WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Pages:     | 1 ||

«А. А. ГОЛУБЕВ, Т.А. СПАССКАЯ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ Учебное пособие ТВЕРЬ 2012 1 УДК 517(075.8) ББК В161я73-1 Г 62 Рецензент: Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры компьютерной ...»

-- [ Страница 2 ] --

2. В треугольнике АВС угол С равен 90, AB 5, BC 21. Найдите косинус внешнего угла при вершине А.

Найдите АВ.

4. В треугольнике АВС угол С равен 90, CH высота, BC 15, 5. В тупоугольном треугольнике АВС AB BC, AC 25, CH высота, AH 15. Найдите синус угла АСВ.

6. В треугольнике АВС АС=ВС, АВ=32, cos A. Найдите высоту СН.

7. В треугольнике АВС AC BC, AB 5, sin A. Найдите АС.

8. В треугольнике АВС АС=ВС=5, AB 2 21. Найдите синус внешнего угла при вершине А.

9. В параллелограмме ABCD высота, опущенная на сторону АВ, равна 3, AD=4. Найдите синус угла В.

10.Боковая поверхность правильной треугольной пирамиды в пять раз больше площади её основания Найдите плоский угол при вершине пирамиды.

11.В прямоугольном параллелепипеде диагональ основания равна d и составляет со стороной основания угол, равный. Через эту сторону и противоположную ей сторону верхнего основания проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол, равный.

Найдите боковую поверхность параллелепипеда.

12.Около шара описан усечённый конус, у которого площадь одного основания в четыре раза больше площади другого основания.

Найдите угол между образующей конуса и плоскостью его основания.

Глава V. Задачи с параметрами §1. Понятие задачи с параметрами. Примеры простейших уравнений и Определение. Рассмотрим уравнение F (a, x) 0, где a и x – переменные величины, значения которых содержатся во множестве действительных чисел. Если зафиксировать значение переменной a, то мы получим уравнение относительно x, то есть уравнение с одним неизвестным. Решение его зависит от выбранного значения переменной a, значит, является функцией от этой переменной: x f (a ). Переменная a, которая при решении уравнения F (a, x) 0 считается постоянной, называется параметром, а само уравнение – уравнением, содержащим параметр.

При решении задачи с параметром можно считать, что параметр – это конкретное число, принимающее любые допустимые значения. Задачу можно решать, не обращая внимания на параметр до тех пор, пока он сам не заставит обратить на себя внимание. Произойдёт это тогда, когда от его значений будет зависеть ход дальнейших преобразований.

Умножая обе части уравнения на m( x 1) 0, получим Дальнейшие рассуждения зависят от значения параметра m.

Необходимо учесть условие x 1 (ОДЗ). Выясним, при каких значениях m выполняется равенство 2 1. Последнее числовое равенство неверно, следовательно, x удовлетворяет ОДЗ при всех рассматриваемых значениях параметра m.

действительное число, кроме 1.

выполняется ни при каком значении x.

число, кроме 1, при m 1 ; нет решений при m 1; уравнение не имеет смысла при m 0.

Таким образом, решить уравнение с параметром – значит указать, при каких значениях параметра существуют решения, и каковы они.

Замечание. Аналогичным образом вводится понятие уравнения с несколькими параметрами относительно одной или нескольких неизвестных. Параметры принято обозначать латинскими буквами из начала алфавита: a, b, c,..., k, l, m, а неизвестные – из конца: x, y, z.

Пример 2. Решите уравнение mx 2 3mx (m 2) 0 относительно x.

и не имеет корней.

2) При m 0 уравнение является квадратным. Если дискриминант x1, не имеет решений.

решений при m 0.

Пример 3. Решите уравнение Решение. Возведя обе части уравнения в квадрат, получим возведении в чётную степень могут появляться посторонние корни, поэтому необходимо делать проверку найденных решений.) 1) При a 2 уравнение не имеет корней.

значение x в исходное уравнение. В левой части уравнения имеем:

или a 2 ; при других значениях параметра решений нет.

Пример 4. Решите неравенство log x a log a 2 x a 2 относительно x.

Перейдём в исходном неравенстве к новому основанию a :

Выполнив замену переменного t log a x, получим неравенство Последнее неравенство решаем методом интервалов.

Сделаем обратную замену переменного: log a x 2 или 1 log a x 4, Рассмотрим возможные случаи.

a 1 ; неравенство не имеет смысла при a 0 и a 1.

Замечание. Задачи с параметром можно разбить на две группы:

1) обычные уравнения, неравенства, системы (примеры 1–4); 2) задачи, где требуется найти значения параметра, при которых выполняется какоенибудь требование (такие задачи будут рассмотрены ниже).

При решении задач первой и второй группы необходимо:

найти область допустимых значений неизвестных величин и учесть монотонность функций (показательной, логарифмической, других монотонных функций на всей области определения или на рассматриваемом промежутке); ограниченность функций (в первую очередь тригонометрических функций y sin x и y cos x ); чётность или нечётность функций;

обеспечить равносильность преобразований;

решение задач с параметрами удобно сопровождать иллюстрациями.

§2. Примеры решения различных задач с параметром Пример 1. При каком значении параметра a сумма квадратов корней уравнения x 2 ax a 1 0 будет наименьшей?

Решение. Сгруппируем слагаемые и разложим на множители:

Поэтому корнями этого трёхчлена будут x1 1 и x2 a 1. Тогда наименьшее значение при a 1.

Пример 2. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых все корни уравнения 3ax 2 3a 3 12a 2 1 x aa удовлетворяют неравенству x 1.

Решение. 1) При a 0 уравнение является линейным: x 0 x 0.

Видим, что уравнение имеет один корень x 0, и этот корень удовлетворяет неравенству x 1. Таким образом, a 0 выносится в ответ.

2) Пусть a 0. Тогда исходное уравнение может быть переписано следующим образом: x 2 4a a 2 x Согласно условию задачи имеет место система два различных отрицательных корня. Найдите а.

Решение. Квадратное уравнение имеет два различных отрицательных корня, если x1 x 2 0, Рассмотрим второе неравенство этой системы. Учитывая теорему а) a 12. В этом случае исходное уравнение принимает вид следовательно, третье неравенство системы также верно при a 12.

Теперь нас интересует первое неравенство системы. Заметим, что образом, каждое a 13;12 удовлетворяет условиям задачи.

б) a 12. В этом случае исходное уравнение принимает вид Но это означает, что неверно третье неравенство системы. Следовательно, среди рассматриваемых значений параметра нет удовлетворяющих условию задачи.

Пример 4. Уравнение 1 ax 1 1 2a x ax 2 имеет единственный корень. Найдите а.

единственный корень и a 0 выносится в ответ.

является корнем уравнения f x g x, а точка 0;1 – общей точкой графиков функций f (модуля с «клювом» в точке 1 a ;0 ) и g (параболы).

Поскольку наше уравнение должно имеет единственный корень, то точка 0;1 должна быть единственной общей точкой графиков функций f и g.

Следовательно, графики f и g должны касаться друг друга (то есть иметь общую касательную) в этой точке. Учитывая геометрический смысл производной, находим:

Далее необходимо рассмотреть два случая Приходим к равенству 1 2a a a 1.

1 2 ; 3 4 – вершина параболы. Строим графики функций и убеждаемся, что они имеют одну общую точку 0;1.

Приходим к равенству 1 2a a a 1, получили решение, не удовлетворяющее случаю a 0.

Пример 5. При каких значениях параметра а система уравнений Решение. Выразим y из второго уравнения и подставим в первое.

