WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Интегрируемые эволюционные цепочки и дискретные уравнения

на правах рукописи

Постников Валерий Витальевич

Интегрируемые эволюционные цепочки

и дискретные уравнения

01.01.02 – дифференциальные уравнения,

динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Сочи–2014

Работа выполнена в Сочинском институте (филиале) Российского университета дружбы народов.

Научный руководитель: чл.-корр. РАН, профессор Александр Абрамович Белавин

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук Булат Ирекович Сулейманов, кандидат физико-математических наук Максим Валентинович Павлов

Ведущая организация: Институт физики металлов Уральского отделения РАН

Защита состоится ** ******** 2014 г. в ** часов на заседании диссертационного совета Д 002.057.01 при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институт математики с вычислительным центром Уфимского Научного Центра РАН, по адресу: 450008, г. Уфа, ул. Чернышевского, д. 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики с ВЦ УНЦ РАН.

Автореферат разослан ** ********* 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук С.В. Попенов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Современное понимание интегрируемости нелинейных уравнений основано на методе обратной задачи рассеяния. Этот метод применим в том случае, когда исследуемое уравнение допускает представление в виде условий совместности для вспомогательных линейных систем. Исторически, первый пример связан с изоспектральными деформациями для задачи Штурма–Лиувилля xx = (u ), которые приводят к уравнению Кортевега–де Фриза ut = uxxx 6uux (1) и бесконечной серии его высших симметрий (иерархии КдФ). К настоящему времени установлена интегрируемость для огромного числа уравнений различных типов. Простейший класс, содержащий КдФ и множество других важных примеров, составляют скалярные эволюционные уравнения k ut = f (u, ux,..., x (u)). (2) Параллельная теория разработана для эволюционных дифференциальноразностных уравнений (цепочек) u,t = f (um,..., um ), (3) где обозначено u,t = t (u(n, t)), uj = u(n + j, t). Такие уравнения можно интерпретировать как дискретизацию, по пространственной переменной, уравнений вида (3). Первым примером применения метода обратной задачи к уравнениям этого типа служит цепочка Вольтерра u,t = u(u1 u1 ), (4) проинтегрированная в работах Кейза, Каца1 и Манакова2, и связанная с дискретной задачей Штурма–Лиувилля 1 + u1 =.





Цепочка (4) переходит в уравнение КдФ для переменной U (x, ) в непрерывном пределе u(n, t) = 1 2 U (x + 2 t, 3 3 t), x = n, 0. Однако, это соответствие не взаимно-однозначно: одно непрерывное уравнение может допускать неэквивалентные дискретизации разного порядка. Например, уравнение КдФ возникает в непрерывном пределе не только из 1 K.M. Case, M. Kac. A discrete version of the inverse scattering problem. J. Math. Phys.

14:5 (1973) 594–603.

2 S.V. Manakov. Complete integrability and stochastization of discrete dynamical systems. Soviet Physics JETP 40:2 (1975) 269–274.

цепочки Вольтерра, но и из цепочек Богоявленского3 B(m) u,t = u(um + · · · + u1 u1 · · · um ) (5) при произвольном m. Таким образом, интегрируемых цепочек, в некотором смысле, больше, чем непрерывных уравнений и, во многих отношениях, их теория оказывается более сложной и богатой.

Отметим в этой связи, что задача классификации интегрируемых уравнений (2) рассматривалась в работах Шабата, Свинолупова, Соколова, Михайлова и др. (см. обзоры4,5 ), в которых был получен ряд важных результатов для порядков k = 2, 4 (линеаризуемые уравнения типа Бюргерса) и k = 3, 5 (уравнения типа КдФ). Возможно, что эти классификационные результаты дают полное решение задачи: имеется гипотеза, что все интегрируемые уравнения нечетного порядка больше 5 являются симметриями уравнений порядков 3 и 5. Если это так, то число непрерывных интегрируемых иерархий конечно. В дискретном случае это заведомо неверно, поскольку цепочки Богоявленского при различных m принадлежат разным иерархиям (не являются симметриями друг для друга).

Можно сказать, что в данном случае мы имеем семейство иерархий.

