WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Теоремы о минимуме модуля и множество фату целой функции с лакунами

На правах рукописи

Рахматуллина Жанна Геннадьевна

ТЕОРЕМЫ О МИНИМУМЕ МОДУЛЯ И МНОЖЕСТВО ФАТУ

ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ С ЛАКУНАМИ

01.01.01 вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Уфа 2011

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Гайсин Ахтяр Магазович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Абанин Александр Васильевич доктор физико-математических наук, профессор Хабибуллин Булат Нурмиевич

Ведущая организация: Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского

Защита состоится 2012 в ч. мин. на заседании совета Д 002.057.01 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Институте математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН по адресу: 450008, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112, ауд. 24, факс (8-347) 272-59-36, тел. 273-33-42.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки Института математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН.

Автореферат разослан декабря 2011.

Ученый секретарь совета Д 002.057. С.В. Попенов кандидат физико-математических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Важное значение в теории функций, дифференциальных уравнений, теории чисел и других разделах анализа имеет изучение асимптотических свойств целых или аналитических в некоторых областях функций. Существенный вклад в развитие данного направления внесли такие математики, как Э. Борель, А. Виман, Полиа, а также У. Хейман, В. Фукс, Т. Ковари, А.Ф. Леонтьев, М.Н. Шеремета, А.М. Гайсин и другие.

Пусть 0 < pn " 1 (pn 2 N) и X (1) < 1.





n=1 pn В этом случае говорят, что целая функция X (2) an z pn an 6= 0; z = x + iy f (z) = n= имеет лакуны Фейера. Отметим, что условие (1) возникает при изучении асимптотики целых функций вида (2) или рядов Дирихле без всякого ограничения на рост.

Естественно возникает задача об изучении асимптотики степенных рядов или рядов Дирихле в зависимости от их роста на тех или иных неограниченных континуумах, отличных от плоскости. Одна из таких задач, где в качестве континуума берется кривая, для рядов (2) впервые была рассмотрена Полиа в [1]. В той же статье им была сформулирована гипотеза: если сумма f ряда (2) имеет конечный порядок и n = o(pn ) при n ! 1, то ln m(r, f ) lim = 1, r!1 ln M (r, f ) где M (r, f ) = max |f (z)| и m(r, f ) = min |f (z)|.

|z|=r |z|=r Справедливость гипотезы Полиа следует из результатов работ [2]– [4]. Задача Полиа, когда функция f (z) имеет бесконечный нижний порядок, представляет собой сложную проблему. При различных достаточных условиях на последовательность {pn } эта задача была решена Т. Ковари [5], У. Хейманом [6], Скаскивым О.Б. [7]. Наконец, в [8] было найдено существенно слабое, но достаточное условие на последовательность {pn }, при выполнении которого вне некоторого множества нулевой логарифмической плотности при r ! 1 верно асимптотическое равенство В настоящей диссертации ставится задача: найти неулучшаемые условия на последовательность {pn }, при выполнении которых для любой функции f вида (2) выполнялось бы равенство типа (3).

Другая задача связана с исследованием множества Фату целой функции бесконечного порядка, представленной рядом (2). Здесь проблема состоит в том, чтобы найти оптимальные условия на {pn }, при выполнении которых любая компонента множества Фату целой функции вида (2) ограничена.

Исследование множеств Фату F(f ) для функций вида (2) теснейшим образом связано с первой задачей и с рядом известных классических проблем. В течение всего XX века появилось огромное количество статей, касающихся значений Пикара, борелевских и асимптотических значений, направлений Жюлиа, проблем о связи максимума и минимума модуля, а также распределения значений целых функций с различными лакунарными условиями (см., например, работы [1]–[17], где содержится достаточно полная информация по данным вопросам).

Задачей об ограниченности компонент множества Фату целой трансцендентной функций (конечного и бесконечного) порядка с лакунами определенного вида занимался Ванг [18]. В его работе указаны достаточные условия на последовательность {pn }, при выполнении которых множество Фату функции вида (2) не имеет неограниченных компонент.

Задача Полиа допускает более общую постановку, в которой величина m(r, f ) определяется по некоторым незначительно деформированным окружностям. В этом случае найден критерий справедливости равенства типа (3) для любой функции f вида (2). Этот результат оказался существенным для получения ответа и на вторую задачу. Отметим, что в обоих случаях на рост исследуемой функции никаких ограничений не накладывается.

