WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Развитие метода поверхностных гармоник для решения задач нейтронной пространственной кинетики в ядерных реакторах

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЦЕНТР «КУРЧАТОВСКИЙ ИНСТИТУТ»

На правах рукописи

УДК 621.039.514

КОНДРУШИН Антон Евгеньевич

РАЗВИТИЕ МЕТОДА ПОВЕРХНОСТНЫХ ГАРМОНИК

ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕЙТРОННОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ

КИНЕТИКИ В ЯДЕРНЫХ РЕАКТОРАХ

Специальность 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2014

Работа выполнена в Национальном исследовательском центре «Курчатовский институт»

доктор технических наук,

Научный руководитель:

начальник лаборатории, НИЦ “Курчатовский институт” Бояринов Виктор Федорович кандидат физико-математических наук,

Официальные оппоненты:

главный специалист, Частное учреждение ИТЦП “Прорыв”;

Суслов Игорь Рюрикович доктор технических наук, начальник отдела, НИТИ им А.П. Александрова Ельшин Александр Всеволодович НИЯУ МИФИ.

Ведущая организация:

Защита диссертации состоится «» 2014 г. в ч. мин. на заседании диссертационного совета Д 201.003.01 в ГНЦ РФ ФЭИ им А.И. Лейпунского по адресу: 249033, г. Обнинск, Калужская обл., пл. Бондаренко, д. 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИЦ «Курчатовский институт»

Автореферат разослан «» 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук, Верещагина Татьяна Николаевна

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы.

Важнейшую роль в проектировании надежных, безопасных и вместе с тем экономически выгодных ядерных реакторов играет проведение исследовательских и проектных расчетов. Одна из важных частей таких расчетов – нейтронно-физический расчет.

В последние годы все большее внимание уделяется развитию кодов, позволяющих проводить качественный нестационарный расчет ядерного реактора.

Это связано с наличием факта, что большинство существующих на данный момент нестационарных кодов содержит ряд серьезных приближений в своей нейтроннофизической составляющей на фоне высоких требований к безопасности реакторов. К таким приближениям в первую очередь относятся пространственная гомогенизация, расчет в малом числе энергетических групп и диффузионное приближение.

Вместе с тем, следует также отметить, что ряд исследователей указывает на возможность получения улучшенных результатов путем решения более универсального газокинетического уравнения, особенно для анализа безопасности.

Результаты, полученные таким путем, позволили бы обрести большую уверенность в качестве получаемых результатов.

Как известно, оперативность моделирования процесса переноса нейтронов главным образом зависит от сложности рассматриваемой модели (геометрические размеры, детальность описания, система приближений и т.д.), производительности вычислительной машины и метода, заложенного в основу моделирующего кода.

Отказ от вышеизложенных приближений приводит к значительному усложнению математической модели и увеличению размера решаемой системы уравнений, что напрямую влияет на вычислительные затраты. Вместе с этим, несмотря на очень интенсивное развитие компьютерной техники в последние десятилетия, моделирование нестационарного процесса переноса нейтронов в полномасштабной модели ядерного реактора без вышеперечисленных приближений является трудоемкой задачей даже для современных компьютеров. Что касается методов моделирования переноса нейтронов, то наиболее широко используемые на сегодняшний день методы, такие как метод дискретных ординат, метод характеристик, метод вероятности первых столкновений, метод Монте-Карло и т.д., требуют больших вычислительных затрат. При этом, применение кода, основанного на методе, позволяющем быстро получать основные нейтронно-физические функционалы в нестационарном расчете аварийных ситуаций с достаточной для практики точностью, могло бы повысить оперативность и надежность получения результатов с помощью такого кода и позволило бы применять его для сложных масштабных моделей с умеренными вычислительными затратами. Таким образом, попрежнему является актуальной проблема развития эффективных и вместе с тем экономичных алгоритмов.

В качестве метода, который мог бы лежать в основе нейтронно-физической составляющей современного нестационарного кода, обладающего вышеизложенными характеристиками, предлагается использовать предложенный Н.И. Лалетиным метод поверхностных гармоник (МПГ). МПГ является процедурой построения математической модели для описания нейтронно-физических процессов в ядерном реакторе, учитывающей особенности нейтронно-физических реакторных задач. В качестве примера такого учета следует отметить следующие особенности МПГ:

• упорядоченность координатных функций по степени их влияния на нейтроннофизические функционалы, что позволяет достигать приемлемой для практики точности основных функционалов уже в низших приближениях метода;

• учет гладкости функции потока нейтронов на границе ячеек при выводе конечноразностных уравнений.

Данные особенности и то, что этот метод, будучи реализованным в стационарных программных комплексах SUHAM и SVS, позволяет получать основные нейтроннофизические функционалы с точностью сравнимой с точностью детерминистических методов при вычислительных затратах сравнимых с затратами инженерных подходов, являются главными причинами для обращения к МПГ. Для применения МПГ в нестационарных задачах необходимо провести детальный математический вывод нестационарных уравнений МПГ и их верификацию посредством программной реализации и расчета ряда бенчмарков.

Вышеописанная ситуация определяет актуальность работы по развитию МПГ на задачи пространственно-временной кинетики, созданию алгоритмов и кода для их программной реализации, которые можно было бы рассматривать как базовое ядро для создания современного вычислительного инструмента.

Цели и задачи работы.

Исходя из вышеописанных проблем, формируется цель диссертационной работы – разработка алгоритмов и расчетных программ для решения нейтроннофизических пространственно-временных задач в ядерных реакторах на основе метода поверхностных гармоник для повышения надежности, точности и оперативности предсказания важнейших нейтронно-физических нестационарных характеристик ядерного реактора. Для достижения этой цели решены следующие задачи:

• проведение детального вывода пространственно-временных уравнений метода поверхностных гармоник посредством классического метода минимизации невязки на основе нестационарного уравнения переноса нейтронов;

• построение численного алгоритма решения нестационарного уравнения переноса нейтронов в одномерном и двумерном ядерном реакторе на основе полученных уравнений МПГ;

• программная реализация разработанных алгоритмов в рамках программного комплекса SUHAM-TD;

• верификация созданного кода и проведение с его помощью исследований применения метода поверхностных гармоник в пространственно-временном расчете;

• разработка нестационарного бенчмарка C5G7-TD для решения уравнения переноса на основе стационарного бенчмарка C5G7 (benchmark on deterministic transport calculations without spatial homogenization) посредством получения нестационарных характеристик материалов. Проведение расчета предложенного бенчмарка средствами программного комплекса SUHAM-TD.

Результаты работы, выносимые на защиту:

• алгоритмы решения нестационарных уравнений МПГ с тремя пробными матрицами, реализованные в созданных кодах, для случая реактора с квадратной решеткой блоков;

• разработанные программы комплекса SUHAM-TD;

• результаты верификации разработанного программного комплекса;

• созданный пространственно-временной бенчмарк C5G7-TD для решения уравнения переноса.