Цепочки вида (3) хорошо изучены лишь при m = 1. Для этого случая, исчерпывающая классификация цепочек, обладающих высшими симметриями, получена Ямиловым6,7. При m > 1, литература ограничена, в основном, цепочками Богоявленского и их модификациями. В этом случае, нет не только классификации, но даже какого-либо предварительного описания или списка цепочек, которые давали бы примерное представление о том, как устроен (или, насколько может быть сложен) ответ в этом классе уравнений.

Обобщения другого типа возникают при замене скалярной переменной u на векторную или матричную. Векторными называются уравнения, которые можно записать в безкомпонентной форме при помощи скалярного произведения, иначе говоря допускающие группу SO(d) в качеO.I. Bogoyavlensky. Algebraic constructions of integrable dynamical systems extensions of the Volterra system. Russ. Math. Surv. 46:3 (1991) 1–64.





4 A.V. Mikhailov, A.B. Shabat, V.V. Sokolov. The symmetry approach to classication of integrable equations. in: V.E. Zakharov (ed). What is Integrability? Springer-Verlag, 1991, pp. 115–184.

5 A.G. Mehskov, V.V. Sokolov. Integrable evolution equations with constant separant.

http://arxiv.org/abs/1302.6010v1.

6 Р.И. Ямилов. О классификации дискретных эволюционных уравнений. Усп. мат.

наук 38:6 (1983) 155–156.

7 R.I. Yamilov. Symmetries as integrability criteria for dierential dierence equations.

J. Phys. A 39:45 (2006) R541–623.

стве классических симметрий. В непрерывном случае, такие уравнения являются важным и довольно хорошо изученным классом интегрируемых систем. Отдельные результаты имеются и для векторных цепочек, но, в целом, эта область остается малоисследованной.

Таким образом, поиск интегрируемых цепочек и изучение их свойств является актуальной задачей, которой и посвящена диссертация. Основной пример связан с семейством иерархий dSK(l,m), зависящим от двух целочисленных параметров. Оно обобщает семейство Богоявленского B(m) и в непрерывном пределе переходит в иерархию уравнения Савады–Котеры (аналог уравнения КдФ 5-го порядка). Рассматриваются также примеры векторных цепочек первого порядка и двумерных цепочек. Помимо построения представлений нулевой кривизны, для всех этих примеров решается задача построения преобразований Бэклунда. Напомним, что они определяют дискретную часть интегрируемой иерархии. Если стартовать с непрерывных уравнений типа уравнения КдФ или нелинейного уравнения Шредингера, то полностью дискретные уравнения на квадратной решетке возникают из свойства перестановочности преобразований Бэклунда. Для полудискретных уравнений типа цепочки Вольтерра или Тоды, уже сами преобразования Бэклунда описываются полностью дискретными уравнениями, см. напр.8. Особенно интересными оказываются преобразования Бэклунда для цепочек высокого порядка (3), они имеют вид дискретных уравнений порядка 1 по одной и m по второй дискретной переменной:

При m = 1 это так называемые квад-уравнения9. В диссертации рассмотрен случай m > 1, ранее практически не изучавшийся, для которого предложен термин мультиквад-уравнения.

Основные цели работы. Целью работы является изучение описанных выше классов дифференциально-разностных и дискретных интегрируемых уравнений. Полученные результаты относятся к векторным цепочкам типа Вольтерра, дискретным уравнениям из трехмерной иерархии Хироты–Охты, неоднородным обобщениям цепочек Богоявленского и связанным с ними мультиквад-уравнениям. Некоторые примеры, представленные в диссертации, являются новыми. При обосновании интегрируемости основное внимание уделяется выводу вспомогательных линейных 8 R.I. Yamilov. Construction scheme for discrete Miura transformations. J. Phys. A 27:20 (1994) 6839–6851.

9 V.E. Adler, A.I. Bobenko, Yu.B. Suris. Classication of integrable equations on quadgraphs. The consistency approach. Comm. Math. Phys. 233 (2003) 513–543.

задач, анализу высших симметрий и преобразований Бэклунда, построению точных решений.

Методы исследования. Основным методом в диссертации служит подход Захарова–Шабата10, в рамках которого нелинейные интегрируемые уравнения трактуются как условия совместности вспомогательных линейных уравнений. Используется также симметрийный подход к проблеме интегрируемости4.

Научная новизна. В диссертации представлены следующие новые результаты.