Доказанные в диссертации основные теоремы обобщают и усиливают все ранее известные результаты, в том числе Гайсина А.М. [8], а также Ванга [18].

Целью работы является:





1) Найти неулучшаемые условия на последовательность {pn }, при которых для любой функции f вида (2) справедливо равенство типа (3);

решить аналогичную задачу и для рядов Дирихле абсолютно сходящихся во всей плоскости.

2) Для интерпретации условий основных теорем о минимуме модуля дать геометрическое описание основных характеристик распределения точек последовательности показателей ряда (4).

3) Для целой функции f вида (2) найти оптимальные условия на последовательность {pn }, при которых каждая компонента множества Фату функции f ограничена.

Научная новизна. Все основные результаты диссертационной работы новые. Получены следующие результаты:

1) Доказан критерий справедливости равенства типа (3) (минимум модуля функции F вычисляется по некоторым незначительно деформированным отрезкам) для любой функции F вида (4). Тем самым соответствующая задача полностью решена и для рядов (2).

2) Получено наглядное геометрическое описание основных характеристик распределения последовательности показателей ряда (4) с лакунами Фейера.

3) Указан способ оценки модуля суммы ряда Дирихле на вертикальном отрезке через ее максимум (а также через минимум) модуля на меньшем отрезке, основанный на применении преобразования Фурье. Ранее в подобных оценках, как правило, использовалась лемма Турана.

4) Найдены в некотором смысле оптимальные условия на последовательность {pn }, при которых каждая компонента множества Фату целой функции вида (2) ограничена.

Методика исследования. В диссертации используются методы комплексного анализа, теории рядов Дирихле, целых функций, гармонического анализа и теории итераций.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Полученные в ней результаты и разработанная методика могут быть полезны в теории целых функций, рядов экспонент, дифференциальных уравнений, спектральной теории. Они могут быть использованы специалистами, работающими в Математическом институте имени В.А. Стеклова РАН, Институте математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН, Санкт-Петербургском отделении Математического института имени В.А. Стеклова РАН, Московском, Южном федеральном, Саратовском, Львовском, Харьковском, Башкирском, Нижегородском госуниверситетах, а также в других ведущих российских и зарубежных научных центрах.

Апробация результатов. Результаты работы докладывались на семинарах Института математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН; на Международной конференции Теория приближений, ММИ им. Эйлера (С.-Пб., 2010); на Международной конференции по комплексному анализу, посвященной памяти А.А.Голдберга (Львов, 2010); на Международной конференции Нелинейные уравнения и комплексный анализ (оз. Якты-куль, Башкортостан, 2010); на Международной конференции Спектральная теория операторов и ее приложения, посвященной памяти А.Г.Костюченко (Уфа, 2011); на VI Уфимской международной конференции Комплексный анализ и дифференциальные уравнения посвященной 70-летию В.В.Напалкова (Уфа, 2011).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы. Объем диссертации составляет 95 страниц.

Библиография 64 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В главе I рассматриваются последовательности = { n } (0 < n " 1), удовлетворяющие условию Фейера Здесь дано геометрическое описание основных характеристик распределения таких последовательностей. Эти результаты представляют самостоятельный интерес, а также имеют полезное применение в теории рядов Дирихле.

§ 1 содержит предварительные сведения и основные определения.

Здесь и далее D() означает множество всех рядов Дирихле (4), абсолютно сходящихся во всей комплексной плоскости; µ( ) = max{|an |e n } максимальный член ряда (4); = ( ) = max{n : |an |e n = µ( )} центральный индекс. Если центральный индекс, то соответствующий ему показатель называется центральным показателем ряда (4). Через (F ) будем обозначать подпоследовательность, состоящую из центральных показателей данного ряда: (F ) = { k 2 : k = ( ), > 0}.

MF ( ) = sup|t| 0 при всех x > x0 вне некоторого исключительного множества E" R+ малой меры где h = h(x) некоторая положительная функция, как правило, стремящаяся к нулю при x ! 1. Эта оценка позволяет оценить u(x + h) через u(x) сверху и потому играет существенную роль для получения асимптотических равенств типа (14).

Другая часть лемм и теорем представляет собой оценки сверху членов ряда (4) через максимальный член ряда µ( ).

