. Метод определения функции распределения времени выполнения комплекса работ [1.24-1.25].

1. Последовательно-параллельные структуры в каждом уровне иерархии сети.

2. Любые функции плотностей, допускающие разложение в обобщенный ряд Грамма-Шарлье типа А (по полиномам Эрмита), т.е. квадратично-суммируемые с весовой функцией [j0 (x;a,s )]-1, где j 0 (x; a, s ) - плотность нормального распределения с математическим ожиданием и дисперсией a и s 2, соответственно. Этому условию, в частности, удовлетворяют любые распределения, определенные на конечном интервале.

3. Предполагается независимость.

4. Отсутствуют.

5. Функция распределения длины критического пути.

6. Каждая плотность f ( x ) длины дуги аппроксимируется отрезком ее разложения в обобщенный ряд Грамма-Шарлье по функциям где параметры a и s 2 выбираются равными математическому ожиданию и дисперсии f ( x ). Поэтому ряд называется обобщенным в отличие от случая a = 0 и a = 1. Соответствующие коэффициенты ряда (k = 0,1,2,..., ) являются линейными комбинациями моментов f ( x ) и вычисляются по формуле Глава 1. Вероятностные сетевые модели с детерминированной структурой где момент f ( x ) интегрируется с весовой функцией, являющейся полиномом Эрмита. Число членов ряда определяется требуемой точностью аппроксимации.

Операции композиции соответствует операция перемножения рядов, являющихся преобразованиями Фурье разложений плотностей, участвующих в композиции. После перемножения получаем ряд того же типа, что и исходные.

В результате упрощается операция f1 и f 2 последовательных дуг, так как она сводится к алгебраическим операциям над конечным числом первых коэффициентов a i, b j их разложений:

где g n - коэффициент разложения плотности f 3 = f1 * f 2 в ряд того же типа.

Параметры a 3 и s 32 разложения f 3 получаются сложением соответствующих параметров:

В случае параллельных подсетей вычисляются и перемножаются значения интегральных функций р.в. длин дуг после интегрирования разложений их плотностей. Затем, с помощью численного интегрирования, вычисляются по формуле (1.4.21) коэффициенты разложения полученных функций в ряд.

Алгоритм свертывает последовательные и параллельные подсети на каждом уровне иерархии, начиная с низшего.

7. Как указывается в [1.24-1.25], класс функций Эрмита является, повидимому, более естественным для представления функций распределения, чем предложенный в [1.23] класс полиномов. Использование же обобщенных, а не обычных разложений Грамма-Шарлье, позволяет еще более точно аппроксимировать плотности распределений. Достоинствами метода являются: уменьшение количества членов аппроксимации, при той же точности, и упрощение операции свертки.

Однако, недостатком является усложнение алгоритма свертывания параллельных подсетей из-за необходимости перехода от разложений плотностей к таблицам значений интегральных распределений и обратно к разложениям плотностей в ряд Грамма-Шарлье.

Существенным для сокращения количества вычислений и требуемого объема памяти машины, при реализации метода, является то, что в нем предусмотрена оценка количества членов аппроксимации для получения требуемой точности.

Из рассмотрения аналитических методов расчета вероятностных сетей Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками можно заключить, что они являются все же довольно громоздкими, что ограничивает их применение. Аналитические методы, видимо, целесообразно использовать для упрощения фрагментов реальных сетей.

Основные трудности, при вычислении оценок математического ожидания и дисперсии длины критического пути, вызывает операция получения максимума случайных величин (операция максимизации). При вычислении функций р. в. длины критического пути трудности вызывают перемножение интегральных функций р. в. (операция максимизации) и, еще в большей степени, операция композиции. Эти трудности значительно возрастают, если сети не являются последовательно-параллельными или при отказе от предположения о независимости длин дуг. Для преодоления указанных трудностей обычно используют нормальный закон. Поэтому характерной чертой многих методов расчета является использование предположения о нормальности совместной многомерной плотности распределения длин путей и т. д., что обосновывается ссылкой на центральную предельную теорему. При этом, длина критического пути рассматривается как сумма большого числа случайных величин. Тогда, в качестве предельных, могут выступать совсем иные законы. В частности, такими законами могут быть предельные законы для максимального члена вариационного ряда.

X. Использование устойчивых законов распределения [1.5, 1.17].

1. Вероятностная сеть произвольной структуры.

2. Закон Фреше [1.5, 1.17].

3. Независимые случайные величины.

4. Отсутствуют.

На основании исследования, выполненного в работе [1.5], можно сделать вывод о том, что операция максимизации случайных величин имеет в вероятностных сетях не меньшее значение, чем операция композиции случайных величин. Основная временная характеристика – длина критического пути до события i – может быть представлена как максимум случайных величин – длин всех путей от начального события сети до данного события i. Эти случайные величины, в общем случае, являются зависимыми, что создает основные трудности.

