WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Коллокационные методы со старшими производными и неявная экстраполяция численного решения

на правах рукописи

Хрусталева Екатерина Юрьевна

КОЛЛОКАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ СО СТАРШИМИ

ПРОИЗВОДНЫМИ И НЕЯВНАЯ

ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ

Специальность: 05.13.18 математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание учной степени е кандидата физико-математических наук

Ульяновск – 2010

Работа выполнена на кафедре Информационных технологий в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Ульяновский государственный университет.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент Куликов Геннадий Юрьевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Горбунов Владимир Константинович доктор физико-математических наук, профессор Кузнецов Евгений Борисович

Ведущая организация: ГОУ ВПО Ульяновский государственный технический университет

Защита состоится 24 ноября 2010 года в 1130 часов на заседании диссертационного совета Д 212.278.02 при Ульяновском государственном университете по адресу: г. Ульяновск, ул. Набережная р. Свияги, 106, корп. 1, ауд. 703.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Ульяновского государственного университета, с авторефератом – на сайте ВУЗа http://www.uni.ulsu.ru.

Автореферат разослан 2010 года.

Просьба направлять отзыв на автореферат в одном экземпляре, заверенном печатью организации по адресу: 432000, г. Ульяновск, ул. Л.Толстого, д. 42, УлГУ, Управление научных исследований.

Ученый секретарь диссертационного совета Волков М.А.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) представляют собой неотъемлемую часть математического моделирования динамических объектов. Однако размер и сложность современных моделей делает аппарат аналитических вычислений практически неприемлемым в данной ситуации. Поэтому проблеме численного интегрирования задач вида x (t) = g(t, x(t)), t [0, T ], (1а) x(0) = x0, (1б) где правая часть g : Rm+1 Rm является достаточно гладкой функцией, отводится существенное место в вычислительной математике. Такие задачи возникают как непосредственно при математическом моделировании в области биологии, медицины, механики, электротехники, химии и т. д., так и при решении более сложных систем уравнений (например, при дискретизации задач математической физики методом прямых).





В настоящее время к наиболее перспективным алгоритмам численного решения задачи Коши для ОДУ можно отнести экстраполяционные методы. Общая теория экстраполяционных методов, использующих неявные одношаговые схемы, была впервые предложена Куликовым Г.Ю.1 Наряду с хорошо изученными стандартными одношаговыми методами Рунге-Кутты в качестве опорных для построения экстраполяционных схем, можно предложить сравнительно новые одношаговые методы Рунге-Кутты, использующие старшие производные (см., например, Аульченко С.М., Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В.2, Куликов Г.Ю., Kulikov G.Yu. On implicit extrapolation methods for ordinary dierential equations// Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 2002. V. 17, № 1. P. 41–69.

Аульченко С.М., Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В. Метод численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием интерполяционных полиномов Эрмита// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1998. Т. 38, № 10. С. 1665–1670.

Меркулов А.И.3, Fehlberg E. 4, Kastlunger K.H.5, Nrsett S.P.6 ). Однако, исследования в этой области пока достаточно ограничены, а определение условий симметричности таких методов и использование их в качестве базовых для построения экстраполяции не изучалось вовсе.

Далее следует отметить, что важнейшим этапом в эффективной реализации любого численного метода для интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений является разработка механизма автоматического управления размером шага с целью обеспечения требуемой точности вычисления за минимальное (или приемлемое) время. Дополнительным преимуществом экстраполяционных методов является возможность автоматического подбора оптимальных размера шага и порядка в каждой точке сетки. Вопрос о надежной и достоверной оценке точности численного решения ОДУ неразрывно связан с проблемой оценки глобальной ошибки, которой посвящено достаточно большое число работ. В то время как обсуждению алгоритмов автоматического контроля глобальной ошибки уделено значительно меньше внимания. Можно указать лишь относительно небольшое количество статей, так или иначе затрагивающих эту тематику: Новиков Е.А.7, Dahlquist G.8, Lindberg B.9, Skeel R.D.10, Stetter H.J.11. А важное преимущество экстраполяционных методов, позволяющее управлять не только размером шага, но и порядком самого Куликов Г.Ю., Меркулов А.И. Об одношаговых коллокационных методах со старшими производными для решения обыкновенных дифференциальных уравнений// Журнал вычислительной математики и математической физики. 2004. Т. 44, № 10. С. 1782–1807.

Fehlberg E. New high-order Runge-Kutta formulas with step size control for systems of rst and second order dierential equations// ZAMM. 1964. V. 44, Sonderheft P.T17–T19.





Kastlunger K.H., Wanner G. Runge-Kutta processes with multiple nodes// Computing. 1972. V. 9. P. 9–24.

Nrsett S.P. One-step methods of Hermite type for numerical integration of sti systems// BIT. 1974. V. 14. P. 63–77.

Новиков Е.А. Оценка глобальной ошибки A-устойчивых методов решения жестких систем// Доклады академии наук. 1995. Т. 343, № 4. С. 452–455.

Dahlquist G. On the control of the global error in sti initial value problems// Lecture Notes in Mathematics. Berlin-New York: Springer, 1982. V. 912. P. 38–49.

Lindberg B. Characterization of optimal stepsize sequences for methods for sti dierential equations// SIAM Journal on Numerical Analysis. 1977. V. 14, № 5.

P. 859–887.

Skeel R.D. Thirteen ways to estimate global error// Numerische Mathematik.