В § 2 главы II приводится общая схема рассуждений и суть идеи, при помощи которой может быть доказано следующее утверждение:

при ! 1 вне некоторого множества E R+ верно равенство ln MF ( ) = (1 + o(1)) ln mF ( ), где mF ( ) = minit2I |F ( + it)|, I = I( ) отрезок мнимой оси, вообще говоря, переменной длины.

Доказательство этого утверждения основано на следующей лемме или на ее модифицированном варианте (лемма 7).

Лемма D ([4]). Пусть функция g(z) аналитична и ограничена в круге {z : |z| < R}, |g(0)| > 1. Если 0 < r < 1 N 1 (N > 1), то существует не более чем счетное множество кружков Vn = z : |z zn | 6 n, n 6 RrN (1 r), таких, что для всех z из круга {z : |z| 6 Rr}, но вне Vn справедлива оценка Основной является следующая Лемма 6. Пусть последовательность = { n } (0 < n " 1) удовлетворяет условиям:

где µ ( k ; t) число точек n из k = \{ k }, принадлежащих отрезку {h : |h Через Tk обозначим множество, содержащее не более N точек из k, причем Tk [ k b, k + b].

Если N 6 2b, 0 < l < N, то найдется функция p 2 L1 (R), равная нулю вне ( l, l), такая, что:

Если P (u) = p(t)eiut dt преобразование Фурье функции p(t), то:

Лемма 6 позволяет обойтись без леммы П. Турана [25], обычно применяемой при доказательстве теоремы о минимуме модуля (см., наприP itµj где I, J отрезки мнимой оси, J I; kpkI = max |p(t)|.

В § 3 главы II доказана следующая основная Теорема 1. Пусть = { n } (0 < n " 1) последовательность, удовлетворяющая условиям:

где µ( n ; t) число точек k из n = \{ n }, принадлежащих отрезку {h : |h Если последовательность (F ) центральных показателей ряда Дирихле (4) является l-регулярной подпоследовательностью, то при ! 1 вне некоторого множества E [0, 1) нулевой плотности где mIh ( ) = min |F ( + it)|, Ih любой отрезок мнимой оси длины 2h, Учитывая, что при S < 1 условие (20) равносильно сходимости интеграла (11), а условие (7) означает l-регулярность самой последовательности, получаем Следствие 1. Пусть выполняется условие (20). Если сходится ряд (7), то для любой функции F 2 D() справедливо асимптотическое равенство (21).

Отсюда, в свою очередь, вытекает Следствие 2. Пусть pn 2 N, 0 < pn " 1, f целая трансцендентная функция вида (13), P (f ) = {p } последовательность центральных показателей ряда (13). Предположим, что последовательность {pn } удовлетворяет условиям (19), (20) теоремы 1.

Если P (f ) является l-регулярной, то при x ! 1 вне некоторого множества E R+ нулевой логарифмической плотности выполняется (14).

Отметим, что в условиях теоремы 1 ряд (7) не обязан сходиться.

Поэтому следствие 1 означает, что теорема 1 не только содержит теорему F, но и существенно усиливает и дополняет ее, поскольку: во-первых, в ней содержится информация о длине отрезка, о произволе его выбора;

во-вторых, условие (7) заменено на более слабое, и оно сформулировано в простых геометрических терминах.

Пусть теперь ряд (7) расходится, но условия (19), (20) выполнены.

Тогда, как известно, d(F ; ) = 1 [17], где любая кривая, уходящая в бесконечность так, что если s 2 и s ! 1, то Re s ! +1. Если (F ) l-регулярна, согласно теореме 1 справедлива более сильная оценка (21). Возникает естественный вопрос: сохранится ли асимптотическое равенство (21), если отказаться от условия l-регулярности (F )? Оказывается, при условиях (19), (20) имеет место некоторое промежуточное между равенствами (21) и d(F ; ) = 1 утверждение, а именно, верна Теорема 2. Пусть выполняются условия (19), (20). Тогда существует множество E R+ конечной меры, такое, что для любого вертикального отрезка IH = IH ( ) = {s = + it : |t t0 | 6 H} (H = const) для всех > 0 вне E найдется измененный отрезок IH = IH ( ), обладающий свойствами:

1) mes (IH ( ) \ IH ( )) ! |IH | = 2H при ! 1;

2) ln MF ( + d( )) < (1 + o(1)) ln MF ( ) 3) ln MF ( ) = (1 + o(1)) ln mF ( ) при ! 1 вне E, где m ( ) = min |F ( )|.