Для целей приближенного расчета временных характеристик вероятностных сетей можно предположить, что случайные сроки свершения событий подчиняются закону Фv и прибавление к ним случайных длительностей работ не изменяет типа закона распределения. Если возможны значения длительностей забот одного порядка, то, при большом числе работ в сети, форму кривой распределения длительности отдельной работы можно считать не имеющей существенного значения и, естественно, принять для каждой работы (i, j ), априорно, распределение по тому же закону с параметром Q ij.

Таким образом, на основании выполненных исследований, можно Глава 1. Вероятностные сетевые модели с детерминированной структурой принять, что продолжительность любой работы (i, j ) подчиняется закону распределения Фреше с интегральной функцией Максимальную и минимальную оценки продолжительности работы будем рассматривать как соответствующие квантили близкой к единице и очень малой вероятности.

Показатель n выбирается одинаковым для всей сети и характеризует уровень неопределенности разработки, поскольку для данного закона распределения конечные моменты степени l существуют лишь для f n.

Будем считать, что n 1. Тогда математическое ожидание продолжительности работы (i, j ) равно Значение Q ij можно определить из формулы (1.4.23) по известным значениям mij и n либо по известному значению моды m ij из формулы Итак, в результате проведенных исследований [1.5] получен эффективный метод расчета характеристик законов распределения длительностей реализации сетевых фрагментов последовательно-параллельного типа.

1. Последовательную подсеть h можно заменить одной дугой с параметром Q :

Последовательной подсетью называется путь, который проходит через вершины, имеющие в точности одну входящую и одну выходящую из нее дуги, кроме начальной и конечной вершин этой подсети.

Правило сложения параметров Q ij следует из свойства сложения математических ожиданий и пропорциональности математического ожидания параметру Q :

2. Параллельную подсеть g можно заменить одной дугой с параметром Q max :

Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками Здесь параллельной подсетью называется множество дуг (i, j )к, имеющих одинаковые граничные вершины.

Правило расчета параметра Q max эквивалентной дуги для параллельной подсети, следует из правила сложения параметров Qn (i, j )к, когда над независимыми случайными величинами производится операция максимизации:

Для выделения последовательных и параллельных подсетей может быть использован алгоритм Мартина [1.22], но формулы последовательного и параллельного приведения значительно упрощаются, так как здесь используется лишь один параметр Q. Поэтому становится реальным построение алгоритма представления сетей, не являющихся последовательно-параллельными, в виде иерархического дерева и последующего их расчета.

Другой возможностью для расчета вероятностной сети с помощью оценки параметра Q является использование выражения для времени наступления события в детерминированной упорядоченной сети Здесь t j - время свершения события i и t (i, j ) - длительность работы (i, j ) - случайные величины. Предполагая, что случайные величины [t i + t (i, j )] независимы, получим Этот метод аналогичен методу Фалкерсона-Клингена, так как фактически вычисляется оценка для математического ожидания случайной величины однако допускает реализацию на ЭВМ (не требует перемножения интегральных функций распределения Fij (x - C i ) в отличии от метода Клингера [1.12]).

Таким образом, окончательный результат следующий: для группы параллельно выполняемых работ можно пользоваться законом Фреше Фn.

Для случая последовательных работ устойчивым к композиции является закон X a (0 a 2 ), причем показатели этих законов сохраняют свое значение и одинаковы для граничных законов (a = n ). Оба закона могут быть в пределе аппроксимированы достаточно близкими функциями. Более удобным является закон Фреше [1.5].

Использование (1.4.27) позволяет исследовать возможность аппроксимации законами Фреше до сетевых моделей весьма общего вида. Можно Глава 1. Вероятностные сетевые модели с детерминированной структурой показать, что закон Фреше при n = 2 может быть аппроксимирован описанным в §1.3 двухоценочным законом бета-распределения [1.3-1.6]. Последнее позволяет использовать двухоценочную методику (1.3.7-1.3.10) для задания закона распределения Фреше, устойчивого к операциям композиции и максимизации.

§1.5 Вероятностные параметры сетевых моделей на основе имитационного моделирования.

В ряде работ описаны алгоритмы оценки длины критического пути до сетевых моделей со случайными продолжительностями работ с помощью статистического моделирования [1.3-1.6, 1.9, и др.].

Применение метода статистических испытаний для оценки параметров сетевых моделей позволяет распространить вероятностный подход и на некоторые параметры, характеризующие напряженность работ, входящих в сеть работ и составляющих ее путей.

В работе [1.3, Гл.4, §2] введено понятие p – квантильного коэффициента напряженности пути L, определяемого по следующей формуле:

где k H (L ) - коэффициент напряженности пути L в детерминированной сети, определяемый по формуле:

Здесь t кр (L ) обозначает продолжительность участка критического пути, совпадающего с путем L, t (L ) – длина пути L, а t кр - длина критического пути в сети.

Для получения значения W р {k Н (L )} необходимо многократно «разыграть» методом статистических испытаний продолжительности исполнения работ в сетевой модели, каждый раз после «розыгрыша» фиксируя значение исследуемого коэффициента напряженности пути L. Произведя достаточно большое количество «розыгрышей» N, фиксируем p – процентный верхний доверительный предел эмпирического распределения, состоящего из N значений k H (L ). Значение p – квантильного коэффициента напряженности для работы (i, j ) введено Ч.Г. Найдов-Железовым в работе [1.4] и оценивается по следующей формуле:

где значение k H (i, j ) вводится в работах [1.3] и [1.4]. Аналогичным образом определяется p -квантильный коэффициент свободы k p, c (i, j ).

