WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 |

«Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Государственный университет - учебно-научно-производственный комплекс ...»

-- [ Страница 5 ] --

– Все линейные коэффициенты значимы. Полученную модель можно использовать для управления процессом и оптимизации его путем движения по направлению к экстремуму.

– Один из коэффициентов резко выделяется по абсолютной величине. В этом случае движение по градиенту функции выродится в обычный однофакторный эксперимент. Поэтому следует повторить эксперимент, уменьшив интервал варьирования этого фактора или увеличив его для других факторов.

– Некоторые из линейных коэффициентов незначимы. Ими можно пренебречь, если соответствующие факторы действительно не оказывают влияния на выходной параметр (например, если незначимым оказался включенный в исследование из осторожности фактор, который и по априорным сведениям не должен оказывать существенного влияния на функцию отклика). Если в этом уверенности нет, то необходимо поставить новую серию опытов, расширив интервалы варьирования у соответствующих факторов.

– Некоторые или все линейные коэффициенты незначимы, но значимы коэффициенты взаимодействия bij. Такое положение может возникнуть из-за неудачного выбора интервалов варьирования, поэтому надо поставить новую серию опытов, увеличив интервалы варьирования у соответствующих факторов. Причиной подобной ситуации может быть и то, что эксперимент ставился в области, в которой линейное приближение является неудачной моделью поверхности отклика. В этом случае переходят к нахождению математической модели более высокого порядка.

6.4 Решение типового примера Пример Требуется исследовать процесс получения резистивных пленок рения с целью его оптимизации. В качестве критерия оптимизации берется температурный коэффициент сопротивления (ТКС). Задача исследования – определить условия получения резистивных пленок с минимальным ТКС.

Решение Из анализа технологического процесса и результатов предварительных опытов установлено, что на ТКС пленок рения оказывают влияние следующие факторы:

– температура испарения рения – фактор X1;

– температура подложки, на которую производится осаждение рения – фактор X2;

– температура термообработки изготовленных резистивных пленок рения – фактор X3.

C учетом предварительных опытов выбираем:

– центр плана X10=25000C; X20=4000C; X30=4000C;

– шаг варьирования по всем трем факторам X1=X2=X3=500C.

– абсолютные значения верхнего уровня факторов, учитываемых в данном эксперименте (xi=+1): X10=25500C;

X20=4500C; X30=4500C;

– абсолютные значения нижнего уровня факторов, учитываемых в данном эксперименте(xi=-1): X10=24500C; X20=3500C; X30=3500C.

Первоначально предположим, что искомая модель исследуемого процесса является линейной и может быть представлена полиномом 1-го порядка вида (6.3). В этом случае достаточно варьирования каждого из трех факторов (k=3) на двух уровнях и минимальное число опытов N=23=8.

С целью ускорения проводимого эксперимента, принимаем решение о проведении двух параллельных опытов (n=2) для одних и тех же условий, представленных в каждой строке (значения верхнего и нижнего уровней факторов), соответствующих номеру опыта, указанному в первом столбце матрицы. С учетом проведения параллельных опытов, их число увеличивается до N=N·n и в данном случае составит 16.

План эксперимента представим в виде таблицы 6.3, основные отличия которой от таблицы 6.2:

– во 2-м столбце матрицы указан порядок проведения опытов, который определен с помощью таблицы случайных чисел (таблица А4 приложения А) для рандомизации неконтролируемых параметров исследуемого процесса;

– все экспериментально полученные значения функции отклика первого и повторного опытов заносятся в столбцы 11, 12;

– их средние значения подсчитываются по (6.7) и заносятся в 13-й столбец;

– в 14-й столбец вносятся значения выборочных дисперсий экспериментальных значений функции отклика Yi около их среднего значения Y, которые определяются по следующей формуле где n – количество значений Yi, полученных в результате проведения n параллельных опытов; =1, N.

Таблица 6.3 – Матрица планирования и результаты экспериментов при исследовании резистивных пленок рения проведени Порядок я опыта Номер опыта Порядок обработки и анализа результатов эксперимента следующий:

1. Дисперсии опытных значений функции отклика (ТКС резистивных пленок рения) около их средних значений в каждой строке матрицы рассчитаны по формуле (6.8) и приведены в 14-м столбце таблицы 6.3. Наибольшее ее значение (0,08) соответствует условиям проведения эксперимента, установленным 1-, 3- и 6-м номерами опыта.

2. Для проверки воспроизводимости эксперимента подсчитаем по формуле (6.9) значение критерия Кохрена Критичное его значение, для =0,10 при n=2 (определяет Gкр по столбцу) и N=8 (по строке), равно Gкр=0,57 (таблица А3 приложения А).

GGкр, следовательно эксперимент воспроизводим.

3. По (6.11) подсчитываем значение каждого коэффициента предполагаемой имитационной модели в виде полинома (6.3), на основании которой был спланирован и проведен эксперимент После вычисления коэффициентов предполагаемой модели исследуемого процесса, оцениваем их значимость с помощью критерия Стьюдента, предварительно рассчитав значение t-параметра по формуле (6.11) для каждого коэффициента и соответствующей ему дисперсии ошибки определения этого коэффициента. Учитывая ортогональность матрицы планирования ПФЭ, приведенной в таблице 6.3, дисперсия ошибок каждого из коэффициентов будет одной и той же, определяемой по (6.13). Для вычисления дисперсии ошибки, предварительно нужно определить дисперсию воспроизводимости эксперимента (среднее значение всех оставшихся после проверки на воспроизводимость эксперимента дисперсий функции отклика в параллельных опытах – 14-й столбец таблицы 6.3) по формуле (6.14):

Тогда дисперсия ошибок определения коэффициентов полинома будет равна:

Теперь по формуле (6.11) подсчитываем t-параметр для каждого коэффициента полинома:

Определим критичное значение t-параметра по таблице А приложения А для =N(n–1)=8 и =0,10; tкр=1,86.

Из сравнения найденного значения tкр с соответствующими значениями t-параметров, можно утверждать с уверенностью в нашей правоте в 9 случаях из 10, что коэффициенты b12, b13, b23 и b являются незначимыми. В этом случае эффектом взаимодействия учитываемых в эксперименте факторов можно пренебречь и уточненная имитационная модель, описывающая исследуемый процесс, примет вид Анализируя данную математическую модель можно сделать вывод, что самое большое влияние на функцию отклика оказывает третий фактор (температура термообработки готовых резистивных пленок рения), в то время, как влияние двух других факторов в два раза меньше.

4. После уточнения имитационной модели необходимо проверить ее на адекватность исследуемому процессу. Учитывая, что аппроксимирующий полином (6.16) содержит четыре члена (d=4), дисперсия адекватности, в соответствии с (6.14), будет иметь следующий вид:

Но для расчета дисперсии адекватности первоначально необходимо определить теоретические значения функции отклика Yt для каждого условия проведения опыта, соответствующего конкретному его номеру (). Теоретические значения функции отклика определяются из полученной в результате эксперимента математической модели (6.16) подстановкой безразмерных значений соответствующих факторов Xi для каждого номера опыта.

Так, для условий эксперимента, соответствующих первому опыту, как видно из таблицы 6.3, значения факторов будут:

Тогда теоретическое значение функции отклика для этих условий проведения опыта в соответствии с (6.16) будет равно Y1t =2,15 + 0,1 + 0,1 + 0,2=2,55.

Аналогично для последующих номеров опытов получаем следующие значения:

Y2t =2,15 – 0,1 + 0,1 + 0,2=2,35;

Y3t =2,15 + 0,1 – 0,1 + 0,2=2,35;

Y4t =2,15 – 0,1 – 0,1 + 0,2=2,15;

Y5t =2,15 + 0,1 + 0,1 – 0,2=2,15;

Y6t =2,15 – 0,1 + 0,1 – 0,2=1,95;

Y7t =2,15 + 0,1 – 0,1 – 0,2=1,95;

Y8t =2,15 – 0,1 – 0,1 – 0,2=1,75.

Сравнивая теоретические значения Yt функции отклика с ее экспериментальными средними значениями, приведенными в 13-м столбце таблицы 6.3, можно подсчитать дисперсию адекватности (2,6 2,55)2 + (2,3 2,35)2 + (2,2 2,35)2 + (2,3 2,15)2 + Таким образом, дисперсия адекватности Sад меньше дисперсии воспроизводимости эксперимента S2{Y}, следовательно, математическая модель (6.16) адекватна исследуемому процессу и может быть использована для его оптимизации путем шагового движения к экстремуму. Если бы Sад S2{Y}, то следовало бы воспользоваться F-критерием.

6.5 Задачи для решения Приведены результаты проведения полного факторного эксперимента. Провести обработку и анализ результатов ПФЭ по рассмотренной методике.

3,072 3,028 3,080 3,049 3,069 4,292 4,285 4,333 4,304 4, 5,193 5,159 5,163 5,220 5,168 8,385 8,390 8,404 8,421 8, 3,932 3,955 3,893 3,915 3,939 5,881 5,886 5,847 5,900 5, 7,094 7,126 7,149 7,102 7,158 13,349 13,332 13,357 13,342 13, 4,740 4,704 4,668 4,698 4,724 7,389 7,368 7,439 7,419 7, 9,163 9,167 9,160 9,133 9,191 20,252 20,271 20,271 20,258 20, 6,336 6,396 6,369 6,405 6,357 11,282 11,269 11,293 11,249 11, 14,67 14,66 14,72 14,72 14,74 66,571 66,613 66,562 66,585 66, 4,307 4,284 4,284 4,316 4,286 3,583 3,605 3,623 3,623 3, 8,387 8,396 8,430 8,389 8,404 6,555 6,564 6,523 6,559 6, 5,832 5,873 5,856 5,843 5,862 4,795 4,790 4,776 4,798 4, 13,32 13,30 13,32 13,34 13,31 9,504 9,530 9,524 9,557 9, 7,379 7,415 7,415 7,368 7,368 13,040 13,011 13,045 13,061 13, 20,25 20,27 20,30 20,27 20,26 8,328 8,301 8,303 8,319 8, 11,22 11,23 11,27 11,23 11, 66,59 66,60 66,58 66,59 66, 6.6 Контрольные вопросы 1. Что называется полным факторным экспериментами?

2. Как выбираются факторы планирования, их основные (базовые) уровни и интервалы варьирования?

3. Указать порядок проведения эксперимента методом ПФЭ.

4. Как составляется матрица планирования ПФЭ?

5. Как выбрать центр плана эксперимента?

6. Чем определяется величина интервала варьирования фактора?

7. Почему необходимо проведение параллельных опытов и их рандомизация?

8. Как зависит число уровней варьируемых факторов от порядка имитационной модели, представленной в виде полинома?

9. В чем заключается смысл разработки математической модели по принципу «от простого – к сложному»?

10. Каков порядок статистической обработки и анализа результатов эксперимента?

11. При каких условиях не соблюдается требование воспроизводимости эксперимента и как следует поступить в этом случае?

12. Как проверить значимость оценок коэффициентов регрессии?

13. Поясните различие применения критерия Стьюдента для оценки выборочных средних значений случайной величины и оценки значимости коэффициента полинома.

14. При каких условиях оценки коэффициентов регрессии незначимы и как эти условия устранить?

15. Как проверить адекватность математической модели?

16. При каких условиях не соблюдается требование адекватности математической модели и как следует поступить в этом случае?

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №

7.1 Дробный факторный эксперимент При большом числе учитываемых в эксперименте факторов ПФЭ становится громоздким и занимает очень большое время для своего проведения, так как число опытов с ростом учитываемых в эксперименте факторов увеличивается по экспоненте. Но при этом уменьшаются ошибки при определении коэффициентов полинома, так как для оценки каждого из них используются все опыты.

