WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 6 |

«Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Государственный университет - учебно-научно-производственный комплекс ...»

-- [ Страница 3 ] --

Метод Гаусса-Зайделя Метод Гаусса-Зайделя предусматривает поочередное нахождение частных экстремумов целевой функции по каждому фактору xi (i =1, 2, …, n). При этом на каждом i-м этапе стабилизируют n-1 факторов и варьируют только один, i-й фактор. Задачу поиска экстремума решают в несколько этапов, которые затем объединяют в циклы.

Рассмотрим последовательность поиска максимума методом Гаусса-Зайделя с иллюстрацией двухфакторного примера. Графическая интерпретация метода дана на рисунке 10.1, где на плоскости двух факторов x1, x2 изображена функция отклика у топографическим способом с помощью замкнутых линий постоянного уровня этой оптимизируемой выходной функции. Эти линии соответствуют некоторым относительным величинам, однако форма функции отклика до начала исследования обычно неизвестна.

I этап. Производится поиск частного экстремума по первому фактору x1, остальные факторы остаются неизменными, то есть стабилизируются.

1 – Выбирают основную (начальную, базовую) точку М0, обычно она соответствует номинальному режиму ведения технологического процесса x 0=(x10; x20; …; xk0). Иногда эту точку выбирают в центре области, которую желательно исследовать, либо в центре области ограничений, если они имеются.

Рисунок 10.1 – Поиск экстремума функции отклика методом ГауссаЗайделя 2 – Выбирают интервал варьирования x1 по фактору x1. Интервал не должен быть слишком малым, иначе движение к экстремуму окажется замедленным. Кроме того, на интервале варьирования xi (i=1, 2, …, k) изменение целевой функции y должно быть существенно большим, чем погрешность ее измерения y (не менее чем в 5–10 раз) 3. Определяют координаты пробных точек М1 и М2:

x (М1) = (x10+x1; x20; …; xk0), x (М2) = (x10–x1; x20; …; xk0).

ках М1 и М2 ставят пробные опыты (для повышения точности результатов могут выполняться параллельные опыты) и измеряют отклики у(М1) и у(М2).

5. Сравнивают полученные отклики, и если у(М2) у(М1), то совершают рабочее движение на один рабочий шаг x1 по направлению M 0 M 2 в точку М3.

6. Аналогичные шаги продолжают в том же направлении до тех пор, пока на каком-то m-м шаге не окажется, что у(Мm) у(Мm–1), то есть значение отклика в очередной, m-й рабочей точке станет уменьшаться, – это и служит признаком достижения частного экстремума. За частный экстремум принимают (m–1)-ю точку с откликом у(Мm–1). На рисунке 4.1 это точка М5.





II этап. Его проводят в том порядке, что и I этап, с той лишь разницей, что стабилизируют все факторы, кроме x2. За новую базовую точку принимают точку с координатами x (Мm–1) = (x10+x1(m–2); x20; …; xk0), а x2 варьирую на выбранную по аналогичным условиям величину интервала x2. По достижении частного экстремума по фактору x2 точку нового частного экстремума принимают за новую базовую точку. На рисунке 10.1 это точка М9.

Первый цикл продвижения к экстремуму заканчивается n-м этапом, на котором стабилизируются все факторы, кроме xk. Для него выбирают интервал варьирования xk и совершают пробное, а затем рабочее движение до достижения частного экстремума по фактору xk. Если экстремум не достигнут, то выполняют второй цикл поиска.

Второй цикл, как и первый, начинается с I этапа, на котором варьируют фактор x1 (i 1), затем последовательно выполняют k этапов по каждому из k факторов.

Поисковое шаговое движение к экстремуму заканчивают по достижении такой точки факторного пространства, при движении из которой в любую сторону по всем n факторным осям xi в положительном или отрицательном направлениях значения отклика оказываются меньшими. Такую точку принимают за экстремум (в рассматриваемом случае – максимум).

Достоинства метода Гаусса-Зайделя:

– простота стратегии и наглядность;

– высокая помехозащищенность в смысле выбора направления движения.

Недостатки:

– путь к главному экстремуму оказывается обычно долгим, особенно при большом числе факторов;

– если поверхность отклика имеет сложную форму, то использование метода может привести к ложному ответу на вопрос о месте расположения экстремума;

– метод не дает информации о взаимодействиях факторов.

рассматриваемых. При увеличении количества воздействующих факторов до 5– применять этот метод для оптимизации процессов неэффективно.

Метод случайного поиска Характерной чертой этого метода является случайный выбор направления движения на каждом шаге, то есть одновременное изменение значений сразу всех факторов. Так, если изображающая точка после i-го шага занимает xm положение в факторном пространстве, то следующий рабочий шаг будет совершен лишь после выполнения пробного эксперимента в точке где z – случайный вектор определенной длины (рисунок 10.2).

Рисунок 10.2 – Поиск экстремума функции отклика методом Значения у(xm) и у(xm+z) сравниваются, и производится (i+1)-й рабочий шаг вдо ль векто р а по напр авлению к экстр емуму. Как правило, длина рабочего шага превышает длину пробного.

Критерием выхода в область экстремума целевой функции (функции отклика) является возрастание числа неудачных шагов, то есть многократное повторение положения, когда у(xm+z) у(xm).

Достоинство – метод случайного поиска очень прост, но он применим лишь для очень простых ситуаций.

Основные недостатки метода:

– большая трудоемкость и длительность поиска экстремума;





– возможность ошибки при попадании в область локального экстремума.

Градиентные методы Градиентные методы имеют несколько разновидностей, различающихся правилами выбора ступеней варьирования и рабочих шагов на каждом этапе движения к экстремуму. Сущность стратегии всех этих разновидностей состоит в том, что на каждом этапе вокруг очередной базовой точки организуют пробные эксперименты, по результатам которых оценивают новое направление градиента, после чего в этом направлении совершают рабочий шаг.

Вектор-градиент в n-факторном пространстве определяется соотношением grad y = (y/x1) x 1 + (y/x2) x 2 + … + (y/xk) x k, (10.4) где x i (i=1, 2, …, n) – единичные направляющие векторы (орты), расположенные вдоль факторных осей;

y/xi – частная производная целевой функции по i-му фактору.

Пробные опыты (по два в точках, расположенных на прямых, параллельных каждой факторной оси и проходящих через базовую точку) проводят с целью получить приближенные оценки частных производных. Рассмотрим две основные разновидности градиентных методов.

Обычный метод градиента осуществляется по следующей процедуре:

1 – Выбирают начальную (базовую) точку x 0=(x10; x20; …; xno). На рисунке 10.3 это точка L0.

2 – Выбирают интервал варьирования xi по каждому из факторов xi (i=1, 2, …, k), пользуясь уже определенными ранее правилами.

3 – Определяют координаты пробных точек (рисунок 10.3).

Вдоль направления, параллельного факторной оси x1, ими являются точки L1, L2 с координатами то есть варьируют один фактор x1 при стабилизации остальных факторов на базовом уровне. Аналогично вычисляют координаты пробных точек вдоль направлений, параллельных остальным факторным осям x2; x3; …; xk. Вдоль направления, параллельного факторной оси x2, такие точки – L3, L4 с координатами x (L3) = (x10; x20 – x2; …; xko), x (L4) = (x10; x20 + x2; …; xko).

В пробных точках ставят опыты и получают значения целевой функции Y.

Рисунок 4.3 – Поиск экстремума функции отклика методом 4 – По результатам пробных опытов вычисляют оценки составляющих вектор-градиента в точке L0 для каждого i-го фактора:

В частности, для фактора x1 по результатам опытов в точках L1 и L вычисление выполняют по формуле Как известно, частные производные являются коэффициентами ai (i=1, 2, …, n; i0) уравнения плоскости, касательной к поверхности отклика в точке L0:

Оценки b i коэффициентов получают по формуле (10.5).

5 – Находят координаты рабочей точки на направлении градиента. Для этого выбирают параметр рабочего шага гр и вычисляют координаты первой рабочей точки по всем факторным осям xi (i =1, 2, …, k):

На рисунке 10.3 первой рабочей точкой является точка L5. Чтобы из основной точки L0 попасть в точку L5, от L0 откладывают в масштабе отрезки, равные гр b1 и гр b 2, причем если b i 0, то по соответствующему фактору отрезок откладывают в отрицательном направлении от точки L0, то есть для фактора x1 – влево от точки L0, а для фактора x2 – вниз от точки L0. Если b i 0, то отрезки гр b i откладывают в положительном направлении от основной точки.

6 – Первую рабочую точку принимают за новую базовую точку и вокруг нее организуют новые пробные опыты для оценивания нового направления градиента, после чего совершают новый рабочий шаг (на рисунке 10.3 – в точку L10). В общем случае в каждой m-й рабочей точке по результатам пробных опытов вокруг нее получают оценки составляющих градиента b im и совершают (m+1)-й рабочий шаг (m = 0, 1, 2, …) в точку с координатами 7 – Рабочее движение производят до тех пор, пока на очередном шаге все составляющие градиента не станут пренебрежимо малыми, то есть b i,m+1 0 (i=1, 2, …, n). Для этого достаточно, чтобы выполнялось неравенство Если по результатам пробных опытов в (m+1)-й рабочей точке выполняется условие (10.10), то движение к экстремуму прекращают и эту рабочую точку принимают за точку экстремума.

Достоинства метода градиента:

– достаточная простота стратегии;

– повышенная по сравнению с методом Гаусса-Зайделя скорость движения к экстремуму (эффективность).

Недостатки:

– большая чуткость к помехам в отношении выбора направления рабочего движения;

– в случаях, когда поверхность отклика имеет сложную форму, метод градиента может не привести к истинному экстремуму;

– если поверхность отклика достаточно пологая, то в условиях помех метод мало эффективен в смысле точности выхода к экстремуму;

Метод Кифера-Вольфовица является разновидностью градиентного метода и отличается от описанного выше обычного метода градиента тем, что если в первом из них размеры интервалов варьирования xi при постановке пробных экспериментов и параметр гр рабочего шага остаются неизменными на любом рабочем шаге, то в рассматриваемом методе xik и грm выбирают в зависимости от номера k рабочего шага:

xim = xi0/(m), где xi0 – начальный интервал варьирования в основной точке L0;

гр0 – начальное значение параметра рабочего шага;

m – номер рабочего шага (m = 1, 2, …);

– постоянная степень, обычно выбираемая в пределах 0 0,5. Чаще всего полагают =0,25.