Применение p -квантильных коэффициентов напряженности позволяСтохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками ет с помощью метода статистических испытаний осуществить разбиение входящих в сетевую модель работ на критическую, промежуточную и резервную зоны. Так, например, можно отнести к критической зоне все те работы, p -квантильный коэффициент напряженности которых больше фиксированного предела 1 - h (h 0). Заметим, что с ростом коэффициента доверия объем критической зоны увеличивается. Это вполне согласуется с технико-экономическим смыслом, вкладываемым в понятия коэффициента доверия p критической и резервной зон. Чем больше процент (вероятность) гарантии свершения всего или части сетевого проекта в установленный планом срок, тем больше внимания следует уделить таким работам, которые лежат на грани критической и резервной зон, то есть входят в промежуточную зону. Вследствие этого рост коэффициента доверия p приводит к последовательному включению части промежуточной зоны в критическую зону.

Таким образом, задание фиксированного значения коэффициента доверия p приводит к формированию новых технико-экономических характеристик и понятий в системах сетевого планирования и управления. Для сетевых моделей со случайными оценками работ вводится [1.3] понятие p квантильных зон. Иными словами, все работы по созданию нового комплекса должны быть разбиты на:

а) p -квантильную критическую зону, к которой должны относиться все работы с Wp {k H (i, j )} p1,где значение p1 близко к единице ( p1 » 0,8 0,9 );

б) р-квантильную зону резервов, которая объединяет работы со значениями Wp {k H (i, j )} p2, где p 2 близко к нулю ( p 2 » 0,2 );

в) p -квантильную промежуточную зону, объединяющую работы со средними значениями p -квантильных коэффициентов:

Заметим, что алгоритм расчета вероятностных коэффициентов напряженности (и тем самым разбиения совокупности работ, входящих в сетевую модель, на p -квантильные зоны) может использовать и другой принцип [1.3-1.4] основанный на оценке вероятности попадания работы в критические зоны в случае конкретной реализации сетевого проекта.

В работах [1.3-1.6] показано, что в сети, состоящей из работ, продолжительности выполнения которых случайны и подчинены определенному закону распределения, не существует «самого длинного пути» и сама постановка такого вопроса с вероятностной точки зрения является необоснованной.

Что касается вопроса относительно вероятности для определенной, фиксированной работы (i, j ) в случае реализации всего сетевого проекта (всех работ в сети) оказаться на критическом пути, то есть обладать коэффициентом напряженности, равным единице, то такая постановка являГлава 1. Вероятностные сетевые модели с детерминированной структурой ется вполне корректной.

В [1.4, 2.6 и др.] рассмотрены сети с детерминированными оценками продолжительности выполнения входящих в них работ. Работа (i, j ) считалась относящейся к критической зоне, если значение ее коэффициента напряженности k H (i, j ) было больше 1 - h (h 0 ).

Для случая работ со случайными оценками продолжительности их выполнения мы в состоянии лишь оценить вероятность pij того, что работа (i, j ) после ее выполнения будет иметь коэффициент напряженности, больший 1 - h, то есть будет принадлежать к критической зоне. Действуя аналогичным образом в отношении всех входящих в сетевую модель работ, мы выделим группу работ, имеющих тенденцию лежать в критической зоне, и, наоборот, группу работ, которые не попадают, как правило, на напряженные пути. Разбиение работ, входящих в сетевую модель, на «напряженные» и «ненапряженные» может быть проведено методом статистического моделирования (методом Монте-Карло) по следующей методике, описанной в работе [1.3]. Зафиксируем две вероятности p1 и p 2, причем p 2 p1. Установим, что если вероятность pij для работы (i, j ) оказаться критической (то есть иметь коэффициент напряженности больше 1 - h ), превосходит значение p1, то работа (i, j ) относится к «напряженной» зоне.

Если же значение pij меньше величины p 2, относим работу (i, j ) ко второй, «ненапряженной» зоне. При наличии неравенства p 2 p ij p1 работа (i, j ) должна быть отнесена к третьей, «промежуточной» зоне.

Моделируем продолжительность выполнения всех работ (i, j ), входящих в сетевой проект, после чего определим, какие из этих работ (в детерминированной сети с фиксированными продолжительностями выполнения) имеют коэффициент напряженности, больший 1 - h. Все эти работы будем считать «напряженными» и относящимися к «напряженной» зоне для случая одного «розыгрыша».

Многократно повторяя аналогичный «розыгрыш» ( N раз), получаем для каждой работы (i, j ) относительную частоту ее попадания в «напряN ij женную» зону p lj =, где N ij – количество случаев (из N «розыгрышей»), когда работа (i, j ) имеет значение k H (i, j ), большее 1 - h. На основе теории проверки статистических гипотез сопоставляем величины p lj, p1 и p2 и принимаем решение, относить ли работу (i, j ) к первой группе, входит ли она во вторую или относится к третьей, промежуточной зоне. Эта задача может быть решена на основании применения интегральной теоремы Муавра-Лапласа и описана в [1.3].