Каждое из условий (19) и (20) необходимо для того, чтобы для любой функции F 2 D() выполнялось равенство d(F ; ) = 1, а значит, и 3) [17], [26].

При доказательстве теоремы 2 применяется Лемма 7. Пусть выполнены условия леммы D. Тогда имеется конечное число кружков Vn = {z : |z zn | < n } (1 6 n 6 m) с общей суммой радиусов Xm вне которых в круге {z : |z| 6 Rr} верна оценка (17) с постоянной c = 6N L.

Теорема 2 из главы II оказалась полезной в исследовании множества Фату целой трансцендентной функции вида (13). Об этом речь идет в главе III, где указаны наиболее естественные ограничения, при которых множество Фату заданной функции вида (13) не может иметь неограниченных компонент. Об актуальности этого вопроса было сказано выше.

В § 1 даны основные определения и ряд необходимых фактов из теории итераций.

Пусть f нелинейная целая функция комплексной переменной z.

Ее естественные итерации определяются следующим образом:

Множеством Фату функции f называется наибольшее открытое множество комплексной плоскости, на котором семейство итераций функции f образует нормальное семейство (по Монтелю). Дополнение множества Фату называется множеством Жюлиа.

Основные свойства множеств Фату и Жюлиа сформулированы в виде отдельной леммы.

Лемма E. Для множеств Фату F(f ) и Жюлиа J (f ) целой функции f верны утверждения [27], [28], [29]:

1. Множество F(f ) открыто, а J (f ) замкнуто;

2. Множества F(f ) и J (f ) вполне инвариантны относительно f (то есть каждое из этих множеств совпадает как со своим образом, так и с полным прообразом):

3. Для любого k > 0 множество Фату (Жюлиа) k-кратной итерации функции f совпадает с множеством Фату (Жюлиа) самой функции f :

4. Любая неограниченная компонента множества F(f ) целой трансцендентной функции f односвязна.

5. Множество J (f ) целой трансцендентной функции f не ограничено.

Известно, что если f многочлен степени не менее 2, то множество Фату F(f ) содержит компоненту, которая не ограничена и вполне инвариантна. Если же f трансцендентная целая функция, то множество Жюлиа J (f ) = C \ F(f ) всегда не ограничено, а множество F(f ) может иметь либо бесконечно много неограниченных компонент, либо ровно одну, либо не иметь их вовсе [28].

И. Бейкером была доказана следующая Теорема C ([30]). Если множество Фату F(f ) целой трансцендентной функции f содержит неограниченную инвариантную компоненту, то она растет быстрее целой функции порядка 1/2 минимального типа.

В 1981 году Бейкером был поставлен вопрос [30]: будет ли каждая компонента множества F(f ) ограничена, если целая трансцендентная функция f имеет достаточно малый порядок роста? В силу теоремы C, задачу Бейкера естественно рассматривать в классе целых трансцендентных функций порядка < 1/2.

Сам Бейкер [30], а позже Сталлард [31], Андерсон и Хинканен [32] получили различные достаточные условия, при выполнении которых в указанном классе функций f множество F(f ) не содержит неограниченных компонент.

Особый интерес представляет изучение класса целых трансцендентных функций f вида (13), поскольку наличие пропусков в таких рядах обеспечивает в определенном смысле правильное поведение их роста и убывания, что позволяет судить о компонентах множеств F(f ) в случае любого конечного и даже бесконечного (нижнего) порядка роста.

В § 2 для функций вида (13) произвольного роста найдено достаточное условие (более сильное, чем лакунарность по Фейеру) на показатели ряда, при выполнении которого каждая компонента ее множества Фату ограничена. Данный результат при более сильных ограничениях ранее был доказан Ю. Вангом в [18].

При доказательстве основного результата главы III используется Лемма F ([30]). Пусть аналитическая в области D функция g из некоторого семейства G не принимает значений 0 и 1. Если D0 компактное связное подмножество в D, на котором |g(z)| > 1 для всех g 2 G, то существуют постоянные U, V, зависящие только от D0 и D, такие, что для любых z, z 0 из D0 и для всех функций g 2 G верна оценка Говорят, что целая функция вида (13) имеет лакуны Фабри, если n = o(pn ) при n ! 1, и лакуны Фейера, если выполняется (1).

Отправными для исследований являются следующие результаты Ванга.

