WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

О классах возмущений спектрально неустойчивых операторов

На правах рукописи

Ишкин Хабир Кабирович

О классах возмущений спектрально

неустойчивых операторов

01.01.01 – Вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

доктора физико-математических наук

Уфа – 2014

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образователь­ ном учреждении высшего профессионального образования «Башкирский госу­ дарственный университет»

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Фа­ зуллин З.Ю.

Официальные оппоненты:

Кордюков Ю.А.

доктор физико-математических наук, доцент, ведущий научный сотруд­ ник федерального государственного бюджетного учреждения науки Ин­ ститут математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН Подольский В. Е.

доктор физико-математических наук, профессор кафедры математическо­ го анализа федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский госу­ дарственный университет им. М.В. Ломоносова»

Юрко В.А.

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математической физики и вычислительной математики федерального го­ сударственного бюджетного образовательного учреждения высшего про­ фессионального образования «Cаратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского»

Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт матема­ тики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения РАН

Защита состоится « » 2014 г. в часов на заседании диссертационного совета Д 002.057.01 при федеральном государственном бюд­ жетном учреждении науки Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, расположен­ ном по адресу: 450077, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке федерального государствен­ ного бюджетного учреждения науки Институт математики с ВЦ УНЦ РАН.

Автореферат разослан « » 2014 г.

Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печа­ тью, просьба высылать по вышеуказанному адресу на имя ученого секретаря диссертационного совета.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 002.057.01, к.ф.-м.н. Попенов С.В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Оператор, действующий в неко­ тором гильбертовом пространстве, условимся называть близким к самосопря­ женному, если = 0 +, где 0 самосопряжен, компактен относительно 0, то есть ( ) (0 ) и оператор (0 + )1 компактен. Если 0 полуограни­ чен снизу и при некотором > 0 оператор (0 + )1/2 (0 + )1/2 компактен, то оператор = 0 +, где сумма понимается в смысле квадратичных форм, будем называть близким к самосопряженному в смысле квадратичных форм.

К настоящему времени спектральная теория операторов, близких к самосопря­ женным, разработана достаточно полно: имеющиеся результаты практически полностью решают вопросы об асимптотике спектра и полноте или базисности системы корневых векторов (см. §20 обзора1 и имеющиеся там ссылки). Так, согласно известной теореме М.В.Келдыша2, любой оператор, действующий в гильбертовом пространстве и близкий к самосопряженному оператору 0, спектрально устойчив в следующем смысле: если спектр 0 дискретен и функ­ ция (, 0 ) (число собственных значений 0 (с учетом кратности) в интервале (, )) удовлетворяет тауберовым условиям Келдыша – Коренблюма3, то 1 ) система корневых векторов полна в ;

2 ) при любом > 0 спектр оператора вне углов {|arg| < } и {|arg | < } конечен и для функции (, ) — количества собственных значений оператора, с учетом их алгебраических кратностей, в круге || < — спра­ ведливо соотношение (, ) (, 0 ), +.

Теорема Келдыша утверждает, что любой самосопряженный оператор 0, удовлетворяющий ее условиям, определяет класс эквивалентности операторов, близких к 0 и обладающих свойством := 1 2.

Предположим теперь, что 0 не удовлетворяет какому-то из условий тео­ ремы Келдыша. Поставим вопрос: можно ли выбрать какое-либо спектральное свойство оператора 0 так, чтобы существовал нетривиальный класс возму­ щений, сохраняющих это свойство?

Как показывают многочисленные примеры4, операторы, не являющиеся близкими к самосопряженным (для краткости: — операторы, далекие от са­ мосопряженных), как правило спектрально неустойчивы: резольвентная норма ( )1 может быть большой даже при, далеких от спектра. Поэтому в случае, когда — далекий от самосопряженного дифференциальный оператор, 1 Розенблюм Г. В., Соломяк М. З., Шубин M. A. Спектральная теория дифференциальных операто­ ров. Уравнения в частных производных - 7. Итоги науки и техники. Сер. соврем. пробл. Мат. Фунд. напр.

T. 64. M.: ВИНИТИ. 1989. C. 5–242.

2 Келдыш М. В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосо­ пряженных уравнений // ДАН СССР. Т. 77, № 1. 1951. C. 11–14.

3 Коренблюм Б. И. Общая тауберова теорема для отношения функций // ДАН СССР. Т. 88, № 5.

1953. C. 745–748.

4 См., например, обзоры Davies E. B.Non-self-adjoint differential operators // Bull. London Math. Soc.

V. 34, № 5. 2002.; Sjstrand J. Spectral instability for non-selfadjoint operators. Palaiseau Cedex. 2002.

для получения некоторой нетривиальной информации о спектре приходится на коэффициенты соответствующего дифференциального выражения наклады­ вать дополнительное (гораздо более жесткое по сравнению с самосопряженным или близким к самосопряженному случаем) условие аналитичности в некоторой окрестности соответствующего промежутка. Технически требование аналитич­ ности обусловлено тем, что при отказе от него пришлось бы «ловить» экспо­ ненциально малые члены на фоне степенных ВКБ-разложений. Коль скоро мы собираемся описывать классы возмущений, сохраняющих какое-либо спектраль­ ное свойство, то должны ответить на вопрос: вызвано ли это дополнительное условие только недостатком метода или связано с существом дела (спектраль­ ной неустойчивостью)? В рамках традиционных методов ответ на этот вопрос не представляется возможным. В связи с этим актуальной становится разработ­ ка новых методов, пригодных для изучения спектральных свойств операторов, далеких от самосопряженных, в частности, для описания классов возмущений, сохраняющих некоторые свойства спектра.

Степень разработанности темы исследования. В работе рассматри­ ваются 4 различных типа обыкновенных дифференциальных операторов, не удовлетворяющих условиям теоремы Келдыша. Эти операторы были предме­ том исследований многих математиков. Так же, как в теореме Келдыша, для них получены достаточные условия на возмущения, при которых сохраняются некоторые спектральные свойства. Однако характер этих условий (анали­ тичность) сразу порождает вопрос о степени их необходимости. Нам удалось показать, что после незначительного ослабления эти условия становятся необхо­ димыми и достаточными для выполнения соответствующего свойства. При­ ведем список этих операторов.

1) Оператор Дирака на кривой. Пусть — кривая с параметризацией Обозначим через 2, C2 гильбертово пространство 2-компонентных вектор­ функций со скалярным произведением (, ) = Оператором Дирака на кривой ) будем называть оператор, действующий в гильбертовом пространстве, C по правилу где штрих означает дифференцирование вдоль ( см. (16)), 2, C2 — про­ странство Соболева, 2) Комплексный ангармонический осциллятор :

где > 0, || <.

3) Оператор Шредингера с комплексным убывающим потенциалом (ОШ­ КУП) :

где 0 < < 2, |arg| <.

4) Модельный оператор :

где функция — непрерывна, вещественна и монотонна на [1, 1].

Оператор 2) является семейством, зависящим от 2 параметров и, но в обозначении мы выделяем только, имея в виду зависимость именно от пара­ метра, определяющего величину отклонения от самосопряженного оператора 0. По той же причине оператор 3) обозначаем.

Рассмотрим оператор = +, где — оператор умножения на матрицу () с суммируемыми на элементами. Переходя в уравнении = к переменной = (),, где () — обратная к (1) функция, легко убедиться, что спектр оператора лишь постоянным множителем отличается от спектра оператора вида, действующего в пространстве 2 (0, 1); C2 по формуле и имеющего область определения Здесь = (1, ), = (1, ), · = 0, 1 = diag((), ()), элементы матрицы 1 суммируемы на (0, 1), функция () непрерывна, не имеет нулей на [0; 1], arg () непрерывен и монотонен на [0, 1].