Использование новых статистических понятий в системах сетевого планирования и управления может быть легко перенесено и на резервы Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками времени событий, работ и путей в сетевых моделях. Введем [1.3] понятие p -квантильного полного резерва времени для работы (i, j ), вычисляемого по формуле где W1- p {Pп (i, j )} - (1 - p) -квантильная оценка эмпирического распределения величины Pп (i, j ), вычисляемого при каждом «розыгрыше» по формуле полного резерва времени для детерминированной сети широко известной из учебников по сетевому планированию (например [1.4], [2.6] и др.).

Аналогично определяется p -квантильный свободный резерв времени для работы (i, j ), вычисляемый по формуле где Pс (i, j ) оценивается по формулам широко известным из аналогичных справочных монографий [2.6].

P -квантильный резерв времени для входящего в сетевую модель события i определяется по формуле где резерв времени P(i ) события i оценивается по формуле Наконец, p -квантильный резерв пути L определяется по формуле где P( L) = t kp - t ( L).

Заметим, что при увеличении коэффициента доверия p значения p квантильных резервов времени Ppп (i, j ), Pp (i), Ppп ( L) уменьшаются, не принимая, однако, отрицательных значений (величины Pп (i, j ), P(i ) и Ppп ( L) в детерминированной сети всегда неотрицательны и равны нулю лишь в случае попадания на критический путь). Это имеет прямой техникоэкономический смысл: при увеличении степени уверенности (гарантии) выполнения проекта в намеченный срок мы не вправе перебрасывать «слишком много» ресурсов с имеющих зависимые резервы времени работ, чтобы не поставить ход разработки под угрозу срыва соответствующих плановых сроков (если коэффициент доверия равен p, то в случае переброса более чем Ppп (i, j ) резервов времени с работы (i, j ) вероятность срыва планового срока становится больше величины 1 - p ).

Описанные выше p -квантильные резервы времени Ppп (i, j ), Pp (L), явГлава 1. Вероятностные сетевые модели с детерминированной структурой ляются теоретико-вероятностными аналогами полных резервов времени, определяемых в детерминированных сетях с фиксированными временными оценками.

Возможен и другой подход к определению вероятностных резервов времени. Обозначим W p (i ) p -квантильную оценку самого раннего срока свершения события i. Аналогичную оценку можно получить и для последующего события j, то есть W p ( j ).

Рассмотрим формулу где tпл (i, j ) обозначает плановое время выполнения работы (i, j ). В случае, когда время выполнения работы (i, j ) определяется детерминированной нормативной оценкой tнорм (i, j ), имеет место равенство tпл (i, j ) = tнорм (i, j ) ; если продолжительность выполнения работы (i, j ) есть случайная величина, в качестве величины tпл может быть принята p -квантильная оценка этой случайной величины, короче говоря, в каждом конкретном случае исполнителю работы (i, j ) задается ее плановая продолжительность. В некоторых случаях, формула (1.5.7) может быть использована при оптимизации сетевой модели.

§1.6 Вопросы управления в вероятностных сетевых моделях с детерминированной структурой Как известно, этапы функционирования систем сетевого планирования и управления подразделяются на две самостоятельные стадии: стадию разработки исходного плана и стадию оперативного управления, причем первая стадия предшествует последней.

Одним из важнейших этапов стадии разработки исходного плана является расчет ожидаемого календарного срока завершения работ как по всему объекту, так и по важнейшим входящим в сетевой проект событиям.

На стадии разработки исходного плана необходимо прежде всего задаться желаемой доверительной вероятностью выполнения работ по созданию сложного комплекса в расчетный календарный срок, то есть задать коэффициент доверия p3. Задание p3 для расчета сроков завершения работ по созданию нового комплекса имеет много общего с установлением планового процента непредвиденных работ, который широко применяется в существующей практике планирования научно-исследовательских и опытно-конструкторских разработок. Величина задаваемого коэффициента доверия p3, разумеется, зависит от сложности и новизны создаваемого комплекса.

Расчетный срок завершения работ по созданию нового комплекса для случая стохастической сетевой модели или детерминированной сетевой модели со случайными оценками работ определяется прибавлением к дате Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками начального события не продолжительности критического пути, а величины соответствующего p -квантиля. Одновременно, согласно описанной в §1. методике, основанной на теории статистического моделирования, оцениваются вероятности выполнения всех работ по объекту в директивный срок и фиксируется соответствующий коэффициент доверия р Д. Если значение коэффициента р Д меньше заданного р Д (или в случае, если величина р Д вследствие ее малого значения не может гарантировать выполнения хода разработки в намеченный директивный срок), руководство проекта проводит детальный анализ сетевой модели и, в необходимых случаях, ее оптимизацию. Рассмотрим некоторые способы анализа временных оценок сетевых моделей со случайными оценками работ.