Если в методе градиента фактический размер m-го рабочего шага уменьшается только из-за уменьшения градиента, то есть крутизны наклона поверхности отклика, при приближении к области экстремума, то в методе Кифера-Вольфовица фактический размер рабочего шага уменьшается в прямой зависимости от номера этого шага.

немодифицированным методом является его повышенная точность нахождения экстремальной точки, если поверхность отклика достаточно крутая, а экстремум находится от базовой точки не слишком далеко.

Недостатком является его низкая эффективность в условиях пологих поверхностей отклика. При очень пологих поверхностях отклика этот метод вообще не приводит к цели: рабочие шаги становятся сравнимыми с погрешностями измерения до достижения экстремума. Остальные достоинства и недостатки, а также вся процедура работы такие же, как и в методе градиента.

Метод крутого восхождения (метод Бокса-Уилсона) Метод крутого восхождения предложен Дж. Боксом и К. Уилсоном как синтез лучших черт градиентных методов и метода Гаусса-Зайделя, причем пробные опыты для выяснения направления движения выполняют методом полного факторного эксперимента (ПФЭ) или дробного факторного эксперимента (ДФЭ). От градиентных методов здесь воспринято выполнение рабочего движения вдоль вектор-градиента, определенного в районе исходной (базовой) точки, а от метода Гаусса-Зайделя взят принцип продвижения не на один рабочий шаг (как в методе градиента), а до достижения частного экстремума функции отклика на направлении градиента, без его корректировки на каждом рабочем шаге. Проведение ПФЭ или ДФЭ позволяет более точно оценивать направление градиента, чем при традиционном методе градиента, и получать информацию о взаимодействиях факторов и достаточно просто осуществлять статистическую проверку результатов расчетов.

На первом цикле метода крутого восхождения используется следующая процедура:

1 – Выбирают основную (базовую, нулевую) точку К0 (рисунок 10.4).

Правила ее выбора прежние.

2 – Выбирают интервал варьирования xi для каждого фактора xi (i = 1, 2, …, k) по изложенным ранее правилам.

3 – Определяют координаты пробных точек для нижнего и верхнего уровней варьирования факторов xi по правилам ПФЭ и составляют ортогональную матрицу планирования ПФЭ или ДФЭ, для чего факторы нормируют по формуле:

Затем выбирают число n серий параллельных опытов, порядок проведения опытов в сериях рандомизируют с помощью таблицы случайных чисел (Приложение А) и в этом порядке выполняют наблюдения отклика в точках ПФЭ и ДФЭ (на рисунке 10.4 это точки K1, K2, K3, K4).

Рисунок 10.4 – Поиск экстремума функции отклика методом крутого 4 – По результатам ПФЭ (или ДФЭ) вычисляют оценки коэффициентов нормированного уравнения регрессии первого порядка а также производят статистическую проверку значимости b i, для чего можно рассчитать критическое значение коэффициентов:

где tкр = tтабл {зн; q}, выбираемое из таблицы (Приложение А) при числе степеней свободы зн = N(n-1) и принятом уровне значимости.

5 – Вычисляют расчетные i-е составляющие рабочих шагов в реальном масштабе:

Максимальное по модулю из всех i (i=1, 2, …, k) принимают за базовое баз.

6 – Получают практические (округленные) i-е составляющие рабочих шагов iокр для продвижения вдоль направления градиента (на рисунке 10.4 это луч К0А), для чего о р гляют (или изменяют) баз до удобного баз.окр и пропорционально этому округляют (или изменяют) остальные i до i окр (i=1, 2, …, k). Округление i производят по формуле до удобного значения либо с учетом погрешностей измерения по каждому фактору xi. Знаки i окр должны соответствовать (в случае поиска максимума, если отыскивается минимум, то знаки i окр должны быть противоположны) знакам оценок b i коэффициентов.

7 – Вычисляют координаты m-х рабочих точек (m = 1, 2, …) на направлении градиента (на рисунке 10.4 это точки К5 – К11) в реальном масштабе:

в них последовательно выполняют мысленные и проверочные (реальные) опыты. Размер i обычно выбирают так, чтобы первая рабочая точка (m=1) не выходила за границы области ПФЭ или ДФЭ.

Мысленные опыты заключаются в получении предсказанных (расчетных) значений отклика y t по полученному линейному уравнению (10.15). Они позволяют:

– сокращать объем реальных опытов, то есть увеличить скорость продвижения к экстремуму;

– иметь представление, насколько хорошо уравнение (10.15) аппроксимирует реальную поверхность отклика, то есть насколько расчетные значения отличаются от результатов наблюдавшихся значений в реальных опытах;

– оценивать правильность выбора размера составляющих практического рабочего шага ( i окр): если за число шагов k=3 достигается и превышается максимально возможное расчетное значение целевой функции (определяемое из физических свойств и ограничений, существующих для объекта), то i окр нужно уменьшить; если же число k слишком большое, то i окр следует увеличить или реже ставить реальные опыты.

Реальные (проверочные) опыты в начале движения из базовой точки вдоль направления градиента ставят через 2 – 4 мысленных опыта, а при уменьшении приращений наблюдавшихся значений отклика в каждом последующем реализованном по сравнению с предыдущим в рабочих точках проверочные ставят чаще, вблизи частного экстремума выполняют на каждом шаге.

Рабочее движение продолжают, пока не будет достигнут частный экстремум на направлении градиента (на рисунке 10.4 это точка К9). Признаком достижения частного экстремума является уменьшение (в случае поиска максимума) отклика в последующих проверочных опытах.

8 – Точку частого экстремума на первоначальном направлении градиента (на рисунке 10.4 это точка К9 на луче К0А) принимают за новую нулевую точку и организуют второй цикл крутого восхождения. Порядок работы на втором цикле тот же, что и на первом. Различие состоит в том, что интервалы варьирования при постановке пробных о пытов (ПФЭ или ДФЭ) и р азмер р або чих шаго в в связи с приближением к экстремуму и увеличением кривизны поверхности отклика обычно выбирают меньшими, чем на первом цикле. В случае необходимости выполняют третий цикл крутого восхождения.

9 – Поисковое рабочее движение прекращают по достижении области экстремума. Признаком достижения экстремума является статистическая незначимость оценок b i коэффициентов при членах первого порядка, вычисленных по результатам ПФЭ (ДФЭ) вокруг очередной нулевой точки.

Достоинства метода крутого восхождения:

– высокая помехозащищенность (помехоустойчивость) в смысле точности оценивания составляющих градиента: если в градиентных методах каждая составляющая b i оценивается лишь по двум точкам факторного пространства, то в ПФЭ, который в методе крутого восхождения используется для этой цели, каждый коэффициент b i оценивается по всем N=2k точкам;

– высокая эффективность в смысле скорости движения к экстремуму; по сравнению с методом Гаусса-Зайделя она выше за счет продвижения по градиенту, а по сравнению с градиентным – за счет исключения пробных опытов на каждом рабочем шаге и за счет мысленных опытов;

– пробные опыты, выполняемые методом ПФЭ, позволяют получать информацию об оценках b ij коэффициентов при взаимодействиях факторов xixj, характеризующих кривизну поверхности отклика: увеличение b ij при уменьшении b i обычно характеризует приближение к экстремуму;

– ПФЭ с применением параллельных опытов позволяет достаточно просто осуществлять надежную статистическую интерпретацию результатов;

– метод наиболее эффективен из известных при пологих поверхностях отклика.

Недостатком рассмотренного метода является несколько большая, чем в предыдущих методах, сложность планирования пробных опытов, требующая одновременного варьирования сразу всех факторов относительно базовой точки, и меньшая оперативность по сравнению с симплексным методом в условиях дрейфующих объектов.

Симплексный метод Симплексом называют выпуклую фигуру (или тело), образованную k+ вершинами в пространстве k факторов, причем эти k+1 вершин не принадлежат одновременно ни одному из подпространств из k-1 факторов. Симплекс называется регулярным, если все расстояния между его вершинами равны. В пространстве одного фактора (k=1) симплексом служит отрезок установленного размера, при k=2 – треугольник, при k=3 – тетраэдр. При k4 привычным образом интерпретировать симплекс невозможно.

Симплексный метод позволяет совмещать пробные опыты для определения направления движения с рабочим движением по поверхности отклика к области оптимума. Основная идея симплексного метода в следующем. Если во всех k+ вершинах симплекса поставить опыты и измерить отклик, то (при не слишком большом уровне шумов) по величине отклика в вершинах можно судить, в каком направлении следует двигаться, чтобы приблизиться к экстремуму. После проведения серии опытов, поставленных в вершинах правильного симплекса, определяется точка, соответствующая условиям, при которых получаются наихудшие результаты. Затем используется важное свойство симплекса, по которому из любого симплекса можно, отбросив одну из вершин, получить новый, заменив отброшенную вершину ее зеркальным отражением относительно противоположной его грани. Если отбросить точку с наихудшими результатами и построить на оставшейся грани новый симплекс, то его центр будет смещен в направлении: худшая точка – центр тяжести остальных точек, то есть в направлении к экстремуму. Затем процесс отбрасывания вершины с наихудшим значением целевой функции и построения нового симплекса повторяется. Если значение выхода в новой вершине снова окажется наихудшим, то нужно вернуться к исходному симплексу и отбросить следующую по порядку вершину с плохим результатом. В результате этого образуется цепочка симплексов, перемещающихся в факторном пространстве к точке экстремума. Таким образом, движение к экстремуму осуществляется путем зеркального отражения точки с наихудшими результатами относительно центра противоположной грани симплекса.

Порядок работы при использовании симплексного метода следующий:

1 – Выбирают начальную точку С1, а также интервалы варьирования xi для всех факторов (i=1, 2, …, k).

2 – Выбирают безразмерную величину сим стороны (или ребра) симплекса в относительных единицах по отношению к интервалам варьирования xi.

Наиболее просто выбрать сим=1. Стремятся, чтобы в безразмерных единицах стороны симплекса были равны.

3 – Вычисляют координаты остальных вершин начального симплекса.

Обычно для этого используют следующее правило. Через начальную точку С проводят осевые линии, параллельные координатным осям, и выбирают квадрант, в котором по предположению, должен располагаться экстремум целевой функции. В начальную точку помещают вершину симплекса С1 (рисунок 10.5), а сам симплекс I располагают так, чтобы его стороны образовали с осевыми линиями равные углы.