Спектральная теория операторов вида восходит к классическим работам Дж.Д. Биркгофа5 и Я.Д. Тамаркина6, в которых изучались системы вида 5 Birkhoff G. D. On the asymptotic character of the solutions of certain linear differential operations contain a parameter // Trans.Аmer.Math.Soc. V. 9. 1908. P. 219–231.; Boundary value and expansion problems of ordinary linear differential equations // Trans.Аmer.Math.Soc. V. 9. 1908. P. 373–395.

6 Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды. Петроград. 1917.

где 0, 1 — достаточно гладкие матрицы, 0 () при каждом [0, 1] невырождена, диагонализуема и собственные значения 1,..., матрицы 0 () удовлетворяют условиям Независимо друг от друга Биркгоф и Тамаркин показали, что если соотно­ шения (7) верны, то фундаментальная матрица решений (ФМР) системы (6) при больших допускает асимптотические разложения, равномерные по arg и [0, 1]. Это позволило определить для системы (6) важный в вопросах разложения класс регулярных краевых условий где, — квадратные матрицы -го порядка. В дальнейшем краевые задачи для систем вида (6) изучались многими авторами с различных точек зрения.

За редким исключением во всех этих исследованиях неизменно присутствовало условие (7). Между тем задачи вида (6), (8), для которых условие (7) не вы­ полняется, представляют как практический, так и теоретический интерес (см.

главу X монографии7 и дальнейшие ссылки).

Если отказаться от условия (7), то возникают трудности, связанные с от­ сутствием асимптотических разложений для ФМР системы (6): непонятно, как определять краевые условия, что понимать под регулярностью. Обратимся к тем результатам, которые были получены без предположения условия (7). Пер­ вая попытка отказаться от этого условия была предпринята Р.Е. Лангером в работе8, в которой взамен условию (7) требуется аналитичность матриц 0 и 1 в некоторой окрестности отрезка [0, 1], такой, что для любой точки и пары (, ) существует кривая (), лежащая целиком в, соединяющая точку с 0 или 1, при движении вдоль которой точки аргумент функции ( () ()) постоянен. При выполнении этого условия Лангер получает те же результаты, что Биркгоф и Тамаркин. Отметим также работы9, в кото­ рых найдена асимптотика спектра (всего или только части, расположенной в определенном угле) оператора второго порядка, порожденного в 2 ((0, 1); C ) [0, 2), ([0; 1]), ([0; 1]), и граничными условиями типа Дирихле в случае, когда собственные числа матрицы (все или только часть из них) меняются на фиксированных лучах. В работе10 показано, что в случае, когда 7 Mennicken R., Mller M. Non-Self-Adjoint Boundary Eigenvalue Problems. Elsevier, Amsterdam – London.

2003.

8Langer R. E. The boundary problem of an ordinary linear differential system in the complex domain // Trans. Amer. Math. Soc. V. 46. 1939. P. 151–190.

9 Бойматов К. Х., Костюченко А. Г. Распределение собственных значений несамосопряженных диф­ ференциальных операторов второго порядка // Вестн. МГУ. Сер. матем., мех. № 3. 1990. С. 24–31.; Бой­ матов К. Х. Асимптотика спектра несамосопряженных систем дифференциальных операторов второго порядка // Мат.заметки. Т. 51, № 4. 1992. С. 8–16.

10 Davies E. B., Eigenvalues of an elliptic system // Math. Zeitschrift. V. 243. 2003. P. 719–743.

матрица 0 кусочно постоянна и 1 = 0, характеристическая функция спектра краевой задачи (6), (8) является квазиполиномом, так что спектр допускает представление где N. При некоторых дополнительных условиях представление (9) сохра­ няет силу и в случае бесконечного числа «кусков» ( = ) [11]. Класс матриц 0, 1 для которых спектр задачи (6), (8) удовлетворяет (9), не исчерпывает­ ся рассмотренными выше. В работе [4] показано, что формула (9) верна (при 1 = 0) для где функция кусочно аналитична на [0, 1] и бесконечно дифференцируема в точках «склейки».

Как показано в упомянутой выше работе Дэвиса, в случае, когда не яв­ ляется отрезком, невозмущенный оператор является спектрально неустой­ чивым. Поэтому мы ожидаем, что спектр оператора, а значит, и может иметь вид (9) лишь для весьма узкого класса матриц 0, 1. Эта гипотеза для оператора с матрицей 0 вида (10) и 1 = 0 была высказана М.В.Федорюком еще в 1983 году11. Решая задачу описания классов возмущений, мы факти­ чески подтверждаем эту гипотезу.

Рассмотрим оператор. Известно (см., например,12 ), что собственные числа простые, лежат на луче arg = 2/(2 + ) и имеют асимптотику:

система собственных функций { } полна в 2 (0, ). При = 0 { } об­ разуют ортонормированный базис в 2 (0, ), оператор 0 согласно теореме Келдыша является спектрально устойчивым: если — оператор умножения на функцию (), удовлетворяющую условию то собственные числа { } оператора = + при надлежащей нумерации имеют асимптотику 11 Федорюк М. В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных урав­ нений. M.: Наука., 1983.

12 Лидский В. Б. Несамосопряженный оператор типа Штурма–Лиувилля с дискретным спектром // Тр. ММО. T. 9. 1960. C. 45-–79.

Если 0 < || <, то где — нормированная собственная функция, соответствующая собственному числу оператора *, 0, 1 — положительные числа. Так как почти норми­ рованность некоторого базиса влечет почти нормированность биортогонально­ го ему базиса, то из (14) следует, что при 0 < || < никакой базисности нет.

Оценка (14) означает, что оператор является спектрально неустойчивым. В работе14 показано, что если =, где 0 < / < 1, то Из результатов работы15 следует, что соотношение (15) при = 2 верно и тогда, когда уходит в по кривой = +, 1/3 < 1. Численные расчеты, полученные в этой же работе, показывают, что постоянная 1/3 является опти­ мальной. Аналогичная картина имеет место вблизи луча arg = 2/(2 + ).

Таким образом, оператор при = 0 является спектрально неустойчи­ вым. Поэтому так же, как в случае с оператором, следует ожидать, что класс возмущений, при которых имеет место (13), весьма узок.

Оператор вида, где вместо в качестве потенциала выступает про­ извольная комплекснозначная локально суммируемая на [0, +) функция, стремящаяся к 0 на +, условимся также называть оператором Шредингера с комплексным убывающим потенциалом (ОШКУП). Спектральная теория ОШ­ КУП берет свое начало в работе М.А. Наймарка16, в которой впервые были обнаружены так называемые спектральные особенности и их особая роль в теоремах разложения. В дальнейшем результаты М.А. Наймарка уточнялись и обобщались В.Э. Лянце, Б.С. Павловым, Б.Я. Левиным, Дж. Шварцем, Х.Х.

Муртазиным и др. (подробную библиографию см. на с.490 книги17 ).

Особый интерес к ОШКУП обусловлен, прежде всего, потребностями кван­ товой механики. Как известно, рассеяние в квантовой механике описывается волновыми операторами ± (, 0 ), где 0, — гамильтонианы свободной и взаимодействующей систем соответственно. Одна из основных задач теории рассеяния — доказательство существования и (слабой) асимптотической пол­ ноты операторов ±. Ключевую роль при решении этой задачи играют оценки граничных значений резольвенты оператора : ( ± 0)1, ess. Су­ ществует весьма изящная и эффективная конструкция, позволяющая не только исследовать поведение резольвенты вблизи вещественной оси, но и построить (в 13 Davies E. B.Wild spectral behaviour on anharmonic oscillators // Bull. London Math. Soc. V. 32.