Научная новизна результатов, представленных в работе, состоит:

• в разработке алгоритмов и их реализации в расчетной программе SUHAM-TD для решения одномерных и двумерных конечно-разностных нестационарных уравнений МПГ в ядерных реакторах с квадратной решеткой;

• в проведении верификации разработанного кода SUHAM-TD на ряде бенчмарков с демонстрацией эффективности уравнений и разработанного кода;

• в создании пространственно-временного бенчмарка C5G7-TD для решения уравнения переноса на основе международного стационарного бенчмарка C5G7 с приведением результатов расчета.

Достоверность полученных результатов.

Разработанные алгоритмы реализованы в программном комплексе SUHAM-TD и верифицированы на ряде пространственно-временных бенчмарков в одномерной и двумерной геометриях с различными сценариями ввода реактивности в систему.

Достоверность полученных результатов подтверждается сравнением с результатами, полученными другими методами и программами, как автором, так и другими научными коллективами.

Практическая ценность полученных результатов определяется тем, что:

• полученные нестационарные уравнения МПГ могут быть применены для любого типа реакторов с квадратной регулярной решеткой блоков;

• разработанные алгоритмы и модули программного комплекса SUHAM-TD предлагаются в качестве базового ядра для создания современного вычислительного инструмента для анализа нейтронных переходных процессов;

• созданный пространственно-временной бенчмарк C5G7-TD предоставляет возможность для кросс-верификации любых пространственно-временных кодов с возможностью исследования эффекта гомогенизации и применения диффузионного приближения в нестационарном случае.

Апробация работы.

Основные положения диссертации докладывались на следующих конференциях, школах и семинарах:

• межведомственный ежегодный семинар по нейтронно-физическим проблемам атомной энергетики «Нейтроника-2010» (г. Обнинск, 26 – 28 октября 2010 г.);

• 8-ая Курчатовская молодежная научная школа (г. Москва, 22 – 25 ноября 2010 г.);

• международная конференция по физики ядерных реакторов «PHYSOR»

(г. Ноксвилл, Теннесси, США, 15 – 20 апреля 2012 г.);

• научная сессия НИЯУ МИФИ (г. Москва, 1–6 февраля 2013 г.);

• международная конференция по математическому моделированию и расчету ядерных реакторов «M&C» (г. Сан-Валли, Айдахо, США, 5 – 9 мая 2013 г.);

• межведомственный ежегодный семинар по нейтронно-физическим проблемам атомной энергетики «Нейтроника-2013» (г. Обнинск, 6 – 8 ноября 2013 г.);

• 11-ая Курчатовская молодежная научная школа (г. Москва, 12 – 15 ноября 2013 г.).

Личный вклад автора.

Диссертант является соавтором научных работ по теме исследования и все основные результаты диссертации получены при непосредственном участии автора, а именно:

• нестационарные уравнения МПГ и расчетные алгоритмы, реализованные в созданных кодах;

• разработанный программный комплекс SUHAM-TD за исключением программ РАЦИЯ, DICPN;

• верификационные исследования разработанного алгоритма и программ;

• созданный нестационарный тест C5G7-TD и его расчет по программе SUHAM-TD.

Публикации.

Список основных публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 122 наименований и пяти приложений, содержит 171 страницу, таблиц и 34 рисунка.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обозначаются предпосылки к разработке программы для моделирования нестационарного уравнения переноса нейтронов на основе метода поверхностных гармоник. Отмечаются основные факторы, влияющие на скорость проведения такого моделирования. Предлагается рассматривать метод поверхностных гармоник как основу для кода, позволяющего проводить нестационарный расчет без диффузионного приближения и пространственной гомогенизации. Отмечается недостаток бенчмарков в существующем наборе тестовых задач для проведения верификации таких кодов.

Первая глава посвящена анализу методов и программ, используемых для решения нестационарного группового уравнения переноса нейтронов с запаздывающими нейтронами. Так как решению нестационарной задачи предшествует решение стационарной задачи, то проводится обзор методов решения стационарной формы уравнения переноса нейтронов. При этом внимание уделяется только методам, принадлежащих, как и МПГ, к классу проекционно-сеточных методов, что позволяет рассмотреть метод поверхностных гармоник в совокупности с методами из этого класса. Приводится описание основ МПГ и его текущей реализации. Приводится краткий анализ работ по нестационарным уравнениям МПГ.

Также рассматриваются методы решения нестационарного уравнения переноса и наиболее известные современные нейтронно-физические программы, проводящие пространственно-временные расчеты переходных процессов в ядерном реакторе.

Одна из основных идей МПГ, а именно поиск решения краевой задачи в виде линейной комбинации пробных функций и некоторых коэффициентов, является широко распространенным подходом и реализуется в классе методов, называемых проекционными. Точное решение краевой задачи (r ) ищется в виде функции (r ), являющейся линейной комбинацией пробных или базисных функций:

где ci, - неизвестные коэффициенты, i (r ) - пробные функции. Пробные функции должны удовлетворять граничным условиям и быть линейно независимыми.

Проекционно-сеточные методы, являются своего рода синтезом проекционных и разностных методов. Их преимущество заключается в том, что они приводят к системам уравнений, подобным, возникающим в разностных методах (т.е. системам с незначительным числом ненулевых элементов в матрицах), но значительно меньшего размера. Для получения данных методов, достаточно в проекционных методах в качестве базисных функций брать финитные функции, т.е. функции, которые отличны от нуля лишь на небольшой части той области, на которой определено искомое решение задачи.

Вышеописанная суть проекционно-сеточных методов является одним из базовых моментов МПГ. Кратко рассматриваются основные проекционно-сеточные методы, нашедшие применение в нейтронно-физических расчетах ядерных реакторов, а именно метод конечных элементов, метод граничных элементов, метод конечных суперэлементов Федоренко, метод матриц отклика и метод -матриц Кочурова.

Приводится описание базовых принципов МПГ и краткое описание программ SUHAM и SVS, в которых он реализован. Отмечено, что метод поверхностных гармоник, можно рассматривать как один из наиболее разработанных проекционносеточных методов для решения стационарного уравнения переноса нейтронов.

Кратко рассмотрены работы, посвященные получению нестационарных уравнений МПГ. Особо следует отметить, что ни в одной из этих работ полученные в них уравнения не были реализованы в расчетных программах и верифицированы, что является необходимым моментом для их полной достоверности.

Рассмотрены наиболее популярные методы решения нестационарного уравнения переноса нейтронов: полностью явный метод, полностью неявный метод, -метод, метод переменных направлений, улучшенный квазистатический метод и SCM метод. Отмечено, что безусловно устойчивым и при этом одним из наиболее простых в реализации подходов для решения нестационарного уравнения переноса нейтронов является полностью неявная схема.