Получим 2 x2 2ax a 2 100 0. Для того чтобы, данное уравнение имело единственное решение необходимо и достаточно, чтобы дискриминант этого уравнения был равен нулю. D 4 200 a 2. D 0 a 10 2.

Пример 6 (ЕГЭ–2010). Найдите все значения а, при каждом из которых функция f x x 2 2 x a 2 8 x имеет более двух точек экстремума.

Решение. При x a 2 функция имеет вид следовательно, график функции является частью параболы с ветвями вверх и осью симметрии x 5.

При x a 2 функция имеет вид следовательно, график функции является частью параболы с ветвями вверх и осью симметрии x 3.

Таким образом, вид графика функции f зависит от взаимного расположения точек x 3, x 5 и x a 2. При этом функция имеет более двух точек экстремума тогда и только тогда, когда Пример 7 (пробные задания к ЕГЭ–2010). Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство x 1 2 x a 3 2 x выполняется для любого x.

Решение. Неравенство перепишем в виде подмодульных выражений. Рассмотрим два случая.

Видим, что функция убывает на полуинтервале ;1 и возрастает на полуинтервале 1;, в точке x 1 функция принимает наименьшее значение.

Видим, что функция убывает на полуинтервале ;a и возрастает на полуинтервале a;, в точке x a функция принимает наименьшее значение.

Итак, функция f принимает наименьшее значение либо в точке x 1, либо в точке x a. Тогда все её значения будут больше 3 тогда и только тогда, когда выполняется система неравенств Пример 8. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x 3 1 2 x a имеет единственный корень.

Решение. Построим графики функций y x 3 1 и y 2 x (то есть Заметим, что при a 0 график функции y 2 x a перемещается влево или вправо, при этом единственная точка пересечения графиков получается тогда, когда «нос» графика функции y 2 x a попадает в точку пересечения графика функции y x 3 1 с осью абсцисс, то есть при x 4 или x 2, что соответствует значениям параметра a 8 или Пример 9. Постройте график функции f x x 2 3 x 2 и укажите число решений уравнения f x a для каждого действительного значения параметра а.

Решение. Заметим, что функция f x x 2 3 x 2 является чётной, поэтому её график симметричен относительно оси ординат. При x x 0, необходимо построить график квадратного трёхчлена y x 2 3x, а затем часть параболы, лежащую ниже оси абсцисс, отобразить зеркально относительно оси абсцисс на верхнюю полуплоскость. Нули квадратного трёхчлена: x 1 и x 2 ; вершина параболы имеет координаты 1,5; 0,25 ; g 0 2. Теперь мы можем построить график функции Из графика видно, что уравнение f x a : при a 0 не имеет корней, при a 0 и 0,25 a 2 имеет четыре корня, при 0 a 0, имеет восемь корней, при a 0,25 шесть корней, при a 2 три корня, при a 2 два корня.

четыре корня; при 0 a 0,25 имеет восемь корней; при a 0,25 – шесть корней; при a 2 – три корня; при a 2 – два корня.

Пример 10. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение x 2 6 x 8 x 2 6 x 5 a имеет ровно три корня.

Предварительно отметим на числовой прямой критические точки модулей и знаки подмодульных выражений в каждой из полученных областей.

Здесь над прямой показаны знаки трёхчлена x 2 6 x 8, а под прямой – знаки трёхчлена x 2 6 x 5.

Получаем график функции Исходное уравнение имеет три корня, если горизонтальная прямая y a пересекает график функции ровно в трёх точках. Тогда эта прямая должна коснуться графика функции в точке 3;5, что получится при a 5.

Пример 11. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение x a x 3 4 1 имеет ровно 2 корня.

построим графики левой и правой части. График правой части перемещается вдоль оси абсцисс в зависимости от значения параметра.

График левой части не меняется, так как не зависит от параметра.

Нетрудно видеть, что две точки пересечения получается при a 8;6 0;2.

Пример 12. Найдите все значения a, при каждом из которых Решение. Выделяя полный квадрат в первых скобках, получим Пусть t x 2, тогда уравнение примет вид имеет нечётное число корней только в случае, когда один из корней равен нулю, следовательно, a 3a 1 0, откуда a 3 или a 1.

Найдём количество корней уравнения при найденных значениях a :

единственный корень этого уравнения; 2) a 1. Уравнение Пример 13. Найдите все значения a, при каждом из которых имеет единственное решение.

Рассмотрим функцию Уравнение имеет единственное решение тогда и только тогда, когда функция f имеет единственный нуль (напомним, что нулём функции называется точка, в которой функция обращается в ноль). Так как функция является чётной, то она имеет нечётное число нулей только в том случае, когда один из них есть точка x 0. При x 0 уравнение принимает вид Учитывая двойное неравенство из ОДЗ, раскроем модули:

Таким образом, только при a 20 наше уравнение имеет нечётное число решений. Необходимо проверить получается ли при найденном значении параметра единственное решение.

единственный действительный корень.

Пример 14 (ЕГЭ–2011). Найдите все положительные a, при каждом из которых система уравнений имеет единственное решение Решение. Если x 0, то первое уравнение системы перепишется x 52 y 42 32. Получили уравнение окружности с центром в точке 5;4 радиуса 3. Заметим, что для всех точек этой окружности выполняется неравенство x 0. Если же x 0, то приходим к уравнению x 52 y 42 32 окружности с центром в точке 5;4 радиуса 3. Для всех точек этой окружности выполняется неравенство x 0.

Таким образом, первое уравнение системы на плоскости определяет пару окружностей. Второе уравнение системы также является уравнением окружности с центром в точке 2;0 радиуса a (учитываем, что a 0 ).

Система уравнений имеет единственное решение, если окружность x 22 y 2 a 2 с объединением окружностей x 52 y 42 32 имеет одну общую точку. Учитывая, что центры окружностей и точка касания этих окружностей лежат на одной прямой, находим: a 2, a 3 65 (на рисунке соответствующие окружности показаны пунктирной линией).

Пример 15 (демонстрационный вариант 2011 года). Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений имеет единственное решение Решение. Если пара x; y – решение системы, то пара x; y – также решение этой системы. Следовательно, если система имеет единственное решение x; y, то x 0. Тогда Далее нужна проверка.

график функции y x 2 и окружность с уравнением x 2 y 2 4, убеждаемся, что система имеет три решения 0;2 и 2;0. То есть a 0.

Из первого уравнения системы следует, что y 2, из второго – y 2.

При этом y 2 только при x 0. Таким образом, решение системы.

система имеет решения Решение. Если при некотором a система имеет решение x, то это означает, что пара a; x является решением этой системы. Обратно, если пара a; x является решением этой системы, то для a (первого числа из этой пары) найдётся x (второе число из этой пары), являющийся решением системы. Тогда необходимо найти все решения a; x системы, а в ответ записать все значения, которые может принимать a.

Рассмотрим уравнение x 2 8a 4x 7a 2 4a 0, квадратное относительно переменной x. Решая его относительно x, находим: x1 a, x2 7a 4. Следовательно, первое неравенство системы можно переписать в виде x a x 7a 4 0. Для построения множества решений этого неравенства сначала найдём точки плоскости a; x, для которых выполняется равенство x a x 7a 4 0, равносильное совокупности равенств уравнения прямых на плоскости. Этими прямыми вся плоскость разбивается на четыре сектора, в каждом из которых выражение x a x 7a 4 имеет определённый знак, либо « », либо «–». Для определения знака выражения в каждом из секторов можно взять по точке и подставить в это выражение.