14 Davies E. B.Pseudo-spectra, the harmonic oscillator and complex resonances // Proc. R. Soc. Lond. 1999.

V. 455. P. 585–599.

15 Boulton L. S. The Non-self-adjoint harmonic oscillator, compact semigroups and pseudospectra // J.

Oper. Theory. V.47. 2002. P. 413–429.

16 Наймарк М. А. Исследования спектра и разложения по собственным функциям несамосопряжен­ ного дифференциального оператора 2-го порядка на полуоси // Тр. МMO. Т. 3. 1954. С. 181–270.

17 Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука. 1969.

случае аналитичных потенциалов) мероморфное продолжение резольвенты на нефизический лист, выявлять собственные числа, погруженные в существен­ ный спектр, а также резонансы — полюса резольвенты на нефизическом листе.

Речь идет о методе комплексного скейлинга18, в процессе применения которого и возникают ОШКУП. Этот метод позволяет доказать, что резольвента ОШКУП, а значит, и его функция Вейля допускают мероморфное продолжение с об­ ласти C( ) через луч ess ( ) = [0, +) на нефизический лист. Этот факт (еще до появления метода комплексного скейлинга) был установлен В.Э. Лянце (1966 г.) для ОШКУП в классе достаточно быстро (порядка ( ), > 2) убы­ вающих потенциалов, допускающих аналитическое продолжение в некоторый угол. В 1982 г. результат В.Э. Лянце был распространен Х.Х. Муртазиным на случай потенциалов с произвольной скоростью убывания. Как в вышеупомяну­ тых работах, непосредственно посвященных ОШКУП, так и в огромном числе работ, где применяется метод комплексного скейлинга (см.,например, обзор19 и имеющиеся там ссылки), неизменно присутствует требование аналитичности коэффициентов соответствующих дифференциальных выражений. В связи с этим возникает вопрос о необходимости этого условия.

Оператор принято рассматривать в качестве упрощенной модели для известного в гидродинамике оператора Орра – Зоммерфельда. Правомерность такой трактовки впервые была обоснована в работе20, в которой было доказа­ но, что при () = или 2 спектры операторов Орра – Зоммерфельда при больших > 0 и при малых > 0 накапливаются около одного и того же множества, называемого предельным спектральным графом (ПСГ) и состо­ ящего из трех кривых, соединяющих некоторую точку 0 := { : Im < («спектральный галстук»). В дальнейшем в работе21 этот результат был распространен на класс функций, которые a) вещественны и строго монотонны на отрезке [1, 1];

b) допускают аналитическое продолжение в некоторую окрестность отрезка [1, 1] такую, что (), непрерывна на замыкании области := 1 (), отображение : — биекция.

Если условие монотонности нарушается, то ПСГ операторов может иметь более сложную структуру. Однако и в том и в другом случае часть ПСГ, лежащая в области = { : | ( + )/2| }, при достаточно 18 Aguilar J., Combes J. M. A class of analytic pertubations for one-body Schrdinger Hamiltonians // Commun. Math. Phys. V. 22. 1971. P. 268–279.; Balslev E., Combes J. M. Spectral properties of many body Schrdinger operators with dilation – analytic interactions // Commun. Math. Phys. V. 22. 1971. P. 280–294.

19 Sjstrand J. A trace formula and review of some estimates for resonances // NATO Adv. Sci. Inst. Ser.

C Math. Phys. Sci. V. 490. Kluwer Acad. Publ., Dordrecht. 1997. P. 377—437.

20 Туманов С. Н., Шкаликов А. А. О локализации спектра задачи Орра–Зоммерфельда для больших чисел Рейнольдса // Мат. заметки. Т. 72, № 4. 2002. С. 561-–569.

21 Шкаликов A.A. Спектральные портреты оператора Орра–Зоммерфельда при больших числах Рей­ нольдса. Труды международной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (Москва, 11–17 августа, 2002). Часть 3. СМФН. T. 3. M.: МАИ. 2003. C. 89—112.

больших > 0 состоит из единственной кривой. Более того, если, то это утверждение остается справедливым и в том случае, когда 0 по любому лучу arg = (это свойство назовем -свойством):

существует достаточно большое > 0, что множество (, ) — часть ПСГ операторов, arg =, лежащая вне круга {| ( + )/2| }, — состоит из единственной кривой (, ) = () {| ( + )/2| }, где кривая () определена по формуле то есть для любого > 0, || /2 найдется (, ) > 0, такое, что при всех 0 < < (, ) часть спектра оператора, =, лежащая вне круга {| ( + )/2| }, содержится в -окрестности кривой (, ).

С другой стороны, ПСГ операторов с кусочно постоянным потенциалом состоит из конечного или бесконечного числа лучей вида = { =, 0}, [11]. Наличие разрывов функции не по существу: из двух аналитических кусков можно склеить бесконечно гладкую функцию так, что (, ) при всех достаточно больших > 0 будет состоять из двух гладких кривых, имеющих единственную общую точку (см. Пример 1 из [4]).

Отсюда возникает предположение: ПСГ операторов с потенциалом обладает -свойством лишь в том случае, когда допускает аналитическое продолжение в некоторую окрестность отрезка [1, 1].

Цели и задачи. Основная цель диссертации — разработка нового метода, пригодного для изучения спектральных свойств операторов, далеких от само­ сопряженных, в частности, для описания классов возмущений, сохраняющих некоторые свойства спектра. На основе этого метода предполагается решение следующих задач:

1. Выяснить, насколько необходимо условие кусочной аналитичности мат­ рицы, фигурирующее в работах Р.Е. Лангера, Э.Б. Дэйвиса, для -локализации спектра операторов или в смысле (9).

2. Найти необходимое и достаточное условие на возмущения оператора, сохраняющих асимптотику спектра.

3. На примере оператора выяснить, как «работает» метод в условиях наличия непрерывной компоненты спектра.

4. На примере оператора выяснить эффективность метода для исследо­ вания спектра далеких от самосопряженных дифференциальных операторов в в квазиклассическом пределе.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. В ра­ боте получены следующие основные результаты:

22 См. Лемму 2.6 из цитированной на с. 9 работы А.А. Шкаликова.

1. Разработан новый метод, который позволяет впервые в ситуации, когда не работает теорема Келдыша, получить для различных типов дифференциаль­ ных операторов полное описание классов возмущений, сохраняющих определен­ ное спектральное свойство. Этот метод с одинаковым успехом применм как к регулярным, так и к сингулярным дифференциальным операторам, спектр ко­ торых может быть как чисто дискретным, так и содержать непрерывную часть.

Метод полезен и в задачах, связанных с локализацией спектра дифференциаль­ ных операторов в квазиклассическом пределе.

2. Получено необходимое и достаточное условие на матрицу-потенциал, при котором спектр оператора Дирака на бесконечности -локализован (в смысле (9)).

3. Дано полное описание класса возмущений комплексного ангармони­ ческого осциллятора, сохраняющих асимптотику спектра.

4. Для оператора доказана необходимость известных достаточных усло­ вий Х.Х. Муртазина существования мероморфного продолжения функции Вей­ ля на некоторый угол из нефизического листа.

5. Доказана необходимость (в существенной части) достаточных условий А.А. Шкаликова, при которых бесконечная компонента предельного спектраль­ ного графа оператора состоит из одной кривой. Кроме того, в самосопря­ женном случае найдено необходимое и достаточное условие экспоненциально малого расщепления спектра.

Теоретическая и практическая значимость работы. Результаты дис­ сертации носят теоретический характер и могут быть использованы в теории операторов, теории дифференциальных уравнений, квантовой механике, аку­ стике, теории гидродинамической устойчивости. Методика исследования, при­ менявшаяся в диссертации, может быть использована при изучении других да­ леких от самосопряженных дифференциальных операторов.