При таком расположении начального симплекса координаты его вершин определяют с помощью матрицы (таблица 10.1), в которой даны координаты вершин (k+1)-мерного симплекса в n-факторном пространстве.

Рисунок 10.5 – Поиск экстремума функции отклика симплексным Безразмерные относительные величины p и q при таком расположении симплекса определяют по формуле:

На рисунке 10.5 показаны размеры px1 и qx1 для случая сим=1. Если принимают сим1, то xi умножают еще на сим. Знаки xi зависят от номера квадранта, в котором расположен начальный симплекс. Для k=2 имеем p0,966, q0,259.

4 – В вершинах симплекса выполняют наблюдения отклика и сравнивают по величине; выбирают вершину с минимальным откликом и отражают ее следующего симплекса II, n вершин которого одновременно являются и вершинами предыдущего симплекса I. Координаты отраженной вершины вычисляют по формуле где i – номер фактора (i=1, 2, …, k);

l – номер вершины m-го симплекса, где обнаружен минимальный (в случае нахождения максимума) отклик;

m+1 – номер последующего симплекса, содержащего отраженную вершину (ей условно присваивают тот же номер l);

k – число факторов.

Если минимальный отклик оказался сразу в двух вершинах, то вопрос, какую из них отражать, решают произвольно.

Таблица 10.1 –Задание координат вершин симплекса Вершина C2 x10+px1 x20+qx2 x30+qx3 … xi0+qxi … xk0+qxk Вершина C3 x10+qx1 x20+px2 x30+qx3 … xi0+qxi … xk0+qxk Вершина Ci+1 x10+qx1 x20+qx2 x30+qx3 … xi0+pxi …xk0+qxk Вершина Ck+1 x10+qx1 x20+qx2 x30+qx3 … xi0+qxi … xk0+pxk 5 – Ставят эксперимент в отраженной вершине нового симплекса и отклик в ней сравнивают с откликами в остальных вершинах, а затем снова выбирают вершину с минимальным откликом и отражают ее через противолежащую сторону (или грань) симплекса. Если в новой вершине (m+1)-го симплекса отклик оказался опять минимальным, то возвращаются к m-му симплексу и отражают вторую по минимальности вершину. Если это явление повторяется, то отражают третью по минимальности вершину и так далее.

6 – Эксперимент продолжают до тех пор, пока симплекс не совершит полный оборот вокруг одной из вершин. На рисунке 10.5 это вершина С11.

Точность нахождения точки экстремума зависит от двух причин: размера симплекса и влияния помех. Для уточнения положения экстремальной точки статического объекта в последних симплексах рекомендуется ставить параллельные опыты, чтобы снизить влияние помех, а также выполнить опыт в середине того симплекса, в вершинах которого отклик оказался максимальным по сравнению с остальными симплексами.

Достоинства симплексного метода:

– достаточно высокая помехоустойчивость в смысле выбора направления движения к экстремуму;

– изучение поверхности отклика сочетается с одновременным рабочим движением к экстремуму;

– при оптимально выбранном размере симплекса обеспечивается высокая скорость выхода к области экстремума;

– высокая оперативность, позволяющая использовать этот метод особенно для непрерывной оптимизации объектов с дрейфующим экстремумом.

Недостатки метода:

– метод не позволяет непосредственно получать математическое описание изучаемого участка поверхности отклика, как, например, в методе Бокса-Уилсона;

– в условиях пологих поверхностей отклика симплексный метод дает менее точное решение, чем метод крутого восхождения.

Контрольные вопросы 1. Как формулируется задача оптимизации?

2. Какими подходами можно решить задачу оптимизации?

3. Что общего у всех методов экспериментального поиска экстремума?

4. В чем заключается основная идея и процедура метода Гаусса-Зайделя?

5. В чем заключается основная идея и процедура метода случайного поиска?

6. В чем заключается основная идея и процедура обычного градиентного метода?

7. В чем заключается основная идея и процедура метода КифераВольфовица?

8. В чем заключается основная идея и процедура симплексного метода?

9. В чем заключается основная идея и процедура метода крутого восхождения (Бокса-Уилсона)?

10. Сравните известные поисковые методы по помехоустойчивости в смысле выбора направления движения.

11. Сравните поисковые методы по помехоустойчивости в смысле точности выхода к экстремуму.

12. Сравните методы поиска по эффективности, то есть по скорости выхода к экстремуму.

13. Каковы достоинства и недостатки поисковых методов?

14. Что служит критерием достижения экстремума в поисковых методах?

15. В чем состоит роль мысленных опытов и как они проводятся?

16. Как выполняется статистический анализ результатов в методе крутого восхождения?

17. Как выполняется оптимизация при многоэкстремальной поверхности отклика?

18. Что служит критерием для выбора начальной точки исследования?

19. Что служит критерием для выбора интервала варьирования для каждого фактора?

Литература 1. Воронина О.А. Математические основы планирования и проведения эксперимента. Учеб. пособие / О.А. Воронина - Орел: ОрелГТУ – 2007.

2. Современный эксперимент: подготовка, проведение, анализ результатов / В.Г. Блохин, О.П. Глудкин, А.И. Гуров, М.А Ханин. Под ред. О.П. Глудкина – М.: Радио и связь, 1997.

3. Статистические методы в инженерных исследованиях (лабораторный пр актикум): Учеб. по со бие / В.П. Бо р одюк, А.П. Во щинин, А.З. Ивано в и др.

Под ред. Г.К. Круга – М.: Высшая школа, 1983.

4. Грачев Ю.П. Математические методы планирования эксперимента / Ю.П.

Грачев, Ю.М. Плаксин Ю.М - М.: ДеЛи принт 2005 г.

5. Кобзарь А.И. Прикладная математическая статистика. Для инженеров и научных работников / А.И. Кобзарь - М.: ФИЗМАТЛИТ, 6. Вуколов Э. А. Основы статистического анализа. Практикум по статистическим методам и исследованию операций с использованием пакетов STATISTICA и EXCEL: у ч ебно е по собие / Э. А. Вуколов — М. : ФОРУМ :

ИНФРА-М, 7. Денисенко В.В. Компьютерное управление технологическим процессом, экспериментом, оборудованием. / В.В. Денисенко - М.: Горячая линия-Телеком, 2009.

8. ГОСТ Р 50.1.040-2002 Статистические методы. Планирование экспериментов. Термины и определения 9. Охорзин В.А. Прикладная математика в системе MATHCAD: Учебное пособие. / В.А. Охорзин – СПб.: Лань, 2008.

10. Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика / М. Б. Лагутин М.: Бином. Лаборатория знаний, 2007.

11. Макаров А.А. Анализ данных на компьютере / Ю.Н Тюрин, А.А.

Макаров – М.: Инфра-М, 2003.

12. Львович Я.Е. Теоретические основы конструирования, технологии и надежно сти РЭА: Учеб. по со бие для вузо в / Я.Е.Льво вич, В.Н.Фр о л в - М.:

Радио и связь, 1986.

4 Методические указания по проведению лабораторных работ.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ – УЧЕБНО-НАУЧНОПРОИЗВОДСТВЕННЫЙ КОМПЛЕКС»

УЧЕБНО-НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ

ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

Кафедра «Электроника, вычислительная техника и информационная

АВТОМАТИЗАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА ПРИ

ПРОИЗВОДСТВЕ ЭЛЕКТРОННЫХ СРЕДСТВ

Дисциплина – «Эксперимент, планирование, проведение, анализ»

Направление – 211000.68 «Конструирование и технология электронных средств»

Автор: к.т.н., доцент кафедры «Электроника, вычислительная техника и информационная безопасность» О.А.Воронина Рецензент: к.т.н., профессор кафедры «Электроника, вычислительная техника и информационная безопасность» В.А. Лобанова «Планирование и проведение эксперимента при производстве электронновычислительных средств» предназначены для магистрантов, обучающихся по направлению 211000.68 «Конструирование и технология электронных средств», изучающих дисциплину «Эксперимент, планирование, проведение, анализ».

Методические указания по выполнению лабораторных работ «Планирование и проведение эксперимента при производстве электронновычислительных средств» рассмотрены и одобрены на заседании кафедры «ЭВТИБ» «»2011 г., протокол №_, зав. кафедрой ЭВТИБ, д.т.н., профессор В.Т. Еременко

СОДЕРЖАНИЕ

МОДУЛЬ 2 «АКТИВНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ» _ ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1 _ Автоматизация обработки результатов активного эксперимента МОДУЛЬ 3 «ПАССИВНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ» ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2 _ Планирование и обработка результатов пассивного эксперимента _ МОДУЛЬ 4 «МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ» _ ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № Планирование экстремальных поисковых экспериментов Литература _

МОДУЛЬ 2 «АКТИВНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ»

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №

эксперимента Обработка результатов измерительного эксперимента основывается на статистическом анализе получаемых данных, и при больших объемах информации возникает необходимость в автоматизации данного процесса. Статистическая обработка результатов эксперимента состоит из нескольких этапов, среди которых построение вариационных рядов, вычисление статистических характеристик, исключение аномальных значений, проверка полученных данных на соответствие предполагаемому теоретическому закону распределения, проверка на независимость, проверка выборок на однородность.

Современные программные средства математического анализа, такие как MatchCad от компании MathSoft, MatLab (The MathWorks inc.), Statistica (Statsoft inc.) позволяют решать широкий круг задач связанных с обработкой экспериментальных данных, используя разнообразные алгоритмы, заложенные в качестве предустановленных функций программных пакетов либо созданные самостоятельно на основе уже имеющихся. Однако, данные программные средства не позволяют проводить интеграцию с внешними источниками данных на достаточно высоком уровне.

Процесс обработки данных в системе LabVIEW состоит из нескольких этапов, каждый из которых, представляет собой отдельный программный модуль.

На первом этапе для тестирования работы системы происходит получение данных от генератора случайных чисел, текстового файла либо аналого-цифрового преобразователя L-780 производства L-card, с частотой дискретизации до 300 кГц либо интерфейса компьютера;

полученный массив данных (генеральная выборка) разделяется на подвыборки, каждая из которых может быть сохранена отдельно либо в рамках генеральной выборки. Следующим этапом является обработка данных согласно регламентированной в нормативной литературе методике.

Структурная схема системы статистической обработки результатов измерительного эксперимента представлена на рис. 1. В системе использованы как стандартные элементы LabVIEW], реализующие функции статистической обработки, так и разработанные на их основе специализированные подпрограммы.