Доверительные p -квантильные оценки времени выполнения сетевого проекта в целом должны анализироваться в сопоставлении с продолжительностью критического пути от исходного до завершающего событий, если продолжительности работ приравнять их средним значениям. Такой анализ целесообразно производить на стадии составления исходного плана после первого проверочного расчета сети.

Рассмотрим следующие четыре различных случая, которые могут иметь место при сопоставлении продолжительности критического пути с p -квантильными оценками [1.3]:

I. Продолжительность критического пути несущественно отличается от следующего по длине пути между исходным и завершающим событиями (подкритическнй путь), а p -квантильные оценки (например, при p = 0, и p = 0,8 ) существенно отличаются друг от друга.

Причина этого явления состоит в следующем. Предположим, что мы многократно реализовали все работы, входящие в сетевую модель, то есть многократно ее промоделировали. Существуют работы (i, j ), которые при многократной реализации сетевой модели имеют тенденцию чаще попадать на критический путь и существенно реже - на путь, следующей по продолжительности. Эти работы, таким образом, имеют тенденцию лежать на наиболее напряженном пути сетевой модели. Они характеризуются весьма большой дисперсией для распределения вероятностей случайного времени их выполнения. Последнее обстоятельство может иметь место по двум причинам:

а) либо обстоятельства, характеризующие выполнение этих работ, не дают возможности заранее объективно оценить оптимистическую и пессимистическую оценки времени их выполнения, вследствие чего разброс значений около среднего делается значительным;

б) либо ответственные исполнители по каким-либо из этих работ проявили необъективность и сознательно расширили области определения времени выполнения этих работ.

В любом случае необходимо установить наименование этих работ и Глава 1. Вероятностные сетевые модели с детерминированной структурой исследовать возможность сужения интервала (a, b ), где a и b – соответственно, оптимистическая и пессимистическая оценки. Заметим, что число такого рода работ может быть велико.

II. p -квантильные оценки отличаются друг от друга несущественно, и аналогичное обстоятельство имеет место в отношении оценок для критического и подкритического путей, определенных по средним значениям.

В этом случае мы вправе считать, что, если бы мы выполнили сетевой проект, реализовав все работы, его составляющие, и повторили бы эту процедуру многократно, мы наблюдали бы устойчивую тенденцию: наиболее ранние сроки выполнения всего проекта отличаются друг от друга незначительно. Мы не имеем достаточных оснований ставить под сомнение качество составления сетевой модели.

III. p -квантильные оценки при различных коэффициентах доверия существенно отличаются друг от друга; расхождение между продолжительностью критического и подкритического путей также следует признать существенным.

В этом случае мы вправе считать, что напряженные пути в исследуемой сети отличаются друг от друга. Работы, лежащие на самом напряженном пути, имеют большие математические ожидания времени их выполнения, чем лежащие на следующем по напряжению пути, и т. д. Подобно второму случаю, у нас нет оснований считать составление сетевого проекта недоброкачественным или ставить под сомнение оценки сроков выполнения работ, установленные ответственными исполнителями.

IV. p -квантильные оценки отличаются несущественно, а длины критического и подкритического путей – существенно.

Этот случай, наблюдаемый сравнительно редко, может быть следствием следующих двух различных причин:

1. На самом напряженном пути (в смысле вероятности для него быть критическим) лежат работы с большими математическими ожиданиями продолжительности их выполнения, чем работы, лежащие на менее напряженных путях, но последние имеют большие дисперсии – разброс возможных значений времен их выполнения. А поскольку p -квантильные оценки зависят от математических ожиданий и дисперсий, в отличие от оценок длин критического пути, которые зависят только от средних значений, для значений p -квантильных оценок при различных p может иметь место известная нивелировка: уменьшение математических ожиданий (средних) компенсируется возрастанием дисперсий. Разумеется, этот случай нуждается в детальном анализе составляющих сетевую модель работ с целью выяснения объективности оценок, задаваемых исполнителями работ.

2. Иногда может иметь место случай, когда постулируемый нами закон распределения времени выполнения ряда работ на самом деле не имеет места. Тогда применение метода статистического моделирования поможет Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками это выявить. В этом случае необходимо более детально (на основе нормативных данных) установить законы распределения времени выполнения работ, после чего вновь рассчитать квантильные оценки.

Именно p -квантильные оценки, то есть ожидаемые сроки свершения событий, являются теми параметрами сетевой модели, которые необходимо сопоставлять с директивными сроками по всему сетевому проекту в целом (или по отдельным входящим в него событиям). Разумеется, необходимо в зависимости от важности, сложности или срочности проекта разумно выбрать соответствующий коэффициент доверия p.

Если менеджер проекта предпринял оптимизацию материальных или стоимостных ресурсов сетевой модели, то после завершения оптимизации и задания новых оценок продолжительностей работ необходимо вновь просчитать p -квантильную оценку (с тем же коэффициентом доверия p3 ), а полученный результат вновь представить менеджеру для принятия решения.