Методология и методы исследования. В связи с тем, что рассматри­ ваемый класс операторов по определению неустойчив относительно малых воз­ мущений, стандартные методы, используемые при решении прямых задач для операторов, близких к самосопряженным (ВКБ, теории возмущений) становят­ ся непригодными для наших целей. Поэтому на первый план выходит метод обратных задач. Однако, спектрально неустойчивые дифференциальные опера­ торы характеризуются тем, что для решений уравнения = асимптотика при больших не «выбивается», поэтому классический метод, основанный на уравнении Гельфанда - Левитана - Марченко (ГЛМ), в данном случае не приме­ ним. Мы предлагаем принципиально новый подход, основанный на некотором нелинейном уравнении = 0 +(). Это уравнение, по сравнению с уравнением ГЛМ, более приспособлено к случаю операторов, далеких от самосопряженных, в следующем смысле: свободный член 0 допускает аналитическое продолжение в некоторую окрестность соответствующего промежутка (точнее: принадле­ жит классу Смирнова () при некотором > 1) тогда и только тогда, когда имеет место -локализация спектра(в смысле (9)) и () инвариантен отно­ сительно (нелинейного) оператора, что позволяет к указанному уравнению применить метод последовательных приближений и показать принадлежность классу ().

Степень достоверности и апробация результатов. Основные резуль­ таты диссертации докладывались автором на семинаре кафедры математиче­ ского анализа БашГУ (руководитель проф. Муртазин Х.Х.), на семинаре ка­ федры дифференциальных уравнений БашГУ (руководитель проф. Султана­ ев Я.Т.), на семинаре кафедры теории функций и функционального анализа Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (руководи­ тель проф. Костюченко А.Г.), на семинаре лаборатории операторных моделей и спектрального анализа Московского государственного университета им. М.В.

Ломоносова (руководитель проф. Шкаликов А.А.), на семинаре лаборатории динамических систем Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН (ру­ ководитель академик Тайманов И.А.), на семинаре кафедры математической физики и вычислительной математики Саратовского государственного универ­ ситета им. Н.Г. Чернышевского (руководитель проф. Юрко В.А.), на семинаре отделов дифференциальных уравнений и комплексного анализа Института ма­ тематики с вычислительным центром Уфимского научного центра Российской Академии Наук (руководители член-корреспондент РАН Напалков В.В., проф.

Калякин Л.А., проф. Новокшенов В.Ю.). Отдельные результаты были доложе­ ны на международной конференции «Спектральная теория дифференциальных операторов и смежные вопросы», посвященной 70-летию академика А.М. Ильи­ на (Стерлитамак, 1998), на международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной памяти академика И.Г. Петров­ ского (Москва, 2004, 2007, 2011), на международной конференции «Функцио­ нальные пространства, теория приближений, нелинейный анализ», посвящен­ ной столетию академика С.М. Никольского (Москва, 2005), на международной конференции «Весовые оценки дифференциальных и интегральных операторов и их приложения (Астана, 2007), на международной конференции «Современ­ ные проблемы математики, механики и их приложений», посвященной 70-летию академика В.А. Садовничего (Москва, 2009), на Третьем конгрессе Всемирно­ го математического общества тюркоязычных стран (Алматы, 2009), на между­ народной конференции «Спектральная теория операторов и ее приложения», посвященной памяти проф. А.Г. Костюченко (Уфа, 2011), на международной конференции «Функциональный анализ и его приложения» (Астана, 2012), на международной конференции «Нелинейные уравнения и комплексный анализ»

(Уфа, 2013), на международной конференции «Нелинейный анализ и спектраль­ ные задачи» (Уфа, 2012, 2013).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] — [12], из которых [1] — [10] входят в «Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, выпускаемых в РФ, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени доктора наук», утвержденный ВАК РФ. Из работы [2], выполненной совместно с Х.Х. Муртазиным, в диссертацию включены только результаты, полученные автором лично.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 139 наименований. Общий объем диссертации — 208 страниц.

Содержание работы Во Введении формулируются основные задачи, рассматриваемые в дис­ сертации, излагается история вопроса, дается обзор литературы, обсуждаются основные результаты и структура диссертации.

В первой главе доказывается критерий безмонодромности для уравне­ ния Штурма – Лиувилля и системы Дирака, представляющий собой ядро ме­ тода, на котором будут основываться все утверждения о классах возмущений операторов 1) — 4).

Кривую на комплексной плоскости договоримся называть кусочно - глад­ кой, если для нее существует параметризация удовлетворяющая следующим условиям: при некотором разбиении 0 = 0 < 1,. Такую параметризацию будем называть допустимой. Если функция () абсолютно непрерывна на кусочно гладкой кривой (относительно меры || на ), то функция () := (()) абсолютно непрерывна на [0, 1]. Функцию определенную почти всюду на, будем называть производной вдоль. Анало­ гично определим () и т.д. (в предположении что эти объекты существуют).

Отметим, что,,... не зависят от выбора допустимой параметризации.

где 1 (). Обозначим через { } собственные числа этой задачи, пронуме­ рованные в порядке неубывания модулей с учетом кратностей. Если функция аналитична в области, ограниченной кривой и отрезком [0; 1], и непре­ рывна вплоть до границы, то спектр задачи (17) — (18) не меняется при деформировании кривой в отрезок [0, 1], так что Ясно, что для выполнения (19) вовсе необязательна аналитичность. На­ пример, при решения (17) выражаются через функции Бесселя полуцелого порядка, которые не имеют ветвления в точке, поэтому при замене на отрезок [0; 1] спектр за­ дачи (17) — (18) не меняется, так что и в этом случае справедливо соотношение (19).

Однако при нецелых является точкой ветвления для решений уравне­ ния (17), поэтому собственные числа задачи (17) — (18) распадаются на две серии (см. [4]), которые при больших номерах локализуются около двух лучей:

Таким образом, вопрос о локализации спектра задачи (17) — (18) тесно связан с однозначностью решений уравнения (17) при всех значениях спектрального параметра.

Введем обозначения. Пусть функция мероморфна в некоторой области C. Уравнение (17) (или потенциал ) будем называть безмонодромным в области, если все его решения при всех значениях параметра мероморфны в области. При этом мы также будем говорить, что для полюсов выполняется условие безмонодромности. Множество безмонодромных в области потенциа­ лов обозначим (). Через 0 () обозначим множество потенциалов из (), имеющих в конечное число полюсов.

Если функция определена и суммируема на некоторой замкнутой кусоч­ но - гладкой кривой, то уравнение (17) (или потенциал ) будем называть безмонодромным на кривой, если (), где () матрица монодромии для кривой. Обозначим через () множество безмонодромных на потен­ циалов.

Известно23, что уравнение (17) безмонодромно в тогда и только тогда, когда для любого полюса функции где N, 0,..., 1 — некоторые числа, функция () аналитична в неко­ торой окрестности точки.

Обозначим через () множество функций, аналитичных в области.

Согласно (20), для любой функции 0 () найдется единственная функция () и конечный набор (, ) N, = 1,, такие, что В частности, если граница области — спрямляемая жорданова кривая, то в 23 Duistermaat J. J., Grnbaum F. A. Differential equations in the spectral parameter // Commun. Math.

Phys. V. 103. 1986. P. 177–240.

качестве () можно рассматривать классы Смирнова24 (). Из определе­ ния следует, что функция из () при 1 не имеет полюсов на границе. Поэтому и в случае 1 () спектр задачи (17) — (18) сохраняется при замене кривой на отрезок [0, 1]. Следовательно, для выполнения асимптоти­ ческой оценки (19) достаточно, чтобы 1 ().

В связи с этим возникает Задача 0.1. Описать класс функций, безмонодромных на некоторой замкну­ той кривой, в частности, выяснить, насколько условие 1 () необхо­ димо для выполнения оценки (19).