Число опытов можно сократить, если априорно известно, что на процесс не оказывают влияния те или иные взаимодействия. В этом случае можно использовать дробный факторный эксперимент (ДФЭ). Дробным факторным экспериментом называется эксперимент, реализующий часть (дробную реплику) полного факторного эксперимента.

Предположим, что необходимо получить математическое описание процесса при трех учитываемых факторах X1, X2, и X3, оказывающих влияние на функцию отклика Y.

При использовании ПФЭ для определения коэффициентов полинома 1-го порядка необходимо провести восемь (23) опытов в соответствии с матрицей планирования, приведенной в таблице 6.2.

Число номеров опытов должно быть не менее числа коэффициентов полинома, в соответствии с которым планируется эксперимент. В данном случае предполагаемая математическая модель, описывающая исследуемый процесс, имеет вид полинома (6.5), содержащего восемь коэффициентов от b0 до b123. Однако, если взаимодействие между факторами X1, X2 и X3 отсутствует, можно воспользоваться матрицей планирования ПФЭ для двух факторов X1 и X2, приведенной в таблице 6.1, заменив в ней обозначение X1бX2б на X3б, соответствующее безразмерному значению фактора X3 на верхнем и нижнем его уровнях.

Чередование знаков в этом столбце остается неизменным после замены символов в матрице планирования. Эксперимент в данном случае будет ставиться уже с включением третьего фактора, изменяющегося согласно столбцу X1бX2б ПФЭ (таблица 6.1), а предполагаемая математическая модель будет иметь вид полинома 1-го порядка, не учитывающего взаимодействия факторов, то есть Y=b0+b1X1+b2X2+b3X (7.1) Такой сокращенный план содержит половину опытов от требуемого их числа 2k согласно плану ПФЭ (в данном случае четыре опыта вместо восьми) и называется полурепликой от ПФЭ типа 2k. Условное обозначение такого плана: ДФЭ типа 2k-L, где k – число учитываемых в эксперименте факторов; L – число взаимодействий, замененных факторами, учитываемых в эксперименте.

Для рассматриваемого случая трех факторов X1, X2, X матрица планирования ДФЭ типа 23-1 (X3б=X1бX2б) будет иметь вид (табл. 7.1):

Таблица 7.1 Матрица планирования ДФЭ типа 23-1 (X3б=X1бX2б) Приведенное планирование эксперимента дает возможность при обработке и анализе его результатов оценить в полиноме (3.17) свободный член b0 и коэффициенты b1, b2, b3.Однако при этом предполагается, что коэффициенты b12, b13, b23, b123 в полиноме (6.5) равны нулю. Поэтому составление такой матрицы планирования эксперимента возможно лишь в том случае, если полностью отсутствует или пренебрежительно мало влияние на функцию отклика эффектов взаимодействия факторов исследуемого процесса. Только в этом случае математическая модель, представленная полиномом, в котором отсутствуют члены, учитывающие эти взаимодействия (так как соответствующие им коэффициенты равны нулю), может быть адекватна исследуемому процессу.

При использовании матрицы планирования ДФЭ мы получаем совместную оценку нескольких эффектов: факторов и их взаимодействий:

X1б=X2бX3б, X2б=X1бX3б, X3б=X1бX2б (7.2) Поэтому подсчитываемые значения линейных коэффициентов b1, b2, b3 полинома по экспериментальным значениям функции отклика будут включать также значения коэффициентов, учитывающих эффект влияния взаимодействия факторов на функцию отклика. В результате коэффициенты полином (7.1) будут иметь следующий вид:

где b1, b2, b3 – действительные значения линейных коэффициентов полинома;

b'1, b'2, b'3 – полученные их значения при наличии эффекта влияния взаимодействия факторов на функцию отклика.

Для получения математической модели вида (7.1), адекватной исследуемому процессу, необходимо быть уверенным в отсутствии влияния взаимодействия факторов на экспериментальное значение функции отклика. Только при этом условии подсчитанные коэффициенты b'i будут искомыми значениями линейных коэффициентов bi. Если это условие не выполняется, то найденные значения линейных коэффициентов b'i будут отличаться от действительного значения bi на величину коэффициента bij, учитывающего эффект влияния парного взаимодействия двух других факторов (7.3).

Эти эффекты не могут быть раздельно оценены при планировании, состоящем только из одной полуреплики ПФЭ.

Раздельную оценку для линейных коэффициентов bi и коэффициентов bij можно провести, если поставить дополнительно еще четыре опыта в соответствии с матрицей планирования ДФЭ типа 23-1, приравнивая X3б= – X1бX2б, тогда матрица будет иметь вид (таблица 7.2):

Таблица 7.2 –Матрица планирования ДФЭ типа 23-1 (X3б= – X1бX2б) Подсчитанные коэффициенты b'i линейных членов полинома (7.1) будут включать реальные значения коэффициентов b12, b13, b23, но в отличии от (7.3) совместная оценка коэффициентов будет происходить с обратным знаком:

(7.4) Изменение знака объясняется тем, что для матрицы ДФЭ 23- взаимозависимость значений факторов имеет вид Теперь после постановки уже восьми опытов в соответствии с приведенными планами можно записать раздельные оценки b1=(b'1+b''1)/2; b2=(b'2+b''2)/2; b3=(b'3+b''3)/2; (7.6) b23=(b'1–b''1)/2; b13=(b'2–b''2)/2; b12=(b'3–b''3)/2.

Таким образом, для получения раздельных оценок bi и bij необходимо было провести восемь опытов, то есть пришлось объединить две полуреплики от ПФЭ типа 23. Поэтому практически всегда имеет смысл начинать исследования с ДФЭ. Если в дальнейшем появятся сомнения в том, что какие-либо взаимодействия, ранее не включенные в план эксперимента, могут влиять на выходной параметр, то всегда имеется возможность расширить матрицу планирования до ДФЭ меньшей дробности или ПФЭ и найти раздельную оценку интересующих эффектов.

В случае применения матриц планирования ДФЭ для исследования процессов, содержащих более трех факторов, нужно стремиться к тому, чтобы максимальное число линейных факторов оказалось не смешанным с парными взаимодействиями. Чем более высокие уровни взаимодействия будут заменены факторами из числа рассматриваемых в эксперименте, тем более высоким уровнем разрешающей способности для раздельной оценки коэффициентов полинома будет обладать матрица ДФЭ.

Для формализации процедуры определения разрешающей способности дробной реплики, представленной в виде матрицы планирования ДФЭ при фиксированных k и l, вводятся понятия генерирующего соотношения (ГС) и определяющего контраста (ОК).

В примере с тремя факторами X1, X2 и X3 генерирующими соотношениями являются X3б=X1бX2б и X3б= – X1бX2б, каждое из которых характеризует соответствующую полуреплику от ПФЭ типа 23.

Выражения ОК получаются умножением левой и правой частей приведенных ГС на их левую часть, то есть на X3б. При этом получаются элементы столбца матрицы планирования ДФЭ, соответствующие свободному члену b0 полинома, которые всегда равны единице, так как X2iб=1:

Определяющие контрасты позволяют определить всю систему совместных оценок факторов и взаимодействий, не изучая матрицы планирования. Для этого последовательно умножают обе части ОК на соответствующие эффекты и получают всю картину совместных оценок данной матрицы ДФЭ.

Имея систему совместных оценок, можно формализовать процедуру построения плана ДФЭ, обеспечивающего высокую разрешающую способность при определении коэффициентов полинома.

Чтобы получить высокую разрешающую способность, стремятся таким образом построить план ДФЭ, чтобы линейные факторы были смешаны с взаимодействиями самого высокого порядка (они чаще бывают равными нулю) или с теми взаимодействиями, о которых априорно известно, что они не оказывают влияния на процесс. Оценить разрешающую способность помогает ГС, чем больше символов входит в ГС, тем обычно выше разрешающая способность.

По мере возрастания числа учитываемых в исследуемом процессе факторов можно применять реплики большей степени дробности (1/4, 1/8 и т.д.). При этом с ростом числа независимых переменных (учитываемых факторов) растет разрешающая способность дробных реплик, так как для линейной имитационной модели (3.3), соответственно возрастает порядок взаимодействия факторов и количество членов полинома, учитывающих эти взаимодействия, а следовательно, увеличивается точность оценки коэффициентов при линейных членах, смешанных с взаимодействиями высокого порядка. Число опытов, проводимых в соответствии с матрицей дробной реплики для раздельной оценки коэффициентов полинома, должно быть не менее числа коэффициентов в предполагаемой имитационной модели, включая коэффициент b0.

Реализация плана ДФЭ ничем не отличается от реализации плана ПФЭ.

Обработку и анализ результатов дробного факторного эксперимента проводят в полном соответствии с методикой, изложенной для ПФЭ.

7.2 Решение типового примера Если в эксперименте рассматриваются четыре фактора (k=4), то в предполагаемой линейной имитационной математической модели, соответствующей полиному первого порядка, имеем Y=b0+b1X1+b2X2+b3X3+b4X4+b12X1X2+b13X1X3+ +b14X1X4+b23X2X3+b24X2X4+b34X3X4+b123X1X2X3+ (7.7) +b124X1X2X4+b234X2X3X4+b134X1X3X4+b1234X1X2X3X4.

При планировании ПФЭ типа 24, необходимо было бы провести минимум 16 опытов для определения 16-ти коэффициентов, входящих в полином (7.6).

Полуреплика от этого плана ПФЭ будет включать 8 опытов, а соответствующую матрицу ДФЭ типа 24-1 можно построить на базе матрицы планирования ПФЭ типа 23, заменив одно из взаимодействий, приведенных в таблице 6.2, на четвертый фактор.

Рассмотрим в качестве генерирующих соотношений одно, из числа низкого порядка, например X4=X1X2, а другое – из числа самого высокого порядка, в данном случае X4=X1X2X3.

На основании выбранных ГС найдем соответствующие ОК:

1=X1X2X4; 1=X1X2X3X4.

С помощью найденных ОК составим две системы совместных оценок:

X3=X1X2X3X4, X3=X1X2X4, X1X3=X2X3X4, X1X2=X3X4, X2X3=X1X3X4, X1X3=X2X4, Приведенные оценки двух полуреплик от ПФЭ 24 получены для двух выбранных ГС, когда взаимодействия факторов приравниваются к независимой переменной (в данном случае, к четвертому линейному фактору X4). При ГС X4=X1X2 (левая колонка системы совместных оценок), член, учитывающий парное взаимодействие факторов X1 и X2 (b12X1X2) будет заменен в уравнении (6.5), а следовательно, и в матрице (таблица 6.2), на член, учитывающий влияние четвертого фактора X4 на функцию отклика, что соответствует плану ДФЭ 24-1 и имитационной математической модели вида Y=b0+b1X1+b2X2+b3X3+b4X4+b13X1X3+b23X2X3+b123X1X2X3 (7.8) Для ГС X4=X1X2X3 план ДФЭ 24-1 будет соответствовать модели вида Y=b0+b1X1+b2X2+b3X3+b4X4+b12X1X2+b13X1X3+b23X2X3 (7.9) В обоих случаях потребуется провести 8 опытов для определения 8 коэффициентов, входящих в уравнения (7.8) и (7.9).

Однако разрешающая способность дробной реплики ГС X4=X1X2X3 для раздельной оценки коэффициентов b1, b2, b3, b4 при линейных членах полинома будет выше потому, что все линейные факторы не смешаны с парными взаимодействиями, в то время, как для ГС X4=X1X2 три из четырех линейных факторов смешаны с парными взаимодействиями.