Теорема D ([18]). Пусть f целая функция вида (13), нижний порядок = lim ln lnln r(r,f ) и порядок = lim ln lnln r(r,f ) которой удовлетворяM M ют оценкам 0 < 6 < 1. Если функция f имеет лакуны Фабри, то каждая компонента множества F(f ) ограничена.

Теорема E ([18]). Пусть f произвольная целая функция вида (13), удовлетворяющая условию: существует T > 1, такое, что Если при некотором > то каждая компонента множества F(f ) ограничена.

Применяя теорему F, можно показать, что теорема E верна при более слабом, чем (25), предположении (15). А именно, справедлива Теорема 3. Пусть f целая трансцендентная функция, заданная лакунарным степенным рядом (13), для которой при некотором T > верна оценка (24). Если выполняется условие (15), то каждая компонента множества F(f ) ограничена.

Оказывается, теорема E верна в самой общей ситуации, т.е. условие (15) может быть существенно ослаблено. Последнее условие можно заменить на пару оптимальных условий. Применив теорему 2 к степенным рядам вида (13), получаем основной результат главы III:

Теорема 4. Пусть f целая трансцендентная функция, заданная лакунарным степенным рядом (13), для которой при некотором T > верна оценка (24). Если выполняется пара условий (16), то каждая компонента множества F(f ) ограничена.

В силу сказанного выше, теорема 4 является наиболее общей и в некотором смысле законченной.

В § 3 показано, что условие лакунарности по Фейеру является и необходимым для того, чтобы для любой целой функции f вида (13) каждая компонента множества Фату была ограничена. Вопрос о существенности условия 2) из (16) пока остается открытым.

[1] Plya G. Untersuchungen uber Lchen und Singularitten von Potenzreihen // Math. Z.

1929. Vol. 29. Pp. 549–640.

[2] Fuchs W. H. J. Proof of a conjecture of G. Plya concerning gap series // Illinois J. Math.

1963. Vol. 7. Pp. 661–667.

[3] Skaskiv O. B. On the Plya conjecture concerning the maximum and minimum of the modulus of an entire function of nite order given by a lacunary power series // Anal. Math. 1990.

Vol. 16, no. 2. Pp. 143–157.

[4] Гайсин А. М. Об одной гипотезе Полиа // Изв. РАН. Сер. мат. 1994. Т. 58, № 2.

[5] Kvari T. A gap theorem for entire functions of innite order // Michigan Math. J. 1965.

Vol. 12, no. 2. Pp. 133–140.

[6] Hayman W. K. Angular value distribution of power series with gaps // Proc. London Math.

Soc. 1972. Vol. 24, no. 3. Pp. 590–624.

[7] Скаскiв О. Б. Припущения Макiнтайра про вiдсутнiсть скiнченних асимптотичних значень у цiло функцi з лакунами Фейера // Вiсник Львiвського университету. Серiя механiко-математична. Т. 28. 1987. С. 80–81.

[8] Гайсин А. М. Об одной теореме Хеймана // Сиб. матем. журн. 1998. Т. 39, № 3.

С. 501–516.

[9] Biernacki M. Sur les quations algbriques contenant des paramtres arbitraires // Bull. Int.

Acad. Polon. Sci. Lett. Sr. A. 1927. Vol. III. Pp. 542–685.

[10] Anderson J. M., Clunie J. Entire functions of nite order and lines of Julia // Math. Z.

1969. Vol. 112. Pp. 59–73.

[11] Kvari T. On the Borel exceptional values of lacunary integral functions // J. Analyse Math. 1961. Vol. 9. Pp. 71–109.

[12] Macintyre A. J. Asymptotic paths of integral functions with gap power series // Proc. London Math. Soc. 1952. Vol. 2, no. 2. Pp. 286–296.

[13] Sons L. R. An analogue of a theorem of W.H.J. Fuchs on gap series // Proc. London Math.

Soc. 1970. Vol. 3, no. 21. Pp. 525–539.

[14] Anderson J. M., Binmore K. G. Coecient estimates for lacunary power series and Dirichlet series II // Proc. London Math. Soc. 1968. Vol. 3, no. 18. Pp. 49–68.

[15] Murai T. The deciency of entire functions with Fejr gaps // Ann. Inst. Fourier (Grenoe ble). 1983. Vol. 33, no. 3. Pp. 39–58.