Равенство x 2 a 2 16 исходной системы определяет на плоскости окружность с центром в точке 0;0, радиуса 4.

Множество решений исходной системы является пересечением множеств решений неравенства x 2 8a 4x 7a 2 4a 0 и уравнения x 2 a 2 16 этой системы. На рисунке видим, что множество решений системы является объединение двух дуг окружности x 2 a 2 16. Эти дуги выделены жирным.

Необходимо записать значения, которые может принимать первая координата точки из найденного множества. Для этого спроецируем множество решений системы на ось абсцисс.

Найдём точки пересечения прямых x a и x 7a 4 с окружностью x 2 a 2 16.

Теперь, опираясь на сказанное выше, можем записать Пример 17. Найдите все значения a, при каждом из которых значение выражения a 1 x не равно значению выражения 2 x a для всех x из промежутка 5;2.

Решение. Итак, a 1 x 2 x a при каждом x 5;2. Заметим, что неравенство a 1 x 2 x a линейно относительно a. Разрешая его относительно a, получим её график.

Сначала напомним, что графиком дробно-линейной функции график функции f представляет собой объединение участков гипербол с уравнениями y прямые x 1 и y 1 являются асимптотами. Для функции построить график функции f. На рисунке ветви гипербол с уравнениями пунктирными линиями. График функции f выделим жирным.

прямая y a не имеет общих точек с графиком функции f. Так как Пример 18. Найдите все значения параметра а, при которых количество корней уравнения a 5 x3 2 x 2 x 0 равно количеству Рассмотрим возможные случаи: а) a 5 x1 0, x2 0,5 – два корня;

б) a 5. Дискриминант второго уравнения равен 46 a. Если a, то уравнение a 5 x3 2 x 2 x 0 имеет один корень, при a 6 – два корня, при a 6 и a 5 – три корня.

Пусть f x 2 x 2 12 x 2 4 x 40. Тогда, раскрывая модуль, получим Получаем, что при a 2 8 система решений не имеет, при a 2 8 система имеет одно решение, при 8 a 2 32 – два, при a 2 32 – три, при 32 a 2 40 – четыре, при a 2 40 – три, при a 2 40 – два решения. Теперь выясним, при каких a количество корней первого уравнения и количество решений второй системы совпадают.

Пример 19 (демонстрационный вариант 2012 года). Найдите все значения параметра a, при каждом из которых наименьшее значение y x 2a 4x 7 (ветви направлены вверх, ось симметрии x 4 a ) с одной частью параболы y x 2 2a 4x 7 (ветви направлены вниз).

При различных значениях параметра a график функции имеет вид Таким образом, функция f наименьшее значение принимает либо в точке x 1, либо в точке x 7, либо в точке x 4 a. Тогда наименьшее значение функции f больше 1 тогда и только тогда, когда выполняется система условий:

Пример 20 (пробные задания к ЕГЭ–2012). Функция f (x) имеет период 4, чётна и на отрезке 0;2 совпадает с функцией y 2 x 2.

Найдите, при каких значениях a графики функций f (x) и g ( x) (2a 1) x 3 пересекаются ровно в 7 различных точках.

Решение. Построим график функции f, начиная с отрезка 0;2.

Получим часть параболы. Отразим полученную кривую относительно оси Oy, поскольку f – чётная функция. Теперь мы имеем график на отрезке 2;2, длина которого равна периоду функции. Ввиду периодичности, повторим картинку слева и справа нужное количество раз. Получим График функции g представляет собой ломаную, состоящую из двух лучей с началом в точке (3;0), симметричную относительно прямой x 3 и располагающуюся в верхней полуплоскости в случае 2a 1 0 и в нижней – в случае 2a 1 0 (случай 2a 1 0 нет смысла рассматривать, так как тогда график g (x) совпадает с осью абсцисс и имеет с графиком f (x) бесконечное множество общих точек).

Наша задача – подобрать коэффициент 2a 1 так, чтобы получить общих точек графиков. Очевидно, что это возможно в двух случаях:

1) ломаная проходит через точку (10;2) и, соответственно, через точку (4;2) (при этом 2a 1 0 );

2) ломаная касается графика функции f немного левее точки (4;2) (при этом 2a 1 0 ).

В случае 1 несложно написать уравнение прямой y kx b, часть которой – левый луч ломаной g. Она проходит через точки (–10;–2) и (3;0), следовательно, коэффициенты k и b удовлетворяют системе уравнений В случае 2 будем искать уравнение прямой y kx b, проходящей через точку (–3;0) и касающейся параболы y ( x 4) 2 2. Подставляя координаты точки в уравнение прямой, получим b 3k. Координаты точки её абсцисса – единственный корень квадратного уравнения k 2 28k 8 0. Получаем k1,2 14 2 47. Ясно, что прямая с угловым коэффициентом k 14 2 47 касается параболы y ( x 4) 2 2 ниже оси абсцисс, и нам не подходит, а прямая с угловым коэффициентом k 14 2 47 – искомая. Следовательно, 2a 1 14 2 47 a 15 2 47 2.

Пример 21 (пробные задания к ЕГЭ–2012). При каких a уравнение Заметим, что вершина графика функции g имеет координаты a; 2a 1, следовательно, лежит на прямой y 2 x 1. С увеличением значения параметра a точка a; 2a 1 перемещается вдоль этой прямой слева направо (соответственно снизу вверх). Тогда из рисунка видим, что существует два значения параметра a, удовлетворяющие условию задачи.

При одном из них график функции g проходит через точку 1;0, при другом – касается участка параболы. Первое происходит при a 0, второе – когда уравнение x 2 2 x 3 x 3a 1 имеет единственный корень.

Приравнивая дискриминант к нулю, находим a 25 12.

Пример 22. Известно, что неравенство имеет хотя бы один корень. Найдите наибольшее из возможных значений параметра b.

1) b 0. Неравенство верно при всех x 4.

2) b 0. Разделим обе части неравенства на b b и выделим полный квадрат, получим В левой части неравенства записана сумма положительных чисел, одно из которых является обратным к другому. Такая сумма не меньше 2, и равна 2 только при bx 42 1. Правая часть неравенства не превосходит Рассмотрим b. Неравенство примет вид Докажем, что оно имеет решения. Так как левая часть неравенства равна при например, при x 1 правая часть неравенства также равна 2.

Пример 23. Найдите все значения переменной x, удовлетворяющие значении a, принадлежащем промежутку 2;1.

Решение. Поступим иначе, найдём все значения переменной x, которые не удовлетворяют неравенству ни при одном значении параметра a 2;1. Тогда все прочие значения x будут ответом к задаче.

Перепишем неравенство следующим образом Задача решается просто, если x и a поменять ролями: переменную x рассматривать как параметр, а параметр a – как переменную. Таким образом, будем искать значения параметра x, при которых квадратное неравенство не имеет решений a, принадлежащих отрезку 2;1.

направлены вверх. Если дискриминант меньше нуля, то неравенство будет выполняться при всех действительных значениях переменной a.

Следовательно, этот случай нас не интересует. Если же дискриминант не меньше нуля, то решением вспомогательной задачи будут те x, при которых весь отрезок 2;1 попадает на участок отрицательности квадратного трёхчлена.

Последнее условие будет выполняться, если Получаем x 1 0;2. Тогда можем выписать Пример 24. Найдите все значения x, которые удовлетворяют неравенству 2a 1x 2 a 1x 3a при любом значении параметра a, принадлежащем промежутку 1;2.