7.3 Задачи для решения В таблице приведены результаты проведения дробного факторного эксперимента. Провести обработку и анализ результатов ДФЭ по рассмотренной методике.

2,132 2,114 2,160 2,146 2,120 2,567 2,587 2,585 2,527 2, 3,373 3,324 3,377 3,327 3,385 4,148 4,183 4,155 4,144 4, 3,978 3,928 3,905 3,948 3,904 4,998 4,949 4,950 4,947 4, 6,898 6,908 6,887 6,940 6,904 9,758 9,689 9,701 9,711 9, 2,164 2,165 2,145 2,150 2,163 2,788 2,823 2,815 2,777 2, 3,347 3,338 3,322 3,318 3,358 4,491 4,467 4,492 4,473 4, 3,950 3,932 3,908 3,935 3,901 3,485 3,510 3,515 3,524 3, 6,855 6,870 6,875 6,872 6,907 5,883 5,879 5,863 5,870 5, 7.4 Контрольные вопросы 1. Что называется дробным факторным экспериментами?

2. В каких случаях возможно планирование ДФЭ?

3. Как можно оценить разрешающую способность матрицы ДФЭ?

4. Что такое генерирующее соотношение и как оно выбирается?

5. Что такое определяющий контраст и как с его помощью составляется система совместных оценок?

6. Указать преимущества факторного планирования эксперимента перед другими способами проведения активного эксперимента и пассивным экспериментом?

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №

8 ЦЕНТРАЛЬНЫЕ КОМПОЗИЦИОННЫЕ ПЛАНЫ

Разработка математической модели предусматривает принцип «от простого к более сложному», то есть постепенный переход исследователя от «грубой» модели к моделям, более точно описывающим исследуемый процесс.

В имитационной модели, соответствующей полиному (6.1), этот принцип предусматривает в качестве следующего шага переход от полинома 1-го порядка вида (3.3) к полиному 2-го порядка (6.7).

Шаговое движение к экстремуму продолжается до тех пор, пока исследователь не достигнет области, близкой к экстремуму (или «почти стационарной»), которая не может быть описана линейным приближением. Здесь уже становятся значимыми квадратичные эффекты. Близость к «почти стационарной» области можно установить, поставив ряд экспериментов в центре плана, определив среднее значение функции отклика Y0 и сравнить его с теоретическим значением b0, исходя из предполагаемой имитационной модели в виде полинома 1-го порядка (6.3).

Вычисляемое для линейного уравнения значение b0 при реализации факторного эксперимента (ПФЭ и ДФЭ) в «почти стационарной» области является совместной оценкой для свободного члена и суммы квадратичных членов, так как безразмерные значения, стоящие в соответствующих столбцах матрицы ПФЭ, будут одинаковыми. Поэтому разность b0– Y0 может дать представление о кривизне поверхности отклика.

«Почти стационарную» область обычно удается описать с достаточной точностью полиномом 2-го порядка (6.7).

Как уже говорилось в практическом занятии №6 число уровней изменения каждой из независимых переменных должно быть на единицу больше порядка полинома. Поэтому при увеличении числа учитываемых факторов применение ПФЭ типа 3k не рационально, так как это планирование характеризуется резким увеличением объема эксперимента.

Сократить число опытов можно, используя центральные композиционные планы (ЦКП), ядром которых являются линейные ортогональные планы. Преимущество этих планов – для получения модели более высокого порядка достаточно добавить несколько специально спланированных экспериментальных точек к уже существующим (в которых был проведен ДФЭ или ПФЭ).

Общее число опытов центрального композиционного плана при k факторах составит где NФЭ = 2 – число точек ПФЭ или ДФЭ;

N = 2k –число «звездных точек»;

N0 – число опытов в центре плана.

Пример Построение ЦКП можно объяснить на примере с тремя независимыми переменными, соответствующими трем факторам X1, X2, X3. Предположим, что для нахождения линейной модели применен ПФЭ 23, экспериментальные точки которого находятся в вершинах куба (рисунок 5.1). В результате анализа экспериментальных данных установлено, что имитационная математическая модель в виде полинома 1-го порядка не адекватна исследуемому процессу.

Рисунок 8.1 – Расположение экспериментальных точек в плане, соответствующем полиному 2-го порядка для трех независимых переменных Тогда в центре плана проводится опыт, условия которого в матрице планирования эксперимента отображаются нулями для безразмерных величин всех факторов.

экспериментального значения функции отклика Y0 в центре плана, опыты повторяют при неизменных нулевых значениях факторов.

Подсчитанное среднее значение функции отклика Y0 сравнивают с теоретическим значением b0. При подтверждении неадекватности линейной модели ставятся дополнительные опыты для значений факторов, превышающих их абсолютные значения по верхнему и нижнему уровням.

Таким образом, в ПФЭ 23, к ранее проведенным восьми опытам добавляются еще семь опытов (включая опыт в центре плана), шесть из которых соответствуют «звездным точкам». «Звездные точки» (рисунок 8.1) представляют собой два уровня варьирования, каждым из трех факторов, значения которых лежат за пределами граней куба.

Как видно на рисунке 8.1, все «звездные точки» расположены на расстоянии большем, чем ±1 от центра плана и лежат на поверхности сферы диаметром 2.

При построении планов используют различные критерии оптимальности планирования. Наиболее широкое применение получили следующие планы:

– ортогональные;

– рототабельные;

– D-оптимальные.

При ортогональном планировании коэффициенты уравнения полинома оцениваются независимо с минимальными дисперсиями, причем факторы с незначимыми коэффициентами можно сразу отбрасывать, без пересчета оставшихся значимых коэффициентов, как это необходимо при неортогональных планах.

Рототабельные планы позволяют получать уравнения регрессии, предсказывающие значения выходной величины объекта с одинаковой точностью во всех направлениях на одинаковом расстоянии от центра плана.

характеризуется эллипсоидом рассеяния их оценок. Планирование, при котором требуется, чтобы объем эллипсоида рассеяния оценок коэффициентов был минимальным, называется D-оптимальным.

8.1 Центральный композиционный ортогональный план Планирование и проведение эксперимента При составлении матрицы планирования эксперимента этот план предусматривает проведение только одного опыта, условия которого соответствуют начальным значениям всех учитываемых факторов (в центре плана), то есть N0 = 0. Поэтому для ЦКОП выражение (8.1) примет вид Соответствующая матрица ЦКОП для имитационной модели исследуемого процесса, соответствующая полиному 2-го порядка при k=3, приведена в таблице 8.1. Условие ортогональности матрицы выполняется только для линейных членов соответствующего полинома 2-го порядка, представляющего собой имитационную модель вида Y = b0+b1X1+b2X2+b3X3+b12X1X2+b13X1X3+ (8.3) +b23X2X3+b123X1X2X3+b11X 1+b22X 2+b33X Для приведения матрицы к ортогональному виду необходимо провести преобразование квадратичных переменных X2iб.

где X i2 бп – преобразованное (п) безразмерное (б) квадратичное значение i-го фактора, соответствующее -му опыту.

Для выполнения условия ортогональности матрицы ЦКОП, помимо преобразования столбцов, соответствующих квадратичным членам полинома (8.3), и приведения значений, стоящих в них, к виду (8.4), необходимо величину звездного плеча выбирать соответственно:

Таблица 8.1 – Матрица центрального композиционного Группы Номер опыта точек Ядро ЦКОП при k5 составляет, как правило, ПФЭ типа 2k, а при k5 – ДФЭ типа 2k-1, так как во втором случае полуреплика от ПФЭ вполне обеспечивается возможность независимой оценки линейных членов полинома (8.3) и членов, учитывающих эффект взаимодействия факторов.

Значения звездного плеча, подсчитанные на основании условий (8.5) и (8.6), приведены в таблице 8.2.

Таблица 8.2 – Значения звездного плеча ЦКОП Преобразовав соответствующим образом матрицу ЦКОП, приведенную в таблице 8.1, получим матрицу ЦКОП, которая полностью соответствует условию ортогональности (таблица 8.3) Таблица 8.3 – Преобразованная матрица ЦКОП, отвечающая требованиям ортогональности Номер опыта Для приведенной в таблице 8.3 матрицы ЦКОП будет соответствовать имитационную модель следующего вида Y = b0+b1X1+b2X2+b3X3+b12X1X2+b13X1X3+b23X2X3+ (8.7) +b123X1X2X3+b11(X 1– X1 )+b22(X 2– X 2 )+b33(X 3– X 3 ).

Для перехода от модели (8.7) к модели (8.3), необходимо пересчитать коэффициент b0, который будет в (8.3) определяться или, в общем виде Если выполняется условие (8.8), можно пользоваться полиномом 2-го порядка в общем виде для проведения эксперимента в соответствии с преобразованной матрицей ЦКОП.

При применении ЦКОП получение идентичной информации во всех направлениях исследуемого пространства невозможно, так как дисперсии ошибок определения коэффициентов полинома различны, то есть точность предсказания выходной величины (значения функции отклика Y) в различных направлениях факторного пространства неодинакова – информационные поверхности не являются сферами.

Обработка и анализ результатов эксперимента Обработка и анализ результатов для ЦКОП проводятся в том же порядке, как и для ПФЭ, с аналогичными формулами для оценки дисперсий среднего арифметического (6.8) и адекватности (6.14).

Исключение составляют формулы для расчета коэффициентов полинома (6.10) и дисперсии их определения (6.12).

В силу ортогональности матрицы ЦКОП все коэффициенты имитационной модели в виде полинома 2-го порядка определяются, как и для ПФЭ, независимо друг от друга. Но если при подсчете коэффициентов в соответствии с (6.10) в знаменателе используется одно и то же значение N (число номеров опытов), то в ЦКОП расчет коэффициентов полинома ведется по формуле где i = 1,2,…,k.

Это означает, что при определении коэффициентов полинома в соответствии с выражением (8.9) значение знаменателя для различных групп коэффициентов будет различным.

Для непреобразованной матрицы в соответствии с таблицей 8.1 значения знаменателей следующие:

– для b – для группы коэффициентов при линейных членах Xi полинома – для группы коэффициентов XiXj или X1X2X3, учитывающих взаимодействие факторов – для коэффициентов при квадратичных членах Xi2 полинома Соответственно формула для расчета дисперсии найденных по (8.9) коэффициентов полинома, будет иметь вид Расчет дисперсии воспроизводимости эксперимента S2{Y} при оценке дисперсий коэффициентов в (8.10) производится по формуле (6.13).

Из сравнения (8.10) и (6.2) видно, что в ЦКОП дисперсия коэффициентов полинома будет различной для различных групп, в то время, как для линейной модели она постоянна.

Для непреобразованной матрицы оценку дисперсии для всех групп коэффициентов легко получить, учитывая приведенные выше значения знаменателя в (8.9).

Для приведенной матрицы ЦКОП в соответствии с таблицей 8. оценка дисперсии различных коэффициентов в общем виде может быть представлена, как При k5, когда ЦКОП базируется на ПФЭ типа 2.

При k5, когда ЦКОП базируется на ДФЭ типа 2k–1.

С учетом выражений (5.11)–(5.17) значение t-параметра, подсчитанное по (3.11), будет отличаться знаменателем для различных групп коэффициентов полинома. А это означает, что в отличие от линейного приближения, при ортогональном планировании на базе полинома второго порядка оценка значимости найденных коэффициентов полинома ЦКОП будет проводиться с различной точностью. Это означает, что точность определения направлениях факторного пространства не одинакова.