[16] Fejr L. Uber die Wurzel vom kleinsten absoluten Betrage einer algebraischen Gleichung // Math. Ann. 1908. Pp. 413–423.

[17] Гайсин А. М. Оценки роста и убывания целой функции бесконечного порядка на кривых // Матем. сб. 2003. Т. 194, № 8. С. 55–82.

[18] Wang Y. On the Fatou set of an entire function with gaps // Tohoku Math. J. 2001.

Vol. 53, no. 1. Pp. 163–170.

[19] Хейман У. К. Мероморфные функции. М.: Мир, 1965. 287 с.

[20] Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976.

[21] Cioranescu I., Zsid L. A minimum modulus theorem and applications to ultra dierential operators // Arkiv for matematik. 1979. Vol. 17, no. 1. Pp. 153–166.

[22] Кацнельсон В. Э. Целые функции класса Картрайт с нерегулярным поведением // Функц. анализ и его прил. 1976. Т. 10, № 4. С. 35–44.

[23] Korevaar J., Dixon M. Interpolation, strongly nonspanning powers and Macintyre exponents // Nederl. Akad. Wetensch. Indag. Math. 1978. Vol. 40, no. 2. Pp. 243–258.

[24] Гайсин А. М. Асимптотическое поведение суммы целого ряда Дирихле на кривых // Исследования по теории приближений, Уфа, БНЦ УрО АН СССР. 1989. С. 3–15.

[25] Turn P. Eine neue Methode in der Analysis und deren Anwendungen. Budapest:

Akadmiai Kiad, 1953.

[26] Юсупова Н. Н. Асимптотика рядов Дирихле заданного роста: Дисс.... канд. физ.-мат.

наук. Уфа: БашГУ, 2009.

[27] Milnor J. Dynamics in one complex variable: Introductory lectures. Friedr. Vieweg & Sohn.

Braunschweig, 1999.

[28] Еременко А. Э., Любич М. Ю. Динамика аналитических преобразований // Алгебра и анализ. 1989. Т. 1, № 3. С. 1–70.

[29] Baker I. N. The domains of normality of an entire function // An. Acad. Sci. Fen. Ser. A.

I. Math. 1975. Vol. 1. Pp. 277–283.

[30] Baker I. N. The iteration of polynomials and transcendental entire functions // J. Austral.

Math. Soc. Ser. A. 1981. Vol. 30. Pp. 483–495.

[31] Stallard G. M. The iteration of entire functions of small growth // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1993. Vol. 114. Pp. 43–55.

[32] Anderson J. M., Hinkkanen A. Unbounded domains of normality // Proc. Amer. Math.

Soc. 1998. Vol. 126. Pp. 3243–3252.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1) Гайсин А. М., Рахматуллина Ж. Г. Правильный рост ряда Дирихле на компактах, близких к отрезкам. // Тезисы международной конференции по комплексному анализу, посвященной памяти А. А.

Голдберга. Львов: Львовский нац. ун-т им. Ив. Франко, 2010.

2) Гайсин А. М., Рахматуллина Ж. Г. Вещественные последовательности, лакунарные в смысле Фейера // Уф. матем. журн. 2010.

3) Гайсин А. М., Рахматуллина Ж. Г. Поведение минимума модуля ряда Дирихле на системе отрезков // Уф. матем. журн. 2010.

4) Рахматуллина Ж. Г. О множестве Фату целой трансцендентной функции. // Материалы международной конференции Спектральная теория операторов и ее приложения, посвященной памяти А.

Г. Костюченко. Уфа: Башкирский гос. ун-т, 2011. С. 74.

5) Рахматуллина Ж. Г. Множество Фату целой функции с лакунами Фейера // Уф. матем. журн. 2011. Т. 3, No 3. С. 120–126.

6) Гайсин А. М., Рахматуллина Ж. Г. Множество нормальности семейства итераций целой функции. // Сборник тезисов VI Уфимской международной конференции Комплексный анализ и дифференциальные уравнения, посвященной 70-летию чл.-корр. РАН Напалкова В. В. Уфа: ИМ с ВЦ УНЦ РАН, 2011. С. 52–53.

7) Гайсин А. М., Рахматуллина Ж. Г. Оценка суммы ряда Дирихле через минимум модуля на вертикальном отрезке // Матем. сб.