Далее кратко рассмотрены программы для проведения нестационарного временного расчета без диффузионного приближения. Исторически, из-за ограниченных возможностей вычислительных технологий на ранних этапах развития атомной науки, нейтронные переходные процессы описывались в значительной степени упрощенно, с использованием 1-D подходов, либо с использованием уравнений точечной кинетики. Со значительным ростом вычислительных возможностей компьютерной техники в течение второй половины XX века и развитием вычислительных алгоритмов были разработаны диффузионные коды для решения пространственно-временного группового уравнения переноса нейтронов с запаздывающими нейтронами.

Одними из первых программ, разработанных для решения пространственновременного уравнения переноса нейтронов, были программы TIMEX и TRANZIT для 1-D и 2-D геометрий, созданные в начале 70-х годов. На текущий момент уравнение переноса нейтронов, как правило, применяется в основном в стационарном расчете, по причине высоких вычислительных затрат для нестационарных задач даже на современных компьютерах. Вместе с тем, растущая необходимость применения уравнения переноса нейтронов в расчете переходных процессов, особенно ввиду строгих стандартов безопасности, предъявляемых к новым разрабатываемым реакторам, привела к созданию ряда современных программных комплексов, позволяющих решать пространственно-временное уравнение переноса нейтронов с запаздывающими нейтронами. Количество таких кодов на данный момент довольно ограниченно. В качестве примера таких кодов можно назвать DORT-TD, TORT-TD, PARTISN, EVENT и BARS. Программы DORT-TD, TORT-TD, PARTISN используют для решения пространственно-временного уравнения переноса нейтронов метод дискретных ординат, программа EVENT – метод конечных элементов, а программа BARS – метод -матриц.

Во второй главе представлен подробный вывод двумерных конечноразностных нестационарных уравнения метода поверхностных гармоник для трех и четырех пробных матриц в квадратной решетке блоков, а также представлены одномерные уравнения для плоской геометрии. Уравнения получены традиционным для МПГ методом минимизации невязки. Основываясь на полностью неявной схеме Эйлера, разработана итерационная схема решения полученных уравнений для трех пробных матриц.

Полученные нестационарные двумерные уравнения МПГ для четырех пробных матриц имеют вид:

(l ) – l-ая пробная матрица в k-ой ячейке, S – длина грани ячейки, I (l ) – l-ая амплитуда, h – шаг ячейки (в данном случае совпадает с S), f (r) - групповой вектор-строка, каждый элемент которого определяется как Уравнения для трех пробных матриц имеют вид:

Итерационная схема для решения уравнений с тремя пробными матрицами получена используя полностью неявную схему Эйлера. Для дискретизации временных производных используется аппроксимация первого порядка:

В итоге получена система линейных алгебраических уравнений где матрица M(t s ) и вектор S(t s1 ) имеют вид Начальное условие для C (j0,k) (t ) Блок-схема процесса решения нестационарных уравнений МПГ представлена на рисунке 1. Временная точка tS –последняя временная точка расчета.

На первом этапе данной работы проводился вывод нестационарных уравнений МПГ для одномерной плоской геометрии. Данная геометрия интересна тем, что в плоской одномерной ячейке возможны только две пробные матрицы – симметричная (k0 ) и антисимметричная (k1). Таким образом, набор пробных групповых функций образует полную систему решений. Как результат, в этой геометрии проще исследовать основные особенности применения МПГ для нестационарного случая, не отвлекаясь на возможную недостаточность пробных решений. Процедура получения уравнений аналогична двумерному случаю. Полученные одномерные уравнения МПГ имеют вид Отметим, что в одномерных уравнениях Первая система уравнений является основной системой конечно-разностных уравнений МПГ для пространственной кинетики в одномерной геометрии. Вторая система уравнений решается только в том случае, если необходимо восстановить ход функций распределения нейтронов и предшественников запаздывающих нейтронов внутри ячеек.

Рисунок 1 – Блок-схема процесса решения нестационарных уравнений МПГ В третьей главе представлено описание разработанного программного комплекса SUHAM-TD и его верификация. В данном коде реализованы двумерные нестационарные уравнения МПГ для трех пробных матриц для квадратной решетки блоков и одномерные нестационарные уравнения МПГ для плоской геометрии.

SUHAM-TD позволяет проводить нестационарные расчеты без использования диффузионного приближения и пространственной гомогенизации. Проведена верификация полученных уравнений и комплекса SUHAM-TD на ряде классических бенчмарков BSS-6, PHWR, TWIGL (диффузионный и транспортный варианты) и модифицированный 8-А1.

В качестве составных частей SUHAM-TD следует отметить следующие модули, реализующие метод поверхностных гармоник для диффузионного группового уравнения:

• SUHAMD-PL-1D-SHM для одномерной плоской геометрии в стационарном случае;

• SUHAMD-TD-PL-1D-SHM для одномерной плоской геометрии в нестационарном случае (использует результаты работы SUHAMD-PL-1D-SHM);

• SUHAMD-SQ-2D-SHM для квадратной решетки блоков в двумерной геометрии в декартовых координатах в стационарном случае;

• SUHAMD-TD-SQ-2D-SHM для квадратной решетки блоков в двумерной геометрии в декартовых координатах в нестационарном случае (использует результаты работы SUHAMD-SQ-2D-SHM).

государственную регистрацию.

В рамках комплекса SUHAM-TD созданы также диффузионные модули, реализующие классический метод конечных разностей, которые имеют аналогичное наименование, за исключением трех последних букв (они заменяются на FDM (FiniteDifference Method)), например SUHAMD-TD-SQ-2D-FDM. Область применения этих модулей аналогична.

Отметим также модули комплекса SUHAM-TD, проводящие расчеты без диффузионного приближения методом поверхностных гармоник:

• SUHAM-SQ-2D-SHM для квадратной решетки блоков в двумерной геометрии в декартовых координатах в стационарном случае;

• SUHAM-TD-SQ-2D-SHM для квадратной решетки блоков в двумерной геометрии в декартовых координатах в нестационарном случае (использует результаты работы SUHAM-SQ-2D-SHM).

Как видно, SUHAM-TD позволяет проводить расчеты, как с использованием диффузионного приближения, так и без него. Здесь важной чертой является то, что уравнения МПГ инвариантны по отношению к исходным уравнениям, из которых они получены, а именно, к уравнению переноса нейтронов и диффузионному уравнению и факт использования диффузионного приближения определяется только использованием его в расчете пробных матриц. Для получения диффузионных пробных матриц SUHAM-TD использует собственные процедуры, а для расчета пробных матриц без диффузионного приближения – программы РАЦИЯ и DICPN.

Программа РАЦИЯ используется для расчета нулевой пробной матрицы методом поверхностных псевдоисточников в G3-приближении. Программа DICPN применяется для получения первой и второй пробных матриц методом сферических гармоник в P2-приближении. Также отметим, что факт использования процедуры пространственной гомогенизации определяется только программами расчета пробных матриц. Программы РАЦИЯ и DICPN не используют данную процедуру.