Различие в точности оценок коэффициентов полинома при описании областей, близких к экстремуму, особенно нежелательно, так как при планировании экстремальных экспериментов необходимо иметь высокую точность описания процесса именно в этих областях.

В этом случае более удачным является центральное композиционное рототабельное планирование.

8.2 Центральный композиционный рототабельный план Планирование и проведение эксперимента планировании информационная поверхность приближается к сферической, то есть точность Y во всех направлениях на одинаковом расстоянии R от центра планирования становится практически одинаковой S2{Y}const при R=const.

При этом, ЦКРП позволяет минимизировать ошибки в определении Y, связанные с адекватностью представления результатов исследования процесса имитационной моделью в виде полинома 2-го порядка. Это достигается тем, что, выбирая удаленные от центра плана «звездные точки» на осях координат для непрерывности информационной поверхности, они дополняются информацией из центра плана, представляющей собой сферу с нулевым радиусом, то есть информацией равноточной во всех направлениях. Удельный вес этой информации в общем объеме информации увеличивается, что достигается увеличением числа опытов (N0) в центре плана.

Число опытов в центре плана зависит от числа учитываемых в эксперименте факторов, то есть N0 = f(k).

При k=3 число опытов в центре плана N0=6 совпадает с числом звездных точек. Это приводит к увеличению числа опытов по информационной поверхности и ее идентичность независимо от поворота осей координат.

При реализации рототабельных планов можно отказаться от постановки параллельных опытов для оценки воспроизводимости экспериментов, что уменьшает общее число опытов по сравнению с ЦКОП. Дисперсия воспроизводимости может быть оценена в этом случае по экспериментам в центре плана.

Чтобы композиционный план был рототабельным, величина звездного плеча выбирается из следующих условий:

Подсчитанные значения звездного плеча и число центральных точек N0, в зависимости от числа учитываемых в эксперименте факторов, приведены в таблице 8.4.

Таблица 8.4 – Значения звездного плеча и числа центральных точек ЦКРП Для k=3 и соответственно N0=6 выражение (8.1) примет вид:

Тогда матрица планирования ЦКРП для k=3 будет иметь следующий вид (таблица 8.5).

Из выражения (8.20) следует, что для трех учитываемых в эксперименте факторов X1, X2, X3 в ЦКРП потребуется проведение не менее 20 опытов (таблица 8.5) по сравнению с 15-ю опытами в случае применения ЦКОП (таблица 8.1). Причем, все эти дополнительные пять опытов проводятся в центре плана.

Матрица ЦКРП не соответствует условиям ортогональности для столбцов с квадратичными членами полинома (8.3), поэтому оценка коэффициентов не будет являться независимой. Но этот недостаток ЦКРП компенсируется более высокой точностью определения Y во всех направлениях на одинаковом расстоянии R от центра плана. При этом следует учитывать, что ЦКРП использует независимую оценку коэффициентов полинома при линейных его членах, проведенную по результатам предыдущего полного или дробного факторного эксперимента.

Таблица 8.5– Матрица ЦКРП Номер Групп опыта Обработка и анализ результатов эксперимента Обработка и анализ результатов ЦКРП отличается от ранее рассмотренных только в подсчете коэффициентов полинома и их дисперсий. Дисперсию воспроизводимости оценивают по экспериментам в центре плана, число которых значительно больше, чем в ЦКОП.

Формулы для расчета коэффициентов полинома и их дисперсий при рототабельном планировании сложнее, чем при ортогональном:

Так же, как и при получении линейной модели, обработка результатов при реализации ЦКП предполагает статистические проверки гипотез воспроизводимости результатов экспериментов, значимости коэффициентов и адекватности моделей.

Матрица ЦКРП позволяет минимизировать ошибки в определении Y, связанные с неадекватностью представления результатов исследования полиномом 2-го порядка.

Полученная модель 2-го порядка может быть использована для нахождения оптимальных технологических режимов. При этом ее тщательно анализируют и методами аналитической геометрии приводят к канонической форме.

8.3 Решение типового примера Пример Интервалы варьирования переменных и уровни технологических факторов представлены в таблице 8. Таблица 8.6 –Значения переменных при исследовании свойств Характеристика фактора Входной фактор Решение После реализации ПФЭ 23 оказалось, что полученная линейная модель неадекватно описывает результаты экспериментов.

Поэтому необходимо дополнить ПФЭ до ЦКРП (таблица 8.7) для получения модели второго порядка.

Поскольку при проверке эксперименты оказались воспроизводимыми, результаты опытов использовались для определения коэффициентов регрессии по формулам (8.21) – (8.24):

b1=+0,069; b23=+0,0375;

b2=-0,076; b11=+0,060;

b12=-0,0375; b33=+0,060.

После вычисления дисперсий S2{b0}, S2{bi}, S2{bii}, S2{bij} по формулам (8.25) – (8.28) установлено, что коэффициенты b12, b13, b незначимы. Тогда получаем математическую модель вида Y=1,07+0,069X1–0,076X2+0,125X3+0,060X12+0,080X22+0,060X32. (8.29) Таблица 8.7 – Матрица планирования и результаты экспериментов при исследовании резистивных пленок рения Номер опыта При проверке адекватности полученного уравнения оказалось S ад=0,427; S2{Y}=0,0402, то есть S2адS2{Y}.

Критерий Фишера для данного случая F= S2ад/S2{Y}=0,427/0,0402 1,06.

Подсчитав ад=N–(m0–1)–[((k+1)(k+2))/2]; =m0–1, по таблице А2 приложения А для Р=0,05 Fкр=3,45.

Так как FFкр, следовательно, уравнение (8.29) адекватно описывает поверхность отклика в исследуемой области и может быть использовано для определения оптимальных технологических режимов. Анализ уравнения (8.29) показывает, что исследуемая поверхность отклика относится к поверхностям, имеющим экстремум.

Приравняв нулю Y/Xi и решив систему уравнений 0,069 +2·0,060X1б=0;

-0,076+2·0,080X2б=0;

0,125+2·0,060X3б=0, найдем координаты экстремума X1б=-0,575, X2б=0,475, X3б=-1,04.

Затем определим наиболее благоприятные режимы осаждения резистивных пленок рения. Для этого безразмерные переменные с помощью (8.13) переведем в натуральные переменные:

X1=26070С; X2=5400С; X3=5680С.

8.4 Задачи для решения 1. Провести обработку и анализ результатов ЦКОП (табл. 8.8) для двух факторов (N=9) по рассмотренной методике.

В каждом варианте приведены результаты проведения пяти параллельных опытов (Y1 Y2 Y3 Y4 Y5).

Таблица8. Номер опыта 3,004 3,031 3,035 3,039 3,001 3,651 3,605 3,653 3,592 3, 5,193 5,152 5,177 5,209 5,151 6,547 6,514 6,535 6,562 6, 3,927 3,950 3,936 3,898 3,897 4,761 4,793 4,816 4,792 4, 7,141 7,099 7,111 7,138 7,097 9,515 9,566 9,534 9,552 9, 4,684 4,697 4,688 4,730 4,729 5,828 5,847 5,842 5,905 5, 9,135 9,123 9,166 9,134 9,117 13,041 13,081 13,051 13,089 13, 6,371 6,403 6,343 6,339 6,337 8,364 8,371 8,338 8,365 8, 14,672 14,680 14,695 14,668 14,672 25,575 25,563 25,611 25,578 25, 5,828 5,847 5,842 5,905 5,886 5,081 5,148 5,123 5,092 5, 2,124 2,150 2,139 2,140 2,157 2,588 2,597 2,542 2,537 2, 3,382 3,394 3,368 3,374 3,372 4,191 4,165 4,152 4,129 4, 2,705 2,652 2,655 2,674 2,713 3,201 3,231 3,202 3,199 3, 4,307 4,242 4,276 4,317 4,255 5,509 5,453 5,448 5,511 5, 3,107 3,089 3,096 3,119 3,137 3,793 3,830 3,850 3,789 3, 5,081 5,148 5,123 5,092 5,073 6,718 6,752 6,760 6,709 6, 3,948 3,901 3,914 3,951 3,919 4,963 4,966 5,001 4,952 5, 6,873 6,920 6,932 6,858 6,869 9,738 9,753 9,702 9,746 9, 6,718 6,752 6,760 6,709 6,743 7,094 7,126 7,149 7,102 7, 3,072 3,028 3,080 3,049 3,069 4,292 4,285 4,333 4,304 4, 5,193 5,159 5,163 5,220 5,168 8,385 8,390 8,404 8,421 8, 3,932 3,955 3,893 3,915 3,939 5,881 5,886 5,847 5,900 5, 7,094 7,126 7,149 7,102 7,158 13,349 13,332 13,357 13,342 13, 4,740 4,704 4,668 4,698 4,724 7,389 7,368 7,439 7,419 7, 9,163 9,167 9,160 9,133 9,191 20,252 20,271 20,271 20,258 20, 6,336 6,396 6,369 6,405 6,357 11,282 11,269 11,293 11,249 11, 14,676 14,668 14,725 14,722 14,741 66,571 66,613 66,562 66,585 66, 8,385 8,390 8,404 8,421 8,390 7,379 7,415 7,415 7,368 7, 4,307 4,284 4,284 4,316 4,286 3,583 3,605 3,623 3,623 3, 8,387 8,396 8,430 8,389 8,404 6,555 6,564 6,523 6,559 6, 5,832 5,873 5,856 5,843 5,862 4,795 4,790 4,776 4,798 4, 13,329 13,304 13,328 13,340 13,312 9,504 9,530 9,524 9,557 9, 7,379 7,415 7,415 7,368 7,368 5,855 5,839 5,827 5,881 5, 20,255 20,278 20,304 20,279 20,261 13,040 13,011 13,045 13,061 13, 11,226 11,238 11,271 11,234 11,273 8,328 8,301 8,303 8,319 8, 66,599 66,605 66,588 66,595 66,562 25,586 25,544 25,578 25,562 25, 13,040 13,011 13,045 13,061 13,036 4,701 4,682 4,690 4,718 4, 3,054 3,032 3,024 3,046 3,019 2,549 2,537 2,563 2,564 2, 5,147 5,170 5,178 5,190 5,177 4,118 4,164 4,155 4,126 4, 3,926 3,895 3,937 3,931 3,915 3,236 3,220 3,202 3,212 3, 7,117 7,121 7,101 7,130 7,091 5,445 5,485 5,449 5,472 5, 4,701 4,682 4,690 4,718 4,719 3,825 3,812 3,790 3,782 3, 9,150 9,159 9,115 9,162 9,156 6,721 6,714 6,741 6,704 6, 6,390 6,383 6,384 6,378 6,378 4,951 4,989 4,955 4,941 4, 14,677 14,670 14,718 14,690 14,693 9,735 9,693 9,705 9,711 9, 6,721 6,714 6,741 6,704 6,722 3,950 3,932 3,908 3,935 3, 2,164 2,165 2,145 2,150 2,163 1,983 1,951 1,969 1,981 1, 3,347 3,338 3,322 3,318 3,358 3,004 3,024 2,984 2,983 3, 2,639 2,658 2,651 2,648 2,670 2,435 2,415 2,428 2,394 2, 4,281 4,251 4,296 4,276 4,269 3,767 3,794 3,784 3,783 3, 3,086 3,084 3,081 3,122 3,068 2,788 2,823 2,815 2,777 2, 5,082 5,128 5,117 5,106 5,078 4,491 4,467 4,492 4,473 4, 3,950 3,932 3,908 3,935 3,901 3,485 3,510 3,515 3,524 3, 6,855 6,870 6,875 6,872 6,907 5,883 5,879 5,863 5,870 5, 2,788 2,823 2,815 2,777 2,773 5,083 5,076 5,136 5,098 5, 2. Провести обработку и анализ результатов ЦКРП (табл. 8.5) для трех факторов (N=20) по рассмотренной методике.