1986. V. 48. P. 1–20.

Stetter H.J. Local estimation of the global discretization error// SIAM Journal on Numerical Analysis. 1971. V. 8. P. 512-523.

метода, практически не используется.

Таким образом, объектом исследования являются неявные одношаговые экстраполяционные схемы, а предметом исследования – алгоритмы комбинированного управления шагом и порядком экстраполяционных процессов, позволяющие находить численное решение, удовлетворяющее заданным требованиям к точности, в автоматическом режиме.

Цель и задачи работы. Целью работы является построение и тестирование новых численных методов, использующих старшие производные и экстраполяционную технику, для решения обыкновенных дифференциальных уравнений. А также разработка теории комбинированного управления размером шага численного интегрирования и порядком одношаговых методов (в том числе и коллокационных методов со старшими производными) с использованием экстраполяций, позволяющей достичь наперед заданную точность вычислений в автоматическом режиме. В соответствии поставленной целью решались следующие задачи:

• разработка алгоритмов неявного локально-глобального управления порядком и шагом экстраполяционных методов;

• исследование свойств одношаговых методов Рунге-Кутты, использующих старшие производные;

• эффективная реализацию разработанных в диссертации алгоритмов с использованием новых упрощенных итераций Ньютона;

• разработка комплекса программ для численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений с заданной точностью в автоматическом режиме.

Методы исследования. В диссертационной работе использованы методы вычислительной математики, математического и функционального анализа, линейной алгебры и программирования.

Научная новизна. Все основные результаты настоящей диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Разработаны алгоритмы контроля локальной и глобальной ошибок неявных экстраполяционных методов для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

2. Построены экстраполяционные схемы, использующие коллокационные методы со старшими производными, для нахождения численного решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений и изучены их фундаментальные свойства.

3. Разработаны алгоритмы контроля локальной и глобальной ошибок экстраполяционных методов, использующих коллокационные методы со старшими производными, для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

4. Предложена эффективная схема упрощенных итераций Ньютона, оптимизирующих реализацию разработанных в диссертации алгоритмов.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Методика построения присоединенных и симметричных коллокационных методов со старшими производными, формулы для вычисления коэффициентов таких методов.

2. Способы автоматического контроля локальной и глобальной ошибок экстраполяционных методов, использующих неявные одношаговые методы Рунге-Кутты и коллокационные методы со старшими производными, для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

3. Методика построения упрощенных итераций Ньютона, доказательство сходимости комбинированных схем неявных экстраполяционных методов с использованием нового итерационного процесса, вывод асимптотической оценки погрешности.

4. Комплекс программ на языке C++, позволяющий интегрировать системы обыкновенных дифференциальных уравнений с заданной точностью в автоматическом режиме.

Достоверность результатов. Достоверность результатов обеспечивается строгостью постановок задач и доказательств теорем, использованием аналитических и численных методов расчета, методов математического моделирования и применением современных методик экспериментального исследования.

Практическая и теоретическая значимость. Полученные в диссертации новые результаты представляют интерес для численного решения систем ОДУ экстраполяционными методами с контролем локальной и глобальной ошибок. В прикладном аспекте такие методы могут с успехом быть использованы для разработки автоматизированных систем математического моделирования в различных областях науки и техники, поскольку способность обеспечивать заданную пользователем точность вычислений в автоматическом режиме существенно повышает достоверность математического моделирования на практике.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались: на пятой международной научно-технической конференции Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов (Ульяновск, 2003), на XXVI конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва, 2004), на 4th International Conference on Computer Science (Krakow, Poland, 2004).

Личный вклад автора. Постановка задач осуществлялась совместно с научным руководителем, д.ф.-м.н. Г.Ю. Куликовым, теоретические положения, проведение расчетов и анализ полученных результатов выполнены автором самостоятельно.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ, в том числе 3 в рецензируемых научных изданиях, рекомендованных ВАК, их список помещен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (162 наименования) и приложения. Общий объем диссертации составляет 128 страниц, из них страниц основного текста, 10 страниц приложения. Работа включает таблиц и 20 рисунков.

Первая глава, состоящая из 3 параграфов, носит вводный вспомогательный характер и содержит обзор литературы, посвященной как различным аспектам теории экстраполяционных методов для решения ОДУ, так и вопросам получения и практического использования оценок локальной и глобальной ошибок с целью управления размером шага и порядком численного интегрирования.

Вторая глава, состоящая из трех параграфов, посвящена неявным экстраполяционным методам и проблеме локального контроля точности.

В параграфе 2.1 рассматривается модификация известного алгоритма управления порядком и шагом в явных экстраполяционных методах12.

Предлагается улучшить производительность процедуры управления за счет более точного учета трудоемкости экстраполяции. Новая концепция работы на шаге базируется не на числе вызовов функции для вычисления правой части исходной задачи, а на подсчете реальных затрат процессорного времени, что позволяет проводить численное интегрирование максимально эффективно. Идея оптимального выбора порядка состоит в минимизации затрат машинного времени, необходимых на вычисление каждого шага экстраполяционного метода.