Первая часть Задачи 0.1 решается в параграфе 1.1.

Теорема 0.1 (Основной результат параграфа 1.1). Если — выпуклая область с кусочно - гладкой границей, то () = 1 ().

В параграфе 1.2 мы распространяем утверждение Теоремы 0.1 на систему Дирака Для упрощения выкладок мы ограничимся случаем 2 () (то есть 1, 2 2 ()). Пусть — выпуклая область с кусочно - гладкой границей. Безмо­ нодромность уравнения (21) и матричного потенциала определяется так же, как и для уравнения (17). Множество безмонодромных потенциалов в и на кривой будем обозначать через () и () соответственно. 0 () для уравнения (21) по-прежнему будет означать множество матриц из (), имеющих конечное число полюсов в. Для систем Дирака критерий типа (20) известен25 только в случае, когда точка = является полюсом второго поряд­ ка для матрицы + 2 (потенциала уравнения ( )2 = 2 ). Однако, эти условия имеют довольно громоздкий вид. Кроме того, в отличие от скалярно­ го случая, регулярная особенность систем не исчерпывается полюсами второго порядка. Как видно из предыдущего параграфа, при формулировке критерия безмонодромности мы можем обойтись без явного вида этих условий. Положим лива Теорема 0.2 (Основной результат параграфа 1.2). Если — выпуклая область с кусочно - гладкой границей, то 2 () = 2 ().

24 Привалов И. И. Граничные свойства аналитических функций. М.–Л.: ГИТТЛ. 1950.

25 Goncharenko V. M., Veselov V. P. Monodromy of the matrix Schrdinger equations and Darboux transformations // J. Phys. A: Math. Gen. V. 31. 1998. P. 5315–5326.

Результаты первой главы опубликованы в работах [5, 10].

Во второй главе, основываясь на Теоремах 0.1 — 0.2, мы находим необ­ ходимое и достаточное условие -локализации спектра оператора Дирака.

Пусть — кривая c параметризацией (1) — (2) и пусть для определенности функция () не убывает. Обозначим 0 = (+0), 1 = (1 0). Переходя при необходимости к новой переменной = можно считать, что /2 < 0 < 0 < 1 < /2. Пространство Соболева, фигурирующее в определении оператора Дирака (3), мы понимаем так: (скалярная) функция () принадлежит 2 () тогда и только тогда, когда (()) 2 ([0, 1]). В силу гладкости кривой, это означает, что 2 () = { () : 2 ()}, где — производная вдоль.

Теорема 0.3. Предположим, что выполнены условия (4) и (). Тогда 1) — замкнутый оператор с компактной резольвентой, спектр кото­ рого за исключением конечного числа лежит внутри объединения двух углов 1 < arg(±) < 0.

2) Если при (1, 2 ) = (1, 2 ) = (1, 0) спектр оператора локализу­ ется около конечного числа лучей (в смысле (9)), то то же самое верно при любых 1, 2, 1, 2, удовлетворяющих условиям (4).

Теорема 0.3 позволяет ограничиться краевыми условиями специального вида 1 (0) = 1 (1) = 0. Операторы и в этом специальном случае будем обозначать так же. Легко проверить, что ( ) = {0, ±, ±2,... }.

В дальнейшем нам удобнее будет локализацию спектра понимать в более широком, чем (9), смысле. Для этого введем характеристическую функцию спектра оператора :

где (, ) — решение уравнения (21), удовлетворяющее начальным условиям Тогда 0 — собственное значение оператора алгебраической кратности то­ гда и только тогда, когда 0 является нулем () кратности. Таким образом, задача сводится к изучению распределения нулей целой функции экспоненци­ ального типа (). Исходя из этого, примем следующее Определение 0.1. Будем говорить, что спектр оператора m-локализован тогда и только тогда, когда его характеристическая функция () является функцией вполне регулярного роста, сопряженная диаграмма которой есть невырожденный m-угольник.

Пусть { } — собственные числа, пронумерованные в порядке воз­ растания модулей с учетом алгебраических кратностей, (,, ) — число в секторе { : || <, < arg < }. Тогда в силу известного свойства функций вполне регулярного роста m-локализация спектра означает, что существует разбиение /2 < 1 < · · · < 1 < 3/2, такое, что функция где (,,, ) и (, ) — число собственных значений оператора соот­ ветственно в секторе { < arg <, || < } и круге {|| < }.

Третья глава посвящена исследованию условий 1-локализации спектра воз­ мущений оператора. В параграфе 3.1 обсуждаются вопросы, связанные с асимптотикой спектра специальных классов возмущений оператора. Снача­ ла мы устанавливаем один факт об условиях устойчивости свойства 1-локализа­ ции спектра произвольного замкнутого оператора с компактной резольвентой.

Теорема 0.9. Пусть 0 — замкнутый оператор с компактной резольвентой, действующий в некотором гильбертовом пространстве H, удовлетворяет следующим условиям:

1. Спектр 0 локализован около луча arg = 0 и при некотором > 3. Существует неубывающая на [0; ) функция (), обладающая свой­ Тогда если спектр оператора = 0 +, где — 0 -ограничен с нулевой 0 -гранью, также локализован около некоторого луча arg = 0, то 0 = Рассмотрим теперь оператор 0 = + 0, где 0 — оператор умножения на функцию 0 (·) 2 [0, +) и такую, что 0 () = ( ), +. Тогда операторы 0 = и = 0 удовлетворяют всем условиям Теоремы 0.9, кроме, быть может, (38). Отсюда получаем Cледствие. Если спектр оператора 0 локализован около некоторого луча arg = 0, то 0 = 2/(2 + ) и Таким образом, для нахождения асимптотики спектра оператора 0 реша­ ющее значение имеет условие (38). Для его выполнения приходится наклады­ вать на 0 довольно жесткие ограничения:

Теорема 0.10. Пусть функция 0 () = 0 () · удовлетворяет усло­ виям А) — Б). Тогда для собственных чисел { } оператора 0 справедливо соотношение где {0 } — спектр оператора — удовлетворяет оценке (11).

Уже в следующей теореме видна важность условий A) — Б).

Теорема 0.11. Пусть функция 0 дополнительно к А) — Б) удовлетворяет условию Далее пусть — оператор умножения на финитную, квадратично суммиру­ емую на своем носителе [0; ] функцию (), которая в некоторой полуокрест­ ности точки допускает представление где 0, ( 0) существует, конечен и не равен 0.

Тогда спектр оператора = 0 + распадается на 2 серии { } и { }1, имеющие асимптотики где { } — собственные значения оператора 0.

В параграфе 3.2 будут доказаны 2 теоремы, которые вместе с Теоремой 0.11 в некотором смысле «наводят» на основной результат. Первая из них пред­ ставляет некий аналог теоремы Амбарцумяна28 :

Теорема 0.12. Пусть выполнены условия А) — В) и — произвольная фи­ нитная и суммируемая функция. Тогда если спектр оператора состоит только из одной серии, имеющей асимптотику то = 0 п.в. на supp и, следовательно, =.

В следующей теореме мы доказываем, что условие подчинения Б), которое при выполнении А) кажется вполне естественным для сохранения асимптотики спектра, вовсе необязательно (по крайней мере, для операторов с потенциалом, имеющим логарифмический рост).

Пусть 0 — оператор с потенциалом 0 = ln, 0 < <. Используя ме­ тод комплексного скейлинга и результат работы29, легко показать, что спектр Теорема 0.13. Существует мероморфная в угле { : < arg < 0} функция () такая, что ся полюсами второго порядка функции ();

2) Для собственных чисел { } оператора = 0 + справедливо со­ отношение (13).