В каждом варианте приведены результаты проведения пяти параллельных опытов (Y1 Y2 Y3 Y4).

-2.794 -2.836 -2.837 -2.751 -2.769 -1.694 -1.736 -1.737 -1.651 -1. 5.059 5.118 5.135 4.983 5.025 12.16 12.22 12.24 12.08 12. 0.943 0.911 0.929 0.941 0.895 4.043 4.011 4.029 4.041 3. 3.387 3.225 3.428 3.35 3.288 8.487 8.325 8.528 8.45 8. 10.69 10.6 10.59 10.77 10.64 17.79 17.7 17.69 17.87 17. 5.547 5.503 5.599 5.53 5.484 8.647 8.603 8.699 8.63 8. 0.148 0.130 0.176 0.162 0.136 -0.433 -0.451 -0.405 -0.419 -0. 13.01 13.01 12.99 12.99 13.01 23.13 23.13 23.11 23.11 23. 3.835 3.815 3.828 3.794 3.838 6.082 6.062 6.075 6.041 6. 0.985 0.964 0.972 1.04 0.968 7.743 7.722 7.73 7.801 7. 9.451 9.483 9.368 9.353 9.319 16.21 16.24 16.12 16.11 16. 2.659 2.647 2.673 2.674 2.679 3.759 3.747 3.773 3.774 3. 2.677 2.697 2.695 2.637 2.693 3.777 3.797 3.795 3.737 3. 2.698 2.707 2.652 2.647 2.649 3.798 3.807 3.752 3.747 3. 2.749 2.768 2.761 2.758 2.78 3.849 3.868 3.861 3.858 3. 2.815 2.762 2.765 2.784 2.823 3.915 3.862 3.865 3.884 3. 2.818 2.755 2.767 2.755 2.767 3.918 3.855 3.867 3.855 3. 2.898 2.933 2.925 2.887 2.883 3.998 4.033 4.025 3.987 3. -8.114 -8.156 -8.157 -8.071 -8.089 -0.248 -0.29 -0.291 -0.205 -0. 4.262 4.22 4.219 4.305 4.287 -3.901 -3.943 -3.944 -3.858 -3. 3.535 3.594 3.611 3.459 3.501 -4.628 -4.569 -4.552 -4.704 -4. 12.49 12.46 12.48 12.49 12.44 4.328 4.296 4.314 4.326 4. 10.36 10.19 10.4 10.32 10.26 2.192 2.03 2.233 2.155 2. 11.36 11.39 11.47 11.44 11.33 3.196 3.222 3.307 3.281 3. 1.337 1.247 1.24 1.423 1.288 -6.826 -6.916 -6.923 -6.74 -6. 9.271 9.227 9.323 9.254 9.208 1.108 1.064 1.16 1.091 1. -1.982 -1.956 -1.967 -1.966 -1.949 -10.14 -10.12 -10.13 -10.13 -10. 7.463 7.445 7.491 7.477 7.451 7.504 7.486 7.532 7.518 7. 2.116 2.117 2.097 2.102 2.115 -9.858 -9.857 -9.877 -9.872 -9. 10.54 10.52 10.53 10.5 10.54 -1.433 -1.453 -1.44 -1.474 -1. 10.49 10.47 10.48 10.55 10.48 -0.654 -0.675. -0.667 -0.596 -0. 5.8 5.832 5.717 5.702 5.668 -5.348 -5.316 -5.431 -5.446 -5. 2.759 2.747 2.773 2.774 2.779 2.8 2.788 2.814 2.815 2. 2.777 2.797 2.795 2.737 2.793 2.818 2.838 2.836 2.778 2. 2.798 2.807 2.752 2.747 2.749 2.839 2.848 2.793 2.788 2. 2.849 2.868 2.861 2.858 2.88 2.89 2.909 2.902 2.899 2. 2.915 2.862 2.865 2.884 2.923 2.956 2.903 2.906 2.925 2. 2.918 2.855 2.867 2.855 2.867 2.959 2.896 2.908 2.896 2. 2.998 3.033 3.025 2.987 2.983 3.039 3.074 3.066 3.028 3. -3.558 -3.6 -3.601 -3.515 -3.533 -0.558 -0.6 -0.601 -0.515 -0. -4.285 -4.226 -4.209 -4.361 -4.319 -1.285 -1.226 -1.209 -1.361 -1. 4.671 4.639 4.657 4.669 4.623 7.671 7.639 7.657 7.669 7. 2.535 2.373 2.576 2.498 2.436 5.535 5.373 5.576 5.498 5. -6.483 -6.573 -6.58 -6.397 -6.532 -3.483 -3.573 -3.58 -3.397 -3. 1.451 1.407 1.503 1.434 1.388 4.451 4.407 4.503 4.434 4. -9.802 -9.776 -9.787 -9.786 -9.769 -6.802 -6.776 -6.787 -6.786 -6. 7.847 7.829 7.875 7.861 7.835 10.85 10.83 10.88 10.86 10. -9.515 -9.514 -9.534 -9.529 -9.516 -6.515 -6.514 -6.534 -6.529 -6. -1.09 -1.11 -1.097 -1.131 -1.087 1.91 1.89 1.903 1.869 1. -0.311 -0.332 -0.324 -0.253 -0.328 2.688 2.667 2.675 2.746 2. -5.005 -4.973 -5.088 -5.103 -5.137 -2.005 -1.973 -2.088 -2.103 -2. 3.143 3.131 3.157 3.158 3.163 6.143 6.131 6.157 6.158 6. 3.161 3.181 3.179 3.121 3.177 6.161 6.181 6.179 6.121 6. 3.182 3.191 3.136 3.131 3.133 6.182 6.191 6.136 6.131 6. 3.233 3.252 3.245 3.242 3.264 6.233 6.252 6.245 6.242 6. 3.299 3.246 3.249 3.268 3.307 6.299 6.246 6.249 6.268 6. 3.302 3.239 3.251 3.239 3.251 6.302 6.239 6.251 6.239 6. 3.382 3.417 3.409 3.371 3.367 6.382 6.417 6.409 6.371 6. -3.558 -3.6 -3.601 -3.515 -3.533 0.312 0.27 0.269 0.355 0. -4.285 -4.226 -4.209 -4.361 -4.319 -0.415 -0.356 -0.339 -0.491 -0. 4.671 4.639 4.657 4.669 4.623 8.541 8.509 8.527 8.539 8. 2.535 2.373 2.576 2.498 2.436 6.405 6.243 6.446 6.368 6. 3.539 3.565 3.65 3.624 3.512 7.409 7.435 7.52 7.494 7. -6.483 -6.573 -6.58 -6.397 -6.532 -2.613 -2.703 -2.71 -2.527 -2. 1.451 1.407 1.503 1.434 1.388 5.321 5.277 5.373 5.304 5. -9.802 -9.776 -9.787 -9.786 -9.769 -5.932 -5.906 -5.917 -5.916 -5. 7.847 7.829 7.875 7.861 7.835 11.72 11.7 11.75 11.73 11. -9.515 -9.514 -9.534 -9.529 -9.516 -5.645 -5.644 -5.664 -5.659 -5. -1.09 -1.11 -1.097 -1.131 -1.087 2.78 2.76 2.773 2.739 2. -0.319 -0.339 -0.329 -0.259 -0.328 3.558 3.537 3.545 3.616 3. -5.005 -4.973 -5.088 -5.103 -5.137 -1.135 -1.103 -1.218 -1.233 -1. 3.143 3.131 3.157 3.158 3.163 7.013 7.001 7.027 7.028 7. 3.161 3.181 3.179 3.121 3.177 7.031 7.051 7.049 6.991 7. 3.182 3.191 3.136 3.131 3.133 7.052 7.061 7.006 7.001 7. 3.233 3.252 3.245 3.242 3.264 7.103 7.122 7.115 7.112 7. 3.299 3.246 3.249 3.268 3.307 7.169 7.116 7.119 7.138 7. 3.302 3.239 3.251 3.239 3.251 7.172 7.109 7.121 7.109 7. 3.382 3.417 3.409 3.371 3.367 7.252 7.287 7.279 7.241 7. 8.5 Контрольные вопросы 1. Когда и для чего используется ЦКП и в чем его отличие от планирования ПФЭ и ДФЭ?

2. Что является критерием оптимальности плана при ЦКОП и ЦКРП?

3. Как достигается ортогональность матрицы планирования при ЦКОП?

4. Почему при рототабельном планировании можно не проводить параллельных опытов?

5. В чем преимущество рототабельного планирования перед ортогональным и как оно достигается?

6. Каков порядок обработки результатов ЦКОП?

7. Каков порядок обработки результатов ЦКРП?

МОДУЛЬ 3 «ПАССИВНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ»

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №

9.1 Метод регрессионного анализа Если объект исследования по техническим, технологическим или экономическим соображениям не допускает преднамеренного варьирования входных переменных в необходимом диапазоне, то для накопления статистического материала применяется пассивный эксперимент, заключающийся в наблюдении и регистрации значений входных\выходных переменных в режиме нормального функционирование исследуемого объекта.

Применение метода пассивного эксперимента может быть успешным, если при его проведении соблюдаются необходимые условия, к которым относятся такие, как правильное определение времени регистрации данных, обеспечение независимости соседних измерений и входных переменных друг от друга, достаточный с точки зрения математической статистики объем экспериментальных данных.

Выбор структуры модели является наиболее неформализуемой процедурой, так как исследователь до начала эксперимента, как правило, не располагает необходимой априорной информацией.

Построение модели существенно упрощается, если в качестве ее составляющих используются полиномы, которые следует включать в уравнение регрессии. Но прежде чем приступить к проведению эксперимента, необходимо выделить наиболее существенные входные факторы из всей совокупности входных величин (модуль №1, занятия № 2-4), оценить степень корреляции между ними и исключить из числа подлежащих регистрации те из них, которые сильно коррелированы с другими.

Регрессионный анализ служит для нахождения по результатам эксперимента связи выходного параметра с факторами, которые оказывают влияние на этот параметр. Регрессионный анализ позволяет получить математическую модель процесса на основе оценки коэффициентов регрессии в виде полинома. Классический регрессионный анализ базируется на так называемом "пассивном эксперименте", который сводится к сбору и обработке данных, полученных в результате пассивного наблюдения за производственными процессами.

В регрессионном анализе вид связи между параметром Y и факторами Xi, обычно задается в виде разложения в ряд Тейлора:

где b0, bi, bij, bii – постоянные коэффициенты уравнения, оценки которых необходимо определить в результате постановки и проведения пассивного эксперимента;

n – число наиболее существенных входных величин, полученных в результате отсеивающего эксперимента.

Число коэффициентов уравнения (9.1) определяет объем эксперимента. Поэтому выбирают такой полином, который содержит как можно меньше коэффициентов, но удовлетворяет требованию простоты и адекватности, под которой понимается способность модели предсказывать результаты эксперимента в некоторой области и с требуемой точностью.

Так как чаще всего исследователь не располагает достаточной информацией, то на предварительной стадии исследования объекта обычно выбирают полином первой степени, предполагая, что параметры объекта лежат в области, в которой расположен экстремум исследуемой функции, и поэтому объект описывается линейной моделью. Если же эта линейная модель оказывается неадекватной, то в нее включают члены парного взаимодействия XiXj, а при необходимости увеличивают степень полинома до тех пор, пока модель не окажется адекватной. В большинстве практических случаев квадратичная модель оказывается достаточно работоспособной в пределах имеющихся ограничений.