Данные вычислительных экспериментов, приведенные в параграфе 2.1, говорят о том, что модифицированное (т.е. с новой идей для вычислении работы на шаге) автоматическое управление длиной шага и порядком ГБШ-алгоритма действительно работает на практике и позволяет находить численное решение за очень короткое время и с приемлемой точностью. Причем, при сравнении результатов работы стандартного и модифицированного алгоритмов, мы наблюдаем значительное увеличение эффективности последнего за счет более точного учета трудоемкости экстраполяции. Дополнительным преимуществом предложенной модификации является тот факт, что алгоритм Хайрера с соавт. с новой концепцией вычисления работы может быть успешно адаптирован к неявным экстраполяционным методам, которые более устойчивы, чем явные процессы.

Далее, в параграфе 2.2, производится адаптация описанной выше процедуры управления для неявных экстраполяционных методов и показывается, что модифицированный алгоритм достаточно работоспособен и в этом случае. Неявные экстраполяционные методы представляют особый интерес с практической точки зрения, поскольку именно они обладают свойствами, необходимыми для квадратичной экстраполяции, которая значительно эффективней обычной. Однако при реализации следует учесть невозможность нахождения точного численного решения, определяемого одношаговым методом. В этом случае применение стандартного алгоритма Хайрера с соавт. попросту неэффективно, так как число вызовов функции для вычисления правой части уже не будет достоверно отражать трудоемкость алгоритма, поскольку для выполнения каждого шага метода необходимо использовать итерационные приближения. ОднаХайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990.

ко идея для вычисления работы на шаге, предложенная в параграфе 2.1, остается работоспособной и в этом случае, так как мы используем такой универсальный критерий трудоемкости как затраты машинного времени.

Результаты практической реализации указанной процедуры контроля, приведенные в параграфе 2.3, однозначно подтверждают работоспособность рассмотренного способа автоматического управления длиной шага и порядком неявных экстраполяционных методов. Здесь же отмечается, что, учитывая только величину локальной ошибки, невозможно получить численное решение с наперед заданной точностью в автоматическим режиме, что является наиболее важным при решении задачи.

Третья глава, состоящая из двух параграфов, занимает важное место в диссертационной работе, она посвящена проблеме контроля точности численного решения систем дифференциальных уравнений на основе автоматического управления размером шага интегрирования и порядком в неявных одношаговых экстраполяционных методах.

В параграфе 3.1 предлагается новая концепция управления размером шага и порядком экстраполяционного метода, в основе которой лежит контроль как локальной, так и глобальной ошибки численного решения.

Конечно, управление глобальной ошибкой требует дополнительных затрат машинного времени, но зато позволяет находить численное решение, удовлетворяющее наперед заданным требованиям к точности, в автоматическом режиме.

В параграфе 3.1 представлена улучшенная версия алгоритма устойчивого неявного локально-глобального контроля точности, адаптированная к неявным экстраполяционным методам и основанная на контроле большего числа членов в асимптотическом разложении глобальной ошибки. В основе этого алгоритма лежит методика Куликова13 оценки глобальной ошибки одношаговых численных методов.

Итак, введем на отрезке [0, T ] произвольную неравномерную сетку Тогда одношаговый метод вида Kulikov G.Yu. A local-global version of a stepsize control for Runge-Kutta methods// Korean Journal of Computational and Applied Mathematics. 2000. V. 7, № 2.

P. 289–318.

Рис. 1: Схема неявного локально-глобального контроля точности переменного порядка где x0 = x, а aij, bi и ci – вещественные коэффициенты, называется l-стадийным методом Рунге-Кутты (РК-методом).

Известно, что если интегрирование исходной задачи (1) велось с постоянным шагом k, то глобальная ошибка метода (2) имеет следующее асимптотическое представление в виде ряда по степеням размера этого шага:

где k = O(k ) и i (t), i = s, s + 1,..., S, суть решения задач Коши в которых i+1 (t) означает коэффициент главного члена локальной ошибки некоторого одношагового метода. При i = s этот член, т.е. s+1 (t), совпадает с коэффициентом главного члена локальной ошибки исходного РК-метода (2).