Если новый скорректированный вариант сетевой модели также не обеспечивает приемлемого для руководства проекта значения р Д, процедура оптимизации повторяется вновь и вновь до получения удовлетворительного результата.

После анализа результатов коррекции сетевого графика руководство проекта (в случае невозможности доведения р Д до желаемого уровня) принимает решение: либо увеличить директивный срок (и тем самым увеличить значение р Д ), либо сохранить прежний директивный срок, но пойти на риск невыполнения разработки в этот назначенный срок.

Так или иначе, окончательное решение принимается, утверждается соответствующий директивный срок, и тем самым фиксируется мера гарантии – значение коэффициента доверия р Д.

Передача информации об ожидаемых ( p -квантильных) самых ранних сроках свершения основных событий на стадии составления исходного плана может быть осуществлена различными способами.

Рассмотрим в качестве примера форму аналитической документации, разработанную для одной из систем СПУ [1.3] (см. таб. 1.1).

Документация заполняется службой СПУ при вычислительном центре и представляется менеджеру проекта, осуществляющему контроль за ходом реализации проекта. Такого рода информация особенно важна в процессе оптимизации сетевой модели, при сопоставлении анализируемого и базисного вариантов этой модели.

Графы 1-5 формы не нуждаются в объяснении. В графе 6 записывается доверительная вероятность р Д, соответствующая директивному сроку для базисного варианта сетевой модели, а в графе 7 – аналогичная характеристика для анализируемого варианта. Сопоставление граф 6 и 7 показыГлава 1. Вероятностные сетевые модели с детерминированной структурой вает, насколько повысилась мера гарантии выполнения хода разработки в директивный срок в результате оптимизации сетевого графика. Графа показывает ожидаемое время свершения основных событий для базисного варианта сетевой модели при заданном p3. Графа 9 оценивает аналогичные сроки, но уже для анализируемого варианта. Сопоставление граф 8 и 9 позволяет оценить выигрыш во времени хода разработки при одинаковом коэффициенте доверия p3.

Статистическое моделирование в системе СПУ Шифр системы № п/п Контролер ВЦ Стадия разработки исходного плана должна оканчиваться построением календарного план-графика и доведением его до ответственных исполнителей.

Если продолжительности входящих в сеть операций носят случайный характер, задача построения календарного плана делается весьма сложной, ибо необходимо сочетать детерминизм процесса календаризации и случайный характер моментов свершения входящих в сеть событий.

Последующая стадия управления ходом работ по проекту также не может обойтись без построения календарного плана. Это стадия оперативного управления, которая призвана вырабатывать управляющие воздействия в случае рассогласования фактического состояния проекта с запланированным. Для случая сетевой модели со случайными продолжительностями работ задача составления обоснованного календарного плана начала и окончания работ до сих пор полностью не решена.

Заметим, что термин «календарный план» означает задание плановых сроков начала и окончания всех входящих в сетевую модель работ. В случае отсутствия такого плана ведущая разработку компания практически лишается возможности рационально использовать имеющиеся в ее распоряжении ресурсы.

В настоящее время можно выделить три основных направления решения этой проблемы [1.3, Гл.6, §5]:



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 7 |
 


Похожие работы:

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования БАРНАУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Г.В. Кукуева Рассказы В.М. Шукшина: лингвотипологическое исследование Барнаул 2008 1 ББК 83.3Р7-1 Печатается по решению УДК 82:801.6 Ученого совета БГПУ К 899 Научный редактор: доктор филологических наук, профессор Алтайского государственного университета А.А. Чувакин Рецензенты: доктор филологических наук, профессор, зав....»

«Национальная академия наук Украины Донецкий физико-технический институт им. А.А. Галкина Венгеров И.Р. ТЕПЛОФИЗИКА ШАХТ И РУДНИКОВ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Том I. Анализ парадигмы Издательство НОРД - ПРЕСС Донецк - 2008 УДК 536-12:517.956.4:622 ББК 22.311:33.1 В29 Рекомендовано к печати Ученым советом ДонФТИ им. А.А.Галкина НАН Украины (протокол № 6 от 26.09.2008 г.). Рецензенты: Ведущий научный сотрудник Института физики горных процессов НАН Украины, д.ф.-м.н., проф. Я.И. Грановский; д.т.н.,...»

«Северный (Арктический) федеральный университет имени М.В. Ломоносова Институт комплексной безопасности МИССИЯ ОБРАЗОВАНИЯ В СОЦИАЛЬНОЙ РАБОТЕ Архангельск УДК 57.9 ББК 2 С 69 Печатается по решению от 04 ноября 2012 года кафедры социальной работы ной безопасности Института комплексной безопасности САФУ им. ...»

«Экономика налоговых реформ Монография Под редакцией д-ра экон. наук, проф. И.А. Майбурова д-ра экон. наук, проф. Ю.Б. Иванова д-ра экон. наук, проф. Л.Л. Тарангул ирпень • киев • алерта • 2013 УДК 336.221.021.8 ББК 65.261.4-1 Э40 Рекомендовано к печати Учеными советами: Национального университета Государственной налоговой службы Украины, протокол № 9 от 23.03.2013 г. Научно-исследовательского института финансового права, протокол № 1 от 23.01.2013 г. Научно-исследовательского центра...»