В результате регрессионного анализа результатов пассивного эксперимента находятся оценки коэффициентов уравнения регрессии 0, i, ij, ii, … Пассивный эксперимент с учетом условий накопления статистических данных может применяться для получения математического описания технологических процессов в производстве ЭВC (изготовление печатных плат, оксидирование анодной фольги для электролитических конденсаторов, синтез ферритовых антенн, гальванические покрытия и т. п.), а также для моделирования процессов функционирования радиоэлектронных устройств.

Определение интервала съема данных.

Для непрерывныx технологических процессов важно знать, как изменяется теснота корреляционной связи между входными и выходными величинами в зависимости от временного сдвига между ними. Для оценки временного сдвига используется взаимнокорреляционна функция Kxy(), которая для непрерывных случайных переменных x(t) и y(t) определяется формулой На практике имеют дело обычно с дискретными значениями x(t) и y{t) через равные промежутки времени t', причем объем выборки N. В этом случае асимптотически несмещенные оценки взаимнокорреляционных функций вычисляют по формуле где =0, 1·t', 2·t', …, u·t';

u – число используемых сдвигов; и= (0,25.—0,35) N;

N – объем выборки.

По расположению максимума функции Rxy() на оси опре деляют время эквивалентного запаздывания Э.З. (рис. 9.1), физический смысл которого состоит в том, что всякий скачок функции x(t) на входе объекта наиболее полно отражается на выходе только через промежуток времени Э.З.

Рисунок 9.1 – Взаимно-корреляционная функция Rxy() Величина интервала съема данных·t должна обеспечивать некоррелированность наблюдений, так как согласно предпосылкам регрессионного анализа соседние наблюдения должны быть стохастически независимыми. Для непрерывных технологических процессов, для которых изменения переменных представляют собой некоторый случайный процесс, это равносильно требованию (корреляционной функции входной переменной) определяется по формуле По корреляционной функции Rxx() (рис. 9.2) определяют промежутки времени между соседними измерениями x(t), когда последние становятся независимыми. Эти промежутки времени называются временем корреляции 0.

Рисунок 9.2 – Корреляционная функция Rxx() Практически интервал ·t должен выбираться из условия, что и должен быть по возможности ближе к то, но не меньше времени измерения переменных и не превышать значительно время, эквивалентного запаздывания Э.З.

Приближенное значение 0 можно оценить по временному графику, случайного процесса, если на нем провести среднюю линию и подсчитать число пересечений кривой изменения переменной N0 за время T. Тогда время корреляции оценивается по формуле Число пересечений N0 на этом отрезке времени T должно быть 40–70.

Определение времени наблюдения Т.

Допустим, задан рабочий диапазон изменения технологической переменной x(t) во времени, причем это изменение представляет собой случайный стационарный; процесс (рис. 9.3):

Весь диапазон x разбит на ряд одинаковых интервалов х в соответствии с разрешающей способностью измерительного прибора. Предположим, что известны дискретность проведения опытов t и вероятности р1 и р2 попадания случайной величины x в нижний и верхний интервалы диапазона x.

Рисунок 9.3 – Рабочий диапазон изменения переменной x(t) Если величина x имеет симметричное распределение внутри диапазона, то р1=р2=р.

Время наблюдения где — параметр, характеризующий среднее число попаданий перменной в крайний интервал диапазона за время эксперимента;

t — интервал получения данных;

р — вероятность попадания случайной величины x в крайний интервал диапазона х.

Значения параметра находят из табл. 9.1, задаваясь вероятностью Р, с которой необходимо рассчитать коэффициенты уравнения регрессии; на практике чаще всего выбирается Р = 0,95, т.е. при уровне значимости = 5%, где =(1—Р) 100%.

Вероятность Р находится по временному графику случайного процесса x(t) (рис. 9.3) по результатам предварительных исследований закона распределения случайной величины x.

Определение объема экспериментальных данных.

Определи интервал t и общее время эксперимента Т, находят число наблюдений (объем выборки) из соотношения Обработка данных пассивного эксперимента.

Производится методом регрессионного анализа, который позволяет получат оценки коэффициентов нелинейных уравнений регрессии.

Прежде всего величины переводятся в стандартизованный масштаб по формулам:

где j – номер величины (j=1, n);

l – номер измерения выходной величины (l=1, N);

yl, jl — значения соответственно величн yi и xjl в стандартизованном масштабе;

y, x — средние значения величин;

sy, sx — среднеквадратические отклонения величин y и xj;

N — общее число наблюдений.

Для вычисления оценок коэффициентов j на основе метода наименьших квадратов составляется следующая система уравнений:

где m — число линейных величин вместе с искусственными линейными величинами, заменившими нелинейные члены уравнения;

С — число сочетаний из п элементов по 2;

Система уравнений (9.14) решается на ЭВМ с использованием стандартной программы.

Уравнение регрессии в стандартизованном масштабе имеет вид В результате решения находят искомые оценки коэффициентов j уравнения регрессии в стандартизованном масштабе, проводят проверку их статистической значимости с помощью t-критерия Стьюдента. Статистически незначимые коэффициенты из уравнения регрессии исключаются.

Полученное математическое описание в виде уравнения регрессии показывает, как изменяется положение среднего значения выхода с изменением входных величин. Оценку тесноты регрессионной связи, т. е. оценку работоспособности полученного уравнения, дает коэффициент множественной корреляции R.

Считается нормальным, если R=0,8—0,9.

Для практических целей в предлагается использовать коэффициент, который показывает, во сколько раз уменьшается интервал ошибки предсказания при переходе от предсказания выходной величиной по среднему значению к предсказанию по эмпирическому уравнению регрессии:

где sy – среднеквадратическое отклонение выходной величины у:

уэl – экспериментальное значение выходной величины y в l-й точке наблюдения;

y — соответствующее среднее значение выходной величиной;

s0y — среднеквадратическое отклонение выходной величины y относительно ее значений, полученных по уравнению регрессии в натуральном масштабе yl — значение выходной величины, полученное по уравнению регрессии в l-й точке наблюдения;

d — число членов уравнения регрессии.

На рис. 9.4 приведена графическая зависимость от R, из которой следует, что начинает резко возрастать в области больших значений R.

Рисунок 9.4 – Графическая зависимость коэффициента корреляции R от Вероятно, уравнение регрессии имеет практический смысл, если 2, т. е. когда ошибка предсказания по уравнению регрессии хотя бы в два раза меньше, чем ошибка предсказания по среднему значению 9.2 Решение типового примера Пример Технологический процесс формовки анодной алюминиевой фольги для электролитических конденсаторов является непрерывным вероятностным процессом, эффективность которого оценивается удельной емкостью заформованной фольги y при ограничении по току утечки. К входным величинам относятся:

напряжение формовки, концентрация борной кислоты, удельное электрическое сопротивление электролита, температура электролита, кислотность электролита, наличие ионов хлора, наличие гидроокиси, коэффициент травления фольги, скорость протяжки фольги через агрегат.

Требуется построить математическую модель процесса формовки по выходной величине у, учитывая, что постановка активного эксперимента нежелательна.

Решение. На первом этапе исследования была проведена процедура сокращения числа входных величин процесса хj и выделения наиболее существенных, которые и будут регистрироваться во времени эксперимента.

Для выделения наиболее существенных факторов процесса был применен метод ранговой корреляции. По данным априорного ранжирования были выделены следующие наиболее существенные входные величины (факторы):

х1 – напряжение формовки, х2 – температура электролита, х3 –коэффициент травления.

Связь между выходной величиной у и факторами xj (j=1, п) имеет следующий вид:

Выходная величина, как показала проверка гипотезы с помощью -критерия Пирсона по реализации случайной величины у, полученной в результате процесса формовки, распределена по нормальному закону: 2расч = 7,0258 2крит = 15,507 при =8 степенях свободы и 5%-ном уровне значимости Так как имеются ограничения на постановку активного эксперимента, то математическая модель была получена методом пассивного эксперимента. По формуле (9.6) определяется приближенное значение времени корреляции 0 по кривой изменения выходной величины снятой в режиме нормального функционирования процесса формовки:

Интервал получения данных выбран из условия (9.5) и принят равным t=7 мин, что незначительно больше времени эквивалентного запаздывания эз = 6,3 мин.

Из табл. 9.1, задаваясь вероятностью Р=0,95, находим параметр =3,68 и с помощью (9.8) определяем общее время наблюдения Объем выборки при исследовании процесса формовки с целью построения математической модели (9.17) методом пассивного эксперимента равен (9.9) N=T/t=1030,4/7147.

Принимаем N=150. Для условий проведения пассивного эксперимента (t=7 мин, N= 150) в режиме нормального функционирования процесса формовки получены результаты регистрации N=150 значений входных величин х1, х2, х3 и соответствующих им значений выходной величины y в j-е моменты времени с интервалом t=7 мин (табл. 9.2). По этим данным рассчитаны оценки коэффициентов уравнения регрессии j и дисперсий s y, soy, среднеквадратические отклонения sy, soy, значения t-критерия Стьюдента для соответствующих оценок коэффициентов уравнения регрессии.

Так как критическое значение t-критерия, найденное по статистическим таблицам для 5%-ного уровня значимости и числа степеней свободы =N– (n+1) = 143, оказалось меньше расчетных значений для всех коэффициентов уравнения регрессии (tкрит = 1,9759), то они признаны статистически значимыми. Таким образом, математическая модель процесса формовки высоковольтной фольги имеет вид Оценка адекватности полученной математической модели (9.18) проведена по коэффициенту множественной корреляции, который находится из графика рис. 9.4, для чего был произведен расчет коэффициента (9.14) по среднеквадратическим отклонениям sy и soy При ==2,47 крит=2 коэффициент множественной корреляции R=0,920,8, математическом модели (9.18).

Для наглядности в последней графе табл. 9.2 приведены значения выходной величины, полученные по линейному уравнению регрессии (9.18).

9.3 Задачи для решения Построить регрессионную модель но результатам исследований стационарного непрерывного технологического процесса, считая, что предпосылки регрессионного анализа выполняются (табл. 9.3). К результатам опытов из табл. 9.3 прибавить номер выполняемого варианта.

Таблица 9. x1 11 12,6 16,7 19 11,3 12 21,2 24 14,1 19,3 20, x2 93 92 89 87 94 88,5 89,5 93,5 93,8 95 94, y 10,7 13,0 19,3 23,2 11,4 12,1 27,3 29,6 15,6 24,1 25, Продолжение табл. 9. x1 21 12,5 16,5 22 19,5 13,5 17,5 20 22 22,3 24, x2 92,3 92.2 96 91,3 92,5 97 93,3 92 98 94, y 26,4 13,1 19,3 27,9 24 14,4 21 24,7 28 28,8 29, 9.4 Контрольные вопросы 1. Назовите основные отличия активного и пассивного экспериментов, их преимущества и недостатки.

2. Каков порядок проведения пассивного эксперимента в производственных условиях?

3. Какую информацию о качестве технологического процесса несут контролируемые в процессе производства параметры качества?

МОДУЛЬ 4 «МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ»

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 10.1 Методы оптимизации Главной задачей и конечной целью решения большого числа разнообразных исследовательских проблем управления, проектирования и планирования обычно является достижение и поддержание экстремальных, то есть наилучших, показателей.

Процесс нахождения и поддержания наилучших (в определенном смысле) значений целевой функции объекта называется оптимизацией.