Суть представленного на рисунке 1 контроля точности заключается в следующем. Допустим, что мы уже вычислили два главных члена глобальной ошибки с необходимой точностью и выяснили, что размер шага k является слишком большим и не позволяет найти численное решение с оценкой глобальной ошибки, не превосходящей установленного предела glob. Тогда новая концепция оптимального порядка состоит в том, чтобы поднять точность интегрирования за счет увеличения порядка экстраполяционного метода для фиксированного размера шага k. Поэтому, если возможно, мы поднимаем порядок экстраполяционного метода на единицу (или на два в случае квадратичной экстраполяции) и вычисляем коэффициенты старших членов локальной ошибки s+q2 (tk+1 ) и s+q1 (tk+1 ) (после численного интегрирования исходной задачи экстраполяционным методом порядка s + q 1 на локальном интервале [tk, tk+1 ]). Здесь необходимо отметить, что члены асимптотического разложения глобальной ошибки базового РК-метода (2), могут интерпретироваться как компоненты, содержащие главный член локальной ошибки экстраполяционного метода при соответствующем выборе числа экстраполяций, при условии, конечно, что глобальная ошибка в предыдущей точке сетки tk равна нулю (в пределах установленной точности). В итоге, величины s+q2 (tk+1 ) и s+q1 (tk+1 ) означают приближенные значения для неоднородных членов в уравнении (4) при i = s + q 3 и i = s + q 2, т.е. для s+q2 (tk+1 ) и s+q1 (tk+1 ), найденные с точностью по крайней мере O(k ). Далее, если найденные величины удовлетворяют локальному контролю точности (не превосходят установленного предела loc ), численно интегрируем дифференциальное уравнение (4) неявным методом Эйлера с целью нахождения достаточно точных оценок для коэффициентов двух первых членов в разложении глобальной ошибки (3). Проверив погрешность этого интегрирования, мы осуществляем контроль точности приближенного решения с помощью двух последних членов в разложении глобальной ошибки, исключенных в результате применения экстраполяции. Контроль точности численного решения задачи (4), особенно необходимый при решении жестких дифференциальных уравнений вида (1), осуществляется за счет повторного вычисления оценок для коэффициентов двух главных членов в разложении глобальной ошибки (3), но только методом второго порядка (рекомендуется применять либо неявное правило средней точки, либо правило трапеций). Разности этих коэффициентов, найденных численными методами первого и второго порядков, дают нам оценки локальных ошибок для решений уравнения (4) при i = s+q3 и i = s+q2, полученных неявным методом Эйлера. Эти оценки обозначены как s+q3 (tk+1 ) и s+q2 (tk+1 ) на рисунке 1. Затем, если вычисление двух главных членов проведено достаточно точно, мы проверяем, что полученная оценка глобальной ошибки удовлетворяет заданному критерию точности. Под этим понимается, что как главный член в разложении глобальной ошибки, так и сумма двух первых членов не превосходят в некоторой норме наперед заданной точности вычислений (glob ). Итак, если найденная оценка глобальной ошибки удовлетворяет установленному критерию качества численного решения, то мы переходим к интегрированию задачи (1) в следующей точке сетки. Если нет, то увеличиваем порядок экстраполяционного метода еще раз. При этом, порядок экстраполяционного метода в каждой точке сетки фиксируется как минимальный обеспечивающий заданную точность вычислений. Если повышение порядка далее невозможно, то мы достигаем необходимую точность за счет уменьшения размера шага.

Подчеркнем, что мы контролируем глобальную ошибку численного метода порядка s + q 3, а интегрирование ведем на самом деле численным методом порядка s + q 1. Поэтому мы имеем некоторый запас точности для ошибок округления, ошибок итерационных методов, вовлеченных в неявную экстраполяцию, и ошибок, возникающих из-за усечения разложения (3) (мы пренебрегаем членами порядка s + q 1 и выше). В квадратичной экстраполяции такой запас прочности составляет четыре порядка, что плодотворно сказывается на точности вычислений. Обратим внимание, что текущий порядок экстраполяционного метода, а значит и значение параметра q, устанавливающего количество численных решений исходной задачи (1) на локальном интервале [tk, tk+1 ], определяется в каждой точке сетки автоматически. Естественным ограничением сверху на порядок неявного экстраполяционного метода является число итераций, которое мы выполняем при интегрировании неявным РК-методом (2). Поэтому, в случае если поднять точность интегрирования экстраполяционным методом уже нельзя из-за погрешности итерационного процесса, вовлеченного в реализацию базового РК-метода (2), а обеспечить заданную точность вычислений для размера шага k еще не удалось, то мы проводим повторное интегрирование исходной задачи (1) на локальном интервале [tk, tk+1 ], увеличив число итераций Niter на единицу.

Заметим, что приведенный выше алгоритм автоматического управления размером шага и порядком экстраполяции будет работать и в явных методах, рассмотренных в параграфе 2.1. Однако контроль глобальной ошибки в таким методах будет приводить к значительным дополнительным затратам машинного времени. Для неявных же экстраполяционных методов дополнительные затраты компьютерного времени будут относительно небольшими, так как реализация неявной экстраполяции и вычисление оценки глобальной ошибки требуют решения линейных систем с матрицами коэффициентов, задаваемыми матрицей Якоби исходной задачи (1). Таким образом, информация, необходимая для вычисления глобальной ошибки, доступна (и не требует дополнительных затрат) при использовании итераций ньютоновского типа.

Итак, улучшенный локально-глобальный контроль точности численного решения требует от пользователя задания максимального количества экстраполяций (qmax ), а также трех параметров: loc допуск на локальную ошибку численного метода, glob допуск на глобальную ошибку численного метода и lg допуск на локальную ошибку неявного метода Эйлера, примененного для приближенного решения уравнения (4) относительно коэффициентов двух главных членов разложения глобальной ошибки (3).

Далее, в параграфе 3.2 представлено всестороннее тестирование разработанной процедуры управления размером шага и порядком на дифференциальных уравнениях с известным решением и анализ результатов экспериментов. Во всех экспериментах установлена следующую связь между вышеуказанными допусками: loc = glob и lg = glob /10. Эти соотношения используются для того, чтобы показать какую пользу можно извлечь из дополнительного контроля глобальной ошибки при условии, что ограничения наложенные на локальную и глобальную погрешности численного решения идентичны. Таким образом, достаточно задать один из этих допусков, чтобы определить их все.

Четвертая глава, состоящая из 4 параграфов, содержит основные результаты диссертационной работы, полученные в классе одношаговых коллокационных методов со старшими производными, т.е. в ней теория комбинированного управления порядком и шагом расширена на упомянутые выше вычислительные схемы.

В параграфе 4.1 обсуждаются свойства присоединенности и симметрии для РК-методов со старшими производными общего вида.