Решение. Заметим, что неравенство является линейным относительно a, и условие задачи может быть переписано следующим образом: при всех a 1;2 верно неравенство 2 x 2 x 3 a x 2 x 0.

Графиком линейной функции является прямая. Тогда f a 0 при любых a 1;2 в трёх случаях:

Рассмотрим все три случая.

относительно x.

Возведём обе части уравнения в квадрат:

Уединяя корень и приводя подобные члены, получим Рассмотрим первое уравнение системы: a 2 x b 2 x ( x ab) случая:

1) a b 0, то есть a b. Заметим, что в этом случае исходное уравнение принимает вид 2 a 2 x 0 x a 2 b2 ОДЗ.

2) a b 0. Тогда x 0 является единственным корнем уравнения (a b) 2 x 0. Полученный корень должен удовлетворять неравенству системы, следовательно, ab 0. Учитывая ОДЗ, получаем Пример 26. Найдите все a, при которых среди корней уравнения sin 2 x 6a cos x sin x 3a 0 найдутся два, удалённые друг от друга на расстояние 3 2.

Покажем найденные решения на единичном круге.

Точек, отвечающих множеству решений x 3 2k, k Z, две, им на рисунке соответствуют значения 3. Положение точек, отвечающих множеству решений x 1 arcsin b n, n Z, зависит от значения параметра b. Нас интересует такое расположение этих точек, при котором найдутся две точки среди четырёх, 3 и arcsin b, удалённые друг от друга на расстояние 3 2.

Рассмотрим точку 3. Очевидно, что точки 3 3 2 11 6 и 3 3 2 7 6 удовлетворяют условиям задачи. Этим точкам отвечают следующие значения параметра b 1 2 (соответственно a 1 6 ).

3 3 2 11 6 удалены от этой точки на величину 3 2. Точкам 7 6 и 11 6 соответствуют те же значения b 1 2.

Остаётся заметить, что, если b 2 2, то точки, отвечающие множеству решений находятся на биссектрисах первой и второй четвертей. И тогда, например, точки из этого множества 4 и 4 3 2 5 4 удовлетворяют условию задачи. Совершенно так же устанавливается, что при b существуют решения, удалённые друг от друга на расстояние 3 2.

Значениям b 2 2, отвечают значения a 2 6.

Пример 27 (задача). А выполняет некоторую работу в срок, на a дней больший, чем В, и на b дней больший, чем С a 0, b 0. А и В, работая вместе, выполняют эту работу в срок, равный сроку С. Определите время, в которое каждый выполняет эту работу отдельно.

Решение. Пусть А выполняет работу за x дней, тогда В выполняет её за x a дней, а С – за x b дней. Заметим, что из последнего условия задачи ясно, что b a. Примем всю работу за 1. Тогда за один день А Для выполнения всей работы А и В вместе понадобится работу в срок, равный сроку С, то Его корни x1, 2 b b 2 ab. (Подкоренное выражение положительно ввиду высказанного ранее замечания.) Поскольку b b 2 ab b, этот корень является посторонним.

Пример 28. Найдите все значения параметра b, при каждом из которых для любого a неравенство x a 2b y 3a b 1 2 имеет хотя бы одно целочисленное решение x; y.

Решение. Множество решений неравенства – открытый круг с центром в точке a 2b;3a b радиуса 2 2. Заметим, что наименьший квадрат с вершинами в точках с целочисленными координатами имеет диагональ, равную 2. Тогда, если около этого квадрата описать окружность a; b, то её радиус будет равен 2 2, то есть радиусу нашего круга. Заметим также, что круг с границей a; b не содержит внутри себя ни одной точки с целочисленными координатами. Если же круг чуть-чуть сдвинуть, то внутри него окажется хотя бы одна такая точка.

квадрата с целочисленными координатами. Тогда центр окружности, описанной около этого квадрата, имеет координаты a 2b;3a b условию задачи удовлетворяют все значения b, для которых не выполняется условие b k 5, k Z.

Пример 29. Найдите все значения a, при которых система Решение. Втрое уравнение системы может быть переписано так:

y 3 5 x 16a. Выполнив замену переменных, полагая m y 3, входят в систему симметрично. Тогда если m; n – решение системы, то n; m – также её решение, то есть система при m n будет иметь как минимум два решения, а исходная система при m 0, n 0 как минимум – восемь, что противоречит условию задачи. Тогда нас интересуют случаи Необходимо убедиться, что при a 1 128 система не имеет решений, отличных от ;.

Учитывая первое уравнение системы, запишем Таким образом, при a 1 128 получаем эквивалентную систему Теперь нетрудно видеть, что при a 1 128 исходная система имеет ровно 2) Пусть решением системы является пара вида 0; n (следовательно, Исходная система имеет ровно четыре корня: ;3, 0;4, 0;2.

Пример 30. Найдите все значения p, при которых множество значений функции f x Определите при каждом таком p множество значений функции f.

Решение. Функция непрерывна на R и имеет единственный нуль при всех p R, то функция f имеет два экстремума x1 и x2. Пусть для определённости x1 x2. Учитывая знак производной, делаем вывод: x1 – точка минимума, а x2 – точка максимума. Теперь нетрудно понять, что полуинтервал 1;3 содержится в множестве значений функции f, если иметь не менее одного корня (для наглядности рекомендуется схематично построить график функции).

Получаем систему неравенств Далее нетрудно проверить, что при найденном значении параметра x1 4, x2 2. Наименьшее значение функции равно f 4 1, наибольшее значение функции равно f 2 3. Тогда отрезок 1; является множеством значений f.

Глава VI. Типовые варианты экзаменационных работ ЕГЭ Инструкция по выполнению тренировочных работ На выполнение экзаменационной работы по математике даётся часа (240 минут). Работа состоит из двух частей и содержит 20 заданий.

Часть 1 содержит 14 заданий с кратким ответом (В1–В14) базового уровня по материалу курса математики. Задания этой части считаются выполненными, если экзаменуемый дал ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

Часть 2 содержит 6 более сложных заданий (С1–С6) по материалу курса математики. При их выполнении надо записать полное решение и ответ.

Рекомендуется для экономии времени пропускать задание, которое не удаётся выполнить сразу, и переходить к следующему. К выполнению пропущенных заданий можно вернуться, если у Вас останется время.

B3 На координатной плоскости даны точки A(2;3), B(6;5), C (9;9). Найдите тангенс угла между векторами AB и AC.

B4 Для остекления веранды требуется заказать 40 одинаковых стекол в одной из трех фирм. Площадь каждого стекла 0,15 м 2. В таблице приведены цены на стекло и на резку стекол. Сколько рублей будет стоить самый дешевый заказ?

одного корня, то в ответ запишите больший из них.

B6 В треугольнике ABC угол C равен 20, AD – биссектриса угла A, угол B больше угла ADB в шесть раз. Найдите градусную меру угла B.

B7 Найдите значение выражения B10 Бросили монету и игральный кубик. Найдите вероятность одновременного выпадения герба на монете и числа 6 на игральном кубике. Ответ округлите до сотых.

B11 Площадь поверхности шара равна 1. Найдите площадь сечения шара плоскостью, проходящей через его центр.

B B B С1 Найдите все решения уравнения cos x 8 cos2 5 на отрезке С2 В единичном кубе A...D1 найдите расстояние между прямыми BA1 и С3 Решите систему неравенств С4 Медиана BM треугольника ABC равна его высоте AH. Найдите угол MBC.