«Межрегиональные исследования в общественных науках Министерство образования и науки Российской Федерации ИНО-центр (Информация. Наука. Образование) Институт имени Кеннана Центра Вудро Вильсона (США) Корпорация Карнеги в Нью-Йорке (США) Фонд Джона Д. и Кэтрин Т. Мак-Артуров (США) Данное издание осуществлено в рамках программы Межрегиональные исследования в общественных науках, реализуемой совместно Министерством образования и науки РФ, ИНО-центром (Информация. Наука. Образование) и Институтом...»

«В.Д. Бицоев, С.Н. Гонтарев, А.А. Хадарцев ВОССТАНОВИТЕЛЬНАЯ МЕДИЦИНА Том V ВОССТАНОВИТЕЛЬНАЯ МЕДИЦИНА Монография Том V Под редакцией В.Д. Бицоева, С.Н. Гонтарева, А.А. Хадарцева Тула – Белгород, 2012 УДК 616-003.9 Восстановительная медицина: Монография / Под ред. В.Д. Бицоева, С.Н. Гонтарева, А.А. Хадарцева. – Тула: Изд-во ТулГУ – Белгород: ЗАО Белгородская областная типография, 2012.– Т. V.– 228 с. Авторский коллектив: Засл. деятель науки РФ, акад. АМТН, д.т.н., проф. Леонов Б.И.; Засл....»

«ISSN 2075-6836 Фе дера льное гос уд арс твенное бюджетное у чреж дение науки ИнстИтут космИческИх ИсследованИй РоссИйской академИИ наук (ИкИ Ран) А. И. НАзАреНко МоделИровАНИе космического мусора серия механИка, упРавленИе И ИнфоРматИка Москва 2013 УДК 519.7 ISSN 2075-6839 Н19 Р е ц е н з е н т ы: д-р физ.-мат. наук, проф. механико-мат. ф-та МГУ имени М. В. Ломоносова А. Б. Киселев; д-р техн. наук, ведущий науч. сотр. Института астрономии РАН С. К. Татевян Назаренко А. И. Моделирование...»

«Семченко В.В. Ерениев С.И. Степанов С.С. Дыгай А.М. Ощепков В.Г. Лебедев И.Н. РЕГЕНЕРАТИВНАЯ БИОЛОГИЯ И МЕДИЦИНА Генные технологии и клонирование 1 Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Министерство здравоохранения и социального развития Российской Федерации Омский государственный аграрный университет Институт ветеринарной медицины и биотехнологий Всероссийский научно-исследовательский институт бруцеллеза и туберкулеза животных Россельхозакадемии Российский национальный...»

«Межрегиональные исследования в общественных науках Министерство образования и науки Российской Федерации ИНОЦЕНТР (Информация. Наука. Образование) Институт имени Кеннана Центра Вудро Вильсона (США) Корпорация Карнеги в Нью Йорке (США) Фонд Джона Д. и Кэтрин Т. МакАртуров (США) Данное издание осуществлено в рамках программы Межрегиональные исследования в общественных науках, реализуемой совместно Министерством образования и науки РФ, ИНОЦЕНТРом (Информация. Наука. Образование.) и Институтом...»

«А.М. КАГАН, А.Г. ЛАПТЕВ, А.С. ПУШНОВ, М.И. ФАРАХОВ КОНТАКТНЫЕ НАСАДКИ ПРОМЫШЛЕННЫХ ТЕПЛОМАССООБМЕННЫХ АППАРАТОВ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНЖЕНЕРНО-ВНЕДРЕНЧЕСКИЙ ЦЕНТР ИНЖЕХИМ (ИНЖЕНЕРНАЯ ХИМИЯ) А.М. КАГАН, А.Г. ЛАПТЕВ, А.С. ПУШНОВ, М.И. ФАРАХОВ КОНТАКТНЫЕ...»

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Рязанский государственный университет имени С.А. Есенина А.В. Пронькина НАЦИОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ МАССОВОЙ КУЛЬТУРЫ США И РОССИИ: КУЛЬТУРОЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Монография Рязань 2009 ББК 71.4(3/8) П81 Печатается по решению редакционно-издательского совета государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Рязанский государственный университет имени С.А....»

«С.И. ШУМЕЙКО ИЗВЕСТКОВЫМ НАНОПЛАНКТОН МЕЗОЗОЯ ЕВРОПЕЙСКОЙ ЧАСТИ СССР А К А Д Е М И Я Н А У К СССР ПАЛЕОНТОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Н АУЧНЫЙ СОВЕТ ПО П РО Б Л Е М Е ПУТИ И ЗАКОНОМЕРНОСТИ ИСТОРИЧЕСКОГО РАЗВИ ТИ Я Ж И В О Т Н Ы Х И Р А С Т И Т Е Л Ь Н Ы Х ОРГАНИЗМОВ A C A D E M Y OF S C I E N C E S OF T H E U S S R PALEONTOLOGICAL INSTITU TE SCIENTIFIC COUNCIL ON TH E PROBLEM EVOLUTIONARY TREN D S AND PA T T E R N S OF ANIMAL AND P L A N T...»