Определение 1 Одношаговый метод вида где x0 = x0, g (r) (tkj, xkj ) обозначает r-ую производную правой части задачи (1) по независимой переменной t, вычисленную в точке (tkj, xkj ), k размер k-го шага, а коэффициенты aij, bj и cj заданы таблицей:

в которой A вещественная матрица размера l (p1 +p2 +...+pl +l), а b и c вещественные вектора размера (p1 + p2 +... + pl + l) и l соответственно, i, j = 1, 2,..., l, r = 0, 1,..., pj, причем (cj [0, 1]), называется l-стадийным методом Рунге-Кутты со старшими производными.

Известно, что симметричные одношаговые методы определяются с помощью присоединенных. Таким образом, необходимо определить коэффициенты присоединенного метода для РК-формулы (5), содержащей производные высоких порядков.

Теорема 1 Пусть метод (5) представляет собой l-стадийный РКметод со старшими производными, коэффициенты которого заданы таблицей (6). Тогда присоединенным для метода (5) будет также lстадийный РК-метод со старшими производными и коэффициентами (r) (r) aij, bj, c вида По определению, симметричным называется такой одношаговый метод, который совпадает со своим присоединенным. Применяя эту идею к РК-методам со старшими производными (5), мы заключаем, что для симметрии достаточно потребовать, чтобы коэффициенты метода удовлетворяли следующим равенствам:

Подчеркнем, что формулы (8) необходимы для симметрии несократимого РК-метода со старшими производными. Кроме того, условия (8) подразумевают выполнение следующего равенства:

Таким образом, условие (9) становится естественным требованием для симметричных РК-формул со старшими производными.

Симметричные методы являются базой для квадратичной экстраполяции, которая весьма эффективна на практике. Поэтому в дальнейшем нам потребуются примеры симметричных РК-методов со старшими производными. Перейдем к семейству РК-методов со старшими производными, построенному Куликовым и Меркуловым в процитированной выше статье.

Эти методы получили название Е-методов со старшими производными:

k = 0, 1,..., K 1, где x0 = x0, gk+i = g (r) (tk+i, xk+i ), i = 0, 1/2, 1 и tk+i = tk + ik.

Чтобы Е-метод сходился с максимальным порядком 2p + 4, коэффициенты метода (10) должны удовлетворять следующим соотношениям:

В настоящей работе предлагается некоторое упрощение выражений для вычисления коэффициентов Е-методов вида (10).

Теорема 2 Коэффициенты a1 и a3 коллокационного метода (10) со старшими производными вычисляются по формулам Важным следствием параграфа 4.1 является доказательство того, что все Е-методы со старшими производными симметричны, а значит пригодны для квадратичной экстраполяции.

Теорема 3 Е-метод (10) с коэффициентами (11)–(12) является симметричным для любого целого p 0.

Заметим, что, как и любой неявный РК-метод, Е-методы со старшими производными требуют привлечения дополнительных итерационных процессов для практического нахождения численного решения, а число и тип итераций существенным образом влияют как на порядок сходимости, так и на эффективность вычислений.

Параграф 4.2 посвящен сокращению дополнительных вычислительных затрат, возникающих при использовании неявной экстраполяции. В настоящей работе предлагается новая наиболее эффективная схема упрощенного метода Ньютона для систем нелинейных уравнений, возникающих при дискретизации методами вида (10) (в смысле затрат машинного времени).

Итак, введем следующие обозначения: x(tk+1 ) значение точного решения задачи (1) в точке tk+1, xk+1 значение точного решения нелинейной задачи (10), а xk+1 = xk+1 (N ) задачи (10) в точке tk+1, полученное после N итераций некоторого итерационного процесса. Очевидно, что применение Е-методов со старшими производными приводит на практике к следующей дискретной задаче:

относительно вектора неизвестных а отображение G : R2m R2m задано формулой где p означает наперед заданное неотрицательное целое число, а коэффиr) (r) циенты ai, bj, i, j = 1, 2, 3, r = 0, 1,..., p, удовлетворяют соотношениям (11)–(12). Упрощенные итерации Ньютона для нелинейной задачи (13) запишем следующим образом:

где Fk = E2m G (E2m единичный оператор в R2m ) и Итак, построенные итерации (14) позволяют вычислять матрицу A и ее LU -разложение только один раз в каждой точке сетки, что является наиболее эффективным по затратам машинного времени. При этом, использование упрощенных итераций Ньютона вида (14) не приводит к ухудшению теоретических оценок достаточного числа итераций в узле сетки. Это вытекает из следующего результата.

Теорема 4 Пусть правая часть задачи (1) достаточное число раз дифференцируема в окрестности решения x(t) на отрезке [0, T ]. Тогда при диаметре сетки 0 приближенное решение этой задачи xk (N ), k = 1, 2,..., K, полученное с помощью комбинированного алгоритма (14), построенного на основе коллокационного метода (10) с коэффициентами (11) (12), существует и сходится к точному решению x(t).

Кроме того, для сеток с достаточно малым диаметром справедлива оценка ошибки Формула (15) имеет важное практическое значение, поскольку позволяет оценить минимальное число упрощенных итераций Ньютона, которые необходимо выполнить для достижения максимального порядка сходимости 2p + 4. Итак, из (15) получаем, что число упрощенных итераций Ньютона (14) в каждой точке сетки следует подчинить условию Данные вычислительных экспериментов, приведенные в конце параграфа, подтверждают все полученные выше теоретические результаты.