Программа SUHAM-TD разрабатывается для произвольного числа энергетических групп, групп запаздывающих нейтронов. Требование, которое накладывает МПГ на рассчитываемую среду – периодичность системы, присуще большинству современных ядерных реакторов.

Верификация программного комплекса SUHAM-TD проводилась на ряде классических бенчмарков, характеризующихся отсутствием неопределенности в начальных данных и отсутствием обратных связей. Этот факт дает возможность выделить методическую погрешность МПГ, реализованного в SUHAM-TD.

Важным фактом при проведении верификации SUHAM-TD является соблюдение «чистоты эксперимента» в плане сравнения вычислительных затрат. Для этого в рамках SUHAM-TD были специально разработаны программы проводящие расчеты классическим конечно-разностным методом (МКР или FDM). Для сравнения вычислительных затрат МПГ и МКР вычисления по SUHAM-TD проводились с одинаковыми критериями точности и способами организации итераций (например, во всех программах матрицы обращаются с помощью метода верхней релаксации, везде используется полностью неявная схема). Также в программах не применяются какиелибо методы ускорения.

Далее кратко рассмотрим результаты верификации. Расчеты, проведенные программным комплексом SUHAM-TD с помощью традиционного конечноразностного метода, будем обозначать SUHAM-FDM (Finite-Difference Method), а расчеты, проведенные с помощью МПГ – SUHAM-SHM (Surface Harmonics Method).

Тест BSS-6. Для верификации полученных одномерных уравнений был выбран одномерный тест BSS-6 (рисунок 2). В этом тесте описана трехзонная размножающая среда с граничными условиями в виде нулевых потоков на обеих границах. Для гомогенных областей этого теста в двухгрупповом приближении задан полный набор макроконстант. Запаздывающие нейтроны представлены в шести группах.

Рассматривались следующие сценарии ввода реактивности:

• A1 - сечение поглощения нейтронов в первой зоне во второй энергетической группе линейно увеличивается на 3% в течение первой секунды;

• A2 - сечение поглощения нейтронов в первой зоне во второй энергетической группе линейно уменьшается на 1% в течение первой секунды;

• A3 - сечение поглощения нейтронов в первой зоне во второй энергетической группе линейно уменьшается на 5% в течение первой 0,01 секунды;

• A4 - сечение поглощения нейтронов в первой зоне во второй энергетической группе линейно уменьшается на 5% в течение первой 0,01 секунды, при этом скорости нейтронов на два порядка больше.

В дополнении к этим тестам был проведен расчет теста A0 (отсутствует в исходном описании), представляющего собой задачу аналогичную A1, но с возмущением в 1 и 3 зонах (симметричный тест). Динамическое поведение исследуется на интервале 0 t 4 с для всех рассматриваемых случаев.

Расчет данного бенчмарка проводился с помощью SUHAM-TD с использованием МПГ и МКР при различных шагах пространственной и временной сетки. В таблице 1 приведены значения максимальных отклонений зонных мощностей (зоны представлены на рисунке 2), полученных в расчете SUHAM-SHM, от значений, полученных в расчете SUHAM-FDM при одинаковых значениях расчетного шага по времени t с пространственными шагами h = 0,25 см, H = 2 см.

Расчет данного теста продемонстрировал незначительные относительные отклонения зонных мощностей и потоков нейтронов. На рисунках 3 и 4 представлены результаты расчета с помощью программного комплекса SUHAM-TD вариантов А0 и A1.

Величины отклонений плотности потока нейтронов, полученных с помощью МПГ от величин, полученных с помощью МКР, представлены в таблице 2.

Таблица 1 – Максимальные значения среди относительных отклонений зонных мощностей Pi, полученных в расчетах SUHAM-SHM от значений в расчетах SUHAM-FDM (t для SUHAM-SHM равен t для SUHAM-FDM), % Таблица 2 – Максимальные значения RMS и относительных отклонений локальных потоков, полученных в расчетах SUHAM-SHM от значений в расчетах SUHAM-FDM (t = 10-5 с) *RMS – среднеквадратичное отклонение Рисунок 3 – Тест BSS-6-A0.

Пространственное распределение потоков в расчете SUHAM-SHM - первая группа (слева), вторая группа (справа) Рисунок 4 – Тест BSS-6-A1. Пространственное распределение потоков в расчете SUHAM-SHM - первая группа (слева), вторая группа (справа) Тест PHWR. Одним из тестов, на котором проводилась верификация двумерных уравнений, является PHWR бенчмарк. Данная задача представляет собой идеализированное представление реактора CANDU, где переходный процесс моделирует аварию с потерей теплоносителя с последующим вводом поглощающих стержней. Тест сформулирован для расчётной модели, представляющей собой четыре параллельно расположенные зоны одинакового размера (рисунок 5). Граничные условия представлены в виде нулевого потока на всех четырёх границах.

Энергетическое распределение нейтронов представлено в данной задаче в виде двух энергетических групп. Запаздывающие нейтроны в задаче представлены в двух вариантах: одна группа (вариант PHWR-1) и шесть групп (вариант PHWR-6).

В ходе серии стационарных расчетов посредством МКР и МПГ была выбрана сетка для проведения нестационарных расчетов с параметрами h = 4 см и H = 20 см.

При данных параметрах keff равен 1,007412 и 1,007429 для МКР и МПГ соответственно.

Рисунок 5 – Геометрия теста PHWR Рисунок 6 – Изменение мощности Проведен анализ сходимости МПГ в зависимости от временного шага.

Проанализировав отличие мощности, полученной с помощью МПГ, при шагах временной сетки 10-4, 10-3 и 10-2 с по сравнению с результатами для t = 10-5 с, получено, что погрешность падает с уменьшением шага временной сетки, что свидетельствует о сходимости МПГ с уменьшением временного шага. Для случая с одной группой запаздывающих нейтронов отклонение мощности между расчётами с временными шагами t = 10-5 с и t = 10-4 с составило –5,6·10-3 %, а для случая с шестью группами запаздывающих нейтронов равно 8,1·10-3 %.

На рисунке 6 представлены графики изменения мощности с течением времени для обоих вариантов теста при шаге t = 10-5 с временного расчёта. Максимальное относительное отклонение составляет –0,75 % для случая одной группы запаздывающих нейтронов и –0,84 % для случая шести групп запаздывающих нейтронов.

Тест TWIGL. Другим рассмотренным тестом является TWIGL. Данная задача представляет собой идеализированное представление реактора типа LWR с квадратной кассетой с заданными нейтронно-физическими константами физических зон в двух энергетических группах и заданным изменением сечений в течение времени. Расчётная модель с граничными условиями представлена на рисунке 7.

Задана одна эффективная группа запаздывающих нейтронов. В тесте представлены два сценария развития переходного процесса: возмущение скачком (вариант TWIGLS) и линейное возмущение (вариант TWIGL-R) посредством ввода положительной реактивности.