Рис.1.1. Структурная схема системы статистической обработки результатов измерительного эксперимента Система даёт возможность генерировать выборки с заданными законами распределения данных - нормальным, равномерным и треугольным. Выборки в дальнейшем могут быть экспортированы в файл и использованы для иных целей.

Для генерации случайной величины с гауссовским законом распределения применяется стандартный элемент Gaussian Noise. Для удобства использования элементы для генерации выборок с равномерным и треугольным законами распределения выполнены по образцу стандартных элементов генерации случайных последовательностей, встроенных в систему LabVIEW, т.е.

разработанные элементы позволяют задавать исходные параметры выборки (объем, математическое ожидание и дисперсию).

Генерация выборки с равномерным законом распределения выполняется с помощью разработанного виртуального прибора, использующего как основу стандартный элемент Random Number, генерация выборки с треугольным законом распределения осуществляется на основе алгоритма, предложенного в. Подпрограмма реализации данного алгоритма приведена на рис.1. 2.

Разработанная система позволяет:

1. Рассчитывать точечные характеристики (математическое ожидание, дисперсию, размах, эксцесс, асимметрию, моду и медиану).

Для реализации были использованы встроенные функции LabVIEW.

Вид окна расчета точечных характеристик приведены на рис1. 3.

2. Рассчитывать интервальные оценки вышеприведенных статистических характеристик.

3. Проверять экспериментальные данные на нормальность.

Проверка соответствия закона распределения полученной выборки гауссовскому выполняется с помощью RS-критерия (рис1.4). Значения верхнего и нижнего порога Ф(0,1) представляют собой двумерный массив, записанный в файл, поскольку встроенная функция Continuous Inverse CDF.vi. не возвращает требуемых параметров.

4. Строить гистограмму распределения экспериментальных данных; проверять соответствие закона распределения экспериментальных данных с заданным с помощью критериев Колмогорова и х Рис1.2. Подпрограмма генерации выборки с треугольным законом распределения Окно анализа данных по критерию 2 приведено на рис. 5. На практике пороговые значения гр выбирают из таблиц в зависимости от количества степеней свободы r и вероятности p. В разработанной системе для получения гр. применяется функция Continuous Inverse CDF.vi.

Рис1.3. Окно расчета точечных характеристик 5. Проверка на аномальность результатов, выявления грубых погрешностей и промахов (параметрические критерии Ирвина, Кохрена).

6. Проверка однородности (параметрические критерии Фишера, Стьюдента, непараметрический критерий Лемана-Розенблата).

Подпрограмма проверки однородности по критерию Фишера приведена на рис1. 6.

Рис1.4. Окно проверки экспериментальных данных на нормальность 7. Проверка на независимость (корреляционные коэффициенты, критерий Кенделла-Симта).

8. Проверка на переменные систематические погрешности (серийные критерии: медианный, восходящих и нисходящих серий, а также критерий Аббе). Для получения пороговых значений статистик критериев были использованы встроенные функции LabVIEW (Continuous Inverse CDF.vi), а также сформированные внешние массивы данных.

Рис1.5. Окно просмотра результатов работы 2 критерия Рис.1.6. Подпрограмма проверки однородности выборок по критерию Фишера

МОДУЛЬ 3 «ПАССИВНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ»

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №

эксперимента Цель работы: Изучение возможностей пакета Ms Excel при решении задач обработки экспериментальных данных. Приобретение навыков обработки результатов эксперимента.

Одной из распространенных задач в науке, технике является аппроксимация экспериментальных данных, алгебраических данных аналитическими выражениями. Возможность подобрать параметры уравнения таким образом, чтобы его решение совпало с данными эксперимента, зачастую является доказательством (или опровержением) теории.

Рассмотрим следующую математическую задачу. Известные значения некоторой функции f образуют таблицу:

Необходимо построить аналитическую зависимость y = f(x), наиболее близко описывающую результаты эксперимента. Построим функцию y = f(x, a0, a1,..., ak) таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений измеренных значений yi от расчетных f(xi,a0, a1,..., ak) была наименьшей (см. рис. 2.1).

Математически эта задача равносильна следующей: найти значение параметров a0, a1, a2,...,ak, при которых функция принимала бы минимальное значение.

Эта задача сводится к решению системы уравнений:

Если параметры ai входят в зависимость y = f(x,ao, a1, …, ak) линейно, то мы получим систему линейных уравнений:

Решив систему (2.3), найдем параметры ao, a1,..., ak и получим зависимость y = f(x, ao, a1,..., ak).

Линейная функция (линия регрессии) Необходимо определить параметры функции y = ax+b. Составим функцию S:

Продифференцируем выражение (8.4) по a и b, сформируем систему линейных уравнений, решив которую мы получим следующие значения параметров:

Подобранная прямая называется линией регрессии y на x, a и b называются коэффициентами регрессии.

Чем меньше величина тем более обосновано предположение, что табличная зависимость описывается линейной функцией. Существует показатель, характеризующий тесноту линейной связи между x и y. Это коэффициент корреляции. Он рассчитывается по формуле:

Коэффициент корреляции r и коэффициент регрессии a связаны соотношением:

где Dy, Dx - среднеквадратичное отклонение значений x и y.

Значение коэффициента корреляции удовлетворяет соотношению -1 r 1. Чем меньше отличается абсолютная величина r от единицы, тем ближе к линии регрессии располагаются экспериментальные точки.

Если коэффициент корреляции равен нулю, то переменные x, y называются некоррелированными. Если r = 0, то это только означает, что между x, y не существует линейной связи, но между ними может существовать зависимость, отличная от линейной.

Для того чтобы проверить, значимо ли отличается от нуля коэффициент корреляции, можно использовать критерий Стьюдента.

Вычисленное значение критерия определяется по формуле:

Значение t сравнивается со значением, взятым из таблицы распределения Стьюдента в соответствии с уровнем значимости a и числом степеней свободы n-2. Если t больше табличного, то коэффициент корреляции значимо отличен от нуля.

Решение поставленной задачи средствами MS Excel Вычисление коэффициентов регрессии осуществляется с помощью функции ЛИНЕЙН():

ЛИНЕЙН(Значения_y; Значения_x; Конст; статистика) Значения_y - массив значений y.

Значения_x- необязательный массив значений x, если массив х опущен, то предполагается, что это массив {1;2;3;...} такого же размера, как и Значения_y.

Конст - логическое значение, которое указывает, требуется ли, чтобы константа b была равна 0. Если Конст имеет значение ИСТИНА или опущено, то b вычисляется обычным образом. Если аргумент Конст имеет значение ЛОЖЬ, то b полагается равным 0 и значения a подбираются так, чтобы выполнялось соотношение y = ax.

Статистика - логическое значение, которое указывает, требуется ли вернуть дополнительную статистику по регрессии. Если аргумент статистика имеет значение ИСТИНА, то функция ЛИНЕЙН возвращает дополнительную регрессионную статистику. Если аргумент статистика имеет значение ЛОЖЬ или опущен, то функция ЛИНЕЙН возвращает только коэффициент a и постоянную b.

Для вычисления множества точек на линии регрессии используется функция ТЕНДЕНЦИЯ.

ТЕНДЕНЦИЯ(Значения_y; Значения_x; Новые_значения_x;

Конст) Значения_y- массив значений y, которые уже известны для соотношения y = ax + b.

Значения_x- массив значений x.

Новые_значения_x- новый массив значений, для которых ТЕНДЕНЦИЯ возвращает соответствующие значения y. Если Новые_значения_x опущены, то предполагается, что они совпадают с массивом значений х.

Конст - логическое значение, которое указывает, требуется ли, чтобы константа b была равна 0. Если Конст имеет значение ИСТИНА или опущено, то b вычисляется обычным образом. Если Конст имеет значение ЛОЖЬ, то b полагается равным 0, и значения а подбираются таким образом, чтобы выполнялось соотношение y = ax. Необходимо помнить, что результатом функций ЛИНЕЙН, ТЕНДЕНЦИЯ является множество значений - массив.

Для расчета коэффициента корреляции используется функция КОРРЕЛ, возвращающая значения коэффициента корреляции:

КОРРЕЛ(Массив1;Массив2) Массив1 - массив значений y.

Массив2 - массив значений y.

Массив1 и Массив2 должны иметь одинаковое количество точек данных.

ПРИМЕР 2.1. Известна табличная зависимость G(L). Построить линию регрессии и вычислить ожидаемое значение в точках 0, 0.75, 1.75, 2.8, 4.5.

G 1 2,39 2,81 3,25 3,75 4,11 4,45 4,85 5, Введем таблицу значений в лист MS Excel и построим точечный график. Рабочий лист примет вид изображенный на рис. 2.2.

Для того, чтобы рассчитать значения коэффициентов регрессии а и b выделим ячейки К2:L2, обратимся к мастеру функций и в категории Статистические выберем функцию ЛИНЕЙН. Заполним появившееся диалоговое окно так, как показано на рис. 2.3 и нажмем Ок.

В результате вычисленное значение появится только в ячейке К (см. рис.8.4). Для того чтобы вычисленное значение появилось и в ячейке L2 необходимо войти в режим редактирования, нажав клавишу F2, а затем нажать комбинацию клавиш CTRL+SHIFT+ENTER.

Для расчета значения коэффициента корреляции в ячейку M была введена следующая формула: М2 = КОРРЕЛ(B1:J1;B2:J2) (см.

рис. 2.4).

Для вычисления ожидаемого значения в точках 0, 0.75, 1.75, 2.8, 4. занесем их в ячейки L9:L13. Затем выделим диапазон ячеек M10:M13 и введем формулу:

= ТЕНДЕНЦИЯ(B2:J2;B1:J1;L9:L13).

Для того чтобы вычисленные значения появились и в ячейках M10:M необходимо нажать комбинацию клавиш CTRL+SHIFT+ENTER.

Изобразим линию регрессии на диаграмме. Для этого выделим экспериментальные точки на графике, щелкнем правой кнопкой мыши и выберем команду Исходные данные. В появившемся диалоговом окне (см. рис. 8.5), для добавления линии регрессии щелкнем по кнопке Добавить.

В качестве имени введем Линия регрессии, в качестве Значения Х: L9:L13, в качестве Значения Y:

M9:M13. Далее выделяем линию регрессии, для изменения ее типа щелкаем правой кнопкой мыши и выбираем команду Тип диаграммы (см. рис. 8.6). Для форматирования линии регрессии (можно изменить толщину линии, цвет, тип маркера и т.п) дважды щелкаем по ней (см. рис. 8.7).