В параграфе 4.3 процедура автоматического управления длиной шага и порядком, разработанная для одношаговых экстраполяционных методов Рунге-Кутты в главе 3, обобщена на Е-методы со старшими производными. При построении этого управления, необходимо учитывать некоторые нюансы, связанные с использованием Е-методов со старшими производными. Обсуждаемый локально-глобальный контроль точности базируется на экстраполяционной технике, а значит порядок численного решения, вычисляемого в каждой точки сетки tk+1, будет меняться в зависимости от числа q интегрирований на локальном интервале [tk, tk+1 ].

Очевидно, что минимальное число упрощенных итераций (14), которое ограничивалось снизу условием (16), должно теперь соответствовать точности численного решения и тоже зависеть от параметра q. Принимая во внимание, что Е-методы (10) с коэффициентами (11)–(12) являются симметричными, а значит, могут быть использованы для построения квадратичной экстраполяции, приходим к выводу, что порядок экстраполяционной схемы, основанной на Е-методах со старшими производными, вычисляется по формуле 2(p + q 1) + 4. Тогда из оценки ошибки (15) можно получить условие для достаточного числа упрощенных итераций Ньютона. А затем, чтобы обеспечить максимальную точность вычислений, полностью исключив влияние ошибки итерационного процесса на ошибку комбинированного метода, и сделать контроль точности асимптотически корректным, мы увеличиваем количество итераций в каждой точке сетки на единицу, т.е. в дальнейшем будем вычислять достаточное число итераций (14) по формуле Отметим, что условие (17) является ключевым для надежного функционирования всей процедуры локально-глобального контроля точности переменного порядка. Как и в главе 3, работоспособность обсуждаемой процедуры контроля локальной и глобальной ошибок Е-методов со старшими производными зависит от трех параметров, устанавливаемых пользователем, а именно от loc допуска на локальную ошибку комбинированного Е-метода, glob допуска на глобальную ошибку комбинированного Еметода и lg допуска на локальную ошибку неявного метода Эйлера, примененного для приближенного решения уравнения (4) относительно коэффициентов двух главных членов разложения глобальной ошибки (3).

Для вычислительных экспериментов мы выбираем следующее соотношение между ними:

Таким образом, достаточно задать один из этих допусков, чтобы определить их все.

Далее, в параграфе 4.4 представлено всестороннее тестирование разработанной вычислительной техники на дифференциальных уравнениях с известным решением и анализ результатов экспериментов. Результаты вычислительных экспериментов подтверждают теоретические положения главы 4.

В Заключении кратко описаны основные направления диссертационного исследования и перечислены следующие основные результаты:

1. Построены и протестированы алгоритмы автоматического контроля локальной и глобальной ошибок экстраполяционных методов, использующих неявные одношаговые методы Рунге-Кутты и коллокационные методы со старшими производными, для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

2. Разработана методика построения присоединенных и симметричных коллокационных методов со старшими производными, выведены формулы для вычисления коэффициентов таких методов.

3. Разработана методика построения упрощенных итераций Ньютона, доказана сходимость комбинированных схем неявных экстраполяционных методов с использованием нового итерационного процесса, выведена асимптотическая оценка погрешности.

4. Разработан комплекс программ, написанных на языке C++ и ориентированных на решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений с заданной точностью.

Приложение, состоящее из одного параграфа, содержит описание библиотеки программ, использованной для проведения всех практических расчетов в рамках работы над диссертацией. Библиотека является набором процедур, написанных на языке C++ и ориентированных на решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений с заданной точностью.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, доценту Куликову Геннадию Юрьевичу за постоянное внимание и помощь в работе.

Список публикаций по теме диссертации.

Публикации в изданиях, входящих в перечень ВАК:

1. Хрусталева, Е.Ю. Об автоматическом управлении размером шага и порядком в явных одношаговых экстраполяционных методах / Г.Ю. Куликов, Е.Ю. Хрусталева// Журнал вычислительной математики и математической физики. 2008. Т. 48, № 8. C. 1392–1405.

2. Хрусталева, Е.Ю. Об автоматическом управлении размером шага и порядком в неявных одношаговых экстраполяционных методах / Г.Ю. Куликов, Е.Ю. Хрусталева// Журнал вычислительной математики и математической физики. 2008. Т. 48, № 9. C. 1580–1606.

3. Хрусталева, Е.Ю. Об автоматическом управлении длиной шага и порядком в одношаговых коллокационных методах со старшими производными / Г.Ю. Куликов, Е.Ю. Хрусталева// Журнал вычислительной математики и математической физики. 2010. Т. 50, № 6. C. 1060–1077.

Публикации в прочих изданиях:

4. Хрусталева, Е.Ю. Реализация и тестирование алгоритма управления порядком и шагом явных экстраполяционных методов// Фундаментальные проблемы математики и механики. Ульяновск: УлГУ, 2002. Вып. 11. С. 146–153.

5. Хрусталева, Е.Ю. О квадратичной экстраполяции, основанной коллокационных методах со старшими производными /Г.Ю. Куликов, А.И. Меркулов, Е.Ю. Хрусталева// Фундаментальные проблемы математики и механики. Ульяновск: УлГУ, 2003.

Вып. 1(13). С. 48–62.

6. Хрусталева, Е.Ю. О различных способах управления порядком и шагом явных экстраполяционных методов// Труды пятой международной конференции Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов.

Ульяновск: УлГУ, 2003. С. 200–202.