Похожие работы:

«Быстрова Александра Валерьевна СЕТКИ И ТОНКИЕ ПЛЕНКИ НА ОСНОВЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ КАРБОСИЛАНОВЫХ ДЕНДРИМЕРОВ: СТРОЕНИЕ И СВОЙСТВА Специальность: 02.00.06 - высокомолекулярные соединения АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва 2006 Работа выполнена в лаборатории синтеза элементоорганических полимеров Института синтетических полимерных материалов им. Н.С. Ениколопова РАН и на кафедре физики полимеров и кристаллов физического...»

«Гаганов Виктор Александрович Исследование и разработка программных средств распознавания образов для решения задачи трехмерного моделирования в микроскопии Специальность 05.13.11 – математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва – 2011 Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте прикладной математики имени М.В....»

«УДК 517.956.321 Кулешов Александр Андреевич АНАЛИТИЧЕСКИЙ ВИД ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ В СЛУЧАЕ НЕЛОКАЛЬНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ И РАЗРЫВНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ 01.01.02 – Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва –...»

«Озодбекова Наджмия Бекназаровна Распределение дробных частей значений многочлена аргумент, которого принимает значения из коротких интервалов 01.01.06 - Математическая логика, алгебра и теория чисел Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Душанбе – 2012 2 Работа выполнена в Институте математики Академии наук Республики Таджикистан Научный руководитель : доктор физико–математических наук, член-корреспондент АН РТ Рахмонов...»

«Гуляев Сергей Николаевич РЕЛЬЕФНО-ФАЗОВЫЕ ГОЛОГРАММЫ НА ФОТОЭМУЛЬСИОННЫХ СЛОЯХ, ОБЛУЧЕННЫХ УЛЬТРАФИОЛЕТОВЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ Специальность 01.04.04 – физическая электроника 01.04.05 - оптика АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Санкт-Петербург 2006 г. Работа выполнена на кафедре физической электроники Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный...»

«Чёрная Виктория Владимировна СИНТЕЗ, СТРУКТУРА И МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА СЛОЖНЫХ ОКСИДОВ И OКСОФОСФАТОВ ВАНАДИЯ(III, IV) Специальность: 02.00.01 – неорганическая химия АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата химических наук Москва 2010 Работа выполнена на кафедре неорганической химии химического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова. Научный руководитель : доктор химических наук, профессор Антипов Евгений Викторович...»

«ИВАНОВА Марина Викторовна ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВИРУСОВ С ДЕТОНАЦИОННЫМИ НАНОАЛМАЗНЫМИ МАТЕРИАЛАМИ И КОМПОЗИТАМИ НА ОСНОВЕ ПОЛИАНИЛИНА 03.02.02 – вирусология АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата биологических наук Москва–2014 Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении Научно-исследовательский институт вирусологии имени Д.И. Ивановского Министерства здравоохранения Российской Федерации Научный руководитель : доктор медицинских наук...»

«Хвостов Станислав Александрович ПРИНЦИПЫ МОДИФИКАЦИИ УГЛЕРОДНЫМИ НАНОЧАСТИЦАМИ ЭПОКСИДНЫХ СВЯЗУЮЩИХ И ТЕХНОЛОГИЯ ПОЛУЧЕНИЯ КОМПОЗИТОВ НА ИХ ОСНОВЕ 05.02.01 Материаловедение в отрасли Машиностроение Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Барнаул – 2007 Работа выполнена на кафедре физики и технологии композиционных материалов в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Алтайский государственный...»

«ОБЪЯВЛЕНИЕ О ЗАЩИТЕ КАНДИДАТСКОЙ ДИССЕРТАЦИИ Ф.И.О.: Федотов Александр Александрович Название диссертации: моделирование в Математическое исследованиях шероховатости применительно к проблемам контактного взаимодействия и разрушения Специальность: 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Отрасль наук и: Технические науки Шифр совета: Д 212.110.08 Тел. ученого секретаря 8-499-141-94-55 диссертационного совета: E-mail: electron_inform@mail.ru Дата защиты...»

«Калмыков Валерий Николаевич МАССОВЫЙ СОСТАВ ПЕРВИЧНОГО КОСМИЧЕСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В РАЙОНЕ ИЗЛОМА ПО ДАННЫМ УСТАНОВКИ ШАЛ МГУ Специальность 01.04.23 – физика высоких энергий АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук Москва 2007 Работа выполнена в Научно-исследовательском институте ядерной физики им....»