Критерий оптимизации (целевая функция) Y обычно задается, иногда исследователь задает ее сам. Этот критерий должен удовлетворять следующим основным условиям:

– нести в себе существенную информацию об объекте, о качестве процесса;

– измеряться с достаточной точностью;

– носить обобщенный характер, то есть отражать свойства и качества процесса в целом.

Если математическое ожидание критерия оптимизации у есть функция от вектора x входных управляемых переменных (факторов), то есть где k – число факторов, то задача оптимизации сводится к отысканию таких значений факторов при которых целевая функция достигает экстремума (максимума или минимума).

Если на объект воздействуют аддитивные помехи, то зависимость (10.1) выражает не функциональную, а регрессионную зависимость, которая в (k+1)-мерном пространстве n факторов xi (i =1, 2, …, k) и целевой функции y образует поверхность отклика.

Для решения задачи оптимизации, то есть отыскания вектора (10.2), можно применить два принципиально разных подхода:

1 – если известна или есть возможность найти n-факторную математическую модель для той части пространства, где расположен экстремум функции отклика, то задачу оптимизации решают аналитическим или численным методом;

2 – если математическое описание не получено по каким-либо причинам, то осуществляют экспериментальный поиск области оптимума.

В первом случае используют известное из математического анализа свойство функций, имеющих экстремум: в точке экстремума (максимума или минимума) первая производная этой функции обращается в нуль. Если необходимо найти полную производную в nфакторном пространстве, то находят n частных производных по каждому из n факторов и получают систему из n уравнений Решением системы (10.3) и является вектор (10.2). Однако во многих практических случаях аналитическая зависимость (10.1) неизвестна или ее нахождение представляет собой сложную задачу.

Тогда, если имеется возможность одновременно наблюдать все n факторов и целевую функцию, задачу оптимизации проще решить с помощью второго подхода, то есть с помощью экспериментального поиска. Для этого сначала осуществляют изучение характера поверхности отклика в районе первоначально выбранной точки факторного пространства (с помощью специально спланированных «пробных» опытов). Затем совершают «рабочее» движение в сторону экстремума, причем направление движения определяют по результатам пробных опытов. Такое движение может осуществляться путем ряда этапов, которые могут объединяться в «циклы».

После выхода в район экстремума оптимальную точку можно уточнить одним из двух способов:

спланированных, опытов;

– получением математической модели второго или более высокого порядка и последующим решением системы уравнений (6.3).

Задача надежного отыскания экстремума усложняется, если на объект воздействуют случайные помехи. Тогда каждое измеренное (наблюдавшееся) значение целевой функции оказывается суммой истинного ее значения и случайной помехи. Для повышения надежности результатов применяют специальные методы, например в каждой запланированной точке факторного пространства выполняют несколько параллельных опытов.

Если характеристики объекта изменяются, смещаются во времени (дрейф), то это создает дополнительные трудности и приходится создавать специальные планы эксперимента.

10.2 Метод Гаусса-Зайделя Метод Гаусса-Зайделя предусматривает поочередное нахождение частных экстремумов целевой функции по каждому фактору xi (i =1, 2, …, n). При этом на каждом i-м этапе стабилизируют n-1 факторов и варьируют только один, i-й фактор.

Задачу поиска экстремума решают в несколько этапов, которые затем объединяют в циклы.

Рассмотрим последовательность поиска максимума методом Гаусса-Зайделя с иллюстрацией двухфакторного примера.

Графическая интерпретация метода дана на рисунке 10.1, где на плоскости двух факторов x1, x2 изображена функция отклика у топографическим способом с помощью замкнутых линий постоянного уровня этой оптимизируемой выходной функции. Эти линии соответствуют некоторым относительным величинам, однако форма функции отклика до начала исследования обычно неизвестна.

I этап. Производится поиск частного экстремума по первому фактору x1, остальные факторы остаются неизменными, то есть стабилизируются.

1 – Выбирают основную (начальную, базовую) точку М0, обычно она соответствует номинальному режиму ведения технологического процесса x 0=(x10; x20; …; xk0). Иногда эту точку выбирают в центре области, которую желательно исследовать, либо в центре области ограничений, если они имеются.

Рисунок 10.1 – Поиск экстремума функции отклика 2 – Выбирают интервал варьирования x1 по фактору x1.

Интервал не должен быть слишком малым, иначе движение к экстремуму окажется замедленным. Кроме того, на интервале варьирования xi (i=1, 2, …, k) изменение целевой функции y должно быть существенно большим, чем погрешность ее измерения y (не менее чем в 5–10 раз) 3. Определяют координаты пробных точек М1 и М2:

x (М1) = (x10+x1; x20; …; xk0), x (М2) = (x10–x1; x20; …; xk0).

4. В точках М1 и М2 ставят пробные опыты (для повышения точности результатов могут выполняться параллельные опыты) и измеряют отклики у(М1) и у(М2).

5. Сравнивают полученные отклики, и если у(М2) у(М1), то совершают рабочее движение на один рабочий шаг x1 по направлению M 0M 2 в точку М3.

6. Аналогичные шаги продолжают в том же направлении до тех пор, пока на каком-то m-м шаге не окажется, что у(Мm) у(Мm–1), то есть значение отклика в очередной, m-й рабочей точке станет уменьшаться, – это и служит признаком достижения частного экстремума. За частный экстремум принимают (m–1)-ю точку с откликом у(Мm–1). На рисунке 4.1 это точка М5.

II этап. Его проводят в том порядке, что и I этап, с той лишь разницей, что стабилизируют все факторы, кроме x2. За новую базовую точку принимают точку с координатами x (Мm–1) = (x10+x1(m–2); x20; …; xk0), а x2 варьирую на выбранную по аналогичным условиям величину интервала x2. По достижении частного экстремума по фактору x2 точку нового частного экстремума принимают за новую базовую точку. На рисунке 10.1 это точка М9.

Первый цикл продвижения к экстремуму заканчивается n-м этапом, на котором стабилизируются все факторы, кроме xk. Для него выбирают интервал варьирования xk и совершают пробное, а затем рабочее движение до достижения частного экстремума по фактору xk.

Если экстремум не достигнут, то выполняют второй цикл поиска.

Второй цикл, как и первый, начинается с I этапа, на котором варьируют фактор x1 (i 1), затем последовательно выполняют k этапов по каждому из k факторов.

Поисковое шаговое движение к экстремуму заканчивают по достижении такой точки факторного пространства, при движении из которой в любую сторону по всем n факторным осям xi в положительном или отрицательном направлениях значения отклика оказываются меньшими. Такую точку принимают за экстремум (в рассматриваемом случае – максимум).

Достоинства метода Гаусса-Зайделя:

– простота стратегии и наглядность;

– высокая помехозащищенность в смысле выбора направления движения.

Недостатки:

– путь к главному экстремуму оказывается обычно долгим, особенно при большом числе факторов;

– если поверхность отклика имеет сложную форму, то использование метода может привести к ложному ответу на вопрос о месте расположения экстремума;

– метод не дает информации о взаимодействиях факторов.

Исторически метод Гаусса-Зайделя известен как первый из рассматриваемых. При увеличении количества воздействующих факторов до 5–6 применять этот метод для оптимизации процессов неэффективно.

10.3 Метод случайного поиска Характерной чертой этого метода является случайный выбор направления движения на каждом шаге, то есть одновременное изменение значений сразу всех факторов. Так, если изображающая точка после i-го шага занимает xm положение в факторном пространстве, то следующий рабочий шаг будет совершен лишь после выполнения пробного эксперимента в точке где z – случайный вектор определенной длины (рисунок 10.2).

Рисунок 10.2 – Поиск экстремума функции отклика Значения у(xm) и у(xm+z) сравниваются, и производится (i+1)-й рабочий шаг вдоль вектора по направлению к экстремуму. Как правило, длина рабочего шага превышает длину пробного.

Критерием выхода в область экстремума целевой функции (функции отклика) является возрастание числа неудачных шагов, то есть многократное повторение положения, когда у(xm+z) у(xm).

Достоинство – метод случайного поиска очень прост, но он применим лишь для очень простых ситуаций.

Основные недостатки метода:

– большая трудоемкость и длительность поиска экстремума;

– возможность ошибки при попадании в область локального экстремума.

10.4 Градиентные методы Градиентные методы имеют несколько разновидностей, различающихся правилами выбора ступеней варьирования и рабочих шагов на каждом этапе движения к экстремуму. Сущность стратегии всех этих разновидностей состоит в том, что на каждом этапе вокруг очередной базовой точки организуют пробные эксперименты, по результатам которых оценивают новое направление градиента, после чего в этом направлении совершают рабочий шаг.

Вектор-градиент в n-факторном пространстве определяется соотношением grad y = (y/x1) x 1 + (y/x2) x 2 + … + (y/xk) x 0, (10.4) где x i (i=1, 2, …, n) – единичные направляющие векторы (орты), расположенные вдоль факторных осей;

y/xi – частная производная целевой функции по i-му фактору.

Пробные опыты (по два в точках, расположенных на прямых, параллельных каждой факторной оси и проходящих через базовую точку) проводят с целью получить приближенные оценки частных производных. Рассмотрим две основные разновидности градиентных методов.

Обычный метод градиента осуществляется по следующей процедуре:

1 – Выбирают начальную (базовую) точку x 0=(x10; x20; …; xno).

На рисунке 10.3 это точка L0.

2 – Выбирают интервал варьирования xi по каждому из факторов xi (i=1, 2, …, k), пользуясь уже определенными ранее правилами.

3 – Определяют координаты пробных точек (рисунок 10.3).

Рисунок 4.3 – Поиск экстремума функции отклика методом Вдоль направления, параллельного факторной оси x1, ими являются точки L1, L2 с координатами x (L1) = (x10 – x1; x20; …; xko), x (L2) = (x10 + x1; x20; …; xko).

то есть варьируют один фактор x1 при стабилизации остальных факторов на базовом уровне. Аналогично вычисляют координаты пробных точек вдоль направлений, параллельных остальным факторным осям x2; x3; …; xk. Вдоль направления, параллельного факторной оси x2, такие точки – L3, L4 с координатами x (L3) = (x10; x20 – x2; …; xko), x (L4) = (x10; x20 + x2; …; xko).

В пробных точках ставят опыты и получают значения целевой функции Y.

4 – По результатам пробных опытов вычисляют оценки составляющих вектор-градиента в точке L0 для каждого i-го фактора:

В частности, для фактора x1 по результатам опытов в точках L и L2 вычисление выполняют по формуле Как известно, частные производные являются коэффициентами ai (i=1, 2, …, n; i0) уравнения плоскости, касательной к поверхности отклика в точке L0:

Оценки b i коэффициентов получают по формуле (10.5).

5 – Находят координаты рабочей точки на направлении градиента. Для этого выбирают параметр рабочего шага гр и вычисляют координаты первой рабочей точки по всем факторным осям xi (i =1, 2, …, k):

На рисунке 10.3 первой рабочей точкой является точка L5.

Чтобы из основной точки L0 попасть в точку L5, от L0 откладывают в масштабе отрезки, равные гр b1 и гр b 2, причем если b i 0, то по соответствующему фактору отрезок откладывают в отрицательном направлении от точки L0, то есть для фактора x1 – влево от точки L0, а для фактора x2 – вниз от точки L0. Если b i 0, то отрезки гр b i откладывают в положительном направлении от основной точки.