7. Хрусталева, Е.Ю. Симметричные коллокационные одношаговые методы со старшими производными и квадратичная экстраполяция /Г.Ю. Куликов, А.И. Меркулов, Е.Ю. Хрусталева// Материалы XXVI конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. Москва: Механико-математический факультет МГУ, 2004. С. 133–134.

8. Хрусталева, Е.Ю. Симметричные коллокационные одношаговые методы со старшими производными и квадратичная экстраполяция /Г.Ю. Куликов, А.И. Меркулов, Е.Ю. Хрусталева// Труды XXVI конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. Москва: Механико-математический факультет МГУ, 2004. Т. 2. С. 145–148.

9. Khrustaleva, E.Yu. On a family of A-stable collocation methods with high derivatives /G.Yu. Kulikov, A.I. Merkulov, E.Yu. Khrustaleva// In: Bubak M. et al (eds.): Computational Science ICCS 2004.

4th International Conference, Krakow, Poland, June 6–9 2004.

Proceedings, Part II. Lecture Notes in Computer Science, 2004.

V. 3037. P. 73–80.

10. Khrustaleva, E.Yu. Symmetric Runge-Kutta methods with higher derivatives and quadratic extrapolation / G.Yu. Kulikov, E.Yu. Khrustaleva, A.I. Merkulov// In: Alexandrov V.N. et al (eds.): Computational Science ICCS 2006. 6th International Conference, Reading, UK, May 28–31, 2006. Proceedings, Part I. Lecture Notes in Computer Science, 2006. V. 3991. P. 117–123.



Похожие работы:

«САЛГАНСКИЙ МИХАИЛ ЮРЬЕВИЧ ПОЛУЧЕНИЕ ВЫСОКОЛЕГИРОВАННОГО ГЕРМАНОСИЛИКАТНОГО СТЕКЛА И ВОЛОКОННЫХ СВЕТОВОДОВ НА ЕГО ОСНОВЕ С НИЗКИМИ ОПТИЧЕСКИМИ ПОТЕРЯМИ. Специальность: 02.00.01 –неорганическая химия Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата химических наук Нижний Новгород – 2011 г. Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте химии высокочистых веществ им. Г.Г. Девятых РАН Научный руководитель : Хопин Владимир Фёдорович, кандидат...»

«Строганов Антон Александрович АТОМАРНАЯ СТРУКТУРА ПОВЕРХНОСТИ И СЕНСОРНЫЕ СВОЙСТВА УГЛЕРОДНЫХ НАНОТРУБОК Специальность 05.27.01 - твердотельная электроника, радиоэлектронные компоненты, микро- и наноэлектроника, приборы на квантовых эффектах Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Москва - 2007 0 Работа выполнена в учебно-научном центре Зондовая микроскопия и нанотехнология Московского государственного института электронной техники...»

«ГИЗАТУЛЛИН Булат Ильдарович ОСОБЕННОСТИ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ПОДВИЖНОСТИ И ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ ЖИДКОСТЕЙ АДСОРБИРОВАННЫХ НА ПОВЕРХНОСТИ ПОРИСТЫХ СТЕКОЛ VYCOR Специальность 01.04.07 – физика конденсированного состояния Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Казань 2013 2 Работа выполнена на кафедре...»

«Сонькин Дмитрий Михайлович МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ СИСТЕМЫ ДИСПЕТЧЕРСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ТАКСОПАРКОМ НА БАЗЕ МУЛЬТИКАНАЛЬНЫХ НАВИГАЦИОННЫХ ТЕРМИНАЛОВ Специальность 05.13.11 – Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Томск – 2010 2 Работа выполнена в ГОУ ВПО Национальный исследовательский Томский политехнический университет Научный...»

«Лобова Галина Анатольевна ПЕРСПЕКТИВЫ ЮГОРСКОЙ ЗОНЫ НЕФТЕНАКОПЛЕНИЯ ПО КОМПЛЕКСУ ГЕОЛОГО-ГЕОФИЗИЧЕСКИХ ДАННЫХ 25.00.12 – геология, поиски и разведка горючих ископаемых; 25.00.10 – геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата геолого-минералогических наук Ханты-Мансийск 2009 Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Югорский государственный...»

«МУСИЕНКО Юрий Васильевич РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ ЛАВИННЫХ ФОТОДИОДОВ ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО КАЛОРИМЕТРА ЭКСПЕРИМЕНТА “КОМПАКТНЫЙ МЮОННЫЙ СОЛЕНОИД” 01.04.01 – приборы и методы экспериментальной физики АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва – 2008 Работа выполнена в Институте ядерных исследований Российской академии наук Научный руководитель : доктор физико-математических наук, профессор Ю.Г. Куденко Официальные...»

«КАРЯКИН Иван Юрьевич МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ СТРУКТУРЫ СТАЛИ ПОСЛЕ ТЕРМИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ Специальность 05.13.18 – математическое моделирование, численные методы и комплексы программ АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Тюмень – 2011 Работа выполнена на кафедре информационных систем Института математики, естественных наук и информационных технологий ФГБОУ ВПО Тюменский государственный университет. Научный...»

«Попов Константин Игоревич ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ КОНФОРМАЦИЙ ГРЕБНЕОБРАЗНЫХ МАКРОМОЛЕКУЛ И ИХ САМООРГАНИЗАЦИИ НА ПОВЕРХНОСТИ 02.00.06 – Высокомолекулярные соединения АВТОРЕФЕРАТ Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва – 2009 Работа выполнена на кафедре физики полимеров и кристаллов физического факультета Московского государственного университета имени М....»