«Афанасьев Александр Владимирович ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИХ ФАКТОРОВ НА ОСТАТОЧНОЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ИЗДЕЛИЙ ИЗ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ Специальность 01.02.06 - Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Москва – 2010 Работа выполнена на кафедре Динамика и прочность машин Московского...»

«ГОЛЫГИН ЕВГЕНИЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ ВЛИЯНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ НА Е-ЭФФЕКТ В АМОРФНЫХ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ СПЛАВАХ НА ОСНОВЕ ПЕРЕХОДНЫХ МЕТАЛЛОВ 01.04.11 - физика магнитных явлений АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Иркутск 2014 Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования Иркутский государственный университет. Научный руководитель : Гаврилюк Алексей Александрович,...»

«ГРИДЧИН Владимир Владимирович Классический подход к ионизации многоэлектронных систем в интенсивных электромагнитных полях фемтосекундной и субфемтосекундной длительности Специальность 01.04.21- лазерная физика АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук МОСКВА – 2005 Работа выполнена в Научно-исследовательском институте ядерной физики им. Д.В.Скобельцына Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова. Научный...»

«Алентьев Александр Юрьевич ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ТРАНСПОРТНЫХ СВОЙСТВ СТЕКЛООБРАЗНЫХ ПОЛИМЕРОВ: РОЛЪ ХИМИЧЕСКОЙ СfРУКТУРЫ И СВОБОДНОГО ОБЪЕМА 05.17.18 -Мембраны и мембранная технолоmя. Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора хнмичесхих наук Москва- 2003 www.sp-department.ru Работа выполнена в Ордена Трудового Красного Знамени Институте нефтехимического синтеза им. А.В. Топчиева Российской академии наук Официальные оппоненты: академик РАН, доктор физико­...»

«МИНХАДЖЕВ ГАДЖИМУРАД МАЛЛАЕВИЧ Фазовый комплекс и физико-химические свойства системы LiF-K2WO4-CaF2-CaWO4-BaWO4 02.00.01 – неорганическая химия АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата химических наук Махачкала - 2008 Работа выполнена в НИИ общей и неорганической химии ГОУ ВПО Дагестанский государственный педагогический университет Научный руководитель : доктор химических наук, профессор Гаматаева Барият Юнусовна Официальные оппоненты : доктор химических...»

«Терехова Лидия Павловна Версии почти наверное предельных теорем для случайных сумм 01.01.05 теория вероятностей и математическая статистика АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Казань 2010 Работа выполнена в отделе теории вероятностей и математической статистики Научно–исследовательского института математики и механики имени Н.Г. Чеботарева Казанского государственного университета. Научный руководитель : доктор...»

«УДК 538.97:537.311.322 Белых Василий Валерьевич Динамика излучения GaAs-микрорезонатора с встроенными квантовыми ямами Специальность 01.04.07 - физика конденсированного состояния Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Долгопрудный - 2009 Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Московский физико– технический институт (государственный университет) Научный руководитель :...»

«Каримов Руслан Халикович УБЫВАНИЕ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ РЕШЕНИЙ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ И ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ 01.01.02 – дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук Казань – 2011 Работа выполнена в ГОУ ВПО ”Стерлитамакская государственная педагогическая академия им. Зайнаб Биишевой”, ГАНУ ”Институт прикладных исследований”...»

«Бастрикова Наталья Сергеевна РЕНТГЕНОВСКАЯ ФОТОЭЛЕКТРОННАЯ И ЛЮМИНЕСЦЕНТНО-ОПТИЧЕСКАЯ ВАКУУМНАЯ УЛЬТРАФИОЛЕТОВАЯ СПЕКТРОСКОПИЯ КРИСТАЛЛОВ KPb2Cl5 И RbPb2Cl5 Специальность 01.04.07 – Физика конденсированного состояния Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Екатеринбург – 2007 Работа выполнена на кафедре экспериментальной физики ГОУ ВПО Уральский государственный технический университет – УПИ, г. Екатеринбург Научный руководитель...»

«Грициенко Наталия Вячеславовна Влияние граничных условий на поведение вырожденной электронной плазмы Специальность 01.01.03 — Математическая физика АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико–математических наук Москва — 2011 Работа выполнена на кафедре математического анализа и геометрии Московского государственного областного университета Научный руководитель : заслуженный деятель науки РФ, доктор физико–математических наук, профессор Латышев...»






 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.