В ходе серии стационарных расчетов посредством МКР и МПГ была выбрана сетка для проведения нестационарных расчетов с параметрами h = 0,8 см и H = 4 см.

При данных параметрах keff равен 0,913187 и 0,913204 для МКР и МПГ соответственно.

Проведен анализ сходимости МПГ в зависимости от временного шага.

Проанализировав отличие мощности, полученной с помощью МПГ, при шагах временной сетки 10-4 с, 10-3 с по сравнению с результатами для t = 10-5 с, получили, что погрешность падает с уменьшением шага временной сетки, что свидетельствует о сходимости МПГ.

Расчеты по МПГ c различными шагами временной сетки сопоставлены с расчетом по SUHAM-TD с помощью МКР. при шаге временной сетки 10-5 с (таблица 3). На рисунке 8 представлены результаты расчета теста TWIGL различными программами. Важно отметить, что результаты расчета хорошо согласуются с другими программными комплексами.

Таблица 3 – Максимальные относительные отклонения мощности SUHAM-SHM max(P(t)) от расчета SUHAM-SHM (t = 10-5 c), % Величина относительного максимального относительного отклонения для плотности потока нейтронов в случае TWIGL-R практически постоянна в течение расчетного времени и равна 0,55 % и 3,3% для быстрой и тепловой групп соответственно. Среднеквадратичное отклонение RMS равно 0,22 % и 1,02 % для быстрой и тепловой групп соответственно.

Рисунок 8 – Изменение мощности в тесте TWIGL – линейное возмущение (слева), Важно отметить, что все результаты по МПГ получены при меньших вычислительных затратах чем МКЭ. Данное сравнение проводилось между модулями SUHAM-TD, позволяющими обеспечить чистоту данного сравнения, посредством одинаковой организации итерационного процесса. В таблице 4 представлены относительные вычислительные затраты для тестов PHWR и TWIGL на ранее указанных пространственных сетках. Видно, что вычислительные затраты для МПГ значительно меньше, чем для прямого конечно-разностного моделирования. Следует отметить, что показатели в таблице в значительной мере зависят от шага временной сетки.

Данный факт объясняется следующей причиной. С уменьшением временного шага обращение матрицы при решении реакторного уравнения производится быстрее как в случае прямого конечно-разностного моделирования, так и в случае МПГ по причине меньшего возмущения элементов в матрице. Однако в случае МПГ часть времени уходит на расчёт пробных матриц, продолжительность которого, как показывает расчёт этих тестов, слабо зависит от размера временного шага.

Таблица 4 – Отношение времени расчета по МКР к времени расчета по МПГ (SUHAM-TD), отн. ед.

Таким образом, время на расчёт пробных матриц возрастает примерно во столько, во сколько увеличивается количество временных точек (при условии, что в каждой временной точке производится возмущение в каждом типе ячейки). Это ведёт к увеличению доли всего расчётного времени на расчёт пробных матриц. Например, в тесте TWIGL в течение первых 0,2 с при шаге t = 10-3 с отношение времени на расчёт пробных матриц к полному времени расчёта составляет 9 %, а при шагах t = 10-4 с и t = 10-5 с оно составляет 35 % и 49 %, соответственно.

Тест 8-A1. Модифицированный вариант теста 8-A1 (“Dodds”) также был использован для верификации SUHAM-TD. Интерес к расчету данного теста вызван фактом, что он является геометрически более масштабным (рисунок 9), чем рассмотренные ранее тесты. В тесте представлен следующий сценарий развития переходного процесса: в зонах 3 и 7 тепловое сечение поглощения линейно возрастает на 3%, а в зоне 11 линейно уменьшается на 3% в течение 1 с. Переходный процесс исследуется в интервале 0 t 4 с.

Рисунок 9 – Геометрия модифицированного теста 8-А МПГ продемонстрировал незначительные отклонения от прямого конечноразностного моделирования, а именно на сетке h = 1,25 см, H = 2,5 см, t = 10-3 c максимальное относительное отклонение мощности, рассчитанной по МПГ от мощности, рассчитанной по МКР, составило –4,5E-02%.

Транспортный тест TWIGL. Для верификации модулей позволяющих проводить расчет без использования диффузионного приближения использовался транспортный вариант теста TWIGL. Транспортный вариант отличается от диффузионного только набором констант, сохраняя геометрию, граничные условия, параметры запаздывающих нейтронов и законы возмущения. Переход от транспортного варианта теста к диффузионному можно осуществить по формуле считая, что sg g = 0,01 см-1.

Сравнение результатов по SUHAM-TD проводилось с результатами по методу характеристик и методу дискретных ординат. Из полученных результатов можно отметить хорошее согласование со сторонними кодами. На рисунке 10 представлены результаты расчета теста TWIGL различными программами.

Также необходимо отметить, что результаты расчета транспортного теста отличаются от результатов диффузионного теста. В таблице 5 приведена относительная мощность в разных временных точках, полученная по SUHAM-TD методом поверхностных гармоник, для диффузионного и транспортного вариантов теста TWIGL-R при параметрах t = 10-5 с, H = 4 см.

Рисунок 10 – Изменение мощности в тесте TWIGL (транспортный) – линейное возмущение (слева), мгновенное возмущение (справа) Таблица 5 – Относительная мощность для диффузионного и транспортного вариантов теста TWIGL-R, отн. ед.

Четвертая глава посвящена разработке и расчету пространственновременного бенчмарка C5G7-TD для тестирования нестационарных кинетических нейтронно-физических кодов. На основе стационарного бенчмарка C5G7 (Benchmark on deterministic transport calculations without spatial homogenisation), создан бенчмарк C5G7-TD путем подготовки кинетических нейтронно-физических характеристик для тестирования нейтронно-физических пространственно-временных кодов.

Представлены результаты расчета бенчмарка C5G7-TD с помощью программного комплекса SUHAM-TD.

базироваться на решении уравнений пространственной кинетики без диффузионного приближения и пространственной гомогенизации в полномасштабной модели активной зоны. Важным вопросом в разработке такого кода является его верификация. Общей практикой для такой верификации является кросс-верификация, которая заключается в расчете определенных задач (бенчмарков) различными кодами и методами. Однако проведение такой процедуры осложняется следующей проблемой. На сегодняшний день набор представленных в литературе пространственно-временных бенчмарков с заданными групповыми нейтроннофизическими константами содержит своего рода пробел. С одной стороны, существует набор простых диффузионных бенчмарков. Расчетная область в таких задачах представляет собой несколько гомогенных зон описанных, как правило, малогрупповыми (зачастую только две группы) диффузионными нейтроннофизическими макроконстантами. К таким бенчмаркам можно отнести рассмотренные тесты: BSS-6, 8-A1, TWIGL, PHWR, а также, например, тест OBLONG и др. Главная их особенность в том, что они просты, и при этом они сохраняют актуальность и в сегодняшние дни, находя свое применение, как правило, для отладки программ на начальном этапе разработки. Однако, такие тесты не позволяют провести верификацию кодов, проводящих расчеты без пространственной гомогенизации и использования диффузионного приближения.