S 3.3 посвящен доказательству основного результата главы. Мы ограничим­ ся гладкими возмущениями в следующем смысле: — оператор умножения на функцию (), которая, дополнительно к (12), удовлетворяет условиям 28 Ambarzumian V. A. Uberline Frage der Eigenwerttheorie // Zs. f. Phys. V. 53. 1929. P. 690–695.

29 Бойматов К. Х. Оператор Штурма – Лиувилля с матричным потенциалом // Мат.заметки. Т. 16, № 6. 1974. С. 921–932.

Обозначим () = + (), = { = (), [0, +)}. Далее пусть и + — решения уравнения для которых справедливы асимптотические представления где = 0, 1, (, ) 0 при + равномерно по из любого компакта C, не пересекающегося с кривой.

Ясно, что если функция удовлетворяет условиям (12) и (42) на неко­ тором луче arg =, то существуют решения ±, удовлетворяющие условиям (44) относительно этого луча.

Введем обозначения. Пусть = +, = +, где — опера­ тор, который получается из заменой краевого условия (0) = 0 на (0) = 0.

Далее обозначим через { }, { }, { } и { } — собственные числа операторов,, и соответственно, пронумерованные в порядке воз­ растания модулей с учетом их кратностей. Пусть 0 < < (случай < < аналогичен). Обозначим (, ) = {|| < }.

Теорема 0.14 (Основной результат главы 3). Пусть допускает меро­ морфное продолжение в угол так, что b) угловые граничные значения на луче arg = /(2 + ) таковы, что функция () = (/(2+) ) удовлетворяет условиям (12) и (42), уравнения (43), удовлетворяющие оценке (44) на лучах arg = 0 и arg = /(2 + ) соответственно.

Тогда {2/(2+) } и {2/(2+) } являются собственными числами операторов 0 + (и 0 +, где — оператор умножения на функцию Обратно, если существует функция () такая, что (i) для нее выполнены условия (12) и (42), (ii) {2/(2+) } и {2/(2+) } являются собственными числами опе­ раторов 0 + и 0 +, то допускает мероморфное)продолжение в угол так, что выполняются a) — c), причем /(2+) = 2/(2+) ().

Результаты третьей главы опубликованы в работах [1, 7].

В четвертой главе изучаются спектральные свойства оператора Шре­ дингера с комплексным убывающим потенциалом и модельного оператора, связанного с оператором Орра-Зоммерфельда.

Основная цель первой части четвертой главы (§4.1) — распространение результатов второй и третьей глав на случай, когда спектр невозмущенного оператора не дискретен.

Оператор при любом C является близким (в смысле квадратичных форм) к самосопряженному оператору 0 := |=0.

Лемма 0.2. Пусть — оператор умножения на функцию. Тогда при любом > 0 оператор = (0 + ) 2 (0 + ) 2 компактен.

Следовательно, ess ( ) = ess (0 ) = [0, +) C. Для дискретного спектра имеем несколько другую картину.

Теорема 0.15. Справедливы утверждения:

простых собственных чисел, лежащих на луче arg() = 2arg, а именно, порядке возрастания собственные числа самосопряженного оператора 1 := |=1, которые имеют асимптотику ·(1/4)2/(2), +, > 0 — постоянная, которая вычисляется явно;

2) при 2 |arg| дискретный спектр оператора пуст;

3) при всех C оператор на полуоси [0, +) не имеет ни собствен­ ных значений, ни спектральных особенностей.

Введем в рассмотрение семейство операторов = +, где — оператор умножения на комплекснозначную измеримую функцию (), удо­ влетворяющую условию В работе Л.А. Сахновича31 при > 0, = 1 и вещественном, удовлетворяю­ щем оценке:

было показано, что { ()} — собственные числа оператора, пронумеро­ ванные в порядке возрастания, — имеют асимптотику 31 Сахнович Л. А. О спектре радиального уравнения Шредингера в окрестности нуля // Матем. сб.

Т. 67(109), № 2. 1965. С. 221–243.

где 2/(2) > 0 при > 0, константа вычисляется явно, — некоторая не зависящая от вещественная константа, которую называют квантовым дефек­ том.

Легко проверить, что из (46) следует (45). Следующая теорема показывает, что формула (47) остается справедливой и при комплексных, удовлетворяю­ щих (45) и дополнительному условию (50), которое выполняется автоматически в случае вещественных.

Теорема 0.16. Пусть > 0 и функция удовлетворяет оценке (45). Обо­ значим через ± () 2 линейно независимых решения уравнения удовлетворяющие асимптотическим оценкам Тогда если то для собственных чисел () оператора (при надлежащей нумерации) справедливо разложение (47), где — вещественная постоянная, не завися­ щая от.

Пусть всюду далее в этом параграфе 0 < arg < 2 ( случай 2 < arg < 0 аналогичен). Обозначим = 2, = { : < arg < 0}, () = {|| < }. Если [0, +), 1, то будем говорить, что допускает аналитическое продолжение () в угол, если > 0 () ( ()) и при почти всех > 0 угловое граничное значение функции в точке совпадает с ().

Теорема 0.17. Пусть а) функция 2 (0, +) и допускает аналитическое продолжение () в угол так, что () 0, равномерно по arg 0 (на лучах arg = 0 и arg = предел понимается в смысле почти всюду);

б) функция () = ( ) удовлетворяет оценке 0 (1+/2 )| ()| < в) ± (0) = 0, где ± получаются из ± заменой в (48) () + () на Тогда для собственных чисел () оператора (при надлежащей ну­ мерации) справедливо разложение (47).

Теоремы 0.16 и 0.17 показывают, как сильно отличаются условия на для выполнения (47) при arg = 0 и 0 < arg < 2. Ниже мы покажем, что это расхождение — по существу: несколько ослабленные условия а) — в) становят­ ся необходимыми и достаточными для выполнения некоторого, более сильного чем (47), свойства. Но прежде мы докажем 2 теоремы о финитных возмуще­ ниях, которые, с одной стороны, служат удобным «тестом» на спектральную неустойчивость, с другой — позволяют «нащупать » свойство.

Теорема 0.18. Пусть финитна (supp [0, ]) и в некоторой полу­ окрестности точки допускает представление () = ( ) (), где 0, ( 0) существует, конечен и не равен 0.

Тогда функция Вейля оператора допускает мероморфное продолже­ ние в угол = {2 < arg < 2( + arg/(2 ))}, которое имеет неограни­ ченную последовательность полюсов около луча arg = 2 :

Теорема 0.19. Пусть функция — финитна и суммируема на своем носи­ теле. Тогда если disc ( ) = disc ( ), то = 0 п.в. на (0, +).

Прежде чем сформулировать основной результат, заметим следующее: ес­ ли 1 (0, +), то уравнение имеет решение (Йоста), которое при каждом [0, +) удовлетворяет оценке где Известно (см., например, главу 2 книги32 ), что при каждом фиксированном 0 функции (, ) и (, ) аналитичны в C [0, +) и непрерывны вплоть до верхнего и нижнего берегов разреза по > 0 и нули (0, ) образуют ограниченное множество. Следовательно, — функция Вейля оператора — мероморфна в C [0, +), ее полюса об­ разуют ограниченное множество, могут скапливаться только к лучу [0, +) и Рассмотрим оператор = +, где функция 1 (0, +).

32 Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М.: Физматлит. 2007.

Теорема 0.20 (Основной результат параграфа 4.1). Пусть функция имеет мероморфное продолжение () в угол так, что (a) каждый полюс функции () удовлетворяет условию безмонодром­ ности, (b) функция () := 2 ( ), > 0, суммируема на (0, +), (c) существует некоторое бесконечное множество { = 0 : arg 2}, имеющее хотя бы одну конечную предельную точку 0 = 0, что Тогда () — функция Вейля оператора — имеет мероморфное про­ должение () c области C [0, +) в угол, такое, что является функцией Вейля оператора || +.