После форматирования графика рабочий лист примет вид, изображенный на рис. 8.8.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

1. На первом рабочем листе документа MS Excel ввести исходные данные, соответствующие варианту задания. Проанализировать экспериментальную зависимость. Построить график экспериментальных точек.

2. На втором рабочем листе средствами MS Excel рассчитать коэффициенты регрессии, коэффициент корреляции, среднеквадратичные отклонения и суммарную ошибку. Построить в одной графической области экспериментальные точки и линию регрессии.

3. Третий рабочий лист должен содержать вычисление коэффициентов функциональной зависимости, соответствующей варианту задания. Расчет коэффициентов произвести аналитически при помощи метода наименьших квадратов, сведя задачу к задаче оптимизации. Построить в одной графической области экспериментальные точки и график подобранной функциональной зависимости. Определить суммарную ошибку.

4. На четвертом рабочем листе построить линию тренда, если это возможно. Убедится в том, что вычисленные в п.3 коэффициенты совпадают с коэффициентами линии тренда. Провести сравнительный анализ полученных результатов и построить в одной графической области график экспериментальных точек, линию регрессии и график полученной экспериментальной зависимости.

5. Озаглавить рабочие листы согласно тематике вычислений.

Исходные данные, результаты вычислений и графики сопровождать соответствующими подписями и пояснениями.

Вариант №1. P(s)=As3+Bs2+Сs+D Вариант № 2. G(s)=Ae Вариант № 4. V(s)=As е Вариант № 5. W(s)=A/(Bs+C) Вариант № 7. Y=x/(Ax-B) Вариант № 10. R=Ch +Dh+K Вариант №11. G=DL+K Вариант № 12. Y=Ax +Bx +Cx+D Вариант № 14. R=Ch +K Вариант № 15. Z=At +Ct +K

МОДУЛЬ 4 «МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ»

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №

Планирование экстремальных поисковых экспериментов

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ

Литература 1. Воронина О.А. Математические основы планирования и проведения эксперимента. Учеб. пособие / О.А. Воронина - Орел:

ОрелГТУ – 2007.

2. Современный эксперимент: подготовка, проведение, анализ результатов / В.Г. Блохин, О.П. Глудкин, А.И. Гуров, М.А Ханин.

Под ред. О.П. Глудкина – М.: Радио и связь, 1997.

3. Статистические методы в инженерных исследованиях (лабораторный практикум): Учеб. пособие / В.П. Бородюк, А.П.

Вощинин, А.З. Иванов и др. Под ред. Г.К. Круга – М.: Высшая школа, 1983.

4. Грачев Ю.П. Математические методы планирования эксперимента / Ю.П. Грачев, Ю.М. Плаксин Ю.М - М.: ДеЛи принт 2005 г.

5. Кобзарь А.И. Прикладная математическая статистика. Для инженеров и научных работников / А.И. Кобзарь - М.: ФИЗМАТЛИТ, 6. Вуколов Э. А. Основы статистического анализа. Практикум по статистическим методам и исследованию операций с использованием пакетов STATISTICA и EXCEL: учебное пособие / Э. А. Вуколов — М.

: ФОРУМ : ИНФРА-М, 7. Денисенко В.В. Компьютерное управление технологическим процессом, экспериментом, оборудованием. / В.В. Денисенко - М.:

Горячая линия-Телеком, 2009.

8. ГОСТ Р 50.1.040-2002 Статистические методы. Планирование экспериментов. Термины и определения 9. Охорзин В.А. Прикладная математика в системе MATHCAD:

Учебное пособие. / В.А. Охорзин – СПб.: Лань, 2008.

10. Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика / М. Б. Лагутин - М.: Бином. Лаборатория знаний, 2007.

11. Макаров А.А. Анализ данных на компьютере / Ю.Н Тюрин, А.А. Макаров – М.: Инфра-М, 2003.

12. Львович Я.Е. Теоретические основы конструирования, технологии и надежности РЭА: Учеб. пособие для вузов / Я.Е.Львович, В.Н.Фролов - М.: Радио и связь, 1986.

13. Журнал «Математическое моделирование» [Электронный ресурс] http://www.mathnet.ru/php/journal.phtml?jrnid=mm&option_lang=rus 5 Методические рекомендации по выполнению практических работ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ – УЧЕБНО-НАУЧНОПРОИЗВОДСТВЕННЫЙ КОМПЛЕКС»

УЧЕБНО-НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ

ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

Кафедра «Электроника, вычислительная техника и информационная

ПЛАНИРОВАНИЕ И ПРОВЕДЕНИЕ

ЭКСПЕРИМЕНТА ПРИ ПРОИЗВОДСТВЕ

ЭЛЕКТРОННО-ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СРЕДСТВ

Дисциплина – «Эксперимент, планирование, проведение, анализ»

Направление – 211000.68 «Конструирование и технология электронных средств»

Автор: к.т.н., доцент кафедры «Электроника, вычислительная техника и информационная безопасность» О.А.Воронина Рецензент: к.т.н., профессор кафедры «Электроника, вычислительная техника и информационная безопасность» В.А. Лобанова Методические указания по проведению практических занятий «Планирование и проведение эксперимента при производстве электронновычислительных средств» предназначены для магистрантов, обучающихся по направлению 211000.68 «Конструирование и технология электронных средств», изучающих дисциплину «Эксперимент, планирование, проведение, анализ».

Методические указания содержат описания методов планирования активного и пассивного эксперимента, обработки и анализа полученных результатов, методов оптимизации процессов. Методические указания состоят из десяти практических занятий, каждое из которых содержит основные теоретические сведения по теме, поясняющие примеры и задачи для решения Методические указания по проведению практических занятий «Планирование и проведение эксперимента при производстве электронновычислительных средств» рассмотрены и одобрены на заседании кафедры «ЭВТИБ» «»2011 г., протокол №_, зав. кафедрой ЭВТИБ, д.т.н., профессор В.Т. Еременко;

Введение

МОДУЛЬ 1 «МЕТОДОЛОГИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО

МОДЕЛИРОВАНИЯ»

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 1

1.1 Экспериментальный анализ случайной величины............... 1.2 Проверка статистических гипотез

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 2

2.1 Метод ранговой корреляции

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 3

3.1 Однофакторный дисперсионный анализ

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 4

4.1 Двухфакторный дисперсионный анализ

4.2 Трехфакторный дисперсионный анализ

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 5

5. Методы насыщенных и сверхнасыщенных планов................ МОДУЛЬ 2 «АКТИВНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ»

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 6

6. Полный факторный эксперимент

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 7

7.1 Дробный факторный эксперимент

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 8

8 ЦЕНТРАЛЬНЫЕ КОМПОЗИЦИОННЫЕ ПЛАНЫ.............. 8.1 Центральный композиционный ортогональный план........ 8.2 Центральный композиционный рототабельный план........ МОДУЛЬ 3 «ПАССИВНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ»

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №9

9.1 Метод регрессионного анализа

МОДУЛЬ 4 «МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ»

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 10

10.1 Методы оптимизации

Литература

Приложения Введение Целью изучения дисциплины «Эксперимент, планирование, проведение, анализ» является освоение основных принципов построения математических моделей разрабатываемых объектов и технологических процессов, методов оптимизации их параметров, методов планирования и проведения активных и пассивных экспериментов, анализа результатов эксперимента.

Задачи курса:

- математическое моделирование разрабатываемых объектов или технологических процессов с целью оптимизации их параметров;

- организация модельных и натурных экспериментов.

В процессе освоения дисциплины у студентов формируются следующие профессиональные компетенции: ПК-19 «способность планировать и проводить эксперименты, обрабатывать и анализировать их результаты», ПК-3 «способность понимать основные проблемы в своей предметной области, выбирать методы и средства их решения».

В результате освоения дисциплины и формирования профессиональных компетенций магистр должен:

- Знать : основы планирования, проведения и обработки результатов эксперимента, основы методов оценки результатов исследований, способы представления научно-технической информации;

- Уметь: правильно использовать достижения науки при постановке и проведении эксперимента в области проектирования, технологии и эксплуатации электронных средств, правильно классифицировать и находить научно-техническую информацию в области проектирования, технологии и эксплуатации электронных средств, правильно оформлять результаты исследований в области проектирования, технологии и эксплуатации электронных средств;

эксперимента, навыками применения современных программных средств, навыками анализа научной информации в своей предметной области знания, навыками работы в текстовых процессорах, электронных таблицах, базах данных, системах подготовки презентаций и современных прикладных программах.

МОДУЛЬ 1 «МЕТОДОЛОГИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО

МОДЕЛИРОВАНИЯ»

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №

1.1 Экспериментальный анализ случайной величины Случайной величиной (СВ) называют такую величину, значения которой изменяются при повторении опытов некоторым, заранее не предсказуемым образом. f(x). Для случайной величины нельзя заранее точно сказать, какое конкретное значение она примет в определенных условиях, а можно только указать закон ее распределения. Закон распределения считается заданным, если:

– указано множество возможных значений случайной величины, – указан способ количественного определения вероятности попадания случайной величины в любую область множества возможных значений.

Вероятность попадания в заданную область может быть определена следующим образом:

где Nm – количество наблюдений СВ, оказавшихся в заданной области, N – общее число наблюдений (частотное определение вероятности).

Аналитическими выражениями законов распределения случайных величин являются функции распределения вероятностей – интегральная и дифференциальная.

Интегральная функция распределения F(x) случайной величины X показывает вероятность того, что СВ не превышает некоторого заданного или текущего значения x.

Следовательно, вероятность того, что значение СВ X заключено между x1 и x2 равна разности значений функции распределения, вычисленных в этих двух точках:

Аналогично, Свойства интегральной функции распределения СВ:

Если функция F(x) дифференцируема для всех значений СВ Х, то закон распределения вероятностей может быть выражен с помощью дифференциальной функции распределения вероятностей:

Таким образом, значение функции f(x) приближенно равно отношению вероятности попадания СВ в интервал (x, x+x) к длине x этого интервала, когда x – бесконечно малая величина. Поэтому функцию f(x) называют также функцией плотности распределения вероятностей (функцией плотности вероятности).

Основные свойства дифференциальной функции распределения вероятностей:

1. f(x) 0;

3. f ( z )dz = F ( x) ; (z – переменная интегрирования) 4. lim f ( x) = С помощью дифференциальной функции распределения вычисляется вероятность нахождения СВ в любой области из множества ее возможных значений. В частности, Как интегральная, так и дифференциальная функции распределения являются исчерпывающими вероятностными характеристиками случайной величины. Однако некоторые основные свойства СВ могут быть описаны более просто с помощью определенных числовых параметров. Наибольшую роль среди них на практике играют роль два параметра, характеризующие центр рассеяния (центр распределения) СВ и степень ее рассеяния вокруг этого центра.