С5 Найдите все положительные a, при каждом из которых система уравнений имеет единственное решение С6 Найдите все пары пятизначных чисел x, y, такие, что число xy, получе6нное приписыванием десятичной записи числа y после десятичной записи числа x, делится на xy.

В5 Решите уравнение log 6 x 2 7 x log 6 (8x 42).

B6 В окружности проведены диаметр AB и пересекающая этот диаметр хорда CD. Угол ABC равен 55 найдите градусную меру угла BAC.

B7 Найдите значение выражения B10 В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 16 очков. Результат округлите до сотых.

B11 Объём параллелепипеда ABCDA1 B1C1 D1 равен 1,2. Найдите объём треугольной пирамиды ABCD1.

B B B С1 Найдите все решения уравнения противоположными рёбрами.

С3 Решите неравенство log 2 x 2 2 x log 0,5 x 2 2 x 2 0.

С4 Окружности радиусов 10 и 17 пересекаются в точках A и B. Найдите расстояние между центрами окружностей, если AB 16.

B1 Только 94% из 27500 выпускников города правильно решили задачу B1. Сколько человек правильно решили задачу В1?

B3 Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1.

B4 У продуктового магазина есть три поставщика макаронных изделий.

Какова наименьшая стоимость (в рублях) покупки 41 коробки макаронных изделий с доставкой?

макаронных Стоимость B5 Найдите корень уравнения log 4 ( x 5) 2.

B6 Градусные меры углов четырёхугольника относятся как 3:4:5:6.

Найдите градусную меру меньшего из углов четырёхугольника.

B8 На рисунке изображен график функции. Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 8. Найдите.

B9 Радиус окружности, вписанной в основание правильной четырёхугольной пирамиды, равен 4 5, а длина бокового ребра пирамиды равна 14. Найдите высоту пирамиды.

B10 В коробке с новогодними украшениями лежат 15 красных, 3 зелёных, 6 жёлтых и 9 лиловых шаров. Какое наименьшее число красных шаров нужно вынуть из этой коробки, чтобы после этого вероятность наугад достать лиловый шар была больше 0,4?

B11 Боковое ребро правильной шестиугольной пирамиды равно 17, а сторона основания 16. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

B12 Два тела массой кг каждое, движутся с одинаковой скоростью выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении определяется выражением. Под каким наименьшим острым углом (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось не менее 50 джоулей?

B13 Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%.

Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

B14 Найдите наибольшее значение функции y 2 x 2 13x 9 ln x 8 на отрезке ;.

С2 В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все ребра которой равны 1, точка D середина ребра A1B1. Найдите косинус угла между между прямыми AD и BC1.

С4 Окружность касается сторон MN и MK прямоугольника MNPK и проходит через вершину P. Сторону KP она пересекает в точке A.

Найдите площадь трапеции MNAK, если MN 9 и NK 145.

C5 Найти все значения a, для каждого из которых существует только одно значение x, удовлетворяющее системе уравнений С6 На экзамене группа студентов получила оценки 2, 3, 4, 5. Сумма всех оценок равна 58. Пятёрок на 2 меньше, чем четверок, а троек – на больше, чем двоек. Определить, сколько студентов получили каждую из оценок.

B1 В школе 800 учеников, из них 30% — ученики начальной школы.

Среди учеников средней и старшей школы 20% изучают немецкий язык.

Сколько учеников в школе изучают немецкий язык, если в начальной школе немецкий язык не изучается?

B3 Найдите диагональ квадрата, если его площадь равна 2.

B4 При строительстве сельского дома можно использовать один из двух типов фундамента: каменный или бетонный. Для каменного фундамента необходимо 9 тонн природного камня и 9 мешков цемента. Для бетонного фундамента необходимо 7 тонн щебня и 50 мешков цемента. Тонна камня стоит 1600 рублей, щебень стоит 780 рублей за тонну, а мешок цемента стоит 230 рублей. Сколько рублей будет стоить материал для фундамента, если выбрать наиболее дешевый вариант?

B6 В треугольнике АВС AC BC 8 5, AB 16. Найдите tg A.

B7 Найдите значение выражения sin 945 sin( 675).

B8 Прямая, проходящая через начало координат, касается графика функции y (x) в точке T (4;10). Найти (4).

B9 Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 8 и образует углы 30, 30 и 45 с плоскостями граней параллелепипеда. Найдите объём параллелепипеда.

B10 Трое стрелков, для которых вероятности попадания в цель соответственно равны 0,8, 0,75 и 0,7, делают по одному выстрелу. Какова вероятность того, что только один из них попадёт в цель?

B11 Около шара описан цилиндр, объём которого равен 6. Найдите объём шара.

B12 Небольшой мячик бросают под острым углом к плоской горизонтальной поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик, скорость мячика, а g — ускорение свободного падения (считайте м/с ). При каком наименьшем значении угла (в градусах) мячик перелетит реку шириной 20 м?

B13 Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20000 рублей, через два года был продан за 15842 рублей.

С2 В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все ребра которой равны 1, точка D середина ребра A1B1. Найдите косинус угла между между прямыми AD и B1C.

C5 Найти все значения a, для каждого из которых существует только одно значение x, удовлетворяющее системе уравнений С6 На экзамене группа студентов получила оценки 2, 3, 4, 5. Сумма всех оценок равна 42. Четверок на 2 больше, чем двоек, а троек – на 5 больше, чем двоек. Определить, сколько студентов получили каждую из оценок.

B7 Найдите значение выражения B10 Два охотника стреляют одновременно и независимо друг от друга по мишени. Вероятность попадания равна соответственно 0,7 и 0,8. Какова вероятность того, что оба охотника попадут в мишень?

B11 Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара.

Объём шара равен 2. Найдите объём конуса.

B12 Колебания грузика на пружине описываются формулой l 20 5 cos t (где l – длина пружины в сантиметрах, t – время, прошедшее с начала колебаний в секундах). Определите, сколько раз за первые 12с длина пружины становилась равной 18 см.

B B B3 Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого имеют координаты (1;4), (4;6), (8;1), (11;3).

B4 Для строительства дачи можно использовать один из двух типов фундамента: бетонный или фундамент из пеноблоков. Для фундамента из пеноблоков необходимо 3 кубометра пеноблоков и 4 мешка цемента. Для бетонного фундамента необходимо 2,5 тонны щебня и 22 мешка цемента.

Кубометр пеноблоков стоит 2500руб., щебень стоит 700руб. за тонну, а мешок цемента стоит 300руб. Сколько рублей придётся заплатить за материал, если выбрать самый дешёвый вариант?

B6 Основания трапеции относятся как 3:4, а средняя линия равна 28.

Найдите большее основание трапеции.

x 14,5.

B9 Через среднюю линию основания треугольной призмы, площадь боковой поверхности которой равна 24, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы.

B10 В коробке 6 белых и 5 чёрных шаров. Их коробки вынимают один шар и откладывают его в сторону, он оказывается белым. После этого из коробки вынимают ещё один шар. Какова вероятность того, что он тоже окажется белым?

B Объём шара равен 32 3. Найдите отношение площади сечения шара плоскостью, проходящей через его центр, к числу.

B B B B1 Тетрадь стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких тетрадей можно будет купить на 750 рублей после понижения цены на 10%?

В3 В прямоугольнике ABCD известны стороны Найдите длину вектора AC BD.

B4 При строительстве сельского дома можно использовать один из двух типов фундамента: каменный или бетонный. Для каменного фундамента необходимо 7 тонн природного камня и 7 мешков цемента. Для бетонного фундамента необходимо 6 тонн щебня и 43мешка цемента. Тонна камня стоит1550 рублей, щебень стоит 730 рублей за тонну, а мешок цемента стоит 200 рублей. Сколько рублей придётся заплатить за материалы для фундамента, если выбрать самый дешёвый вариант?