Обратно, если () имеет мероморфное продолжение () в угол так, что (53) является функцией Вейля оператора || + с некоторым 1 (0, +), то имеет мероморфное продолжение () в угол, при этом выполнены (a) (c), причем () ().

Параграф 4.2 посвящен вопросу о степени необходимости условия для выполнения -свойства. Сразу отметим, что поскольку условие позволяет получить гораздо более полную информацию о ПСГ, чем -свойство (см. Теорему 2.2 из цитированной на с. 9 работы А.А. Шкаликова), то можно на­ деяться лишь на частичное обращение импликации ( ) = ( -свойство).

Введем обозначения. Пусть > 0 и. Положим где — образ отрезка [1, 1] при отображении (54), () — функция, обратная к функции (, ).

Так как возрастает, то из (54) следует, что кривая при любом выпукла вверх. Обозначим через область, ограниченную кривой и отрезком [0, 1], соединяющим концы.

Теорема 0.21 (Основной результат параграфа 4.2). Пусть возраста­ ет на [1, 1] и [1, 1]. Тогда если ПСГ операторов при некотором 0 (/2, /2]{±/4} обладает -свойством, то при любом функ­ ция (, ) допускает мероморфное продолжение с кривой в область с конечным числом полюсов.

В параграфе 4.3 мы продолжаем изучение свойств оператора в самосо­ пряженном случае. А именно, для оператора () := при = /4, > 0, с вещественнозначным потенциалом 2 [1, 1] мы получим критерий (экс­ поненциально малого) расщепления спектра.

В работе33 доказано, что если () — четная дважды непрерывно диффе­ ренцируемая на [1; 1] функция и имеет изолированный локальный максимум в точке = 0 (потенциальный барьер), то собственные значения оператора, расположенные ниже потенциального барьера, группируются парами + и, причем их разность при +0 экспоненциально мала — происходит расщеп­ ление спектра. Метод этой работы существенно связан с четностью потенциала.

Наша цель — выяснить, насколько наличие барьеров одинаковой высоты и фор­ мы необходимо для расщепления спектра.

Введем обозначения. Без ограничения общности можно считать, что наи­ меньшее значение функции () равно 0. Пусть функция () обращается в нуль в точках 1 1 < · · · < 1 и положительна вне этих точек. В дальнейшем при выполнении этих условий будем говорить, что имеет по­ тенциальных ям. Потенциальную яму (1, 1) будем называть регулярной, если найдутся некоторые положительные постоянные,, 1, 2, такие, что при Точки ±1 будем называть регулярной потенциальной ямой, если неравенства вида (55) выполняются в соответствующей полуокрестности этих точек. Пусть ( ; +1 ), ( = 1, ), 0 = 1, +1 = 1. Обозначим через () самосопря­ женные операторы, порожденные в 2 ( ; +1 ) дифференциальным выражени­ ем () := 2 + и краевыми условиями ( ) = (+1 ) = 0, ( = 1, ).

Далее, пусть { } и { } — собственные значения операторов () и (), пронумерованные в порядке возрастания.

Теорема 0.22 (Основной результат параграфа 4.3). Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема на [1; 1] и имеет n регулярных по­ тенциальных ям. Тогда оператор () имеет n экспоненциально близких при +0 собственных значений (),... +1 (), то есть () () = (/ ), +0 (, =, + 1), с некоторым > 0, тогда и только тогда, когда у операторов 1 (),..., () существуют собственные значе­ ния 11 (),..., (), где 1,..., не зависят от, также экспоненциально близкие при +0.

Достаточное условие существования экспоненциально близких собствен­ ных значений операторов () доставляет Теорема 0.23. Пусть (2) [1; 1] и имеет потенциальных ям в точках 33Аленицын А. Г. Расщепление спектра, порожденное потенциальным барьером в задачах с симмет­ ричным потенциалом // Дифференц. уравнения. Т. 18, №11. 1982. С. 1971-1975.

(), [1 ; 1 + ], = 2,. Тогда операторы 1 (),..., () имеют собственные значения 1 (),..., (), экспоненциально близкие при +0.

То, что существование нескольких потенциальных ям одинаковой глубины и формы не является необходимым, показывает следующий Пример. Пусть (0; 1). Положим и обозначим через 1 () и 2 () операторы, порожденные соответственно в 2 (0; ) и 2 (; 1) дифференциальным выражением 2 2 /2 + () и усло­ виями Дирихле. Обозначим через () ( = 1, 2, = 1, 2,... ) собственные значения операторов (). Тогда где < 0 — -й нуль функции Эйри. Отсюда видно, что если = ( / )3/ при некоторых,, то () ()!

Результаты четвертой главы опубликованы в работах [2, 3, 8, 9, 12].

Публикации автора по теме диссертации 1. Ишкин Х. К. Асимптотика спектра и регуляризованный след сингуляр­ ных дифференциальных операторов высшего порядка // Дифф. уравнения.

Т. 31, № 10. 1995. С. 480–490.

2. Ишкин Х. К., Муртазин Х.Х. О квантовом дефекте оператора Дирака с неаналитическим потенциалом // ТМФ. Т. 125, № 3. 2000. С. 444–452.

3. Ишкин Х. К. Критерий расщепления спектра // Мат. заметки. Т.72, № 5.

2002. C. 670–681.

4. Ишкин Х. К. О необходимых условиях локализации спектра задачи Штурма – Лиувилля на кривой // Мат. Заметки. Т.78, № 1. 2005. С. 72–84.

5. Ишкин X. K., О критерии однозначности решений уравнения Штурма – Лиувилля // Мат. заметки. Т. 84, № 4. 2008. C. 552–566.

6. Ишкин Х. К. О критерии локализации собственных чисел спектрально неустойчивого оператора // Докл. РАН. Т. 429, № 3. 2009. С. 301–304.

Штурма–Лиувилля с комплексным потенциалом // Дифф. уравне­ ния. Т. 45. № 4. 2009. С. 480–495.

8. Ишкин Х. К. Об условиях локализации предельного спектра модельного оператора, связанного с уравнением Орра – Зоммерфельда // Докл. РАН.

Т. 445, № 5. 2012. С. 506–509.

9. Ишкин Х. К. Об аналитических свойствах функции Вейля оператора Штурма – Лиувилля с комплексным убывающим потенциалом // Уфим­ ский матем. журнал. Т. 5, № 1. 2013. С. 36–55.

10. Ишкин X. K., О критерии безмонодромности уравнения Штурма­ Лиувилля // Мат. заметки. Т.94, № 4. 2013. C. 552–568.

11. Ишкин Х. К. О локализации спектра задачи с комплексным весом // Фун­ даментальная и прикладная математика. 2006. Т. 12, № 5. С. 49–64.

12. Ishkin Kh. K. On continuity of the spectrum of a singular quasi-differential operator with respect to a parameter // Eurasian Math. J. V. 2, № 3. 2011.

P. 67–81.





Похожие работы:

«ЗАРУЧЕВСКАЯ ГАЛИНА ВАСИЛЬЕВНА ПРИМЕНЕНИЕ МЕЛКОЗЕРНИСТОГО ЛОКАЛЬНОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ МЕТОДОМ СЕТОК 05.13.18 – математическое моделирование, численные методы и комплексы программ АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Петрозаводск 2008 Работа выполнена в Поморском государственном университете Научный руководи- доктор технических наук, профессор тель Воробьев Владимир Анатольевич...»

«Какуткина Наталья Александровна ГОРЕНИЕ ГАЗОВ В ГЕТЕРОГЕННЫХ СИСТЕМАХ Специальность: 01.04.17 – Химическая физика, горение и взрыв, физика экстремальных состояний вещества АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук Новосибирск 2011 Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте химической кинетики и горения Сибирского отделения РАН Официальные оппоненты : доктор физико-математических наук, профессор Зарко Владимир...»