«МАРКИДОНОВ АРТЕМ ВЛАДИМИРОВИЧ БЕЗДИФФУЗИОННЫЙ МЕХАНИЗМ МАССОПЕРЕНОСА В КРИСТАЛЛАХ, СОДЕРЖАЩИХ АГРЕГАТЫ ВАКАНСИЙ И МЕЖУЗЕЛЬНЫХ АТОМОВ Специальность 01.04.07 - физика конденсированного состояния Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Барнаул - 2009 Работа выполнена в Алтайском государственном техническом университете им. И.И.Ползунова и Кузбасской государственной педагогической академии Научный руководитель : заслуженный деятель...»

«УДК 519.6 Бауман Константин Евгеньевич О КВАДРАТНО-ЛИНЕЙНОМ ОТНОШЕНИИ ПРАВИЛЬНЫХ КРИВЫХ ПЕАНО Специальность 01.01.04 геометрия и топология АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико–математических наук Москва 2011 Работа выполнена в отделе геометрии и топологии Математического института им. В.А. Стеклова РАН. Научный руководитель : доктор физико-математических наук, ведущий научный...»

«Майдыковский Антон Игоревич ИССЛЕДОВАНИЕ МИКРОСТРУКТУР И ГРАНИЦ РАЗДЕЛА МЕТОДОМ ГЕНЕРАЦИИ ВТОРОЙ ОПТИЧЕСКОЙ ГАРМОНИКИ Специальность 01.04.05 - оптика Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва - 2011 Работа выполнена на кафедре квантовой электроники Физического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова Научный руководитель : доктор физико-математических наук профессор Акципетров Олег Андреевич Официальные оппоненты : доктор...»

«Кичаев Петр Евгеньевич РАЗРАБОТКА ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РЕОЛОГИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ МЕТАЛЛОВ ПРИ ВИБРОПОЛЗУЧЕСТИ 01.02.04 – Механика деформируемого твердого тела Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Самара – 2006 Работа выполнена в Самарском государственном техническом университете Научный руководитель : доктор физико-математических наук, профессор Радченко Владимир Павлович Официальные оппоненты : доктор...»

«Гуляев Сергей Николаевич РЕЛЬЕФНО-ФАЗОВЫЕ ГОЛОГРАММЫ НА ФОТОЭМУЛЬСИОННЫХ СЛОЯХ, ОБЛУЧЕННЫХ УЛЬТРАФИОЛЕТОВЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ Специальность 01.04.04 – физическая электроника 01.04.05 - оптика АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Санкт-Петербург 2006 г. Работа выполнена на кафедре физической электроники Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный...»

«Щепетилов Алексей Валериевич АНАЛИЗ И МЕХАНИКА НА ДВУХТОЧЕЧНО-ОДНОРОДНЫХ РИМАНОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Специальность 01.01.03 – математическая физика Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук Москва, 2009 г. Работа выполнена на кафедре математики физического факультета Московского государственного университет имени М.В.Ломоносова Официальные оппоненты :...»

«Дымарский Анатолий Яковлевич Квазиклассические решения в суперсимметричных и некоммутативных моделях квантовой теории поля Специальность 01.04.02 – теоретическая физика АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва – 2006 Работа выполнена на физическом факультете Московского Государственного Университета им. М.В. Ломоносова, г. Москва. Научный...»

«БРЖЕЗИНСКАЯ Мария Михайловна Исследование электронного строения функционализированных углеродных нанотрубок спектроскопическими методами с использованием синхротронного излучения 02.00.04 – Физическая химия АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учной степени доктора физико-математических наук Челябинск – 2011 2 Работа выполнена на кафедре общей и теоретической физики ФГБОУ ВПО Челябинский государственный педагогический университет и Berliner Elektronenspeicherring-Gesellschaft...»

«ОСИПОВ ОЛЕГ СЕРГЕЕВИЧ ПЕРЕСТАНОВКИ ИНТЕГРАЛОВ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Специальность: 01.01.01 – Математический анализ АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Томск 2009 Работа выполнена на кафедре математического анализа Томского государственного университета кандидат физико-математических наук, Научный руководитель : доцент Сибиряков Геннадий Васильевич Официальные оппоненты : доктор физико-математических наук, профессор...»

«Терехова Лидия Павловна Версии почти наверное предельных теорем для случайных сумм 01.01.05 теория вероятностей и математическая статистика АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Казань 2010 Работа выполнена в отделе теории вероятностей и математической статистики Научно–исследовательского института математики и механики имени Н.Г. Чеботарева Казанского государственного университета. Научный руководитель : доктор...»

«Рахматуллина Жанна Геннадьевна ТЕОРЕМЫ О МИНИМУМЕ МОДУЛЯ И МНОЖЕСТВО ФАТУ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ С ЛАКУНАМИ 01.01.01 вещественный, комплексный и функциональный анализ Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Уфа 2011 Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН. Научный руководитель : доктор физико-математических наук, профессор Гайсин Ахтяр Магазович...»

«Козлов Андрей Николаевич МГД-модели физических процессов в плазменных ускорителях 01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук Москва, 2013 Работа выполнена в Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша Российской академии наук Официальные оппоненты : Ильгисонис Виктор Игоревич доктор физико-математических наук, профессор, Главный учёный секретарь НИЦ “Курчатовский институт” Гасилов...»






 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.