«Федеральное агентство по образованию Тверской государственный технический университет 85-летию Тверского государственного технического университета посвящается Н.И. Гамаюнов, С.Н. Гамаюнов, В.А. Миронов ОСМОТИЧЕСКИЙ МАССОПЕРЕНОС Монография Тверь 2007 УДК 66.015.23(04) ББК 24.5 Гамаюнов, Н.И. Осмотический массоперенос: монография / Н.И. Гамаюнов, С.Н. Гамаюнов, В.А. Миронов. Тверь: ТГТУ, 2007. 228 с. Рассмотрен осмотический массоперенос в модельных средах (капиллярах, пористых телах) и реальных...»

«Институт биологии моря ДВО РАН В.В. Исаева, Ю.А. Каретин, А.В. Чернышев, Д.Ю. Шкуратов ФРАКТАЛЫ И ХАОС В БИОЛОГИЧЕСКОМ МОРФОГЕНЕЗЕ Владивосток 2004 2 ББК Монография состоит из двух частей, первая представляет собой адаптированное для биологов и иллюстрированное изложение основных идей нелинейной науки (нередко называемой синергетикой), включающее фрактальную геометрию, теории детерминированного (динамического) хаоса, бифуркаций и катастроф, а также теорию самоорганизации. Во второй части эти...»

«Министерство лесного хозяйства, природопользования и экологии Ульяновской области Симбирское отделение Союза охраны птиц России Научно-исследовательский центр Поволжье NABU (Союз охраны природы и биоразнообразия, Германия) М. В. Корепов О. В. Бородин Aquila heliaca Солнечный орёл — природный символ Ульяновской области Ульяновск, 2013 УДК 630*907.13 ББК 28.688 Корепов М. В., Бородин О. В. К55 Солнечный орёл (Aquila heliaca) — природный символ Ульяновской области.— Ульяновск: НИЦ Поволжье, 2013.—...»

«А. Н. Татарко Социальный капитал, как объект психологического исследования Электронный ресурс URL: http://www.civisbook.ru/files/File/Tatarko_monogr .pdf Перепечатка с сайта НИУ-ВШЭ http://www.hse.ru НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ Татарко Александр Николаевич СОЦИАЛЬНЫЙ КАПИТАЛ КАК ОБЪЕКТ ПСИХОЛОГИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ Москва, 2011 3 УДК ББК Т Данное издание подготовлено при поддержке РГНФ (проект № 11 06 00056а) Татарко А.Н. Т Социальный капитал как объект...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГБОУ ВПО УДМУРТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ БИОЛОГО-ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА ЭКОЛОГИИ ЖИВОТНЫХ С.В. Дедюхин Долгоносикообразные жесткокрылые (Coleoptera, Curculionoidea) Вятско-Камского междуречья: фауна, распространение, экология Монография Ижевск 2012 УДК 595.768.23. ББК 28.691.892.41 Д 266 Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом УдГУ Рецензенты: д-р биол. наук, ведущий научный сотрудник института аридных зон ЮНЦ...»

«Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Рязанский государственный университет имени С.А. Есенина А.Г. Чепик В.Ф. Некрашевич Т.В. Торженова ЭКОНОМИКА И ОРГАНИЗАЦИЯ ИННОВАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ПЧЕЛОВОДСТВЕ И РАЗВИТИЕ РЫНКА ПРОДУКЦИИ ОТРАСЛИ Монография Рязань 2010 ББК 65 Ч44 Печатается по решению редакционно-издательского совета государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Рязанский государственный университет имени С.А....»

«ОМСКАЯ АКАДЕМИЯ МВД РФ КЕМЕРОВСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ЗАОЧНОГО ОБУЧЕНИЯ С. П. Звягин ПРАВООХРАНИТЕЛЬНАЯ ПОЛИТИКА А. В. КОЛЧАКА Кемерово Кузбассвузиздат 2001 ББК 63.3(0)61 345 Рецензенты: кафедра истории России Кемеровского государственного университета (заведующий - доктор исторических наук, профессор С. В. Макарчук); доктор исторических наук, профессор, заведующий кафедрой истории и документоведения Томского государственного университета Н. С. Ларьков Ф о т о г р а ф и и н а о б л о ж к е (слева...»

«Д.Е. Муза 55-летию кафедры философии ДонНТУ посвящается ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЩЕСТВО: ПРИТЯЗАНИЯ, ВОЗМОЖНОСТИ, ПРОБЛЕМЫ философские очерки Днепропетровск – 2013 ББК 87 УДК 316.3 Рекомендовано к печати ученым советом ГВУЗ Донецкий национальный технический университет (протокол № 1 от 06. 09. 2013 г.) Рецензенты: доктор философских наук, профессор Шаповалов В.Ф. (Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова) доктор философских наук, профессор Шкепу М.А., (Киевский национальный...»














 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.