1) В утверждениях 1.1, 1.2 приведены преобразования Дарбу–Бэклунда и формулы нелинейной суперпозиции для двух векторных обобщений модифицированной цепочки Вольтерра:

где Vn Rd. Вычисления основаны на представлениях нулевой кривизны с матрицами размера (d + 2) (d + 2). Для цепочки (7) используются матрицы из работы11. Для цепочки (8) ранее было известно12 лишь представление в матрицах размера 2d 2d. Матрицы, определяющие преобразования Дарбу, получены впервые, в обоих случаях.

2) В разделе 2.2 построены согласованные представления нулевой кривизны для (2 + 1)-мерной системы Хироты–Охты13 и ее дискретных аналогов, изучавшихся, в рамках различных подходов, в работах14,15,16,17,18.

10 В.Е. Захаров, А.Б. Шабат. Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. Функц. анализ 8:3 (1974) 43–53;

13:3 (1979) 13–22.

11 V.E. Adler, S.I. Svinolupov, R.I. Yamilov. Multi-component Volterra and Toda type integrable equations. Phys. Lett. A 254 (1999) 24–36.

12 T. Tsuchida, H. Ujino, M. Wadati. Integrable semi-discretization of the coupled modied KdV equations. J. Math. Phys. 39:9 (1998) 4785–4813.

13 R. Hirota, Y. Ohta. Hierarchies of coupled soliton equations. I. J. Phys. Soc. Jpn. (1991) 798–809.

14 M. Adler, E. Horozov, P. van Moerbeke. The Pfa lattice and skew-orthogonal polynomials. Int. Math. Res. Notes 1999:11 (1999) 569–588.

15 S. Kakei. Orthogonal and symplectic matrix integrals and coupled KP hierarchy. J.

Phys. Soc. Japan 68 (1999) 2875–2877.

16 J. van de Leur. Bcklund–Darboux transformations for the coupled KP hierarchy. J.

Phys A 37 (2004) 4395–4405.

17 X.B. Hu, J.X. Zhao. Commutativity of Pfaanization and Bcklund transformations:

the KP equation. Inverse Problems 21 (2005) 1461–1472.

18 C.R. Gilson, J.J.C. Nimmo, S. Tsujimoto. Pfaanization of the discrete KP equation.

J. Phys. A 34:48 (2001) 10569–10575.

Тем самым, показано, что эти уравнения являются членами одной и той же иерархии, что ранее не было известно. В разделе 2.3 установлена их связь с векторной системой Кулиша–Склянина, обобщающей нелинейное уравнение Шредингера.

3) Изучены цепочки, связанные со спектральной задачей Показано, что соответствующие иерархии цепочек образуют семейство dSK(l,m), являющееся нетривиальным обобщением модифицированных цепочек Богоявленского. В билинейной форме, это семейство было введено в работах19,20, однако, его свойства остались не исследованными (в частности, не было известно представление Лакса). Простейший поток из dSK(1,m) имеет вид где правая часть равна сумме двух некоммутирующих друг с другом потоков, определяющих различные модификации цепочек B(m) и B(m1). В теореме 3.4 приведена явная конструкция для потоков иерархии dSK(l,m) и доказана их коммутативность. Непрерывный предел к иерархии уравнения Савады–Котеры установлен в теореме 3.5.

4) В разделах 3.4, 3.5 получены новые примеры цепочек, определяющих дискретизации уравнения Каупа–Купершмидта, и цепочек с несколькими компонентами.

5) В разделе 4.2 сформулировано определение свойства многомерной совместности для дискретных уравнений вида (6), обобщающее известное определение для случая m = 1 (то есть, для квад-уравнений9 ).

6) В теоремах 4.2, 4.9 приведены многомерно совместные мультиквадуравнения, задающие преобразования Бэклунда и формулы нелинейной суперпозиции для цепочки Богоявленского B(m) (5) и для цепочки dSK(1,m) (10). Преобразование Бэклунда для B(m) рассматривалось ранее в21,22,23, 19 S. Tsujimoto, R. Hirota. Pfaan representation of solutions to the discrete BKP hierarchy in bilinear form. J. Phys. Soc. Japan 65 (1996) 2797–2806.

20 X.B. Hu, P.A. Clarkson, R. Bullough. New integrable dierential-dierence systems. J.

Phys. A 30:20 (1997) L669–676.

21 S. Tsujimoto, R. Hirota, S. Oishi. An extension and discretization of Volterra equation I. Technical Report of IEICE, NLP92–90 (1993) 3pp.