Наиболее распространенной характеристикой центра распределения является математическое ожидание mx случайной величины Х (часто называемое также генеральным средним значением):

охарактеризована с помощью генеральной дисперсии x2 :

Квадратный корень из дисперсии x2 называется средним квадратическим отклонением x.

Зачастую для описания практической ситуации оказывается необходимым использование одновременно нескольких (в простейшем случае – двух) случайных величин. Для задания вероятностных свойств двух СВ X, Y используются двумерные (совместные) функции распределения вероятностей: интегральная F(x,y) и дифференциальная f(x,y). Функция F(x,y), характеризующая вероятность того, что первая СВ принимает некоторое значение, меньшее или равное x, а вторая – значение, меньшее или равное y, называется интегральной функцией совместного распределения двух случайных величин:

Как и для одной непрерывной СВ, если функция F(x,y) достаточно гладкая, то ее можно продифференцировать, в результате чего получится двумерная дифференциальная функция распределения вероятностей (двумерная плотность вероятности):

По известной двумерной плотности f(x,y) можно определить частные (одномерные) функции распределения f(x), f(y) каждой случайной величины:

Как и в одномерном случае, основные свойства двумерной совокупности величин X, Y могут быть охарактеризованы с помощью ряда числовых параметров. В качестве наиболее употребительных параметров используются математическое ожидание и дисперсия соответствующей СВ: mx, my, x2, y. Для двумерной совокупности могут быть построены параметры, характеризующие степень взаимозависимости переменных X и Y. Простейшими из них являются ковариация двух случайных величин (называемая также корреляционным моментом) а также нормированный показатель связи – коэффициент корреляции Коэффициент корреляции характеризует степень линейной зависимости между X и Y. Коэффициент корреляции меняется в пределах –1xy1.

Все описанные функции и связанные с ними параметры являются теоретическими, характеризующими определенные свойства изучаемого объекта. На практике почти всегда эти характеристики неизвестны и возникает задача экспериментального (эмпирического) определения тех или иных характеристик случайных величин на основе наблюдений.

Экспериментальный анализ одномерной случайной величины Пусть имеется набор (выборка) экспериментальных данных x1, x2,…xN. Обработку этих данных для получения эмпирических характеристик одномерной СВ производят обычно в следующей последовательности.

1 Построение вариационного ряда (ряда распределения) Вариационный ряд z1, z2,…zN получают из исходных данных путем расположения xm (m=1,2,…,N) в порядке возрастания от xmin до xmax так, чтобы xmin= z1 z2 … zN = xmax.

2 Построение диаграммы накопленных частот. Диаграмма накопленных частот F N (x) является эмпирическим аналогом интегрального закона распределения. Диаграмму строят в соответствии с формулой где N (x) – число элементов в выборке, для которых значение xi x.

При построении диаграммы на оси абсцисс указывают значения наблюдений xm (или zl). Значение по оси ординат равно нулю левее точки xmin и далее во всех других точках xm диаграмма имеет скачок равный 1/N. Если существует несколько совпадающих значений xm, то в этом месте на диаграмме происходит скачок, равный /N, где – число совпадающих точек. Для величин x xmax значение диаграммы накопленных частот равно 1. При N F N (x) F(x).

3 Построение гистограммы выборки Гистограмма f N (x) является эмпирическим аналогом функции плотности распределения f(x). Этапы построения гистограммы:

(интервалов), на которое должна быть разбита ось Ox. Это количество К определяется с помощью оценочной формулы Найденное значение необходимо округлить до ближайшего целого.

— Определение длины интервала Величину x можно округлить для удобства вычислений.

— Середину области изменения выборки (центр распределения) (xmax+xmin)/2 принимают за центр некоторого интервала, после чего определяют границы и окончательное количество указанных интервалов так, чтобы в совокупности они перекрывали всю область от xmin до xmax.

— Подсчет количества наблюдений Nm, попавших в каждый квант: Nm равно числу членов вариационного ряда, для которых справедливо неравенство где xm и xm + x – границы m-го интервала. Значения zl, попавшие на границу между (m-1)–м и m –м интервалами, относят к m –му интервалу.

— Подсчет относительного количества (относительной частоты) наблюдений Nm/N, попавших в данный квант.

— Построение гистограммы, которая представляет собой ступенчатую кривую, значение которой на m –м интервале (xm, xm + x) постоянно и равно Nm/N.

4 Определение оценок математического ожидания x, дисперсии s x и среднего квадратического отклонения sx 1.2 Проверка статистических гипотез При решении многих прикладных задач необходимые вероятностные характеристики соответствующих случайных величин неизвестны исследователю и должны определяться по экспериментальным данным. Такое статистическое описание результатов наблюдений, построение и проверка различных математических моделей, использующих понятие вероятности, составляют основное содержание математической статистики.

Фундаментальными понятиями статистической теории являются понятия генеральной совокупности и выборки.

Генеральная совокупность – совокупность всех мыслимых (возможных) результатов наблюдений над случайной величиной, которые в принципе могут быть проведены при данных условиях. Если в результате эксперимента получены значения x1, x2,...xn, то они интерпретируются как случайная выборка из некоторой гипотетической генеральной совокупности.

Выборка – это конечный набор значений случайной величины, полученный в результате наблюдений. Число элементов выборки n называется ее объемом.

Выборка называется репрезентативной (представительной), если она достаточно полно характеризует генеральную совокупность.

Для обеспечения репрезентативности выборки чаще всего используется случайный выбор элементов. Предполагается, что при таком выборе каждая возможная выборка фиксированного объема имеет одну и ту же вероятность выбора, а последовательные наблюдения взаимно независимы.

Смысл статистических методов заключается в том, чтобы при выборке ограниченного объема n, то есть по некоторой части генеральной совокупности, высказать обоснованное суждение о ее свойствах в целом.

Под статистическими гипотезами понимаются некоторые предположения относительно характера распределения вероятностей генеральных совокупностей и их параметров. По данным выборки можно оценить такие параметры распределения как математическое ожидание (часто называемое также средним значением) и дисперсию.

Математическое ожидание определяется по выражению:

Дисперсию можно оценить с помощью соотношения Несмещенность оценки s2 достигается использованием в знаменателе формулы (2.2) величины = n 1, которую называют числом степеней свободы, вместо очевидного на первый взгляд значения n. Эта величина равна разности между числом имеющихся экспериментальных значений n, по которым вычисляют оценку дисперсии, и количеством дополнительных параметров, входящих в формулу для оценки этой дисперсии и вычисляемых в виде линейных комбинаций тех же самых наблюдений (в данном случае это всего один параметр x ).

Проверка гипотезы заключается в сопоставлении некоторых статистических показателей (критериев проверки), вычисленных по данным выборки, со значениями этих показателей, определенных теоретически в предположении, что гипотеза верна. Критерий статистической гипотезы – это правило, позволяющее принять или отвергнуть данную гипотезу на основании выборки.

Для проверки гипотезы о равенстве двух выборочных средних значений случайной величины, имеющей гауссовский закон распределения, используется критерий Стьюдента (t-критерий). Для применения данного критерия подсчитывают выборочные средние арифметические значения случайной величины X1 и X2, соответственно для выборок n1 и n2, и их выборочные стандартные отклонения S1 и S2, которые определяются по следующим формулам:

Далее подсчитывается величина стандартного отклонения выборочных средних арифметических значений по формуле После того, как определены стандартные отклонения выборочных средних арифметических, подсчитывается размах Стьюдента:

Найденное экспериментальное значение t сравнивают с критичным значением tкр, которое определяется по таблице распределения Стьюдента для заданного коэффициента риска (обычно задаются =0,10; 0,05; 0,01), при котором может быть принята гипотеза, и числа степеней свободы. Если значение критерия, вычисленного по данным выборки, окажется больше его критического значения, определенного по таблице A1 приложения А, то гипотеза бракуется. При значениях критерия, принадлежащего области допустимых значений, можно лишь сделать заключение, что данная выборка не противоречит гипотезе. То есть если t tкр, то гипотеза о равенстве выборочных средних арифметических значений принимается, а это значит, что выборки взяты из одной и той же генеральной совокупности.

При гауссовском законе распределения случайной величины для проверки гипотезы о равенстве двух дисперсий одной и той же случайной величины, в качестве критерия значимости используется критерий Фишера (F- критерий), который равен отношению двух рассматриваемых выборочных дисперсий S1 и S2, имеющих соответственно степени свободы 1 и 2, то есть При расчете F–параметра по (2.6) должно выполняться условие S S22. В противном случае следует поменять местами рассматриваемые дисперсии.

Найденное экспериментальное значение F-парметра сравнивается с его критическим значением Fкр, соответствующим максимальному значению отношения двух дисперсий, при котором еще можно считать гипотезу о равенств рассматриваемых дисперсий справедливой.

Критичное значение Fкр по числу степеней свободы и заданному коэффициенту риска находится из таблицы A2 приложения А, Значение числа степеней свободы 1 дисперсии, стоящей в числителе выражения (1.27), определяет значение Fкр по столбцу, а значение 2 – по строке.

Если F Fкр, то гипотеза о равенстве выборочных дисперсий принимается. В противном случае, рассматриваемые дисперсии относятся к различным генеральным совокупностям исследуемой случайной величины.

экспериментальных значений используют критерий Кохрена. Для этого рассчитывается дисперсия экспериментальных значений для каждой выборки. В результате получится ряд выборочных дисперсий S и недоверие будут вызывать именно наибольшие их значения. Далее подсчитывается параметр при i=1,2…N, то есть вычисляют отношение максимального значения изменчивости среди N опытов к сумме изменчивостей во всех N опытах.

Найденное по (1.28) наибольшее экспериментальное значение G сравнивают с критичным его значением Gкр. Критичное значение отношения рассматриваемой изменчивости к сумме всех изменчивостей находят из таблицы критических значений критерия Кохрена (таблица A3 приложения А). Задаваясь определенным значением коэффициента риска, Gкр определяют в столбце, соответствующем числу элементов выборки (n) и строке, соответствующей числу выборок (N).

Если G Gкр, то “подозрительное” максимальное значение изменчивости не является “инородным”, а представляет собою результат случайного рассеивания исследуемой величины.