«БОГДАН Андрей Владимирович АМПЛИТУДЫ КХД С КВАРКОВЫМ ОБМЕНОМ ПРИ ВЫСОКОЙ ЭНЕРГИИ 01.04.02 - теоретическая физика АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук НОВОСИБИРСК-2007 Работа выполнена в Институте ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ: Фадин – доктор физико-математических наук, профессор, Виктор Сергеевич Институт ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН, г. Новосибирск. ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: Липатов –...»

«ДОБРЫНИН АЛЕКСЕЙ БОРИСОВИЧ ПРОСТРАНСТВЕННОЕ СТРОЕНИЕ, КОНФОРМАЦИЯ И СТЕРЕОЭЛЕКТРОННЫЕ ЭФФЕКТЫ В ФОС С НЕСИММЕТРИЧНЫМИ 6-ЧЛЕННЫМИ ГЕТЕРОЦИКЛАМИ ПО ДАННЫМ РЕНТГЕНОСТРУКТУРНОГО АНАЛИЗА 02.00.08-Химия элементоорганических соединений АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата химических наук Казань 2002 Работа выполнена в лаборатории дифракционных методов исследования Института органической и физической химии им. А.Е. Арбузова Казанского научного центра...»

«ОСИПОВ ОЛЕГ СЕРГЕЕВИЧ ПЕРЕСТАНОВКИ ИНТЕГРАЛОВ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Специальность: 01.01.01 – Математический анализ АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Томск 2009 Работа выполнена на кафедре математического анализа Томского государственного университета кандидат физико-математических наук, Научный руководитель : доцент Сибиряков Геннадий Васильевич Официальные оппоненты : доктор физико-математических наук, профессор...»

«Сенюкова Ольга Викторовна Разработка алгоритмов семантической сегментации и классификации биомедицинских сигналов низкой размерности на основе машинного обучения Специальность 05.13.11 – математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва – 2012 Работа выполнена на кафедре автоматизации систем вычислительных комплексов факультета...»

«УДК 515.12 Тожиев Илхом Ибраимович ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВА ИДЕМПОТЕНТНО-ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ НА АЛГЕБРЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ КОМПАКТА 01.01.04 – Геометрия и топология АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Ташкент – Работа выполнена в Институте математики и информационных технологий Академии Наук Республики Узбекистан Научный...»

«Матвеев Евгений Леонидович ОПТИМИЗАЦИЯ КВАНТИЛЬНОГО КРИТЕРИЯ ПРИ ВЫПУКЛОЙ ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ СТОХАСТИЧЕСКОГО КВАЗИГРАДИЕНТНОГО АЛГОРИТМА Специальность 05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации (авиационная и ракетно-космическая техника) АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва, 2010 Работа выполнена на кафедре Теории вероятностей Московского авиационного института (государственного технического...»

«КРУТИКОВА Алла Александровна СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ НА ОСНОВЕ НАНОКРИСТАЛЛИЧЕСКОГО КРЕМНИЯ Специальность: 02.00.02 – Аналитическая химия АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата химических наук Москва–2007 Работа выполнена на кафедре аналитической химии Московской Государственной академии тонкой химической технологии им. М.В. Ломоносова Научный руководитель : доктор химических наук, профессор Ищенко Анатолий Александрович Официальные...»

«Романов Вячеслав Сергеевич МОДЕЛИ И МЕТОДЫ УПРАВЛЕНИЯ СТОИМОСТЬЮ КОМПАНИИ НА ОСНОВЕ ДОХОДНОГО ПОДХОДА Специальность 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Москва – 2006 Работа выполнена на кафедре инновационного менеджмента Московского физико-технического института (государственного университета) Научный руководитель : кандидат физико-математических наук...»

«Хохлов Алексей Анатольевич МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИФРАКЦИИ ЛИНЕЙНО ПОЛЯРИЗОВАННОГО СВЕТА НА МНОГОСЛОЙНЫХ ТОНКОПЛЁНОЧНЫХ ПОКРЫТИЯХ 05.13.18 – математическое моделирование, численные методы и комплексы программ АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва–2011 Работа выполнена на кафедре систем телекоммуникаций Российского университета дружбы народов Научный руководитель : доктор физико-математических наук, профессор Севастьянов Леонид...»

«Панин Илья Александрович Прецизионный расчет электронного переноса в неидеальной плазме Специальность 05.13.18 – математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва 2009 Работа выполнена в Институте математического моделирования РАН Научный руководитель – доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН Калиткин Николай Николаевич Официальные оппоненты –...»

«МИРОНОВ ГЕННАДИЙ ИВАНОВИЧ ТЕОРИЯ ДВУМЕРНЫХ И НАНОРАЗМЕРНЫХ СИСТЕМ С СИЛЬНЫМИ КОРРЕЛЯЦИЯМИ В МОДЕЛИ ХАББАРДА 01.04.02 – теоретическая физика Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук Казань – 2008 2 Работа выполнена на кафедре теоретической физики ГОУ ВПО Казанский государственный университет им. В.И. Ульянова-Ленина Научный консультант : доктор физико-математических наук, профессор Кочелаев Борис Иванович Официальные оппоненты :...»

«Коломиец Сергей Федорович Применение доплеровских методов при вертикальном радиолокационном зондировании осадков в широком диапазоне длин волн и пространственно-временных масштабов Специальность – 01.04.03 Радиофизика автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва, 2009 г. Работа выполнена в государственном федеральном унитарном предприятии Гидрометпоставка,...»

«Соколов Андрей Павлович О СЛОЖНОСТИ ПЕРЕСТРОЙКИ ФОРМАЛЬНЫХ НЕЙРОНОВ 01.01.09 дискретная математика и математическая кибернетика АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание уч ной степени е кандидата физико-математических наук МОСКВА — 2013 Работа выполнена на кафедре Математической теории интеллектуальных систем (МаТИС) Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова. Научный руководитель Кудрявцев Валерий Борисович доктор...»

«Стефанов Константин Сергеевич Комплекс инструментальных средств разработки программ для вычислительных систем с параллельной архитектурой 05.13.11 – Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва 2007 Работа выполнена в...»

«РОЗОВ Алексей Вячеславович АППРОКСИМИРУЕМОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ СВОБОДНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ ГРУПП В НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ КОНЕЧНЫХ ГРУПП Специальность 01.01.06 математическая логика, алгебра и теория чисел АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Ярославль 2013 Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования Ивановский государственный университет Научный руководитель...»

«Щепетилов Алексей Валериевич АНАЛИЗ И МЕХАНИКА НА ДВУХТОЧЕЧНО-ОДНОРОДНЫХ РИМАНОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Специальность 01.01.03 – математическая физика Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук Москва, 2009 г. Работа выполнена на кафедре математики физического факультета Московского государственного университет имени М.В.Ломоносова Официальные оппоненты :...»

«Попов Константин Игоревич ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ КОНФОРМАЦИЙ ГРЕБНЕОБРАЗНЫХ МАКРОМОЛЕКУЛ И ИХ САМООРГАНИЗАЦИИ НА ПОВЕРХНОСТИ 02.00.06 – Высокомолекулярные соединения АВТОРЕФЕРАТ Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва – 2009 Работа выполнена на кафедре физики полимеров и кристаллов физического факультета Московского государственного университета имени М....»

«Тихоцкий Сергей Андреевич Разработка математических методов и алгоритмов решения обратных задач геофизики и обработки геофизических данных 25.00.10 – Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук Москва – 2011 Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте физики Земли им. О.Ю.Шмидта РАН. Официальные оппоненты : д.ф.-м.н., профессор Винник Лев Павлович...»














 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.