22 V.G. Papageorgiou, F.W. Nijho. On some integrable discrete-time systems associated with the Bogoyavlensky lattices. Phys. A 228 (1996) 172–188.

23 Yu.B. Suris. Integrable discretizations of the Bogoyavlensky lattices. J. Math. Phys. (1996) 3982–3996.

для dSK(1,m) является новым. Формулы суперпозиции новые в обоих примерах. Они служат многокомпонентными обобщениями квад-уравнений Q0 и H3 из списка9.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Её результаты могут иметь применения в теории нелинейных дифференциальных и разностных уравнений и связанных с ними областях теоретической и математической физики.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах Института теоретической физики им. Л.Д. Ландау, Института математики с ВЦ Уфимского НЦ РАН, а также на конференции Conformal Field Theory, Integrable Models and Liouville Gravity (2009, ИТФ, Черноголовка).

Публикации. Диссертация выполнена на основе работ [1, 2, 3, 4], опубликованных в зарубежных журналах, входящих в перечень ВАК. Работы написаны совместно. Вклад автора в приведённые в диссертации результаты является основным. Результаты, выносимые на защиту

, получены лично автором.

Структура и объём диссертации. Работа состоит из введения и четырёх глав. Список литературы содержит 114 наименований. Общий объм 88 страниц.

Краткое содержание работы В главе 1, Векторные аналоги модифицированной цепочки Вольтерра, рассматриваются уравнения (7), (8), определяющие неэквивалентные интегрируемые обобщения хорошо известной скалярной цепочки. Цепочка (7) была введена в 11 среди других примеров многокомпонентных цепочек, связанных с алгебраическими йордановыми структурами. Цепочка (8) была введена в 24 для случая двумерных векторов и в 25,26 для векторов произвольной размерности. В разделе 1.1 приведены необходимые результаты, относящиеся к скалярному случаю. Основные результаты этой главы представлены в разделах 1.2, 1.3, в которых описан метод одевания для обоих векторных обобщений. Цепочка (7) возникает как условие совместности для линейных систем обладающих совместным первым интегралом Преобразование Дарбу строится по частному решению на нулевом уровне этого первого интеграла, согласно следующему утверждению.

Утверждение 1.1 Пусть Fn = n /n, где =, = частное решение линейных систем (11) и (12) при = µ и J = 0. Тогда преобразование 24 M.A. Salle. Darboux transformations for nonabelian and nonlocal equations of the Toda lattice type. Theor. Math. Phys. 53:2 (1982) 227–237.

25 M. Hisakado. Coupled nonlinear Schrdinger equation and Toda equation. J. Phys. Soc.

Jpn. 66 (1997) 1939.

26 R. Hirota. “Molecule Solutions” of coupled modied KdV equations. J. Phys. Soc. Jpn.

66 (1997) 2530–2532.

переводит общее решение этих систем в решение систем того же вида, причем исходный и преобразованный потенциалы связаны уравнениями Аналогично, цепочка (8) допускает матричное представление Эти системы обладают совместным первым интегралом (13), как и в предыдущем случае. Преобразование Дарбу–Бэклунда описывается следующим утверждением.

Утверждение 1.2 Пусть =, = частное решение линейных систем (14), (15) при = µ, такое что J = n, n n n1 = 0.

Пусть Fn = n /n, тогда преобразование отображает общее решение этих систем в решение систем такого же вида, причем исходный и преобразованный потенциалы связаны уравнениями В разделах 1.2, 1.3 приведены также простейшие точные решения типа солитонов и бризеров, построенные при помощи полученных преобразований Дарбу–Бэклунда. Проводится сравнение с результатами, полученными в 12 для цепочки (8). В разделе 1.4 обсуждаются уравнения в частных производных, ассоциированные с цепочками (7), (8). Напомним, что в работах Леви27 и Шабата, Ямилова28 было замечено, что интегрируемые цепочки типа Вольтерра определяют специальную разновидность преобразований Бэклунда для уравнений типа нелинейного Шредингера. Это верно и для векторных аналогов: показано, что высшие симметрии рассматриваемых цепочек можно записать в виде векторных обобщений системы Каупа–Ньюэлла (или, нелинейного уравнения Шредингера с производной). Интересна также связь с двумерными цепочками, родственными цепочкам Вольтерра введенными Михайловым29 : оказывается, что скалярные величины удовлетворяют, в силу любой из цепочек (7) или (8) и соответствующей высшей симметрии, одной и той же двумерной модифицированной цепочке Вольтерра В разделе 1.5 приведены еще два любопытных примера (найденные методом неопределенных коэффициентов) векторных цепочек 2-го порядка, обладающих высшими симметриями 4-го порядка.