Критерий Кохрена применяется для оценки однородности дисперсий только при равном числе повторов каждого эксперимента, что и имеет место при применении методов статистического планирования и проведения эксперимента. Если число повторов различно (различные объемы выборок), то однородность дисперсий проверяется по критерию Бартлета.

Соответствие экспериментального распределения случайной величины предполагаемому теоретическому закону распределения оценивается с помощью критерия Пирсона.

Принадлежность случайной величины к рассматриваемой генеральной совокупности случайных величин позволяет оценить критерий Диксона. Применение этого критерия имеет практический смысл только при большом числе параллельных опытов.

Наиболее часто применимы на практике для проверки статистических гипотез критерии Стьюдента, Фишера, Кохрена.

Рассмотрим их применение на примерах.

1.3 Решение типовых примеров Пример 1.1 Пусть имеется выборка из 10 наблюдений (то есть N=10):

x1=5, x2=2, x3=4, x4=5, x5=7, x6=3, x7=6, x8=8, x9=3, x10=9.

Исследовать свойства одномерной случайной величины 1 Построение вариационного ряда (ряда распределения) z1=2, z2=3, z3=3, z4=4, z5=5, z6=5, z7=6, z8=7, z9=8, z10=9.

2 Построение диаграммы накопленных частот – на оси абсцисс отмечаем значения наблюдений 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, – затем откладываем значения по оси ординат.

Левее xmin=2 значение ординаты равно нулю, а в точке x= диаграмма имеет скачок, равный 1/N=1/10. В данном примере в выборке присутствуют два значения x=3 и два значения x=5 (=2), следовательно, в точках x=3 и x=5 на диаграмме происходит скачок, равный /N=2/10. В остальных точках выборки диаграмма имеет скачок, равный 1/N=1/10. Для величин xxmax=9 значение диаграммы накопленных частот равно Рисунок 1.1 – Построение диаграммы накопленных частот 3 Построение гистограммы выборки (xmax+xmin)/2 = (9+2)/2 = 5,5 – центр распределения выборки, для данного примера при выбранном числе интервалов – это середина третьего интервала. Следовательно, слева и справа от этого значения необходимо отложить по 2,5 интервала или 2,5x.

Рисунок 1.2 – Разбиение оси Ox на интервалы (кванты) В первый интервал попало три значения zl N1=3, во второй – одно значение zl N2=1, в третий – три значения zl N3=3, в четвертый – одно значение zl N4=1, в пятый – два значения zl N5=2.

N=10, N1/N=3/10=0,3; N2/N=1/10=0,1; N3/N=3/10=0,3;

N4/N=1/10=0,1; N5/N=2/10=0,2.

По результатам предыдущих этапов строим гистограмму для данного примера.

Рисунок 1.3 – Построение гистограммы выборки 4. Определение оценок математического ожидания, = (1,79 + 4,84 + 4,84 + 1,44 + 0,04 + 0,04 + 0,64 + 3,24 + 7,84 + 14,44) / 9 = 39,15 / 9 = 4, среднего квадратического отклонения :

Пример 1.2 Две установки должны напылять резисторы с одинаковыми сопротивлениями. При замере получены следующие данные (в Омах):

Установка 1 (Х1): 1095, 1025, 938, 915, 1012, 980, 975, 990, 1000, 974;

Установка 2 (Х2): 942, 938, 1010, 1030, 973, 915, 990, 970,925, 1045, Определить, одинаково ли налажены установки.

Решение. По формулам (1.22) и (1.23) определяем:

x 1=987,7 Ом; s1 =2587,12 Ом при 1 = n1 1 = 9, x 2=1005,0 Ом; s2 =3605,73 Ом при 2 = n2 1 = 15.

Затем по формулам (2.4) и (2.5) находим S =(9·2587,12+15·3605,73)/(9+15)=3223, t = 987,7 1005,0 3223,75 = 0, По таблице A1 приложения А находим tкр =2,06 ( =0,05;

Так как tкрt, то гипотеза о равенстве выборочных средних принимается, следовательно обе установки налажены одинаково.

Пример 1.3 Установка для напыления должна быть настроена на величину сопротивления напыляемых резисторов M(х)=15кОм. При замере получились следующие значения: 13,2; 14,7; 12,9; 15,3; 13,8;

14,1; 12,8; 16,8; 13,5; 14,2; 16,2; 14,1; 13,9; 14,3; 15,1кОм.

Определить правильность настройки.

Решение Определим среднее значение и стандартное отклонение полученной выборки по формулам (1.22) и (1.23) размах Стьюдента подсчитывается по формуле По таблице А1 приложения А при =0,05, =15 находим tкр=2,13.

Так как tкрt, то гипотеза о равенстве выборочного среднего значения сопротивления напыляемых резисторов заданным 15 кОм отвергается, следовательно установка для напыления настроена неправильно.

Пример 1.4 Определить границы существования истинного значения математического ожидания по условию примера 1.2 при доверительной вероятности P=0,95.

Решение Для коэффициента риска =1 –p=0,05 и степени свободы =15 величина к ритерия Стьюдента по таблице А1 приложения А tкр=2,13. Из формулы (1.29) и используя условие принятия критерия о равенстве двух средних: tкрt, можно составить следующее неравенство Следовательно Подставляя числовые значения, получаем 12,766 кОм M(x) 14,234 кОм Пример 1.5 При измерении толщины слоя окисла после диффузии в большой партии пластин получилась следующая выборка: 30, 29, 28, 31, 34, 30, 28, 29, 29, 28, 30, 28, 31, 30, 29, 30, 28, 31, 30, 28, 28 мкм.

Определить наличие грубых ошибок.

Решение Грубой ошибкой измерения может быть только крайнее значение выборки, то есть в данном случае это 28 или 34 мкм. Так как значение 34 мкм встречается всего один раз, то сначала необходимо проверить его.

Задача сводится к сравнению двух средних выборок, одна из которых состоит из единственного подозреваемого значения, а вторая – из всех остальных. То есть надо сравнить выборку без подозреваемого значения с постоянным числом (этим подозреваемым значением).

x =29,25; s2=1,2204 при n=20.

По формуле (2.5) для M(x)=34 получаем По таблице А1 приложения А при =0,05, = n–1=19 находим tкр=2,14.

Так как tкрt, то гипотеза о равенстве сравниваемых значений отвергается, следовательно подозреваемое значение является грубой ошибкой и должно быть исключено из дальнейшей статистической обработки.

Пример 1.6 Определить, одинакова или различна точность измерений двух выборок в примере 1.2.

Решение Согласно формуле (1.27) вычисляем критерий Фишера.

Поскольку в числитель всегда ставится большее число, тогда в данном случае F = s2 s12 = 3605,73 2587,12 = 1, По таблице А2 приложения А при = 0,05, числ = 15, знам = находим Fкр=2,71. Так как FкрF, то гипотеза о равноточности измерений в обеих сериях опытов принимается.

Пример 1.7 В результате измерений четырех партий резисторов получены следующие данные Таблица 1.1 – Исходные данные для примера 1. Номер Результаты измерений, кОм партии Определить одинакова или различна точность измерений всех партий резисторов.

Решение Для каждой партии резисторов найдем средние арифметические значения и эмпирические дисперсии по формулам (1.22) и (1.23).

x1 = 11,93кОм; s1 = 0,0475кОм 2 ; x 2 = 14,98кОм; s 2 = 0,1270кОм 2 ;

x 3 = 20,00кОм; s 3 = 0,2675кОм 2 ; x 4 = 27,02кОм; s 2 = 0,2970кОм 2 ;

По формуле (2.7) вычисляем критерий Кохрена По таблице А3 приложения А при =0,05, числ=8, знам=4 находим Gкр=0,54.

Так как GкрG, то можно считать, что все измерения во всех опытах сделаны равноточно, причем дисперсия измерений в среднем равна 1.4 Задачи для решения В таблице 1.2 приведены значения выборочных измерений партий напыляемых резисторов.

1. По заданной выборке, в которую входят результаты замеров i-той и j-той партий резисторов, исследовать свойства одномерной случайной величины.

2. Оцените расхождение средних значений сопротивлений между двумя партиями резисторов (номера партий приведены в таблице 3. Определите правильность настройки на величину 1000 Ом установки для напыления резисторов, при условии что i-тая и j-тая партии напылялись на одной установке (табл. 1.3).

4. Определите границы существования истинного значения математического ожидания для выборки, в которую входят результаты замеров i-той и j-той партий резисторов при доверительной вероятности Р=0,95 (табл. 1.3).

5. Определите наличие грубых ошибок в общей выборке, состоящей из замеров двух партий резисторов (табл. 1.3).

6. Определите, одинакова или различна точность замеров i-той и jтой партий резисторов (табл. 1.3).

7. Определите, одинакова или различна точность замеров четырех партий резисторов (номера партий приведены в таблице 1.3).

Таблица 1.2 – Исходные данные для задач Номер Результаты измерений, Ом партии Таблица 1.3 – Номера партий для задач 1 – Номер варианта Номера партий из таблицы 1. 1.5 Контрольные вопросы 1. Дать определение случайной величины.

2. Дать определение одномерного интегрального и дифференциального законов распределения случайной величины и назвать их свойства.

3. Дать определение двумерного интегрального и дифференциального законов распределения случайных величин и назвать их свойства.

4. Какие числовые параметры наиболее часто используются в качестве мер расположения и рассеяния одномерной и двумерной совокупности случайных величин?

5. Каким образом производится построение вариационного ряда, диаграммы накопленных частот, гистограммы выборки одномерной случайной величины?

6. Каким образом производится построение поля рассеяния и составление таблицы распределения двумерной совокупности случайных величин?

7. Что такое статистическая гипотеза и на основании чего ее можно принять или отвергнуть?

8. В каких случаях применяется критерий Кохрена и как с его помощью можно оценить однородность дисперсий?

9. В каких случаях однородность дисперсий проверяется по критерию Кохрена, а в каких по критерию Бартлета?

10. Как с помощью критерия Фишера можно выяснить, относятся ли дисперсии случайных величин к одной генеральной совокупности или к разным?

11. Как проверяется гипотеза о равенстве двух выборочных средних значений случайной величины?

12. Что означает понятие «число степеней свободы»?

экспериментального распределения случайной величины предполагаемому теоретическому закону распределения?

14. Как проверяется принадлежность случайной величины к рассматриваемой генеральной совокупности случайных величин?