Решите уравнение 10 216 x 0,001.

B6 Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 150. Боковая сторона треугольника равна 20.

Найдите площадь этого треугольника.

Найдите a.

B9 В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воды и погрузили в воду деталь. При этом уровень воды поднялся с отметки см до отметки см. Найдите объем детали. Ответ выразите в.

B10 В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.

B11 Радиус окружности, вписанной в основание правильной шестиугольной пирамиды, равен 6, а длина бокового ребра пирамиды равна 7. Найдите высоту пирамиды.

B12 Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону, где t — время в минутах, мин – начальная угловая скорость вращения катушки, а мин – угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки достигнет Определите время после начала работы лебёдки, не позже которого рабочий должен проверить её работу. Ответ выразите в минутах.

B13 Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй – 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго.

B14 Найдите наибольшее значение функции на отрезке С1 Решите систему уравнений С2 В кубе A...D1 точки E, F – середины ребер соответственно A1B1 и A1 D1. Найдите синус угла между плоскостями AEF и BCC1.

С3 Решите неравенство С4 Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине B и углом при вершине A. Точка D - середина гипотенузы. Точка C симметрична точке C относительно прямой BD. Найдите угол AC1B.

С5 Найти все значения a, при каждом из которых уравнение С6 Найдите все такие целые a и b, что корни уравнения x 2 (2a 9) x 3b 5 0 являются различными целыми числами, а коэффициены 2a 9 и 3b 5 – простыми числами.

B1 В сентябре 1 кг слив стоил 60 рублей. В октябре сливы подорожали на 25%. Сколько рублей стоил 1 кг слив после подорожания в октябре?

B3 Сторона правильного шестиугольника ABCDEF равна 10. Найдите скалярное произведение векторов AB и AF.

B4 Строительный подрядчик планирует купить 5 тонн облицовочного кирпича у одного из трех поставщиков. Вес одного кирпича 5 кг. Цены и условия доставки приведены в таблице. Во сколько рублей обойдется наиболее дешевый вариант покупки?

B5 Решите уравнение 2012 x 0,1 101 x.

B6 Основания трапеции равны 7 и 14. Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции.

B7 Найдите значение выражения 7 3 16 6 16.

. Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

B9 В цилиндрический сосуд налили воды. Уровень воды при этом достигает высоты см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в.

B10 В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 2 очка. Результат округлите до сотых.

B11 В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 6, а тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен 2 11. Найдите сторону основания пирамиды.

B12 Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте h м над землёй, выраженное в километрах, до наблюдаемой им линии Земли. На какой наименьшей высоте следует располагаться наблюдателю, чтобы он видел горизонт на расстоянии не менее 4 километров? Ответ выразите в метрах B13 Рабочие прокладывают тоннель длиной 500 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра туннеля. Определите, сколько метров туннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней.

С1 Решите систему уравнений С2 В правильной шестиугольной призме A...F1, все ребра которой равны 1, точка G – середина ребра A1 B1. Найдите синус угла между прямой AG и плоскостью BDD1.

С3 Решите неравенство log x log 9 3 x 9 1.

С4 Дана трапеция верхним основанием BC 10. Известно, что cos ABC. Найдите BD.

С5 Найти все значения a, при каждом из которых уравнение С6 Квадратный трехчлен f ( x ) x 2 px q имеет два различных корня.

Один из корней трехчлена и его значение в точке x 11 являются простыми числами. Найдите корни трехчлена.

B1 Железнодорожный билет для взрослого стоит 840 рублей. Стоимость билета школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого.

Группа состоит из 18 школьников и 3 взрослых. Сколько стоят билеты на всю группу?

B3 Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого имеют координаты (3;7), (7;3), (7;6), (3;10).

B5 Решите уравнение 2 x 3 x. Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе укажите меньший из корней.

B6 В Один из углов параллелограмма больше другого на 78. Найдите градусную меру большего из углов параллелограмма.

B7 Найдите значение выражения B8 На рисунке изображён график функции y f (x ) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной f (x) в точке x0.

B9 В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые рёбра равны 5. Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы.

B В коробке лежат фломастеры: 2 красных, 3 синих, 5 желтых, 4 фиолетовых и 6 зелёных. Катя взяла, не глядя, один фломастер. Какова вероятность того, что он синий?

B Объём параллелепипеда ABCDA1 B1C1 D1 равен 1,2. Найдите объём пирамиды ABDA. B12 Трактор тащит сани с силой кН, направленной под острым углом к горизонту. Мощность (в киловаттах) трактора при скорости м/с равна. При каком максимальном угле (в градусах) эта мощность будет не менее 75 кВт?

B13 Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?

B14 Найдите наименьшее значение функции y ( x 8)e x7 на отрезке 6;8.

С1 Решите уравнение 7 sin 2 x 4 sin x cos x 3cos2 x 0. Найдите корни, принадлежащие промежутку 5 ; 7.

С2 Диаметр окружности основания цилиндра равен 20, образующая равна 28. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 12 и 16. Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

С3 Решите систему неравенств С4 Около треугольника ABC описана окружность с центром O, AOC 60. В треугольник ABC вписана окружность с центром M.

Найдите угол AMC.

С5 Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение 3 ax 1 на промежутке 0; имеет более двух корней.

С6 Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них сходил и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более 2 учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более 2 от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

а) Могло ли быть в группе 9 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?

б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что в группе было 20 учащихся?

в) Какую наибольшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?

B3 Найдите абсциссу точки, симметричной точке A(6, 8) относительно начала координат.

B5 Решите уравнение B6 В треугольнике ABC угол C равен 90, AB 16, AC 8 3. Найдите sin A.

B9 Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 4. Объём параллелепипеда равен 16. Найдите высоту цилиндра.

B10 Монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что первые два броска закончатся одинаково.

B11 Если каждое ребро куба увеличить на 2, то площадь поверхности куба увеличится на 27. Найдите ребро этого куба.

B12 По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, внутреннее сопротивление, R – сопротивление цепи (в Омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более от силы тока короткого замыкания I кз ?

В13 Первые 190 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие км – со скоростью 90 км/ч, а затем 170 км – со скоростью 100 км/ч.

Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

B14 Найдите наименьшее значение функции y 5x ln( x 5)5 на отрезке 4,5; 0.

С1 Решите уравнение 4 cos2 x 8 cos x 1 0.

Найдите корни, принадлежащие промежутку 3 ; С2 На ребре CC1 куба ABCDA1 B1C1 D1 отмечена точка E так, что CE : EC1 1: 3. Найдите угол между прямыми BE и AC1.

С3 Решите систему неравенств С4 Продолжение биссектрисы CD неравнобедренного треугольника ABC пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке E.

Окружность, описанная около треугольника ADE, пересекает прямую AC в точке F, отличной от A. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если AC 7, AF 2, угол BAC равен 60.

С5 Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение 1 4 x a 3 x имеет более двух корней.

С6 Число S таково, что для любого представления S в виде суммы положительных слагаемых, каждое из которых не превосходит 1, эти слагаемые можно разделить на две группы так, что каждое слагаемое попадает только в одну группу и сумма слагаемых в каждой группе не превосходит 16.

а) Может ли число S быть равным 32 ?

б) Может ли число S быть больше 31 ?

в) Найдите максимальное возможное значение S.