Глава 2, Линейные задачи и преобразования Бэклунда для иерархии Хироты–Охты, посвящена, по сравнению с остальными главами, более сложному объекту: иерархии 3-мерной, 3-компонентной системы 27 D. Levi. Nonlinear dierential dierence equations as Bcklund transformations. J.

Phys. A 14:5 (1981) 1083–1098.

28 A.B. Shabat, R.I. Yamilov. Symmetries of nonlinear chains. Len. Math. J. 2:2 (1991) 377–399.

29 A.V. Mikhailov. Integrability of a two-dimensional generalization of the Toda chain.

Sov. Phys. JETP Lett 30 (1979) 414–418.

обобщающей уравнение Кадомцева–Петвиашвили. Согласно общему методу Захарова–Шабата, эта иерархия может быть определена как условия совместности вспомогательных линейных задач, которые заменяют в 3-мерном случае представление нулевой кривизны. Цель главы продемонстрировать, что несмотря на определенные усложнения по сравнению с 2-мерным случаем, этот метод дает единообразный способ вывода полудискретных и дискретных уравнений иерархии (как и раньше, они определяют преобразования Бэклунда и формулы их суперпозиции). В частности, предложенный подход позволяет показать, что дискретизация из 18 не просто служит разностным аналогом системы Хироты–Охты, но и определяет принцип нелинейной суперпозиции для ее преобразований Бэклунда. Линейные задачи для непрерывной части иерархии появились в статье15 :

Эмпирическое наблюдение, позволяющее дополнить их линейными задачами для дискретных уравнений иерархии (с одной, двумя и тремя независимыми дискретными переменными), заключается в том, что структура этих линейных задач копирует структуру 2-мерной иерархии нелинейного уравнения Шредингера. Именно, показано, что преобразование Бэклунда–Шлезингера отвечает линейной задаче преобразование Бэклунда–Дарбу выводится из линейной задачи а формулы нелинейной суперпозиции из линейной задачи Условия совместности для этих уравнений, определяющие все уровни дискретизации системы (16), приведены в утверждениях 2.1 и 2.3.

В разделе 2.3 изучается связь системы (16) с иерархией векторной системы Кулиша–Склянина где, Rd. В утверждении 2.4 доказано, что если коэффициенты перечисленных выше линейных задач имеют вид то все потоки остаются совместными, то есть, эти формулы определяют самосогласованную редукцию иерархии Хироты–Охты.

В главе 3, Цепочки, ассоциированные с рациональными операторами Лакса, изучаются некоторые интегрируемые иерархии, связанные с линейными уравнениями вида P = Q, где P, Q разностные операторы. Основной пример, семейство иерархий dSK(l,m), отвечает спектральной задаче В частности, это семейство содержит уравнения, найденные ранее в работах 19,20 в рамках билинейного метода Хироты. Соответствующие нелинейные дифференциально-разностные уравнения можно рассматривать как неоднородные обобщения цепочек типа Богоявленского. В отличие от последних, переходящих в непрерывном пределе в уравнение КдФ (1), рассматриваемые цепочки служат дискретными аналогами уравнений Савады–Котеры и Каупа–Купершмидта В разделе 3.2 содержится необходимая информация о цепочках типа Богоявленского. Раздел 3.3 посвящен дискретизациям уравнения Савады– Котеры и содержит основные результаты главы. Общая конструкция лаксовой пары L,t = [A, L] с оператором L = Q1 P приведена в разделе 3.3.1.

30 P.P. Kulish, E.K. Sklyanin. O(N )-invariant nonlinear Schrdinger equation completely integrable system. Phys. Lett. A 84:7 (1981) 349–352.

В частности, при l = 1 простейшая цепочка описывается следующей теоремой.

Теорема 3.1.