С другой стороны, имеется набор значительно более «сложных» бенчмарков, которые описывают гетерогенную структуру среды, в качестве характеристик материалов содержат концентрации нуклидов, и, как правило, включают в себя характеристики обратных связей и т.д. К этой группе бенчмарков можно отнести PWR MOX/UO2 core transient benchmark, PBMR coupled neutronics/thermal-hydraulics transient benchmark the PBMR-400 core design, Prismatic coupled neutronics/thermal fluids transient benchmark of MHTGR-350 MW core design и др. Результаты их расчетов содержат дополнительные неопределенности, связанные с неопределенностями ядерных данных, процедурой подготовки групповых сечений и погрешностью сторонних кодов (например, тепло-гидравлических кодов), применяемых для учета обратных связей и др. Этот факт не дает возможности выделить методическую погрешность метода, заложенного в расчетную программу.

Как результат вышесказанного, наличие бенчмарка, описывающего гетерогенную среду, и содержащего заданные нейтронно-физические макроконстанты отдельных материалов для решения уравнения переноса нейтронов без диффузионного приближения и обратных связей, могло бы дать больше возможностей для верификации непосредственно метода решения нестационарного уравнения переноса нейтронов. Задача такого рода позволяет выделить методическую составляющую погрешности, поскольку результаты расчета не содержат других неопределенностей. Также такой тест может быть полезен для исследования величины эффекта гомогенизации и факта применения диффузионного приближения в пространственно-временном расчете.

В качестве базовой основы для создания такого теста был выбран хорошо известный стационарный тест C5G7. Расчетная среда (рисунки 9 – 11) представляет собой четыре тепловыделяющих сборки (две сборки с MOX топливом и две с UO2) и слой замедлителя, располагающийся справа и снизу от сборок. Граничные условия для среды представлены в виде вакуума справа и снизу и в виде отражения сверху и слева. В бенчмарке представлены нейтронно-физические характеристики для материалов в семи энергетических группах. Данный бенчмарк был специально разработан для исследования возможностей современных детерминистических кодов решающих уравнение переноса без использования пространственной гомогенизации.

Тест предназначен для решения уравнения переноса без диффузионного приближения.

Рисунок 9 – Геометрия теста C5G7 Рисунок 10 – Картограмма топливных Одной из причин для выбора теста C5G7 в качестве базы для нового бенчмарка, является наличие описания среды, на основе которой готовились константы материалов для теста C5G7 в виде концентраций материалов и описание геометрии исходных ячеек (рисунок 12). Именно эти характеристики использовались автором для подготовки кинетических параметров среды, необходимых для пополнения бенчмарка C5G7 до бенчмарка C5G7-TD: доли запаздывающих нейтронов, постоянные распада предшественников запаздывающих нейтронов, спектры запаздывающих нейтронов, среднегрупповые скорости нейтронов.

В соответствии с логикой теста C5G7, в основу процедуры подготовки нестационарных констант среды было заложено приближение, состоящее в использовании зависящих от физической зоны параметров запаздывающих нейтронов при отказе от их явной нуклидной зависимости с последовательным переходом к макросечениям. Расчет ячеек для подготовки констант проводился по программе WIMS-D.

В качестве законов ввода реактивности рассмотрен закон в виде возмущения сечений поглощения и рассеяния в каналах направляющих труб в различных ТВС бенчмарка, что призвано смоделировать движение стержней регулирования в каналах.

R GT R GT

макросечение взаимодействия для стержня поглощения. Данный закон используется для сечения поглощения и матрицы рассеяния во всех семи энергетических группах.

Следует отметить, что в ячейке возмущается только зона 1 (рисунок 11).

Возмущение сечений в ячейках направляющих стержней проводилось в различных ТВС бенчмарка. На рисунке 13 отмечены три группы ячеек, в которых проводилось возмущение сечений. В зависимости от того, в какой группе ячеек происходит возмущение, используются дополнительные обозначения бенчмарка:

C5G7-TD-1, C5G7-TD-2 и C5G7-TD-3.

Рисунок 13 – Ячейки возмущения для трех вариантов теста C5G7-TD Предложенные законы ввода реактивности моделируют ввод стержней регулирования на некоторую величину внутрь различных групп направляющих каналов, обладающих различной ценностью в плане участия в поддержании цепной реакции деления в среде, с последующим их извлечением.

Следует отметить, что, предложенные законы ввода реактивности нужно рассматривать как одни из большого числа возможных, полученный набор констант позволяет создавать различные двумерные и трехмерные бенчмарки, различающиеся законом ввода реактивности. Данный факт обеспечивает возможность тестирования различных нейтронно-физических пространственно-временных кодов, используя тест C5G7-TD для разных законов ввода реактивности.

Результаты моделирования предложенного теста средствами SUHAM-TD представлены на рисунке 14. На рисунках 15, 16 и 17 представлены графики распределения нормированного деления по ячейкам в сечениях А–А (C5G7-TD-1 и C5G7-TD-2) и Б–Б (C5G7-TD-3) (см. рисунок 13). На рисунке 18 на примере теста C5G7-TD-1 представлены графики распределения нормированного деления по ТВС.

Рисунок 14 – Изменение мощности с течением времени для теста C5G7-TD Рисунок 15 – C5G7-TD-1. Распределение нормированного деления по ячейкам Рисунок 16 – C5G7-TD-2. Распределение нормированного деления по ячейкам Рисунок 17 – C5G7-TD-3. Распределение нормированного деления по ячейкам Рисунок 18 – C5G7-TD-1. Распределение нормированного деления по ТВС (номера Выводы.

Современные требования безопасности к ядерным реакторам все больше ужесточаются. Как следствие этого возрастают требования к качеству исследовательских и проектных расчетов и, в частности, к нестационарному нейтронно-физическому расчету. Исторически данный тип расчета проводится программами, использующими ряд серьезных приближений, а именно: диффузионное приближение, расчет в малом числе энергетических групп, пространственная гомогенизация. Причиной использования этих приближений являются большие вычислительные затраты. Вместе с тем ряд исследователей указывают на возможность улучшения результатов посредством решения уравнения переноса нейтронов, особенно при анализе аварийных ситуаций.

В данной работе в качестве пути по сокращению временных затрат в нестационарных нейтронно-физических расчетах без вышеперечисленных приближений предложено использовать метод поверхностных гармоник (МПГ) для решения нестационарного уравнения переноса нейтронов с запаздывающими нейтронами. Данный выбор сделан на основе многолетнего опыта использования МПГ в стационарных расчетах в НИЦ «Курчатовский институт» и демонстрации преимущества по вычислительным затратам в сравнении с детерминистическими методами при сохранении качества результатов на уровне этих подходов. Можно сделать следующие выводы:

• Предложены алгоритмы решения нестационарных уравнений метода поверхностных гармоник с тремя пробными матрицами на основе полностью неявной схемы. Данные уравнения являются математической моделью для описания нейтронно-физических процессов в ядерном реакторе, учитывающей особенности нейтронно-физических реакторных задач.