ОТВЕТЫ к типовым вариантам экзаменационных работ ЕГЭ вариа вариа

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.И., Пасиченко П.И. Задачи по математике. Алгебра. Справочное пособие. – М.: Наука. Гл. ред.

Физ.–мат. лит., 1987.

2. Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.И., Пасиченко П.И. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Справочное пособие. – М.:

Наука. Гл. ред. Физ.–мат. лит., 1987.

3. Гарбарук В.В., Кузьмина М.В., Родин В.И., Соловьёва И.М.

Математика: Пособие для учащихся факультета довузовской подготовки. СПб.: Петербургский государственный университет путей и сообщения, 2005.

4. Евстафьева Л. П. Пособие по математике. М.: Московский авиационный институт, 2009.

5. ЕГЭ 2010. Открытый банк заданий по математике Части В1-В12.

6. Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ:

2010: Математика / авт.-сост. И.Р.Высоцкий, Д.Д.Гущин, П.И.Захаров и др.; под. Ред. А.Л.Семёнова, И.В.Ященко. – М.: АСТ: Астрель, 2010.

7. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во втузы. Под ред. М.И.Сканави. М.: Высшая школа, 1972.

8. Сборник задач по математике для поступающих в вузы. Под ред.

Профессора А.И.Прилепко. М.: Высшая школа, 1982.

9. Ткачук В.В. Математика – абитуриенту. М.: МЦНМО, 2008.

10. Цыпкин А.Г. Справочное пособие по математике для средней школы.

М.: Наука, 1981.

11. Ястребинецкий Г.А. Уравнения и неравенства, содержащие параметры. Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1972.

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие………………………………………………………………….. Глава I. Арифметические вычисления. Тождественные преобразования.

Квадратный трёхчлен………………….……………………..……. §1. Действительные числа. Арифметические вычисления………………… §2. Тождественные преобразования алгебраических выражений……….. §3. Квадратное уравнение. Формулы Виета………………………………... Контрольная работа №1 ……………………………………….…………... Глава II. Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства.

Системы уравнений и неравенств…

§1. Рациональные уравнения и неравенства……………...……………….... 1. Линейные уравнения и неравенства………………….………........ 2. Квадратные уравнения……………..……………………………….. 3. Квадратные неравенства …………………………………………… 4. Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами…... 5. Рациональные неравенства…………………………………………. §2. Иррациональные уравнения и неравенства………………………….…. §3. Системы уравнений и неравенств ……………………..…………...…… 1. Рациональные системы уравнений………………………………... 2. Иррациональные системы уравнений…………………………….. 3. Системы неравенств………………………………………………... Задачи для самостоятельного решения………………………...…………… Контрольная работа №2 ……………………………………….…………... Глава III. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства... §1. Свойства и график показательной функции…………….…………….. §2. Показательные уравнения…………………………………………….…. §3. Понятие логарифма……..……………………………………………...… §4. Свойства и график логарифмической функции……………………. §5. Логарифмические уравнения………………………………….………… §6. Показательные и логарифмические неравенства………………………. 1. Показательные неравенства ……………………………………….. 2. Логарифмические неравенства ….………………………………… Задачи для самостоятельного решения…...………………….……………... Контрольная работа №3 ……………………………………….…………... Глава IV. Тригонометрические функции…………………………………... §1.Радианная мера угла. Тригонометрические функции …..……………… §2.Тождественные преобразования тригонометрических выражений … §3.Тригонометрические уравнения ……………….…………………...…… §4. Решение геометрических задач с применением тригонометрии ……. §5.Решение тригонометрических неравенств ….……………….………… Задачи для самостоятельного решения…...………………….…………… Контрольная работа №5…………………………………………………… Контрольная работа №6……………………………………………………... Глава V. Задачи с параметрами….……………………………………… §1. Понятие задачи с параметрами. Примеры простейших уравнений и неравенств, содержащих параметр ……………………………………….. §2. Примеры решения различных задач с параметром…………………... Глава VI. Типовые варианты экзаменационных работ ЕГЭ…………... ОТВЕТЫ к типовым вариантам экзаменационных работ ЕГЭ……………...

…...………………….………………………………………………………... Список литературы………………………………………………………..... ГОЛУБЕВ Александр Анатольевич, СПАССКАЯ Татьяна Александровна

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

Технический редактор А.В. Жильцов Подписано в печать 11.10.2012. Формат 60 84 1/16.

Усл. печ. л. 10. Тираж 100 экз. Заказ № 503.

Тверской государственный университет Редакционно-издательское управление Адрес: Россия, 170100, г. Тверь, ул. Желябова, 33.



Pages:     | 1 ||


Похожие работы:

«1 _  Учебное пособие по фрезерной Введение Преимущества работы с обработке с ShopMill _ 2 ShopMill Чтобы все работало _3 правильно SINUMERIK Operate _ 4 Основы для начинающих SinuTrain _ 5 Учебное пособие по фрезерной Хорошее оснащение обработке с ShopMill Пример 1: продольная _ 6 направляющая Учебная документация _ Пример 2: пресс-форма _ Пример 3: фасонная плита _ Пример 4: рычаг _ Пример 5: фланец _ А теперь к производству Насколько Вы овладели _ ShopMill? 09/ 6FC5095-0AB50-1PP Правовая...»

«Ю.А. АЛЕКСАНДРОВ Основы производства безопасной и экологически чистой животноводческой продукции ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУВПО МАРИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Аграрно-технологический институт Ю.А. АЛЕКСАНДРОВ ОСНОВЫ ПРОИЗВОДСТВА БЕЗОПАСНОЙ И ЭКОЛОГИЧЕСКИ ЧИСТОЙ ЖИВОТНОВОДЧЕСКОЙ ПРОДУКЦИИ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Йошкар-Ола, 2008 ББК П6 УДК 631.145+636:612.014.4 А 465 Рецензенты: В.М. Блинов, канд. техн. наук, доц. МарГУ; О.Ю. Петров, канд. с.-х. наук, доц. МарГУ Рекомендовано к...»

«Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАФЕДРА Анализ рисков и экономическая безопасность УТВЕРЖДАЮ Проректор по магистратуре и аспирантуре Л.И. Гончаренко _ 2014 г. ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА, ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В АСПИРАНТУРУ ПО НАПРАВЛЕНИЮ 38.06.01 Экономика ПРОФИЛЬ Экономика и управление народным хозяйством МОСКВА УДК 33 (079) ББК 74. П Авдийский В.И., Ряховская...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Амурский государственный университет Кафедра Безопасность жизнедеятельности УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ МЕДИКО-БИОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ БЕЗОПАСНОСТИ Федерального государственного образовательного стандарта ВПО по направлению 280700.62 Техносферная безопасность, утвержденного приказом № 723 Министерством образования и науки РФ от 14...»

«Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО Уральский государственный технический университет УПИ Е.Ф. Жданкина Игры и развлечения на воде, применяемые при обучении элементам синхронного плавания детей старшей и подготовительной группы в дошкольном образовательном учреждении Учебное электронное текстовое издание Подготовлено кафедрой Оздоровительная физическая культура Научный редактор: канд. биолог. наук, доцент А.В. Чудиновских Методические рекомендации для преподавателей, инструкторов,...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ СЕВАСТОПОЛЬСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к практическим занятиям по дисциплине Безопасность дорожного движения для студентов направления 6.070106 Автомобильный транспорт дневной формы обучения Севастополь 2011 2 УДК 629.114.083 Методические указания к практическим занятиям по дисциплине Безопасность дорожного движения для студентов направления 6.070106 Автомобильный транспорт дневной формы обучения. / сост. В.А. Буштрук,...»