обладает представлением Лакса с операторами В общем случае, k-й поток иерархии dSK(l,m) определяется из системы рекуррентных соотношений. Для доказательства ее разрешимости, в разделе 3.3.3 применяется r-матричный подход в разностной формулировке31,32,33, с его помощью строятся явные формулы для оператора A и доказывается коммутативность иерархии dSK(l,m). Для этого, рассматривается алгебра Ли формальных рядов Лорана по степеням оператора сдвига, кратным T m :

j 1, переменная n выделена и ситуация менее симметрична: уравнения (6) выполняются по переменным (i, n), (j, n), а по переменным (i, j) выполняется некоторое m-компонентное квад-уравнение где V = (v(n + m),..., v(n + 1)). Символически, На многомерной решетке, уравнение (24) удовлетворяет обычному свойству 3D-совместности по переменным i, j, k, отличным от n.

В разделе 4.2 сформулировано следующее строгое определение многомерной совместности для уравнений вида (6). При этом, для удобства обозначений, сдвиги T s : n n + s по выделенной координате n обозначаются нижним индексом s; для остальных координат рассматриваются только единичные сдвиги Ti : ni ni + 1, которые помечаются верхним индексом i.

Определение 4.1 Пусть V = (vm1,..., v), R(ij) = (r[m1],..., r[0] ).

Система уравнений многомерно совместна, если выполняются следующие свойства:

(i) для любой пары i = j, при замене vm, vm, V ij в силу (25), (26), равенства выполняются тождественно по vm, V, V i, V j ;

(ii) для любой тройки i = j = k = i, при замене V ij, V ik, V jk в силу (26), равенства выполняются тождественно по V, V i, V j, V k.

Уравнения с произвольным m возникают, как преобразования Бэклунда для эволюционных цепочек вида (3), при этом, свойство многомерной совместности отражает перестановочность преобразований Бэклунда.

В разделах 4.3, 4.4 рассмотрены два конкретных и достаточно содержательных примера, отвечающих цепочке Богоявленского B(m) и дискретизации уравнения Савады–Котеры dSK(1,m) из предыдущей главы. Нет сомнений, что набор примеров можно расширить, для чего годятся оба определения интегрируемости, рассмотренные в этой главе, то есть, наличие эволюционной дифференциально-разностной симметрии или, в чисто дискретной постановке, свойство 3D-совместности. Однако, оба подхода содержат множество нерешенных технических вопросов и на данном этапе не приходится рассчитывать на простые классификационные результаты, аналогичные известным спискам6,9 для случая уравнений первого порядка.

Мультиквад-уравнения, отвечающие цепочке Богоявленского, описаны в следующей теореме.

Теорема 4.2 Система, состоящая из m-квад-уравнений и m-компонентных квад-уравнений многомерно совместна в смысле Определения 4.1, а также совместна с цепочкой связанной с цепочкой Богоявленского (5) подстановкой u = vm /v.

Аналогично, для цепочки (20) доказана следующая теорема.

Теорема 4.9 Система уравнений где многомерно совместна, а также совместна с цепочкой связанной с (20) подстановкой u = vm /v.

Параметры (j) служат параметрами преобразования Бэклунда–Дарбу (то есть, последнее строится по частному решению соответствующей спектральной задачи при = (j) ).

Публикации автора по теме диссертации [1] V.E. Adler, V.V. Postnikov. On vector analogs of the modied Volterra lattice.

J. Phys. A: Math. Theor. 41 (2008) 455203 (16pp).

[2] V.E. Adler, V.V. Postnikov. Linear problems and Bcklund transformations for the Hirota–Ohta system. Physics Letters A 375 (2011) 468–473.

[3] V.E. Adler, V.V. Postnikov. Dierential-dierence equations associated with the fractional Lax operators. J. Phys. A: Math. Theor. 44 (2011) 415203 (17pp).

[4] V.E. Adler, V.V. Postnikov. On discrete 2D integrable equations of higher order J. Phys. A: Math. Theor. 47 (2014) 045206.

Интегрируемые эволюционные цепочки Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук Подписано в печать **.**.2014. Формат 60 84 16. Тираж 100 экз.



Похожие работы:

«Журидов Дмитрий Владимирович МАЙОРАНОВСКИЕ НЕЙТРИНО И ПРОЦЕССЫ С НЕСОХРАНЕНИЕМ ЛЕПТОННОГО ЧИСЛА Специальность 01.04.02 теоретическая физика АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва 2006 Работа выполнена на кафедре теоретической физики физического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова. Научный руководитель : доктор физико-математических наук профессор А.В. Борисов Официальные оппоненты...»