• Разработаны диффузионные программы SUHAMD-SQ-2D-SHM и SUHAMD-TDSQ-2D-SHM, как часть программного комплекса SUHAM-TD, реализующие полученные уравнения для трех пробных матриц.

• Проведена верификация разработанных программ с использованием тестов TWIGL, PHWR, модифицированного 8-A1. Также проведена верификация их одномерных аналогов на тесте BSS-6.

• В ходе верификации МПГ продемонстрировал незначительные отклонения от классического конечно-разностного метода.

• Продемонстрирован потенциал метода в смысле точности и вычислительных затрат. В дальнейшем, результаты этой работы могут быть использованы для демонстрации полных возможностей метода посредством оптимизации алгоритмов и программы и использования параллельных вычислений. МПГ продемонстрировал значительно меньшие вычислительные затраты по сравнению с классическим конечно-разностным методом. Показан рост доли времени на расчет пробных матриц с уменьшением расчетного шага по времени.

• Посредством интеграции программ для расчета ячеек РАЦИЯ и DICPN созданы недиффузионные программы SUHAM-SQ-2D-SHM и SUHAM-TD-SQ-2D-SHM реализующие МПГ.

• Проведена верификация программ SUHAM-SQ-2D-SHM и SUHAM-TD-SQ-2DSHM на транспортном варианте теста TWIGL.

• Путем подготовки кинетических нейтронно-физических характеристик для теста C5G7, создан пространственно-временной бенчмарк C5G7-TD, позволяющий проводить верификацию пространственно временных кодов без использования диффузионного приближения и пространственной гомогенизации.

• Представлены результаты расчета бенчмарка C5G7-TD средствами SUHAM-TD.

В качестве дальнейших путей развития работы можно отметить следующие:

• оптимизация временного расчета в смысле добавления ускоряющих схем, • получение нестационарных уравнений МПГ для решения задач с треугольной решеткой блоков, • решение трехмерных задач, • распараллеливание расчетов, • подключение сторонних программ для учета обратных связей, • применение комплекса SUHAM-TD для расчета конкретных ядерных реакторов и анализа переходных процессов.

Таким образом, в диссертации разработаны алгоритмы метода поверхностных гармоник для решения нестационарного уравнения переноса нейтронов в ядерных реакторах. Продемонстрирован потенциал и эффективность метода поверхностных гармоник и разработанных кодов. Совокупность выполненных работ представляет собой решение важной научной проблемы по разработке алгоритмов и расчетных программ для решения нейтронно-физических пространственно-временных задач ядерных реакторов на основе метода поверхностных гармоник для повышения надежности, точности и оперативности предсказания важнейших нейтроннофизических нестационарных характеристик ядерного реактора.

Основные публикации по теме диссертации Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК России:

1. Бояринов В.Ф., Кондрушин А.Е., Фомиченко П.А. Уравнения метода поверхностных гармоник для решения нестационарных задач переноса нейтронов и их верификация // Вопросы атомной науки и техники, Серия:

Физика ядерных реакторов, – 2012, – Вып. 2, Физика и методы расчета ядерных реакторов, – с. 18 – 27.

Версия на английском языке: Boyarinov V.F., Kondrushin A.E., Fomichenko P.A.

Equations of the Surface Harmonics Method for Solving Time-Dependent Neutron Transport Problems and Their Verification // Physics of Atomic Nuclei, – 2013, – Vol. 76, – No. 14, – P. 1631–1638.

2. Бояринов В.Ф., Кондрушин А.Е., Фомиченко П.А. Двумерные уравнения метода поверхностных гармоник для решения задач пространственной нейтронной кинетики в реакторах с квадратной решеткой // Вопросы атомной науки и техники, Серия: Физика ядерных реакторов – 2013, – Вып. 4, Физика и методы расчета ядерных реакторов, – с. 4 – 16.

Материалы конференций:

1. Бояринов В.Ф., Кондрушин А.Е., Фомиченко П.А. Развитие метода поверхностных гармоник для решения нестационарного уравнения переноса нейтронов. – В сб.: 8-ая Курчатовская молодежная научная школа, 22 – ноября 2010 г., Москва, с. 28.

2. Boyarinov V.F., Kondrushin A.E., Fomichenko P.A. Surface harmonics method equations for solving the time-dependent neutron transport problems and their verification. – Proc. of the International Conference PHYSOR 2012 “Advances in Reactor Physics – Linking Research, Industry, and Education”, Knoxville, Tennesse, USA, April 15-20, 2012.

3. Бояринов В.Ф., Кондрушин А.Е., Фомиченко П.А. Применение метод поверхностных гармоник для решения двумерного нестационарного уравнения переноса нейтронов. - В сб.: Научная сессия НИЯУ МИФИ, 1 – 6 февраля г., Москва, с. 58.

4. Boyarinov V.F., Kondrushin A.E., Fomichenko P.A. Surface harmonics method for two-dimensional time-dependent neutron transport problems of square-lattice nuclear reactors. – Proc. of International Conference on Mathematics and Computational Methods Applied to Nuclear Science and Engineering (M&C 2013), Sun Valley, Idaho, May 5-9, 2013.

нейтронных кодов. – В сб.: 11-ая Курчатовская молодежная научная школа, 12 – 15 ноября 2013 г., Москва, с. 22.





Похожие работы:

«УДК 519.1, 519.7 Лобанов Михаил Сергеевич О соотношениях между алгебраической иммунностью и нелинейностью булевых функций 01.01.09 дискретная математика и математическая кибернетика АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва 2009 Работа выполнена на кафедре дискретной математики Механико-математического факультета Московского...»

«Быстрова Александра Валерьевна СЕТКИ И ТОНКИЕ ПЛЕНКИ НА ОСНОВЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ КАРБОСИЛАНОВЫХ ДЕНДРИМЕРОВ: СТРОЕНИЕ И СВОЙСТВА Специальность: 02.00.06 - высокомолекулярные соединения АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва 2006 www.sp-department.ru Работа выполнена в лаборатории синтеза элементоорганических полимеров Института синтетических полимерных материалов им. Н.С. Ениколопова РАН и на кафедре физики полимеров и...»

«УДК 512.552.4 Гордиенко Алексей Сергеевич Коразмерности и кохарактеры полиномиальных тождеств и их обобщений 01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва — 2009 Работа выполнена на кафедре высшей алгебры Механико-математического факультета Московского государственного...»

«УДК 621.379.54 ПРОКОПЬЕВ Тимур Викторович Сверхузкополосный фильтр коротковолнового диапазона с высокоточной системой настройки Специальность 05.12.07 - Антенны, СВЧ устройства и их технологии. Специальность 05.12.04 - Радиотехника, в том числе системы и устройства радионавигации, радиолокации и телевидения. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Москва – 2008 Работа выполнена на кафедре радиофизики, антенн и микроволновой техники...»