«База нормативной документации: www.complexdoc.ru 1.2. Гигиена, токсикология, санитария Методические указания МУ 1.2.2743-10 Порядок отбора проб для выявления и идентификации наноматериалов в водных объектах (утв. Федеральной службой по надзору в сфере защиты прав потребителей и благополучия человека 23 сентября 2010 г.) Введены в действие 10 октября 2010 г. Введены впервые Содержание 1. Область применения 2. Нормативные ссылки 3. Общие положения 4. Процедура отбора проб 5. Меры безопасности...»

«Расистские и Неонацистские Символы в Футболе Учебное пособие для Стюардов и Служб безопасности Футбол против расизма в Европе Введение В рамках программы Объединение против расизма УЕФА ЕВРО 2008 было поручено разработать и распространить учебное пособие для сотрудников, работающих на стадионах в период проведения матчей УЕФА ЕВРО 2008, которое включало бы рекомендации по идентификации расистских символов и борьбе с проявлениями расизма. Целью создания учебного пособия является повышение...»

«У Т В ЕР Ж Д А Ю Заместитель руководителя Федеральной службы по ветеринарному и фитосанитарному надзору _ Е.А.Непоклонов 31 августа 2004 г. ВЕТЕРИНАРНО-САНИТАРНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО КОНТРОЛЮ (НАДЗОРУ) БОЕНСКИХ И МЯСОПЕРЕРАБАТЫВАЮЩИХ ПРЕДПРИЯТИЙ. Общие требования 1. Настоящие Ветеринарно-санитарные методические указания по контролю (надзору) боенских и мясоперерабатывающих предприятий (далее - ВСМУ) определяют порядок проведения проверки (обследования) боенских и мясоперерабатывающих...»

«ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИХ УСЛОВИЙ НА РАБОЧИХ МЕСТАХ Омск – 2008 3 Федеральное агентство по образованию Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) Кафедра Безопасность жизнедеятельности ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИХ УСЛОВИЙ НА РАБОЧИХ МЕСТАХ Методические указания к выполнению лабораторного практикума по курсу Безопасность жизнедеятельности Составители: Д.С. Алешков, Х.Ф. Абдрахманов Омск Издательство СибАДИ 2008 УДК 331. ББК 65.9(2)248. А Рецензент д-р. техн. наук,...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Казанский (Приволжский) федеральный университет УТВЕРЖДАЮ Проректор по образовательной деятельности Р.Г. Минзарипов 2012 г. МП ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ЭКОНОМИКА ТАТАРСТАНА Специальность _ - _ ФК и БЖ (Номер специальности) (Название специальности) Принята на заседании кафедры территориальной экономики (протокол № от 01 января 2012 г.)...»

«1 2 ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ Основная образовательная программа магистерской подготовки Логистический менеджмент и безопасность движения, реализуемая федеральным государственным образовательным бюджетным учреждением высшего профессионального образования Иркутский государственный технический университет представляет собой систему документов, разработанную и утвержденную Иркутским государственным техническим университетом с учетом требований регионального рынка труда на основе Федерального...»

«МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ РАЗДЕЛА БЕЗОПАСНОСТЬ ЖИЗНЕДЕЯТЕЛЬНОСТИ В ДИПЛОМНЫХ ПРОЕКТАХ СПЕЦИАЛЬНОСТИ 190701 ОРГАНИЗАЦИЯ ПЕРЕВОЗОК И УПРАВЛЕНИЕ НА ТРАНСПОРТЕ Омск 2011 1 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) Кафедра Техносферная безопасность МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ РАЗДЕЛА БЕЗОПАСНОСТЬ...»

«ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 101 ГБО. ПАСПОРТНОЕ ОСВИДЕТЕЛЬСТВОВАНИЕ ГАЗОВОГО БАЛЛОНА И ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБСЛУЖИВАНИЕ ЕГО АРАМАТУРНОГО УЗЛА Методические указания по выполнению лабораторной работы № 101 ГБО ОМСК – 2003 2 Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия Кафедра Эксплуатация и ремонт автомобилей УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой Н.Ґ. ПЕВНЕВ _ _ 2003 г. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1ГБО. ПАСПОРТНОЕ ОСВИДЕТЕЛЬСТВОВАНИЕ ГАЗОВОГО БАЛЛОНА ИТЕХНИЧЕСКОЕ ОБСЛУЖИВАНИЕ ЕГО АРАМАТУРНОГО УЗЛА Методические...»

«1 ГКУ Курганская областная юношеская библиотека Методические рекомендации Безопасный интернет Курган, 2013 2 Проблема обеспечения информационной безопасности молодого поколения в информационных сетях становится все более актуальной в связи с существенным возрастанием численности молодых пользователей. В современных условиях развития общества компьютер стал для юных граждан другом, помощником, воспитателем и даже учителем. Между тем существует ряд аспектов при работе с компьютером, в частности,...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ПРАКТИКЕ И НАПИСАНИЮ ВЫПУСКНОЙ КВАЛИФИКАЦИОННОЙ РАБОТЫ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ДНЕВНОГО ОТДЕЛЕНИЯ Составители: И.И. Косинова, А.А. Валяльщиков Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета Утверждено научно-методическим советом геологического факультета 23 ноября 2007 г.,...»

«МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ РАЗДЕЛА БЕЗОПАСНОСТЬ ЖИЗНЕДЕЯТЕЛЬНОСТИ В ДИПЛОМНЫХ ПРОЕКТАХ ВЫПУСКНИКОВ СИБАДИ СПЕЦИАЛЬНОСТИ 050501 ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБУЧЕНИЕ ФАКУЛЬТЕТА АВТОМОБИЛЬНЫЙ ТРАНСПОРТ Омск 2007 Федеральное агентство по образованию Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) Кафедра Безопасности жизнедеятельности МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ РАЗДЕЛА БЕЗОПАСНОСТЬ ЖИЗНЕДЕЯТЕЛЬНОСТИ

«МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ РАЗДЕЛА БЕЗОПАСНОСТЬ ЖИЗНЕДЕЯТЕЛЬНОСТИ В ДИПЛОМНЫХ ПРОЕКТАХ ВЫПУСКНИКОВ СИБАДИ ВСЕХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ ФАКУЛЬТЕТА ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В УПРАВЛЕНИИ Омск 2007 Федеральное агентство по образованию Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) Кафедра Безопасности жизнедеятельности МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ РАЗДЕЛА БЕЗОПАСНОСТЬ ЖИЗНЕДЕЯТЕЛЬНОСТИ В ДИПЛОМНЫХ...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОСТОЧНО-СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра Метрология, стандартизация и сертификация МЕТОДЫ И ПРИБОРЫ НЕРАЗРУШАЮЩЕГО КОНТРОЛЯ Раздел: Радиационный контроль Методические указания по выполнению лабораторных работ для студентов специальности Метрология и метрологическое обеспечение дневной и заочной форм обучения Составитель: Жаргалов Б.С. Улан-Удэ, 2002 г. Методические указания Радиационный контроль по курсу Методы и...»

«Министерство образования и науки Самарской области Министерство имущественных отношений Самарской области Государственное бюджетное образовательное учреждение Среднего профессионального образования Тольяттинский индустриально-педагогический колледж (ГБОУ СПО ТИПК) Дисциплина Безопасность жизнедеятельность Методические указания по самостоятельной работе студентов для специальности 120714 Земельно-имущественные отношения Тольятти 2013 г. Бух А.П., Лысенко И.В. Методические указания по...»








 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.