«БАКАНОВСКАЯ Людмила Николаевна РАЗРАБОТКА СИСТЕМЫ АВТОМАТИЗАЦИИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ ПРОИЗВОДСТВА МУЖСКИХ КОСТЮМОВ ДЛЯ РАЗНЫХ ЦЕНОВЫХ СЕГМЕНТОВ РЫНКА Специальность 05.13.12 – Системы автоматизации проектирования (промышленность) АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Новосибирск – 2011 Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования „Новосибирский технологический институт...»

«Аткарская Агата Сергеевна Изоморфизмы линейных групп над ассоциативными кольцами Специальность 01.01.06 математическая логика, алгебра и теория чисел АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук Москва 2014 Работа выполнена на кафедре высшей алгебры Механико-математического факультета ФГБОУ ВПО „Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова“....»

«Ненашев Алексей Владимирович МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОННОЙ СТРУКТУРЫ КВАНТОВЫХ ТОЧЕК Ge В Si Специальность 01.04.10 (Физика полупроводников) АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Новосибирск – 2004 Работа выполнена в Институте физики полупроводников СО РАН. Научный руководитель : доктор физико-математических наук, профессор Двуреченский Анатолий Васильевич. Официальные оппоненты : кандидат физико-математических наук, старший...»

«Наймушина Екатерина Александровна. УДК 538.945 ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА РЕНТГЕНОЭЛЕКТРОННОЙ СПЕКТРОСКОПИИ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ХИМИЧЕСКОГО СТРОЕНИЯ СЛОЖНЫХ МЕДНЫХ ОКСИДОВ В СВЕРХПРОВОДЯЩЕМ СОСТОЯНИИ Специальность 01.04.01. – приборы и методы экспериментальной физики АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Ижевск – 2004 Работа выполнена в лаборатории электронной спектроскопии Института физики поверхности при Удмуртском государственном...»

«ХАЛИУЛЛИНА Алия Владимировна СОСТОЯНИЕ И ПОДВИЖНОСТЬ НЕКОТОРЫХ БЕЛКОВ В УСЛОВИЯХ АГРЕГАЦИИ Специальность 01.04.07 – физика конденсированного состояния Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Казань – 2012 Работа выполнена на кафедре физики молекулярных систем ФГАОУ ВПО Казанский (Приволжский) федеральный университет Научный руководитель : – доктор физико-математических наук, профессор Филиппов Андрей Васильевич Официальные...»

«Наталья Ивановна ОДИНА ФОТОАКУСТИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА ТВЕРДЫХ ТЕЛ: ПОЛИ- И МОНОКРИСТАЛЛОВ Специальность 01.04.06-акустика Автореферат на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук М о с к в а – 2006 Работа выполнена на кафедре акустики физического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова Научный руководитель : доктор физико-математических наук,...»

«Шеина Елена Анатольевна РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В R N И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ К МОДЕЛЯМ УЕДИНЕННЫХ ВОЛН Специальность 01.01.02 – дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва – 2010 Работа выполнена на...»

«Шведунов Иван Васильевич ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ СИСТЕМЫ КОНТРОЛЯ И УПРАВЛЕНИЯ УСКОРИТЕЛЯМИ ЭЛЕКТРОНОВ НИИЯФ МГУ Специальность 01.04.20 – Физика пучков заряженных частиц и ускорительная техника Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва – 2009 Работа выполнена на кафедре общей ядерной физики...»

«Харабадзе Давид Эдгарович СПИН-ТОКОВОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ В КВАНТОВОЙ ГИДРОДИНАМИКЕ 01.04.02 теоретическая физика Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва 2006 Работа выполнена в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова. Научный руководитель : доктор физико-математических наук, профессор Кузьменков Л. С. Официальные оппоненты : доктор физико-математических наук, профессор Рыбаков Ю. П. кандидат...»

«ЗАВЕРКИНА МАРИНА АЛЕКСАНДРОВНА ИССЛЕДОВАНИЕ КИНЕТИКИ РЕАКЦИЙ, ПРОТЕКАЮЩИХ ПРИ СИНТЕЗЕ ПОЛИУРЕТАНОВЫХ ТЕРМОЭЛАСТО ПЛАСТОВ НА ОСНОВЕ ОЛИГООКСЕТАНДИОЛОВ 02.00.06 - Высокомолекулярные соединения АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата химических наук Черноголовка – 2007 Работа выполнена в Институте проблем химической физики Российской Академии Наук Научный руководитель : кандидат химических наук Бадамшина Эльмира Рашатовна Официальные оппоненты : доктор...»