«Матвеев Евгений Александрович ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ И ЗАКРИТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ УПРУГИХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ПРИ ДЕЙСТВИИ ВНЕШНЕГО ДАВЛЕНИЯ В ВЫСОКИХ ПРИБЛИЖЕНИЯХ Специальность 01.02.04 –Механика деформируемого твердого тела АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва – 2011 Работа выполнена на кафедре Прикладная и вычислительная математика имени Э.И.Григолюка Московского государственного технического университета...»

«Кучакшоев Холикназар Соибназарович ОБ ОДНОМ КЛАССЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ 01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук ДУШАНБЕ-2012 Работа выполнена в Российско-Таджикском(Славянском) университете Научный руководитель : доктор физико–математических наук, академик АН РТ, профессор Илолов Мамадшо Илолович Официальные...»

«УДК 517.956.321 Кулешов Александр Андреевич АНАЛИТИЧЕСКИЙ ВИД ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ В СЛУЧАЕ НЕЛОКАЛЬНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ И РАЗРЫВНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ 01.01.02 – Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва –...»

«САДРИЕВ Роберт Мансурович ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ДОЛГОВЕЧНОСТИ ДЕТАЛЕЙ МАШИН НА ОСНОВЕ АНАЛИЗА ИЗМЕНЕНИЯ ПЛОЩЕДЕЙ ПЕТЕЛЬ ГИСТЕРЕЗИСА 05.02.02 – Машиноведение, системы приводов и детали машин Автореферат Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук Казань 2007 2 Работа выполнена на кафедре Основы проектирования машин и автомобилестроение Ульяновского государственного технического университета. Научный руководитель : доктор технических наук, профессор Дьяков Иван...»

«Сычев Федор Юрьевич КОМПОЗИТНЫЕ СТРУКТУРЫ С ФОТОННОЙ ЗАПРЕЩЕННОЙ ЗОНОЙ НА ОСНОВЕ ПОРИСТОГО КРЕМНИЯ И ИХ ОПТИЧЕСКИЕ И НЕЛИНЕЙНО-ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА Специальность 01.04.05 – оптика Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва – 2010 Работа выполнена на кафедре квантовой электроники Физического факуль тета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова Научный руководитель : доктор физико-математических наук,...»

«УДК 004.896 АКСЕНОВ Константин Александрович ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В ОБЛАСТИ ПРОЦЕССОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РЕСУРСОВ Специальность 05.13.01 – Системный анализ, управление и обработка информации Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук Екатеринбург – 2011 Работа выполнена на кафедре автоматизированных систем управления ФГАОУ ВПО Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н.Ельцина. Научный...»

«Агалямова Эльвира Наилевна КРИСТАЛЛИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ПОЛИМОРФНЫХ И ПОЛИТИПНЫХ МОДИФИКАЦИЙ КАРБИДА КРЕМНИЯ Специальность 01.04.07 - физика конденсированного состояния Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Челябинск – 2011 1 Работа выполнена на кафедре физики конденсированного состояния Челябинского государственного университета. Научный руководитель : доктор физико-математических наук, профессор Беленков Е.А. Официальные...»

«ПОДКОПАЕВ ИЛЬЯ ВИКТОРОВИЧ ИССЛЕДОВАНИЕ И РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ ПОВЫШЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ УПРАВЛЕНИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫМИ МОЩНОСТЯМИ В КЛАСТЕРАХ РАБОЧИХ СТАНЦИЙ Специальность 05.13.01. Системный анализ, управление и обработка информации АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Москва 2010 Работа выполнена на кафедре Вычислительная техника при Московском государственном институте электронной техники (техническом университете). Научный кандидат...»

«Калмыков Валерий Николаевич МАССОВЫЙ СОСТАВ ПЕРВИЧНОГО КОСМИЧЕСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В РАЙОНЕ ИЗЛОМА ПО ДАННЫМ УСТАНОВКИ ШАЛ МГУ Специальность 01.04.23 – физика высоких энергий АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук Москва 2007 Работа выполнена в Научно-исследовательском институте ядерной физики им....»

«Шамардин Лев Витальевич Принципы построения грида с использованием RESTful-веб-сервисов Специальность 05.13.11 математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва 2011 Работа выполнена в отделе теоретической физики высоких энергий Научно-исследовательского института Ядерной Физики имени Д.В. Скобельцина Московского Государственного...»

«ВАСИН Андрей Васильевич МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОТРЫВНЫХ ТЕЧЕНИЙ И ИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ НА ГИДРОТЕХНИЧЕСКИЕ СООРУЖЕНИЯ Специальность 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук САНКТ–ПЕТЕРБУРГ 2013 Работа выполнена в ФГБОУ ВПО Государственный университет морского и речного флота имени адмирала С.О. Макарова Научный консультант : доктор технических наук, профессор...»

«Киселев Александр Сергеевич Динамика нелинейных волновых полей в многомерных теориях гравитации 01.04.02 – теоретическая физика АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Ярославль 2011 Работа выполнена на кафедре общей физики Ярославского государственного педагогического университета им. К.Д. Ушинского Научные руководители: доктор физико-математических наук, профессор Кречет Владимир Георгиевич, доктор физико-математических наук,...»

«Романов Вячеслав Сергеевич МОДЕЛИ И МЕТОДЫ УПРАВЛЕНИЯ СТОИМОСТЬЮ КОМПАНИИ НА ОСНОВЕ ДОХОДНОГО ПОДХОДА Специальность 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Москва – 2006 Работа выполнена на кафедре инновационного менеджмента Московского физико-технического института (государственного университета) Научный руководитель : кандидат физико-математических наук...»

«ИОСЕЛЕВИЧ Павел Алексеевич Майорановские фермионы в сверхпроводящих гибридных структурах Специальность 01.04.02 Теоретическая физика Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Черноголовка – 2013 Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау Российской академии наук. Научный руководитель : Фейгельман Михаил Викторович, доктор физ.-мат. наук., профессор...»

«УДК 510.5, 519.7 Васильев Александр Валерьевич Эффективные алгоритмы в модели квантовых ветвящихся программ Специальность: 01.01.09 дискретная математика и математическая кибернетика Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Казань – 2009 Работа выполнена на факультете вычислительной математики и кибернетики Казанского государственного университета. Научный руководитель : доктор физико-математических наук, профессор Фарид...»

«ФАЛЬКОВИЧ СТАНИСЛАВ ГРИГОРЬЕВИЧ ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ АНИЗОТРОПИИ МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ БЕЛКОВЫХ МОЛЕКУЛ Специальность 02.00.06 – высокомолекулярные соединения Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Санкт-Петербург – 2011 Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте высокомолекулярных соединений РАН Научный руководитель : доктор физ.-мат. наук Анатолий Анатольевич ДАРИНСКИЙ Официальные оппоненты :...»








 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.