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №

2.1 Метод ранговой корреляции Поскольку даже небольшое уменьшение числа факторов приводит к значительному сокращению опытов, возникает вопрос об использовании априорной информации для предварительного отсеивания несущественных факторов. Метод ранговой корреляции позволяет в ряде случаев сравнительно просто отбросить несущественные технологические факторы, основываясь на опросе мнения специалистов, работающих в данной области. Поэтому с этого метода следует начинать эксперимент, особенно для начинающего исследователя, априорные сведения которого об исследуемом процессе, как правило, малы. Процедура определения степени влияния технологических факторов на выходной параметр этим методом сводится к следующим этапам.

I. Составление перечня факторов, оказывающих влияние на функцию отклика.

После того, как экспериментатор проанализировал литературные источники об исследуемом процессе, он составляет перечень факторов, которые по сведениям этих источников могут оказывать влияние на интересующий исследователя выходной параметр процесса.

II. Ранжирование и расширение списка факторов.



Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 6 |
 
Похожие работы:

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Амурский государственный университет Кафедра безопасности жизнедеятельности УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ БЕЗОПАСНОСТЬ В ЧРЕЗВЫЧАЙНЫХ СИТУАЦИЯХ Основной образовательной программы по специальности: 280101.65 Безопасность жизнедеятельности в техносфере Благовещенск 2012 2 3 Печатается по решению редакционно-издательского совета...»

«Комментарий ГАРАНТа См. графическую копию официальной публикации Постановление Главного государственного санитарного врача РФ от 26 сентября 2001 г. N 24 О введении в действие санитарных правил (с изменениями от 7 апреля 2009 г., 25 февраля, 28 июня 2010 г.) На основании Федерального закона от 30 марта 1999 г. N 52-ФЗ О санитарноэпидемиологическом благополучии населения* и Положения о государственном санитарно-эпидемиологическом нормировании,** утвержденном постановлением Правительства...»

«База нормативной документации: www.complexdoc.ru МИНИСТЕРСТВО ПРОМЫШЛЕННОСТИ, НАУКИ И ТЕХНОЛОГИЙ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ДЕПАРТАМЕНТ ПРОМЫШЛЕННОЙ И ИННОВАЦИОННОЙ ПОЛИТИКИ В МЕДИЦИНСКОЙ И БИОТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПРОИЗВОДСТВО ЛЕКАРСТВЕННЫХ СРЕДСТВ. ТЕРМИНЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ МУ 64-01-001-2002 Москва, 2002 г. Предисловие 1. РАЗРАБОТАНЫ Государственным унитарным предприятием Государственный проектный и научно-исследовательский институт медицинской промышленности (ГУП...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ и программа учебной практики для студентов специальности: 330500 - Безопасность технологических процессов и производств для очной формы обучения Тюмень, 2003 Утверждено редакционно-издательским Советом Тюменского государственного нефтегазового университета. составители: к. т. н., доцент Валов В. Н....»

«Министерство сельского хозяйства РФ Колледж Агробизнеса Забайкальского аграрного института-филиала ФГБОУ ВПО Иркутская государственная сельскохозяйственная академия Методические указания и контрольные задания по дисциплине Безопасность жизнедеятельности для студентов всех специальностей заочной формы обучения Составитель: преподаватель социально – экономических и гуманитарных дисциплин Бутина Наталья Александровна Чита 2013 РЕЦЕНЗИЯ на методические указания и контрольные задания по дисциплине...»

«УО Витебская ордена Знак Почета государственная академия ветеринарной медицины Т.В.Медведская, А.М.Субботин, М.С.Мацинович ЭКОЛОГИЧЕСКАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ ПРИ ПРОИЗВОДСТВЕ ЖИВОТНОВОДЧЕСКОЙ ПРОДУКЦИИ (учебно-методическое пособие для студентов биотехнологического факультета обучающихся по специальности Ветеринарная санитария и экспертиза) Витебск ВГАВМ 2009 УДК 338.43.02+504 ББК 65.9 М 42 Рекомендовано редакционно - издательским советом УО Витебская ордена Знак Почета государственная академия...»

«Типовая программа пожарно-технического минимума и противопожарных инструктажей для работников организаций. Методические рекомендации (утв. приказом по организации от №) Типовая программа пожарно-технического минимума и противопожарных инструктажей для работников организаций. Методические рекомендации (далее — Методические рекомендации) разработаны в целях реализации требований статей 3, 16, 18, 24, 25, 34, 37 Федерального закона от 21 декабря 1994 года №69-ФЗ О пожарной безопасности, НПБ...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к практической работе Характеристика качества продуктов питания для выполнения практических работ по курсу Экология для студентов всех форм обучения Часть 2. Классификация пищевых индексов Тюмень, 2002 Утверждено редакционно-издательским Советом Тюменского государственного нефтегазового...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Амурский государственный университет Кафедра безопасности жизнедеятельности УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ СОЦИАЛЬНАЯ ЭКОЛОГИЯ Основной образовательной программы по специальностям: 040101.65 Социальная работа, 040201.65 Социология. Благовещенск 2012 УМКД разработан кандидатом биологических наук, доцентом Иваныкиной Татьяной...»

«С.Н.Ярышев Цифровое телевидение и видеозапись Методические указания к выполнению лаборатоных работ Содержание 1 Лабораторная работа Стандарты сжатия на основе дискретного косинусного преобразования 2 Лабораторная работа Аппаратные средства цифровой телевизионной системы 3 Лабораторная работа Цифровые телевизионные системы безопасности. 47 4 Лабораторная работа Система нелинейного видеомонтажа 3 1 Лабораторная работа Стандарты сжатия на основе дискретного косинусного преобразования Цель работы:...»

«Об утверждении и внедрении методических рекомендаций Оценка безопасности наноматериалов : приказ Роспотребнадзора от 12 окт. 2007 г. № 280. – Режим доступа: Система КонсультантПлюс. ФЕДЕРАЛЬНАЯ СЛУЖБА ПО НАДЗОРУ В СФЕРЕ ЗАЩИТЫ ПРАВ ПОТРЕБИТЕЛЕЙ И БЛАГОПОЛУЧИЯ ЧЕЛОВЕКА ПРИКАЗ от 12 октября 2007 г. N 280 ОБ УТВЕРЖДЕНИИ И ВНЕДРЕНИИ МЕТОДИЧЕСКИХ РЕКОМЕНДАЦИЙ ОЦЕНКА БЕЗОПАСНОСТИ НАНОМАТЕРИАЛОВ В соответствии с решением постоянно действующего совещания Федеральной службы по надзору в сфере защиты...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ИВАНОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ТЕКСТИЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ (ИГТА) Кафедра безопасности жизнедеятельности ПОРЯДОК СОСТАВЛЕНИЯ, УЧЕТА И ХРАНЕНИЯ ИНСТРУКЦИЙ ПО ОХРАНЕ ТРУДА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К выполнению дипломных проектов Для студентов всех специальностей Иваново 2005 3 1.ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 1.1 Более 50% травматизма на производстве в Российской Федерации являются причины организационного...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по оформлению дипломных и курсовых работ для студентов очного и заочного обучения по специальностям: 320700 – Охрана окружающей среды и рациональное использование природных ресурсов, 330100 – Безопасность жизнедеятельности, 330500 – Безопасность технологических процессов в нефтегазовой...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Амурский государственный университет Кафедра Безопасность жизнедеятельности УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ Ноксология Основной образовательной программы по направлению подготовки 280700.62 Техносферная безопасность (для набора 2012 – 2016 гг.) Благовещенск 2013 УМКД разработан кандидатом сельскохозяйственных наук, доцентом...»

«Методическое пособие М.А. Некрасова, Н.В. Крестинина Методы экологического управления Медико-экологический фитодизайн Москва, 2004 6 Предисловие Интенсификация всех областей народного хозяйства привела к усилению и возникновению новых видов загрязнений человека и окружающей среды. Стратегия экологической безопасности предусматривает несколько подходов к защите от негативного экологического воздействия и требует разработки как экологически более чистых производств, так и методов и технологий...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФГБОУ ВПО СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ГОРНО-МЕТАЛЛУРГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) Кафедра автоматизированной обработки информации Методические указания к практическим работам дисциплины:Информационная безопасность и защита информации для направления подготовки(специальности): 230100.68 – Информатика и вычислительная техника квалификация (степень) выпускника: магистр Составители: Шепилова Е.В. Владикавказ, 2013 г. Содержание: стр. В в е...»

«ЭЛЕКТРОБЕЗОПАСНОСТЬ И МОЛНИЕЗАЩИТА ЗДАНИЙ И СООРУЖЕНИЙ Омск 2008 Федеральное агентство по образованию Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) Кафедра Безопасности жизнедеятельности ЭЛЕКТРОБЕЗОПАСНОСТЬ И МОЛНИЕЗАЩИТА ЗДАНИЙ И СООРУЖЕНИЙ Методические указания к выполнению лабораторной работы №4 по курсу Безопасность жизнедеятельности Составители: Е.А.Бедрина, В.Л.Пушкарев Омск Издательство СибАДИ 2008 УДК 621.311: 699. ББК 31. Рецензент д-р. техн. наук, профессор кафедры...»

«ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по подготовке территориальных органов, спасательных воинских формирований, подразделений федеральной противопожарной службы, образовательных учреждений и организаций МЧС России в области гражданской обороны, предупреждения и ликвидации чрезвычайных ситуаций, обеспечения пожарной безопасности и безопасности людей на водных объектах, на объектах ведения горных работ, а также работ в подземных условиях на 2011-2013 годы Главной задачей по подготовке...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тверской государственный университет УТВЕРЖДАЮ Декан математического факультета _Цирулёв А.Н. _2011 г. Учебно-методический комплекс по дисциплине ”Математические методы защиты банковской информации”. Для студентов 5-го курса. Специальность 090102.65 ”Компьютерная безопасность”. Форма обучения очная. Обсуждено на заседании кафедры...»

«Методические указания МУК 2.3.2.721-98 2.3.2. Пищевые продукты и пищевые добавки. Определение безопасности и эффективности биологически активных добавок к пище (утв. Главным Государственным санитарным врачом РФ 15 октября 1998 г.) Дата введения: 1 января 1999 г. ГАРАНТ: См. Методические рекомендации МР 2.3.1.1915-04 Рекомендуемые уровни потребления пищевых и биологически активных веществ, утвержденные Федеральной службой по надзору в сфере защиты прав потребителей и благополучия человека 2 июля...»






 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.