«Ефремова Лариса Ивановна РЕГИОНАЛИЗАЦИЯ И ГЛОБАЛИЗАЦИЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО ПРОСТРАНСТВА СНГ: СОЦИАЛЬНО-ФИЛОСОФСКИЙ АНАЛИЗ Специальность 09.00.11 – социальная философия Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата философских наук Москва – 2010 Работа выполнена на кафедре социальной философии факультета гуманитарных и социальных наук Российского университета дружбы народов. Научный руководитель : доктор философских наук, профессор Гречко Петр Кондратьевич...»

«Круткова Елена Юрьевна ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА АНИЗОТРОПНЫХ КРЕМНИЕВЫХ СТРУКТУР Специальность 01.04.10 физика полупроводников АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва – 2007 1 Работа выполнена на физическом факультете Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова Научный руководитель : доктор физико-математических наук Тимошенко Виктор Юрьевич Официальные оппоненты : доктор физико-математических наук...»

«Засухина Елена Семеновна Быстрое автоматическое дифференцирование в задачах оптимального управления Специальность 01.01.09 - Дискретная математика и математическая кибернетика Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва – 2007 Работа выполнена в Вычислительном центре им. А.А. Дородницына Российской академии наук Научный руководитель : доктор физико-математических наук Зубов Владимир Иванович Официальные доктор...»

«УДК 512.725+519.116 Буряк Александр Юрьевич. Когомологии квазиоднородных компонент в пространстве модулей пучков Специальность 01.01.04 – геометрия и топология АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва, 2013 Работа выполнена на кафедре высшей геометрии и топологии Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В....»

«Мищенко Сергей Сергеевич ЭКСПОНЕНТЫ МНОГООБРАЗИЙ КОММУТАТИВНЫХ И АНТИКОММУТАТИВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБР Специальность 01.01.06 – математическая логика, алгебра и теория чисел Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико–математических наук Ульяновск – 2011 г. Работа выполнена на кафедре алгебро–геометрических вычислений в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования Ульяновский государственный...»

«Ушакова Александра Сергеевна ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ РОЛИ АМФИФИЛЬНОСТИ МАКРОМОЛЕКУЛ И НИЗКОМОЛЕКУЛЯРНЫХ ВЕЩЕСТВ В СТРУКТУРООБРАЗОВАНИИ Специальность 02.00.06 высокомолекулярные соединения АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва 2009 Работа выполнена на кафедре физики полимеров и кристаллов физического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова. кандидат физико-математических наук Научный...»

«ШЕСТАКОВ ДМИТРИЙ КОНСТАНТИНОВИЧ Процессы электронного обмена при рассеянии отрицательного иона водорода на наносистемах Специальность 01.04.04 – физическая электроника АВТОРЕФЕРАТ Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва – 2008 Работа выполнена на физическом факультете Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова Научные руководители: доктор физико-математических наук, профессор Александров Андрей Федорович...»

«УДК 537.622 ПЕЛЕНОВИЧ Василий Олегович МАГНИТНЫЕ, ОПТИЧЕСКИЕ И МАГНИТООПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ZnO, ЛЕГИРОВАННОГО Mn 01.04.11 – Физика магнитных явлений Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Ташкент – 2011 2 Работа выполнена в Отделе теплофизики АН РУз Научный руководитель : доктор физико-математических наук Юлдашев Шавкат Узгенович Отдел теплофизики АН РУз (г. Ташкент)...»

«Кацоев Леонид Витальевич РАЗРАБОТКА БАЗОВЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ СТРУКТУР ДЛЯ ДЕТЕКТОРНОГО МОДУЛЯ ИОНИЗИРУЮЩИХ ИЗЛУЧЕНИЙ Специальность: 01.04.10 – физика полупроводников Автореферат диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва – 2008 Работа выполнена на кафедре квантовой физики и наноэлектроники Московского государственного института электронной техники (технического университета) Научный руководитель : д. ф.-м. н., профессор Ильичев Эдуард...»






 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.