6 – Первую рабочую точку принимают за новую базовую точку и вокруг нее организуют новые пробные опыты для оценивания нового направления градиента, после чего совершают новый рабочий шаг (на рисунке 10.3 – в точку L10). В общем случае в каждой m-й рабочей точке по результатам пробных опытов вокруг нее получают оценки составляющих градиента b im и совершают (m+1)-й рабочий шаг (m = 0, 1, 2, …) в точку с координатами 7 – Рабочее движение производят до тех пор, пока на очередном шаге все составляющие градиента не станут пренебрежимо малыми, то есть b i,m+1 0 (i=1, 2, …, n). Для этого достаточно, чтобы выполнялось неравенство Если по результатам пробных опытов в (m+1)-й рабочей точке выполняется условие (10.10), то движение к экстремуму прекращают и эту рабочую точку принимают за точку экстремума.

Достоинства метода градиента:

– достаточная простота стратегии;

– повышенная по сравнению с методом Гаусса-Зайделя скорость движения к экстремуму (эффективность).

Недостатки:

– большая чуткость к помехам в отношении выбора направления рабочего движения;

– в случаях, когда поверхность отклика имеет сложную форму, метод градиента может не привести к истинному экстремуму;

– если поверхность отклика достаточно пологая, то в условиях помех метод мало эффективен в смысле точности выхода к экстремуму;



Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 |
 


Похожие работы:

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОЛОГИЯ Методические указания по выполнению курсового проекта Составители: О.Н. Заломнова, доц. Г. В. Лукашина, доц. Москва 2008 Методические указания разработаны для выполнения курсового проекта по учебной дисциплине Экология для студентов всех специальностей. Курсовой проект выполняется студентами дистанционного обучения согласно учебным планам по курсу Экология. Данные методические указания состоят из...»

«Ю.А. АЛЕКСАНДРОВ Основы производства безопасной и экологически чистой животноводческой продукции ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУВПО МАРИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Аграрно-технологический институт Ю.А. АЛЕКСАНДРОВ ОСНОВЫ ПРОИЗВОДСТВА БЕЗОПАСНОЙ И ЭКОЛОГИЧЕСКИ ЧИСТОЙ ЖИВОТНОВОДЧЕСКОЙ ПРОДУКЦИИ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Йошкар-Ола, 2008 ББК П6 УДК 631.145+636:612.014.4 А 465 Рецензенты: В.М. Блинов, канд. техн. наук, доц. МарГУ; О.Ю. Петров, канд. с.-х. наук, доц. МарГУ Рекомендовано к...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Амурский государственный университет Кафедра безопасности жизнедеятельности УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ ПРИРОДОПОЛЬЗОВАНИЕ Основной образовательной программы по специальностям: 080109.65 Бухгалтерский учет, анализ и аудит, 280101.65 Безопасность жизнедеятельности в техносфере. Благовещенск 2012 2 Содержание 1 Рабочая программа...»

«БЕЗОПАСНОСТЬ В ГОСТИНИЧНЫХ ПРЕДПРИЯТИЯХ Безопасность в гостиничных предприятиях Методическое пособие _ БЕЗОПАСНОСТЬ В ГОСТИНИЧНЫХ ПРЕДПРИЯТИЯХ ББК 65.49я73 Б-40 Б 40 Безопасность в гостиничных предприятиях. Учебное пособие М.: УКЦ Персона пяти звезд, ТрансЛит, 2008 -152 с Составители* А Л Лесник, М Н Смирнова, Д И. Кунин В методическом пособии раскрыты вопросы организации и функционирования службы безопасности в гостиничных предприятиях. Даны практические рекомендации по нормативноправовому и...»

«МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ УПРАВЛЕНИЕ В СФЕРЕ ОБЕСПЕЧЕНИЯ БЕЗОПАСНОСТИ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 5 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 240400 ОРГАНИЗАЦИЯ И БЕЗОПАСНОСТЬ ДВИЖЕНИЯ Омск – 2007 Учебное издание МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ УПРАВЛЕНИЕ В СФЕРЕ ОБЕСПЕЧЕНИЯ БЕЗОПАСНОСТИ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 5 КУРСА ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ 240400 ОРГАНИЗАЦИЯ И БЕЗОПАСНОСТЬ ДВИЖЕНИЯ Методические указания Составитель Евгений Александрович Петров *** Работа публикуется...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования “Тихоокеанский государственный университет” АДМИНИСТРАТИВНОЕ ПРАВО Методические указания к выполнению контрольных и курсовых работ для студентов по направлению 030900.62 Юриспруденция всех форм обучения и специальности 030901.65 Правовое обеспечение национальной безопасности дневной формы обучения Хабаровск Издательство ТОГУ 2013 УДК...»

«Федеральное агентство по образованию Уральский государственный технический университет – УПИ Э.Г. Миронов ПРИБОРЫ НЕПОСРЕДСТВЕННОЙ ОЦЕНКИ Методические указания к лабораторной работе №1а Учебное электронное текстовое издание Подготовлено кафедрой автоматики и информационных технологий Научный редактор: доц., канд. техн. наук Н.П. Бессонов Методические указания к лабораторной работе №1А для студентов всех форм специальностей: 230101 – Вычислительные машины, комплексы, системы и сети; 230102 –...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ “МАМИ А.И. Сергеев, А.С. Шевелев ИСПЫТАНИЯ ТРАКТОРОВ И ТРАНСПОРТНО-ТЯГОВЫХ МАШИН Методические указания к лабораторным работам № 1, 2 и 3 по дисциплине “Испытания тракторов и транспортно-тяговых машин” Одобрено методической комиссией факультета АТ Москва 2011 2 Разработано в соответствии с Государственным...»

«Кафедрою безпеки інформаційних систем і технологій підготовлено та надруковано навчальний посібник Безопасность информационных систем и технологий (російською мовою) автори Есин В.И., Кузнецов А.А., Сорока Л.С. В учебном пособии рассматриваются современные направления обеспечения безопасности информационных систем и технологий. Излагаются технические, криптографические, программные методы и средства защиты информации. Формулируются проблемы уязвимости современных информационных систем и...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение Высшего профессионального образования Амурский государственный университет Кафедра безопасности жизнедеятельности УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ ЭКСПЕРТИЗА УСЛОВИЙ ТРУДА Основной образовательной программы по специальности: 280101.65 Безопасность жизнедеятельности в техносфере Благовещенск 2012 2 Печатается по решению редакционно-издательского совета...»

«База нормативной документации: www.complexdoc.ru МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РСФСР ЦЕНТРАЛЬНОЕ БЮРО ПО ТЕХНИКЕ БЕЗОПАСНОСТИ И ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ САНИТАРИИ УТВЕРЖДАЮ Начальник Центрального бюро по технике безопасности и производственной санитарии Министерства культуры РСФСР _ С.М. ШИШКИН 25 июля 1989 г. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОСНОВАМ ЭКСПЛУАТАЦИИ ПОДВИЖНОГО СОСТАВА, ТЕХНИКЕ БЕЗОПАСНОСТИ И ОХРАНЕ ТРУДА НА АВТОМОБИЛЬНОМ ТРАНСПОРТЕ (Часть I) МОСКВА - СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ ЧАСТЬ I РАЗДЕЛ 1 ОСНОВНЫЕ...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТАТАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ БЕЗОПАСНОСТЬ И ЗАЩИТА ЧЕЛОВЕКА В ЧРЕЗВЫЧАЙНЫХ СИТУАЦИЯХ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ КАЗАНЬ 2011 Печатается по решению кафедры безопасности жизнедеятельности Факультета физкультурного образования Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета и ГУ Научный центр безопасности жизнедеятельности детей УДК 614.8 Святова Н.В., Мисбахов А.А., Кабыш Е.Г., Мустаев Р.Ш., Галеев...»

«РУКОВОДЯЩИЙ ДОКУМЕНТ ОТРАСЛИ Отраслевая система обеспечения единства и требуемой точности измерений. Методические указания по поверке анализаторов параметров цифровых каналов и трактов типа EDT-135/EST-125/EST-120 1. Область применения Настоящие Методические указания распространяются на анализаторы параметров цифровых каналов и трактов типа EDT-135/EST-125/EST-120 производства фирмы Wavetek Wandel Goltermann и устанавливают методы и средства первичной, периодической и внеочередной поверок,...»

«Безопасность информационных систем 1 Методические указания по курсу Безопасность информационных систем Длительность курса 16 академических часов Данный курс представляет собой обзор современных методов, средств и технологий для решения задач в области безопасности. В курсе рассматриваются решения на основе последних разработок программного обеспечения фирмы Microsoft. Важные сведения о безопасности 4ч Повод для внедрения безопасности Управление рисками безопасности Этап Оценки Рисков Модель...»

«Защита прав потребителей: учебное пособие Предисловие Защита прав потребителей является одной из важнейших проблем в современном гражданском праве России. Экономический фактор в настоящее время преобладает во многих сферах общественных отношений, в том числе и на потребительском рынке. Это реальность, с которой необходимо считаться. В условиях рыночной экономики практически каждый гражданин, выступая в роли потребителя товаров, работ и услуг, нуждается в правовой защите своих нарушенных прав....»

«МГОУ Экология (Экозащитная техника и технология при подземной разработке месторождений) Глобальные навигационные спутниковые системы в обеспечении геодинамической безопасности разработки рудных месторождений Учебное методическое пособие для студентов специальности 130402, 130403, 130404, 130405, 130404.6, 130406, 150402, 3305500 Безопасность технологических процессов и производств Ю.В. Михайлов, В.Н. Морозов, В.Н. Татаринов МГОУ, 2008 2 Министерство образования и науки Российской Федерации...»

«База нормативной документации: www.complexdoc.ru 1.2. Гигиена, токсикология, санитария Методические указания МУ 1.2.2743-10 Порядок отбора проб для выявления и идентификации наноматериалов в водных объектах (утв. Федеральной службой по надзору в сфере защиты прав потребителей и благополучия человека 23 сентября 2010 г.) Введены в действие 10 октября 2010 г. Введены впервые Содержание 1. Область применения 2. Нормативные ссылки 3. Общие положения 4. Процедура отбора проб 5. Меры безопасности...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ – УЧЕБНО-НАУЧНО-ПРОИЗВОДСТВЕННЫЙ КОМПЛЕКС УЧЕБНО-НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ Кафедра Электроника, вычислительная техника и информационная безопасность В.Т. Ерёменко, А.И. Суздальцев, М.Т. Прасов, В.М. Донцов, А.С. Тугарев МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ДИПЛОМНОМУ ПРОЕКТИРОВАНИЮ Специальности:...»

«КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙУНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ, СПОРТА И ВОССТАНОВИТЕЛЬНОЙ МЕДИЦИНЫ ЛАБОРАТОРНЫЕ И ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО КУРСУ БЕЗОПАСНОСТЬ ЖИЗНЕДЕЯТЕЛЬНОСТИ Учебно-методическое пособие Казань 2012 Печатается по решению кафедры безопасности жизнедеятельности Института физической культуры, спорта и восстановительной медицины Казанского (Приволжского) федерального университета Авторы-составители: Ситдикова А.А. – кандидат биологических наук, старший преподаватель Святова Н.В. –...»

«ПРИОРИТЕТНЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ ОБРАЗОВАНИЕ РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ Г.А. КАЛАБИН Л.А. БОРОНИНА СЕРТИФИКАЦИЯ СЫРЬЯ, ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ И ПРОДУКЦИЙ ПО МЕЖДУНАРОДНЫМ ЭКОЛОГИЧЕСКИМ ТРЕБОВАНИЯМ Учебное пособие Москва 2008 Экспертное заключение: кандидат химических наук, доцент С.В. Рыков, кандидат ветеринарных наук, доцент Д.В. Никитченко Инновационная образовательная программа Российского университета дружбы народов Создание комплекса инновационных образовательных программ и...»








 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.